一元二次方程提高培優(yōu)

1、1、一元二次方程的一般式：，為二次項(xiàng)系數(shù)，為一次項(xiàng)系數(shù)，為常數(shù)項(xiàng)。2、一元二次方程的解法（1） 直接開平方法 （也可以使用因式分解法） 解為： 解為： 解為： 解為：（2） 因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如： 此類方程適合用提供因此，而且其中一個(gè)根為0注意：提取整個(gè)因式的方法非常常見，解題的過程中一定要認(rèn)真觀察。十字相乘法非常實(shí)用，注意在解題的過程中多考慮。（3） 配方法二次項(xiàng)的系數(shù)為“1”的時(shí)候：直接將一次項(xiàng)的系數(shù)除于2進(jìn)行配方，如下所示：示例：二次項(xiàng)的系數(shù)不為“1”的時(shí)候：先提取二次項(xiàng)的系數(shù)，之后的方法同上：示例： 備注：實(shí)際在解方程的過程中，一般也只是針對(duì)且為偶數(shù)時(shí)

2、，才使用配方法，否則可以考慮使用公式法來更加簡(jiǎn)單。（4）公式法：一元二次方程，用配方法將其變形為： 當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根： 當(dāng)時(shí)，右端是零因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根： 當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)因此，方程沒有實(shí)根。注意：雖然所有的一元二次都可以用公式法來求解，但它往往并非最簡(jiǎn)單的，一定要注意方法的選用。備注：公式法解方程的步驟：把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：，并確定出、求出，并判斷方程解的情況。代公式：（要注意符號(hào)）備注：一元二次方程的解題步驟：首先看方程中是否可以同時(shí)除以或者乘以一個(gè)非零的數(shù)，使得方程更加方便計(jì)算：如：（同除于10）這樣更加方便計(jì)算。（同乘于，這樣二

3、次項(xiàng)的系數(shù)為正整數(shù)，更方便計(jì)算）四種求方程方法的一定要合理選用，依次按直接開平方、因式分解，配方法和公式法的順序考慮選用?？梢钥紤]選用根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)方程的根進(jìn)行適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)，同時(shí)對(duì)于應(yīng)用題中，一定要考慮根的實(shí)際意義，是否所有的根都是方程的解。3、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系法1：一元二次方程的兩個(gè)根為：所以：，定理：如果一元二次方程定的兩個(gè)根為，那么：法2：如果一元二次方程定的兩個(gè)根為；那么 兩邊同時(shí)除于，展開后可得： ；法3：如果一元二次方程定的兩個(gè)根為；那么 得：（余下略）常用變形：， ， ， ， 等練習(xí)：【練習(xí)1】若是方程的兩個(gè)根，試求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4)

4、【練習(xí)2】已知關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值(1) 方程兩實(shí)根的積為5；(2) 方程的兩實(shí)根滿足【練習(xí)3】已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根(1) 是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)您說明理由(2) 求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值4、韋達(dá)定理相關(guān)知識(shí)（1）若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么 ， 。我們把這兩個(gè)結(jié)論稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，簡(jiǎn)稱韋達(dá)定理。（2）如果一元二次方程的兩個(gè)根是，則 ， 。（3）以為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是（4）在一元二次方程中，有一根為0，則 ；有一根為1，則 ；有一根為，則 ；若兩根互為倒數(shù),則 ；若兩根互為相反數(shù)，則 。（5）二次

5、三項(xiàng)式的因式分解(公式法) 在分解二次三項(xiàng)式的因式時(shí)，如果可用公式求出方程的兩個(gè)根，那么如果方程無根,則此二次三項(xiàng)式不能分解。5、一類特殊的二元一次方程的求解方法再探討的兩個(gè)根為，那么：（1）的兩個(gè)根為：，（原因留給大家自行思考）例1： 先求出方程：的兩根為： ，故原方程的根為：（2）的兩個(gè)根為：，例2： 先解得方程：的兩根為：，所以原方程的兩個(gè)解為：6、應(yīng)用題（1）平均增長(zhǎng)率的問題： 其中：為基數(shù)，為增長(zhǎng)率，表示連續(xù)增長(zhǎng)的次數(shù)， 表示增長(zhǎng)后的數(shù)量。 （2）面積問題：注意平移思想的使用7、換元法 例：解：令 則原方程可化為： 解得： 當(dāng)時(shí)，求得： 當(dāng)時(shí)，求得：（原方程共有4個(gè)解） 練習(xí)：考點(diǎn)精

