橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(第三屆全國中小學(xué)“教學(xué)中的互聯(lián)網(wǎng)搜索”優(yōu)秀

1、第三屆全國中小學(xué)“教學(xué)中的互聯(lián)網(wǎng)搜索”優(yōu)秀教學(xué)案例評選橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案設(shè)計(jì)學(xué)校:大慶市外事職高姓名:劉明偉第三屆全國中小學(xué)“教學(xué)中的互聯(lián)網(wǎng)搜索”優(yōu)秀教學(xué)案例評選橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案設(shè)計(jì)一、教案背景1.面向?qū)W生:職業(yè)高中高二學(xué)生2.學(xué)科:數(shù)學(xué)3.課時(shí):1課時(shí)4.課前準(zhǔn)備教師:多媒體課件、百度搜索與橢圓有關(guān)的網(wǎng)頁學(xué)生:課前收集橢圓圖片二、教學(xué)課題教學(xué)課題橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程三、教材分析(一教材的地位及作用圓錐曲線是一個(gè)重要的幾何模型,有許多幾何性質(zhì),這些性質(zhì)在日常生活、生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用。同時(shí),圓錐曲線也是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要素材。推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法對雙曲線、拋物線方程的推導(dǎo)具

2、有直接的類比作用,為學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線內(nèi)容提供了基本模式和理論基礎(chǔ)。因此本節(jié)課具有承前啟后的作用,是本章的重點(diǎn)內(nèi)容。(二教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能目標(biāo):(1掌握橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.(2能用橢圓的定義解決一些簡單的問題.2.過程與方法目標(biāo):(1通過橢圓定義的歸納和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認(rèn)識規(guī)律并利用規(guī)律解決實(shí)際問題的能力.(2在橢圓定義的獲得和其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和方法.3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo):(1通過橢圓定義的獲得培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣.(2通過標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生求簡意識并能懂得欣賞數(shù)學(xué)的“簡潔美”.(3通過師生、生生的合作學(xué)習(xí),增強(qiáng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力

3、的培養(yǎng),增強(qiáng)主動與他人合作交流的意識.(三教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1.重點(diǎn):橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程2.難點(diǎn):橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)四、教學(xué)方法(一教法設(shè)計(jì)在教法上,主要采用探究性教學(xué)法和啟發(fā)式教學(xué)法。以啟發(fā)、引導(dǎo)為主,采用設(shè)疑的形式,逐步讓學(xué)生進(jìn)行探究性的學(xué)習(xí)。探究性學(xué)習(xí)就是充分利用了青少年學(xué)生富有創(chuàng)造性和好奇心,敢想敢為,對新事物具有濃厚的興趣的特點(diǎn)。讓學(xué)生根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的要求和題目中的已知條件,自覺主動地創(chuàng)造性地去分析問題、討論問題、解決問題。(二學(xué)法設(shè)計(jì)通過創(chuàng)設(shè)情境,充分調(diào)動學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察猜想證明應(yīng)用”的過程,發(fā)現(xiàn)新的知識,把學(xué)生的潛意識狀態(tài)的好奇心變?yōu)樽杂X求知的創(chuàng)新意識。又通過實(shí)際

4、操作,使剛產(chǎn)生的數(shù)學(xué)知識得到完善,提高了學(xué)生動手動腦的能力和增強(qiáng)了研究探索的綜合素質(zhì)。五、教學(xué)過程(一認(rèn)識橢圓,探求規(guī)律:1.對橢圓的感性認(rèn)識.通過演示課前老師和學(xué)生共同準(zhǔn)備的有關(guān)橢圓的實(shí)物和圖片,讓學(xué)生從感性上認(rèn)識橢圓.百度搜索橢圓圖片橢圓形餐桌:(百度搜索 sn=150油罐車的橫截面的外輪廓線:(百度搜索 3%B5&in=4233&cl=2&lm=-1&pn=6&rn=1&di=39139168680&ln=2000&fr=&fmq=&ic=&s=&se=&sme=0&tab=&

