用特征方程求數(shù)列的通項

1、時間：二O二一年七月二十九日用特征方程求數(shù)列的通項 之答祿夫天創(chuàng)作時間：二O二一年七月二十九日一、遞推數(shù)列特征方程的研究與探索遞推（迭代）是中學數(shù)學中一個非常重要的概念和方法，遞推數(shù) 列問題能力要求高，內(nèi)在聯(lián)系密切，蘊含著很多精妙的數(shù)學思想和 方法.遞推數(shù)列的特征方程是怎樣來的？（一）、若數(shù)列an滿足ai b,an 1 c% d（c 0）,其通項公式的求法一般采納如下的參數(shù)法，將遞推數(shù)列轉化為等比數(shù)列:時間：二O二一年七月二十九日can設 ani t c(an t),則ani那時c 1可得(c 1)t ,令(c 1)t d ,即 t-d-c 1an 1c（an工），知數(shù)列ac 1c 1工是以c

2、為公比的等比數(shù)c 1dd n 1, an (a1 )cc 1 c 1can d 對將a1 b代入并整理，得an bcn d bcn1d.故數(shù)列an1c 1應的特征方程是：x=cx+d（二）、二階線性遞推數(shù)列am pan qan1，令 Sttqp仿上，用上述參數(shù)法我們來探求數(shù)列an 1tan的特征：無妨設 an 1 tan s(an 12口1),貝巾2口1 (s t)an stan 1 ,（1）若方程組（）有兩組分歧的實數(shù)解（S1，t1）,（S2，t2）,則 an 1tans(an ta。,an 1t2anS2(an t2an 1),即 Hn 1tan、an1 t2an分別是公比為S1、S2的等

3、比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式可得 an 1 ta tia)Sin1,an 112 al121ai)S2n1 ,tl t2,由上兩式+消去an 1可得a2垣1 n§s1t1t2a2t2a1s2 t1 t2n.S2 .(2)若方程組( Q 有兩組相等的解s1 s2,易證此時t1s1，則t1 t22an 1 t1 an s1 an t1an 1si (an 1 t1an 2)n 1an 1ana2s1a1an 箋:聿i 勃* 萬"s1 (a2t1a1),nT-n-2 ,可) n-ZE號左奴夕1J,出守左s1s1s1S1數(shù)列通項公式可知 之 史n 1.a2 S1a1,所以 s1s1s

4、1a1 a 2 s1 a 1a2 s1 a1na n 2 2.n S1 s1s1s1這樣，我們通過參數(shù)方法，將遞推數(shù)列轉化為等比(差)數(shù)列, 從而求得二階線性遞推數(shù)列的通項，若將方程組()消去t即得s2 ps q 0,顯然s1、s2就是方程x2 px q的兩根，我們無妨稱此方 程為二階線性遞推數(shù)列an 1 pan qan 1的特征方程，所以有結論：若遞推公式為an 1 pan qan 1,則其特征方程 為 x2 px q1、若方程有兩相異根&、電，則 anGs1n 02s2n；2、若方程有兩等根s1備，則an(c1 nc2)s1n,其中c1、c2可由初始條件確定.(三)分式線性遞推數(shù)列

5、an 1旦旦一b (a,b,c,d R,c 0),c and將上述方法繼續(xù)類比，仿照前面方法，等式兩邊同加參數(shù)t,則b dtan1 t a an b t (a J a Ct , can dc an d(1)若tl t2,將tl,t2分別代入式可得an 1ti(a cti)- cantian d以上兩式相除得an i tian i t2act1ana ct2an上 ,于是獲得t2antiant2為等比數(shù)列，其公比為a ctiact2,數(shù)列an的通項a可由二aitiait2(a cti )n 1a ct2ct，即ct2 (a d)t b 0，記的兩根為ti ,t2,求得;(2)若ti t2,將t

6、ti代入式可得ati(a cti)tic and,考慮到上式結構特點，兩邊取倒數(shù)得1an 1 ti1 c(an t1) d ct1a ct1anti由于tit2時方程的兩根滿足2tiact1dct1于是式可變形為1 can i ti a cti1anti為等差數(shù)列，其公差為an ticacti二數(shù)列an的通項an可由- anti1 二(n1)求得.a cti這樣，利用上述方法，我們可以把分式線性遞推數(shù)列轉化為等比數(shù)列或等差數(shù)列，從而求得其通項.如果我們引入分式線性遞推數(shù)列ani a an b的特征方程為x %上，即cx2 (d a)x b 0,此特 c an dcx d征方程的兩根恰好是方程兩

7、根的相反數(shù)，于是我們獲得如下結論：分式線性遞推數(shù)列ania2的特征方程為x 9 c an dcx d1、若方程有兩相異根Si、S2,則as1成等比數(shù)列，其公比為a csi .a CS22、若方程有兩等根si S2,則成等差數(shù)列，其公差為 an Sic . a csi值得指出的是，上述結論在求相應數(shù)列通項公式時固然有用，但將遞推數(shù)列轉化為等比(等差)數(shù)列的思想方法更為重要.如對其它形式的遞推數(shù)列，我們也可借鑒前面的參數(shù)法，求得通項公式， 其結論與特征方程法完全一致，三、例題例i、已知數(shù)列ai i,a2 5,且ani 4為4an i(n 2),求通項公式 小.設 an i tans(antan i