6、析考點(diǎn)一、概念(1)定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表達(dá)式： 難點(diǎn)：如何理解 “未知數(shù)的最高次數(shù)是2”：該項(xiàng)系數(shù)不為“0”；未知數(shù)指數(shù)為“2”；若存在某項(xiàng)指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。典型例題：例1、下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）A B C D 變式：當(dāng)k 時(shí)，關(guān)于x的方程是一元二次方程。例2、方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為 。針對(duì)練習(xí)：1、方程的一次項(xiàng)系數(shù)是 ，常數(shù)項(xiàng)是 。2、若方程是關(guān)于x的一元一次方程，求m的值；寫出關(guān)于x的一元一次方程。3、若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m

7、的取值范圍是 。4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，則下列不可能的是（ ）A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1考點(diǎn)二、方程的解概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。應(yīng)用：利用根的概念求代數(shù)式的值； 典型例題：例1、已知的值為2，則的值為 。例2、關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為0，則a的值為 。說明：任何時(shí)候，都不能忽略對(duì)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)的限制.例3、已知關(guān)于x的一元二次方程的系數(shù)滿足，則此方程必有一根為 。說明：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì) “代數(shù)式形式”的觀察，再利用特殊根“-1”巧解代數(shù)式的值。例4、已知是方程的兩個(gè)根，是方程的兩個(gè)根，

8、則m的值為 。針對(duì)練習(xí)：1、已知方程的一根是2，則k為 ，另一根是 。2、已知關(guān)于x的方程的一個(gè)解與方程的解相同。求k的值； 方程的另一個(gè)解。3、已知m是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式 。4、已知是的根，則 。5、方程的一個(gè)根為（ ）A B 1 C D 6、若 ?？键c(diǎn)三、解法方法：直接開方法；因式分解法；配方法；公式法關(guān)鍵點(diǎn)：降次類型一、直接開方法：對(duì)于，等形式均適用直接開方法典型例題：例1、解方程： =0; 例2、解關(guān)于x的方程：例3、若，則x的值為 。針對(duì)練習(xí)：下列方程無解的是（ ）A. B. C. D.類型二、因式分解法:方程特點(diǎn)：左邊可以分解為兩個(gè)一次因式的積，右邊為“0”，方程形式：如， ，

9、典型例題：例1、的根為（ ）A B C D 例2、若，則4x+y的值為 。變式1： 。變式2：若，則x+y的值為 。變式3：若，則x+y的值為 。例3、方程的解為（ ）A. B. C. D.例4、解方程： 例5、已知,則的值為 。變式：已知,且,則的值為 。針對(duì)練習(xí)：1、下列說法方程的二根為，則 . 方程可變形為正確的有（ ）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2、以與為根的一元二次方程是（）A BC D3、寫出一個(gè)一元二次方程，要求二次項(xiàng)系數(shù)不為1，且兩根互為倒數(shù)： 寫出一個(gè)一元二次方程，要求二次項(xiàng)系數(shù)不為1，且兩根互為相反數(shù)： 4、若實(shí)數(shù)x、y滿足，則x+y的值為（ ）A、-1或-2 B

10、、-1或2 C、1或-2 D、1或25、方程：的解是 。6、已知，且，求的值。7、方程的較大根為r，方程的較小根為s，則s-r的值為 。類型三、配方法在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。典型例題：例1、試用配方法說明的值恒大于0。例2、已知x、y為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式的最小值。例3、已知為實(shí)數(shù)，求的值。例4、分解因式：針對(duì)練習(xí)：1、試用配方法說明的值恒小于0。2、已知，則 .3、若，則t的最大值為 ，最小值為 。4、如果,那么的值為 。類型四、公式法條件：公式： ,典型例題：例1、選擇適當(dāng)方法解下列方程： 說明：解一元二次方程時(shí)，首選方法是因式分解法和直接開方法

