計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)值部分第四單元輔導(dǎo)

1、計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)值部分第四單元輔導(dǎo)一、重點(diǎn)內(nèi)容1. 二分法: 設(shè)方程f(x)=0在區(qū)間a,b內(nèi)有根，用二分有根區(qū)間的方法，得到有根區(qū)間序列：a，b É a1，b1 É a2，b2 ÉÉ an，bn É x*»xn= (a0=a,b0=b),n=0,1,2, 有誤差估計(jì)式: ½x*xn½£，n=0,1,2,二分有根區(qū)間次數(shù): 2. 迭代法(1)簡(jiǎn)單迭代法: 若方程f(x)=0表成x=j(x)，于是有迭代格式： xn=j(xn1) （n=1,2,） x*»xn若存在0<l<1,½

2、;j¢(x)½£l (),在區(qū)間a,b內(nèi)任一點(diǎn)x0為初始值進(jìn)行迭代，迭代數(shù)列收斂。校正值 再校正值 改進(jìn)值 (2)快速迭代法: 3. 牛頓法:用切線與x軸的交點(diǎn)，逼近曲線f(x)與x軸的交點(diǎn)。迭代公式為 （n=1，2，） 選初始值x0滿足f(x0)f ²(x0)>0，迭代解數(shù)列一定收斂。4. 弦截法: 用兩點(diǎn)連線與x軸交點(diǎn)逼近曲線f(x)與x軸的交點(diǎn)。迭代公式為 (n=1,2,)二、實(shí)例例1 證明方程1xsinx0在區(qū)間0,1內(nèi)有一個(gè)根，使用二分法求誤差不超過0.5×104的根要迭代多少次？證明 令f(x)1xsinx f(0)=1>

3、;0，f(1)=sin1<0 f(x)=1xsinx=0在0，1有根。又f¢(x)=1cosx>0(xÎ0，1),故f(x)0在區(qū)間0，1內(nèi)有唯一實(shí)根。給定誤差限e0.5×104，有只要取n14。例2 用迭代法求方程x54x20的最小正根。計(jì)算過程保留4位小數(shù)。分析 容易判斷1，2是方程的有根區(qū)間。若建立迭代格式，此時(shí)迭代發(fā)散。建立迭代格式，此時(shí)迭代收斂。解 建立迭代格式 (可任取1，2之間的值)1.431 0 1.505 1 1.516 5 1.518 2 1.5185 取1.5185例3 試建立計(jì)算的牛頓迭代格式，并求的近似值，要求迭代誤差不超過1

4、05分析首先建立迭代格式。確定取幾位小數(shù),求到兩個(gè)近似解之差的絕對(duì)值不超過105。解 令，求x的值。牛頓迭代格式為迭代誤差不超過105，計(jì)算結(jié)果應(yīng)保留小數(shù)點(diǎn)后6位。當(dāng)x=7或8時(shí)，x3=343或512，,取x0=8,有 7.478 0787.439 956 7.4397607.439760于是，取7.439760例4 用弦截法求方程x3x210，在x=1.5附近的根。計(jì)算中保留5位小數(shù)點(diǎn)。分析 先確定有根區(qū)間。再代公式。解 f(x)= x3x21，f(1)=1，f(2)=3，有根區(qū)間取1,2取x1=1, 迭代公式為(n=1,2,) 1.37662 1.48881 1.46348 1.46553

5、取1.46553，f(1.46553)»0.000145例4 選擇填空題1. 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，若滿足 ，則方程f(x)=0在區(qū)間a,b一定有實(shí)根。答案：f(a)f(b)<0解答：因?yàn)閒(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，在兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，由連續(xù)函數(shù)的介值定理，必存在c，使得f(c)=0，故f(x)=0一定有根。2. 用簡(jiǎn)單迭代法求方程f(x)=0的實(shí)根，把方程f(x)=0表成x=j(x),則f(x)=0的根是( )(A)y=x與y=j(x)的交點(diǎn) (B) y=x與y=j(x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo) (C) y=x與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo) (D) y=j(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)答案：

6、(B)解答：把f(x)=0表成x=j(x), 滿足x=j(x)的x是方程的解，它正是y=x與y=j(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。3.為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個(gè)根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不一定收斂的是( )(A) (B) (C) (D) 答案：(A)解答：在(A)中故迭代不一定收斂。在(B)中，故迭代收斂。 在(C)中，故迭代收斂。在(D)中，類似證明，迭代收斂。4牛頓切線法是用曲線f(x)上的 與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐步逼近f(x)0的解；而弦截法是用曲線f(x)上的 與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐步逼近f(x)0的解。答案：點(diǎn)的切線；兩點(diǎn)的連線解答：見它們

7、的公式推導(dǎo)。三、練習(xí)題1. 用二分法求方程f(x)=0在區(qū)間a,b內(nèi)的根xn，已知誤差限e，確定二分的次數(shù)n是使( )(A) ba£e (B) ½f(x)½£e (C)½x*xn½£e (D)½x*xn½£ba2. 設(shè)方程f(x)=x42x=0，在區(qū)間1,2上滿足 ,所以f(x) =0在區(qū)間1,2內(nèi)有根。建立迭代公式=j(x)，因?yàn)?，此迭代公式不一定收斂。 3. 牛頓切線法求解方程f(x)=0的近似根，若初始值x0滿足( )，則解的迭代數(shù)列一定收斂。(A)<0 (B) >0 (C)

8、£0 (D)³04. 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(a)f(b)<0, 當(dāng) 時(shí)，則用弦截法產(chǎn)生的解數(shù)列收斂到方程f(x)=0的根。 5. 用二分法求方程x3x1=0在區(qū)間1.0,1.5內(nèi)的實(shí)根,要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第2位。6. 用簡(jiǎn)單迭代法求方程在區(qū)間1,2上的根，取x0=1.5。并討論以下格式的收斂情況。(1) (2) (3) (4) (5) 7. 有簡(jiǎn)單迭代法求方程xln(x+2)=0的根，要求½xkxk1½<1038. 用牛頓法求方程x33x1=0在初始值x0=1.5附近的正根，要求½xkxk-1½<1039. 試用牛頓切線法導(dǎo)出下列各式的迭代格式：(1) 不使用除法運(yùn)算； (2) 不使用開方和除法運(yùn)算。10. 證明用二分法求方程在區(qū)間0，1上的一個(gè)根，要求有四位有效數(shù)字，則至少要二分有根區(qū)間14次。四、練習(xí)題答案1.(C) 2.; >1 3.(B） 4. f ¢(x)¹0 5. 1.32 6. (1),(2)不收斂。(3) x15 »1.365 223 68