5、amp;width=&height=&face=#pn8太陽系行星的運(yùn)行軌道:意圖:由實(shí)例出發(fā),引入課題,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,了解生活中的橢圓是普遍存在,說 明研究橢圓的必要性。2.通過動畫設(shè)計(jì),展示橢圓的形成過程,使學(xué)生認(rèn)識到橢圓是點(diǎn)按一定“規(guī) 律”運(yùn)動的軌跡.點(diǎn)B 是線段AC 上一動點(diǎn),分別以21,F F 為圓心,|AB 與|BC 為半徑做圓,觀察兩圓交點(diǎn)N M ,的軌跡. 請同學(xué)們思考: (1在運(yùn)動中,哪些量是不變的,哪些量是變化的?(2能不能把不變的量用數(shù)學(xué)表達(dá)式表達(dá)出來?(3點(diǎn)N M ,(橢圓上的點(diǎn)是以怎樣的規(guī)律進(jìn)行運(yùn)動的?(4用這個(gè)規(guī)律能不能畫出一個(gè)橢圓? (二動手實(shí)驗(yàn),

6、親身體會用上面所總結(jié)的規(guī)律,指導(dǎo)學(xué)生互相合作(主要在于動手,體驗(yàn)畫橢圓的過程(課前準(zhǔn)備直尺、細(xì)繩、釘子、筆、紙板,并以此了解橢圓上的點(diǎn)的特征.請兩名同學(xué)上臺畫在黑板上.在本環(huán)節(jié)中并不是急于向?qū)W生交待橢圓的定義,而是設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn),一來是為了給學(xué)生一個(gè)創(chuàng)造實(shí)驗(yàn)的機(jī)會,讓學(xué)生體會橢圓上點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律;二是通過實(shí)踐,為進(jìn)一步上升到理論做準(zhǔn)備.(三歸納定義,完善定義我們通過動畫演示,實(shí)踐操作,對橢圓有了一定的認(rèn)識,下面由同學(xué)們歸納橢圓的定義(學(xué)生分組討論.A CB橢圓定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)21,F F 的距離的和等于常數(shù)(大于|21F F =2c 的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓在歸納橢圓定義的過程中,教師根據(jù)學(xué)生回答

7、的情況,不斷引導(dǎo)他們逐步加深理解并完善橢圓的定義,在引導(dǎo)中突出體現(xiàn)“和”,“常數(shù)”及“常數(shù)”的范圍等關(guān)鍵詞與相應(yīng)的特征.如:總結(jié)動畫演示中兩圓半徑之和|21AB MF MF =+(常數(shù)得到橢圓上點(diǎn)M 到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù).通過課件分別演示當(dāng)兩定點(diǎn)間距離等于線段|AB 長度時(shí)的軌跡(為一條線段和當(dāng)兩定點(diǎn)距離大于線段|AB 長度時(shí)的軌跡(不存在,由學(xué)生完善橢圓定義中常數(shù)范圍.A C B教師指出:兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.(四合理建系,推導(dǎo)方程由學(xué)生自主提出建立坐標(biāo)系的不同方法,教師根據(jù)學(xué)生提出的“建系”方式,把學(xué)生分成若干組,分別按不同的建系的方法推導(dǎo)方程,進(jìn)行比較,從中

8、選擇比較簡潔優(yōu)美的形式確定為標(biāo)準(zhǔn)方程.已知橢圓的焦距0(,2|21>=c c F F ,橢圓上的動點(diǎn)M 到兩定點(diǎn)1F ,2F 的距離之和為a 2,求橢圓的方程.(1以兩個(gè)定點(diǎn)1F ,2F 所在直線為x 軸,線段1F 2F 的垂直平分線為y 軸,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)0(221>=c c F F ,點(diǎn),(y x M 為橢圓上任意一點(diǎn),則a MF MF M P 221=+=(稱此式為幾何條件,所以得 化簡，得 ( x c 2 + y 2 + ( x + c 2 + y 2 = 2a （實(shí)現(xiàn)集合條件代數(shù)化） ， (a 2 c 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2