11、、其次選用求根公式法；一般不選擇配方法。例2、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1）； （2）. 說明：對(duì)于二次三項(xiàng)式的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解，一般情況要用求根公式，這種方法首先令=0，求出兩根，再寫成=.分解結(jié)果是否把二次項(xiàng)系數(shù)乘進(jìn)括號(hào)內(nèi)，取決于能否把括號(hào)內(nèi)的分母化去.類型五、 “降次思想”的應(yīng)用求代數(shù)式的值； 解二元二次方程組。典型例題：例1、已知，求代數(shù)式的值。例2、如果，那么代數(shù)式的值。例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。說明：在運(yùn)用降次思想求代數(shù)式的值的時(shí)候，要注意兩方面的問題：能對(duì)已知式進(jìn)行靈活的變形；能利用已知條件或變形條件，逐步把所求代數(shù)式的高次冪化為低次冪，最后求解。

12、例4、用兩種不同的方法解方程組說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：先消元，再降次；先降次，再消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學(xué)思想化歸思想，即把新問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們已知的問題.考點(diǎn)四、根的判別式根的判別式的作用：定根的個(gè)數(shù)；求待定系數(shù)的值；應(yīng)用于其它。典型例題：例1、若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 。例2、關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是( )A. B. C. D.例3、已知關(guān)于x的方程(1)求證：無論k取何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰ABC的一邊長(zhǎng)為1，另兩邊長(zhǎng)恰好是方程的兩個(gè)根，求ABC的周長(zhǎng)。例4、已知二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，試求的值.說明：若二次

13、三項(xiàng)式為一個(gè)完全平方式，則其相應(yīng)方程的判別式即：若，則二次三項(xiàng)式為完全平方式；反之，若為完全平方式，則.例5、為何值時(shí)，方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解？有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解？針對(duì)練習(xí)：1、當(dāng)k 時(shí)，關(guān)于x的二次三項(xiàng)式是完全平方式。2、當(dāng)取何值時(shí)，多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式？這個(gè)完全平方式是什么？3、已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是 .4、為何值時(shí)，方程組（1）有兩組相等的實(shí)數(shù)解，并求此解；（2）有兩組不相等的實(shí)數(shù)解；（3）沒有實(shí)數(shù)解.5、當(dāng)取何值時(shí)，方程的根與均為有理數(shù)？考點(diǎn)五、方程類問題中的“分類討論”典型例題：例1、關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m為 ,只有一個(gè)根，則m為 。 例2、不解方程，判

14、斷關(guān)于x的方程根的情況。例3、如果關(guān)于x的方程及方程均有實(shí)數(shù)根，問這兩方程是否有相同的根？若有，請(qǐng)求出這相同的根及k的值；若沒有，請(qǐng)說明理由?？键c(diǎn)六、應(yīng)用解答題“碰面”問題；“復(fù)利率”問題；“幾何”問題；“最值”型問題；“圖表”類問題典型例題：1、五羊足球隊(duì)的慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯一次，共碰杯990次，問晚宴共有多少人出席？2、某小組每人送他人一張照片，全組共送了90張，那么這個(gè)小組共多少人？3、北京申奧成功，促進(jìn)了一批產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展，某通訊公司開發(fā)了一種新型通訊產(chǎn)品投放市場(chǎng)，根據(jù)計(jì)劃，第一年投入資金600萬元，第二年比第一年減少，第三年比第二年減少，該產(chǎn)品第一年收入資金約400萬元，公司計(jì)

15、劃三年內(nèi)不僅要將投入的總資金全部收回，還要盈利，要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，該產(chǎn)品收入的年平均增長(zhǎng)率約為多少？（結(jié)果精確到0.1，）4、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場(chǎng)分析，若按每千克50元銷售，一個(gè)月能售出500千克，銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對(duì)此回答：（1）當(dāng)銷售價(jià)定為每千克55元時(shí)，計(jì)算月銷售量和月銷售利潤(rùn)。（2）商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤(rùn)達(dá)到8000元，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少？5、將一條長(zhǎng)20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)作成一個(gè)正方形。（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于17cm2，那么這兩段鐵絲的長(zhǎng)度分別為多少

16、？（2）兩個(gè)正方形的面積之和可能等于12cm2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長(zhǎng)度；若不能，請(qǐng)說明理由。（3）兩個(gè)正方形的面積之和最小為多少？6、A、B兩地間的路程為36千米.甲從A地，乙從B地同時(shí)出發(fā)相向而行，兩人相遇后，甲再走2小時(shí)30分到達(dá)B地，乙再走1小時(shí)36分到達(dá)A地，求兩人的速度.考點(diǎn)七、根與系數(shù)的關(guān)系前提：對(duì)于而言，當(dāng)滿足、時(shí)，才能用韋達(dá)定理。主要內(nèi)容：應(yīng)用：整體代入求值。典型例題：例1、已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)恰是方程的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊是（ ） A. B.3 C.6 D.說明：要能較好地理解、運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，必須熟練掌握、之間的運(yùn)算關(guān)系.例2、解方程組