8、), 二 an i(S t)anStan iS t 4St 4可得S，于是an i2an2n in i2(an 2ani) 2 (an i 2a02) 2 2ai) 3 2an i2 n iInJ,即學是以學戶首項、4為公差的等差數(shù)列二1(n i) 3,從而 an (3n i) 2n 2 . 224例2、設數(shù)列an滿足a! 2,an i 5an4,求an.2an 7解：對等式兩端同加參數(shù)t得 令t3，解之得t的2，代入上式得 an 1 13 an 12an 7an 1an 22an 7兩式相除得冬1 e an1 23 %2即a_是首項為ean 2a1 2%公比為3的等比數(shù)列a_ 1 31n,從

9、而 anan 244 3n 124 3n 11 四、本課小結：1 .可用特征方程解決遞推數(shù)列的三類模型.線性遞推關系：已知a1 b,an 1cand(c 0),.齊次二階線性遞推關系： 已知a1a,a2b, 且an 1Pan qan 1,.分式遞推關系:已知a1b,ama an bc an d2 .特征根方程及求法a1,n 1.an 1pan q的特征根方程為X=px+q,其根為，則an 1=P( an 1)ai(n 1).an 2a2(n 2)的特征根方程為x2 px q設兩實根為，Pan 1 qan .若 時，則an=G n 1 C2 ”,其中G, C2是由al, a2確定 .若二時，則a

10、n (qn C2) n 1其中G, C2是由，al a2確定.an1pjq的特征根方程為x 旦工若方程的兩根為 ，ran hrx h時間：二O二一年七月二十九日若,a1且，貝U包J 2 a即冬一等比數(shù)列an 1P ranan若ai且p h 0,則 &L 即 等差數(shù)列an 1 P h anan五、練習1 .已知數(shù)列an滿足：anin 2,n N,ai 4,求 杰.32 .已知數(shù)列 an滿足 ai=3, a2=6, an 2=4an 1-4 an 求 an3 .已知數(shù)列 an滿足 a1=3, a2=6, an 2 =2an1+3an 求 an4 .各項均為正數(shù)的數(shù)列 an a1=a, a2

11、=b,且對任意的m+n=p+q的正整數(shù) m,n,p,q,都有 一am an ap aq 當 a=l,b= 4 時,求通項 an(1 an)(1 am) (1 an)(1 aq)255：已知數(shù)列an滿足a1 2,an 2 ,n N*,求通項an.an 16 .已知數(shù)列4滿足a12,a23,an 23an 1 2an(nN*),求數(shù)列an的通項an7 .已知數(shù)列an滿足a11,a22,4an 2 4an1 an5N*),求數(shù)列an的通項an8 .已知數(shù)列an滿足a1 2,an旦(n 2),求數(shù)列an的通項an 2an 119 .已知數(shù)列an滿足a1 2,an1 &(n N*),求數(shù)列an的

12、通項an 4an 6練習謎底1、解：作特征方程x -x2,則x -. a1-".數(shù)列an 1是以-322233為公比的等比數(shù)列.于是時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日時間:O二一年七月二十九日an111 n 1萬(3) ,an3 111 n 1(-),n N.2 232、解：作特征方程x2=4x-4 由特征根方程得=2故設an =( G + C2n) 2n 1,其中3=g+q,6=( g+2c2).2,所以 g =3, C2 =0，則an =3. 2n 13、解：作特征方程x2=2x+3由特征根方程得=3,=-1所以an =G 3n 1 +02 ( 1)n 1

13、其中3= c1 + c2, 6=3 c1 - c2, #01=-4*所以an1Qn 1一.34+l(1)n14、由aman(1 am)(1 an)ap aq得a1 ana2an 1將2,b(15代入上式化簡得1所以aan 12an1 an 1 2an 1 an 1ap)(1aq)(1a1)(1an)an2112(1a2)(1 an i)2an 1an產(chǎn)慮特征方程an 11an 11,所以數(shù)列an 1an 11為首項，公比為1的等比數(shù)列,故 aan 1-(，)n 13 3an3n 13n 15、解：考慮特征方程x 2 1,得特征根 xx 1,所以數(shù)列1an 1是以a1七1為首項，公差為1的等差數(shù)列，6.解：其特征方程為3x 2,解得 x1 1,x2 2,令 an c1 1n 022n,由 d G 2c2 2,得a2 g 4c2 3c21 n 11 ,an1 22時間：二O二一年七月二十九日7.解：其特征方程為cl nq1.4x4x 1，斛華 X1 X2 W，令 an時間：二O二一年七月二十九日al (Cl C2) - 1由2,得， c 、1 ca2 (cl 2c2)24an3n 22n 18 .解：其特征方程為x -,得 2x2 2 0 ,解得 X1 1,X21 ,令2x 1an 1 c an 1由a1 2,得a2 5,可得c 3,數(shù)列冬_是以