9、注：這是本節(jié)的難點(diǎn)所在，通過課堂精心設(shè)問來突破難點(diǎn)：化簡含有根號的式子時(shí)， 我們通常有什么方法？對于本式是直接平方好呢還是恰當(dāng)整理后再平方？學(xué)生通過 實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)對于這個(gè)方程，直接平方不利于化簡，而整理后再平方，最后能得到圓滿的 結(jié)果. （2）以線段 F1 F2 中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， F1 F2 所在直線為 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系， 所得橢圓方程為： a x + ( a c y = a (a c 2 2 2 2 2 2 2 2 相比之下，其它的建系方式不夠簡潔. 運(yùn)運(yùn) 點(diǎn) 同學(xué)們觀察右圖，當(dāng) B 運(yùn)動到線段 AC 中點(diǎn)時(shí)， 兩圓半徑相等，即 | MF1 |=| MF2 |= a ，因 | OF1

10、|= c ， 則 a 2 c 2 =| MO | 2 ，不妨令 a 2 c 2 = b 2 ，那么（1） （2）所得的橢圓方程可化為： x2 y2 + = 1 ， ( a > b > 0 a2 b2 y2 x2 + = 1 ， ( a > b > 0 a2 b2 A B M C F1 O N F2 （1） （2） （在這里教師指出：我們剛才只是從“曲線的方程”的角度推導(dǎo)出了符合定義的點(diǎn)的坐 標(biāo)滿足的方程，我們還需要從“方程的曲線”的角度來說明以方程(1(2的解為坐標(biāo)的 點(diǎn)都在曲線（橢圓）上，這個(gè)問題留給學(xué)生課后完成.） ） 我們稱（1） （2）為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 對標(biāo)準(zhǔn)

11、方程的理解： 1.所謂橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一定指的是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)； x2 y2 y2 x2 2在 2 + 2 = 1 與 2 + 2 = 1 這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有 a > b > 0 的要求，也就是 a b a b 說，焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，哪個(gè)對應(yīng)的分式的分母就較大. （五）應(yīng)用舉例，小結(jié)升華. 應(yīng)用舉例，小結(jié)升華 1.用定義判斷下列動點(diǎn) M 的軌跡是否為橢圓. 例 1. (1平面內(nèi)，到 F1 (2,0, F2 (2,0 的距離之和為 6 的點(diǎn)的軌跡.（是） (2平面內(nèi)，到 F1 (0,2, F2 (0,2 的距離之和為 4 的點(diǎn)的軌跡.（不是） (3平面內(nèi)，到

12、 F1 (2,0, F2 (2,0 的距離之和為 3 的點(diǎn)的軌跡.（不是） x2 y2 + = 1 表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓，則 a 的取值范圍為： (3,+ a 3 x2 y2 + = 1 ，則兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為： ( 7 ,0, ( 7 ,0 16 9 2.方程 例 2. 例 3.已知橢圓方程為 3. （六）當(dāng)堂檢測，提高能力 當(dāng)堂檢測， 1.求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)： （1） x2 y 2 + =1 ； （2） 16 x 2 + 7 y 2 = 112 . 9 4 2.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： （1） a = 4, b = 3, 焦點(diǎn)在 x 軸上； （2） b = 1, c = 15 ，

13、焦 （3）兩個(gè)焦點(diǎn)分別是 F1 ( 2, 0, F2 (2, 0, 且過點(diǎn) P ( , . 點(diǎn)在 y 軸上； 5 2 3 2 3.如果方程 x 2 y2 + = 1 表示焦點(diǎn)在 x 軸的橢圓，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 4 m 4.橢圓 x2 y2 + = 1 ，過焦點(diǎn) F1 的直線交橢圓于 A，B 兩點(diǎn)，則 ABF2 的周長為 16 9 . 5.P 為橢圓 . x2 y2 + = 1 上一點(diǎn)，P 到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為 4，則 P 到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離 25 16 為 小結(jié)： 由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)到的知識和思想方法. 1知識總結(jié)：橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程 2思想方法總結(jié)： 教師根據(jù)學(xué)生的總結(jié)做適當(dāng)補(bǔ)充、歸納、點(diǎn)評。 （七）板書設(shè)計(jì)（略） 板書設(shè)計(jì) 六、教學(xué)反思 橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法，是圓錐曲線一章的基礎(chǔ)，從學(xué)生的課堂表現(xiàn)看， 兩個(gè)問題需要注意：一是橢圓定義中的關(guān)鍵點(diǎn)： 2a > 2c 的條件學(xué)生容易忽略，需利用 問題加