17、：說明：一些含有、的二元二次方程組，除可以且代入法來解外，往往還可以利用根與系數(shù)的關(guān)系，將解二元二次方程組化為解一元二次方程的問題.有時(shí)，后者顯得更為簡(jiǎn)便.例3、已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。例4、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）時(shí)，小明因看錯(cuò)常數(shù)項(xiàng)，而得到解為8和2，小紅因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，而得到解為-9和-1。你知道原來的方程是什么嗎？其正確解應(yīng)該是多少？例5、已知，求 變式：若，則的值為 。例6、已知是方程的兩個(gè)根，那么 .針對(duì)練習(xí)：1、解

18、方程組2已知，求的值。3、已知是方程的兩實(shí)數(shù)根，求的值。 一元二次方程根的判別式專題知識(shí)考點(diǎn)：理解一元二次方程根的判別式，并能根據(jù)方程的判別式判斷一元二次方程根的情況。精典賞析：【例1】當(dāng)取什么值時(shí)，關(guān)于的方程。（1）有兩個(gè)相等實(shí)根；（2）有兩個(gè)不相等的實(shí)根；（3）沒有實(shí)根。分析：用判別式列出方程或不等式解題。答案：（1）；（2）；（3）【例2】求證：無論取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)根。 分析：列出的代數(shù)式，證其恒大于零?！纠?】當(dāng)為什么值時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)根。分析：題設(shè)中的方程未指明是一元二次方程，還是一元一次方程，所以應(yīng)分0和0兩種情形討論。略解：當(dāng)0即時(shí)，0，方程為一元一次方程，總有實(shí)

19、根；當(dāng)0即時(shí)，方程有根的條件是：0，解得當(dāng)且時(shí)，方程有實(shí)根。綜上所述：當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根。探索與創(chuàng)新：【問題一】已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、，問是否存在實(shí)數(shù)，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由。略解： 化簡(jiǎn)得不存在?！締栴}一】如圖，某校廣場(chǎng)有一段25米長(zhǎng)的舊圍欄，現(xiàn)打算利用該圍欄的一部分（或全部）為一邊，圍成一塊100平方米的長(zhǎng)方形草坪（如圖CDEF，CDCF）已知整修舊圍欄的價(jià)格是每米1.75元，建新圍欄的價(jià)格是每米4.5元。（1）若計(jì)劃修建費(fèi)為150元，能否完成該草坪圍欄修造任務(wù)？（2）若計(jì)劃修建費(fèi)為120元，能否完成該草坪圍欄修建任務(wù)？若能完成，

20、請(qǐng)算出利用舊圍欄多少米；若不能完成，請(qǐng)說明理由。略解：設(shè)CFDE，則CDEF修建總費(fèi)用為：條件是：1025（1）12 能完成（2）0此方程元實(shí)根 不能完成跟蹤訓(xùn)練：一、填空題：1、下列方程；中，無實(shí)根的方程是 。2、已知關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么的值是 。3、如果二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)總能分解成兩個(gè)一次因式的積，則的取值范圍是 。4、在一元二次方程中，若系數(shù)、可在1、2、3、4、5中取值，則其中有實(shí)數(shù)解的方程的個(gè)數(shù)是 。二、選擇題：1、下列方程中，無實(shí)數(shù)根的是（ ） A、 B、C、 D、2、若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則的取值范圍是（ ） A、 B、 C、且2 D、且23、

21、在方程（0）中，若與異號(hào)，則方程（ ） A、有兩個(gè)不等實(shí)根 B、有兩個(gè)相等實(shí)根C、沒有實(shí)根 D、無法確定三、試證：關(guān)于的方程必有實(shí)根。四、已知關(guān)于的方程的根的判別式為零，方程的一個(gè)根為1，求、的值。五、已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，試判斷直線能否通過A（2，4），并說明理由。六、已知關(guān)于的方程，問：是否存在實(shí)數(shù)，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于56？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。七、已知0，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的正實(shí)根，求的值。一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）專題知識(shí)框圖 求代數(shù)式的值 求待定系數(shù)一元二次 韋達(dá)定理 應(yīng)用 構(gòu)造方程方程的求 解特殊的二元二次方程組根公式 二次三項(xiàng)式

22、的因式分解【內(nèi)容分析】韋達(dá)定理：對(duì)于一元二次方程，如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么說明：（1）定理成立的條件（2）注意公式重的負(fù)號(hào)與b的符號(hào)的區(qū)別根系關(guān)系的三大用處（1）計(jì)算對(duì)稱式的值例 若是方程的兩個(gè)根，試求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：(1) (2) (3) (4) 說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，等等韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想【課堂練習(xí)】1設(shè)x1，x2是方程2x26x30的兩根，則x12x22的值為_2已知x1，x2是方程2x27x40的兩根，則x1x2 ，x1x2 ，（x1x2）2 3已知方程2x23x+k=0的兩根

23、之差為2，則k= ;4若方程x2+(a22)x3=0的兩根是1和3，則a= ;5若關(guān)于x的方程x2+2(m1)x+4m2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根互為倒數(shù)，那么m的值為 ;6 設(shè)x1,x2是方程2x26x+3=0的兩個(gè)根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (2) 7已知x1和x2是方程2x23x1=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：（2）構(gòu)造新方程理論：以兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程是。例 解方程組 解：顯然，x，y是方程z2-5z+60 的兩根由方程解得 z1=2,z2=3原方程組的解為 x1=2,y1=3 x2=3,y2=2顯然，此法比代入法要簡(jiǎn)單得多。（3）定性判

24、斷字母系數(shù)的取值范圍例 一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)是方程的兩根，第三邊長(zhǎng)為2，求k的取值范圍。解：設(shè)此三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且a、b為的兩根，則c=2由題意知k2-4220，k4或k-4 為所求?！镜湫屠}】例1 已知關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值(1) 方程兩實(shí)根的積為5；(2) 方程的兩實(shí)根滿足分析：(1) 由韋達(dá)定理即可求之；(2) 有兩種可能，一是，二是，所以要分類討論解：(1) 方程兩實(shí)根的積為5 所以，當(dāng)時(shí)，方程兩實(shí)根的積為5(2) 由得知：當(dāng)時(shí)，所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根，故；當(dāng)時(shí)，由于 ，故不合題意，舍去綜上可得，時(shí)，方程的兩實(shí)根滿足說明：根據(jù)一元二次方程兩實(shí)根滿足的條件

25、，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實(shí)根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足例2 已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根(1) 是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)您說明理由(2) 求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值解：(1) 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使成立 一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ， 又是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ，但 不存在實(shí)數(shù)，使成立 (2) 要使其值是整數(shù)，只需能被4整除，故，注意到，要使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值為說明：(1) 存在性問題的題型，通常是先假設(shè)存在，然后推導(dǎo)其值，若能求出，則說明存在，否則即不存在 (2) 本題綜合性較強(qiáng)，要學(xué)會(huì)對(duì)為整數(shù)的分析方法一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)題A 組1一

26、元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是()ABCD2若是方程的兩個(gè)根，則的值為()ABCD3已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5，兩條對(duì)角線交于O點(diǎn)，且OA、OB的長(zhǎng)分別是關(guān)于的方程的根，則等于()ABCD4若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是()ABCD大小關(guān)系不能確定5若實(shí)數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為()ABCD6如果方程的兩根相等，則之間的關(guān)系是 _ 7已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)恰是方程的兩個(gè)根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是 _ 8若方程的兩根之差為1，則的值是 _ 9設(shè)是方程的兩實(shí)根，是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，則= _ ，= _ 10已知實(shí)數(shù)滿足，則= _ ，= _ ，=

27、_ 11對(duì)于二次三項(xiàng)式，小明得出如下結(jié)論：無論取什么實(shí)數(shù)，其值都不可能等于10您是否同意他的看法？請(qǐng)您說明理由12若，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的的正實(shí)數(shù)根，求的值13已知關(guān)于的一元二次方程(1) 求證：不論為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) 若方程的兩根為，且滿足，求的值14已知關(guān)于的方程的兩根是一個(gè)矩形兩邊的長(zhǎng)(1) 取何值時(shí)，方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根？(2) 當(dāng)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)是時(shí)，求的值B 組1已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(1) 求的取值范圍；(2) 是否存在實(shí)數(shù)，使方程的兩實(shí)根互為相反數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)您說明理由2已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于11求

28、證：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根3若是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且都大于1(1) 求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2) 若，求的值一元二次方程測(cè)試題一、選擇題：1、關(guān)于x的方程是一元二次方程，則（ ）A、 B、 C、a0 D、2、方程的根是（ ）A、x=2 B、x=1 C、x,x D、x,x3、對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，多項(xiàng)式x-5x+8的值是一個(gè)（ ）A、非負(fù)數(shù) B、正數(shù) C、負(fù)數(shù) D、無法確定4、一個(gè)多邊形有9條對(duì)角線，則這個(gè)多邊形有邊（ ）A、6條 B、7條 C、8條 D、9條5、下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（ ）A、 B、 C、 D、6、某商品連續(xù)兩次降價(jià)20%后價(jià)格為a元，則原價(jià)為（ ）元。A、1.2a B、

29、C、0.64a D、7、若實(shí)數(shù)x、y滿足，則x+y的值為（ ）A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或28、若的左邊是完全平方式，則a的值為（ ）A、9 B、 C、 D、9、用換元法解分式方程，若設(shè)，則原方程可化為關(guān)于y的整式方程是（ ）A、 B、 C、 D、10、已知m、n是方程的兩個(gè)根，則（ ）A、1990 B、1992 C、-1992 D、1999二、填空：11、 = 12、當(dāng)x= 時(shí)，最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式。13、已知a、b、c為的三邊，且關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么這個(gè)三解形是 。14、已知，則= 。15、一元二次方程與的所有實(shí)數(shù)根的和等于 。16、

30、把一根長(zhǎng)為22cm的鐵絲圍成一個(gè)斜邊長(zhǎng)是10cm的直角三角形，則這個(gè)三角形的面積為 。17、若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)均滿足方程，則此三角形的周長(zhǎng)為 。18、已知，則= 。三、解方程19、 20、 21、四、解答題22、閱讀下面的例題：請(qǐng)參照例題解方程例：解：（1）當(dāng)時(shí)，原方程化為解得，（不合題意，舍去）（2）當(dāng)時(shí)，原方程化為解得（不合題意，舍去），原方程的根是，23、百貨商店服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)，某品牌童裝平均每天可售20件，每件盈利40元，為了迎接“六一”國(guó)際兒童節(jié)，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫存。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝降價(jià)1元，那么平均每天就可多售出2件。要想平

31、均每天銷售這種童裝盈利1200元，那么每件童裝降價(jià)多少元？24、一張桌子的桌面長(zhǎng)為6米，寬為4米，臺(tái)布面積是桌面面積的2倍。如果將臺(tái)布鋪在桌子上，各邊垂下的長(zhǎng)度相同，求這塊臺(tái)布的長(zhǎng)和寬。25、某人將2000元按一年定期存入銀行，到期后支取1000元購物，剩下的1000元及應(yīng)得的利息又全部按一年定期存入銀行。若銀行存款的利息不變，到期后得本金和利息共1320元，求這種存款的年利率。（不計(jì)算利息稅）一元二次方程培優(yōu)練習(xí)題一、選擇題：（每小題2分，共30分）1、下列方程是一元二次方程的是（ ）A、 B、C、 D、2、關(guān)于的方程是一元二次方程的條件是（ ）A、1 B、2 C、1且2 D、1或23、方程

32、的解為（ ）A、5 B、2 C、5或2 D、以上都不對(duì)4、方程的較小根為（ ）A、 B、 C、 D、5、方程的解為（ ）A、， B、，C、， D、，6、方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（ ）A、9 B、9且0 C、9 D、9且07、為有理數(shù)，且方程的根為有理數(shù)，則的值為（ ） A、4 B、1 C、2 D、68、已知、是一個(gè)三角形的三邊，且方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則該三角形是（ ） A、等腰三角形 B、等邊三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形9、以、為根的一元二次方程是（ ）A、 B、C、 D、10、已知、是一元二次方程的兩根，且判別式0，則的值為（ ） A、 B、 C、 D、11

33、、關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的非負(fù)整數(shù)值是（ ）A、0、1 B、0、1、2 C、1、2、3 D、0、1、2、312、已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，則的取值為（ ） A、 B、9 C、9 D、9或913、下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（ ）A、 B、C、 D、14、關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是0，則的值是（ ）A、1 B、1 C、1 D、15、若實(shí)數(shù)、滿足，則的值是（ ）A、20 B、2 C、2或20 D、二、填空題：（每小題3分，共36分）1、方程的兩個(gè)根，一個(gè)是1，另一個(gè)是1，則 ， 。2、若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則 。3、 4、方程中，、均為有理數(shù)，且方程有一個(gè)根是

34、，則 ， 。5、方程的一個(gè)根為3，則 ，另一個(gè)根是 。6、已知方程的兩根的平均數(shù)為0，則的值為 ，這個(gè)方程的根為 。7、方程與有一個(gè)根相同，則 。8、某汽車制造廠2000年1月份生產(chǎn)汽車25000輛，若3月份產(chǎn)量要達(dá)到30250輛，則這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率為 。9、等腰三角形邊的長(zhǎng)是方程的兩根，則它的周長(zhǎng)為 。10、關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則 。11、若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則 。12、已知關(guān)于的方程的兩根互為相反數(shù)，則 。三、解方程（組）：（每小題5分，共20分）1、用直接開平方法解方程： 2、用配方法解方程：3、解關(guān)于的方程： 4、解方程組：四、解答下列各題（每小題10分，共50

35、分）1、已知方程的兩實(shí)數(shù)根的平方和比兩根之積大15，求的值。2、求證：無論取何值，方程一定有兩個(gè)不同的實(shí)根 3、若0，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的正實(shí)數(shù)根。求的值。4、已知整數(shù)滿足620，如果關(guān)于的一元二次方程0有有理根，求的值及方程的根。5.小李和小張各自加工15個(gè)玩具,小李每小時(shí)比小張多加工1個(gè),結(jié)果比小張少小時(shí)完成任務(wù).問兩個(gè)每小時(shí)各加工多少個(gè)玩具?6、今春以來，在黨和政府的領(lǐng)導(dǎo)下，我國(guó)進(jìn)行了一場(chǎng)抗擊“非典”的戰(zhàn)斗，為了控制疫情的蔓延，某衛(wèi)生材料廠接到上級(jí)下達(dá)趕制19.2萬只加濃抗病毒口罩的任務(wù)。為使抗病毒口罩早日到達(dá)防疫第一線，開工后每天比原計(jì)劃多加工0.4萬只，結(jié)果提前4天完成任務(wù)。求該廠

36、原計(jì)劃每天加工多少萬只口罩？7某商場(chǎng)試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量（件）與銷售單價(jià)（元）符合一次函數(shù)，且時(shí)，；時(shí)，（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為元，試寫出利潤(rùn)與銷售單價(jià)之間的關(guān)系式；銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少元？（3）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不低于500元，試確定銷售單價(jià)的范圍五、知識(shí)運(yùn)用（14分）（請(qǐng)考生注意：任選其中的一個(gè)題目完成）1、為何值時(shí)，方程與方程有一個(gè)公共根？并求出這個(gè)公共根。2、關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（1）求的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使方程的兩

37、個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于0 ？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。一元二次方程易錯(cuò)提高題1關(guān)于x的方程的兩根同為負(fù)數(shù)，則（ ）A且 B且C且 D且練習(xí)：如果方程有兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是 （ ）A、 1 B、 01 C、 01 D、 02.若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則（ ）A Bm=2 Cm= 2 D練習(xí)：一元二次方程（m-2）x-4mx+2m-6=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，m=_.3如果關(guān)于x的方程ax 2+x1= 0有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（ ）Aa Ba Ca且a0 Da且a04方程x2+ax+1=0和x2xa=0有一個(gè)公共根，則a的值是（ ）A0 B1 C2 D35.已知，是方程的兩實(shí)數(shù)根，則的值為_練習(xí)：設(shè)x1、x2是方程3x2+4x5=0的兩根，則 .x12+x22= .6. 關(guān)于x的一元二次方程x2bxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為1和2，則b_；c_7.已知x是一元二次方程x23x10的實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式的值為8. 已知x1，x2 是關(guān)于x的方程（x2）（xm）=（p2）（pm）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（1）求x1，x2 的值；9把一