八年級等腰三角形培優(yōu)競賽課件[1]

1、 若按邊（角）是否相等分類，則兩邊（角）相等的三若按邊（角）是否相等分類，則兩邊（角）相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形是一類特殊的三角形，它角形是等腰三角形。等腰三角形是一類特殊的三角形，它的兩底角相等；等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的高、的兩底角相等；等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的高、中線、頂角的平分線互相重合（簡稱三線合一），特別地，中線、頂角的平分線互相重合（簡稱三線合一），特別地，等邊三角形的各邊相等，各角都為等邊三角形的各邊相等，各角都為6060度。度。 解與等腰三角形相關(guān)的問題，全等三角形依然是重要解與等腰三角形相關(guān)的問題，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考運用等腰三

2、角形的特殊性質(zhì)，這的工具，但更多的是思考運用等腰三角形的特殊性質(zhì)，這些性質(zhì)為角度的計算、線段相等的證明、直線位置關(guān)系的些性質(zhì)為角度的計算、線段相等的證明、直線位置關(guān)系的證明等問題提供了新的理論依據(jù)，因此，重視全等三角形證明等問題提供了新的理論依據(jù)，因此，重視全等三角形的運用，又不囿于全等三角形，善于運用等腰三角形的性的運用，又不囿于全等三角形，善于運用等腰三角形的性質(zhì)探求新的解題途徑。質(zhì)探求新的解題途徑。1、等腰三角形兩個內(nèi)角的度數(shù)之比為、等腰三角形兩個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2，這個等腰，這個等腰三角形底角的度數(shù)為三角形底角的度數(shù)為 。2、已知等腰三角形、已知等腰三角形ABC的三邊長的三邊長a、

3、b、c均為整數(shù)，均為整數(shù)，且滿足且滿足a+bc+b+ca=24,則這樣的三角形共有則這樣的三角形共有 個。個。72度或45度。a+bc+b+ca=24,a+bc+b+ca=24, a a、b b、c c均為整數(shù)均為整數(shù), ,（a+b)(c+1)=24 a+b)(c+1)=24 =2=212=312=38=48=46,6,故可以得到以下幾種可能性：故可以得到以下幾種可能性：1 1、a+b=2,c+1=12,a=b=1,c=11,a+b=2,c+1=12,a=b=1,c=11,三角形不能組成；三角形不能組成；2 2、 a+b=12,c+1=2,a=b=6,c=1, a+b=12,c+1=2,a=b

4、=6,c=1,三角形能組成；三角形能組成；3 3、 a+b=8,c+1=3,a=b=4,c=2, a+b=8,c+1=3,a=b=4,c=2,三角形能組成；三角形能組成；4 4、a+b=3,c+1=8,a=b=1.5,c=7,a+b=3,c+1=8,a=b=1.5,c=7,三角形不能組成；三角形不能組成；5 5、a+b=4,c+1=6,a=b=2,c=5,a+b=4,c+1=6,a=b=2,c=5,三角形不能組成；三角形不能組成；6 6、a+b=6,c+1=4,a=b=3,c=3,a+b=6,c+1=4,a=b=3,c=3,三角形能組成；三角形能組成；33、已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為

5、、已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1：4，則，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為這個等腰三角形的頂角度數(shù)為 度。度。4、一個等腰三角形的一個外角等于、一個等腰三角形的一個外角等于110度，則這個三度，則這個三角形的頂角為角形的頂角為 度。度。5、等腰三角形一腰上的中線把這個等腰三角形的周長、等腰三角形一腰上的中線把這個等腰三角形的周長分成分成12cm和和21cm兩部分，則這個等腰三角形底邊長兩部分，則這個等腰三角形底邊長為為 cm.6、如圖，在、如圖，在ABC中，點中，點D是是BC邊上一點，邊上一點，BAD=80，AB=AD=DC，則，則C= 度。度。20或12070或405cm257、如圖，在

6、、如圖，在ABC中，中，ADBC于于D，BEAC于于E，AD與與BE相交于點相交于點F，若，若BF=AC，則，則ABC的大小是的大小是 度。度。8、如圖，在、如圖，在ABC中，中，AB=AC，AD=AE， BAD=60，則，則EDC的度數(shù)為的度數(shù)為 度。度。9、如圖，、如圖，AM、BN分別是分別是EAB、 DBC的平分線，的平分線，若若AM=BN=AB，則，則BAC的度數(shù)為的度數(shù)為 度。度。453012設(shè)設(shè)EDC=x, B=C=y,EDC=x, B=C=y,則則AED=ADE=x+y, AED=ADE=x+y, ADC=2x+y=60+y,2x=60,x=30ADC=2x+y=60+y,2x=

7、60,x=30設(shè)設(shè)BAC=x, N=x, NBD=2x,BNBAC=x, N=x, NBD=2x,BN平分平分DBC, DBC, DBC=4x=ABM,AB=AM, DBC=4x=ABM,AB=AM, M=4x,AMM=4x,AM平分平分EAB, MAB=90-EAB, MAB=90-0.5x,4x+4x+90-0.5x=180,x=120.5x,4x+4x+90-0.5x=180,x=1210、如圖，在、如圖，在ABC中，中，AB=BC，在，在BC上取點上取點M，在在MC上取點上取點N，使，使MN=NA，若，若BAM=NAC，則，則MAC= 度。度。11、如圖，在四邊形、如圖，在四邊形ABC

8、D中，中，AC平分平分BAD，過，過C作作CEAB于于E，并且，并且AE=0.5（AB+AD），則），則 ABC+ADC的度數(shù)是的度數(shù)是 度。度。設(shè)設(shè)BAM=CAN= x, C=y,BAM=CAN= x, C=y,則則B=180-2y, B=180-2y, AMN=180+x-2y, ANM=x+y,MN=NA, AMN=180+x-2y, ANM=x+y,MN=NA, MAN=AMN=180+x-2y, MAN=AMN=180+x-2y, MAN+AMN+ANM=180MAN+AMN+ANM=180360+2x-4y+x+y=180,y-x=60, 360+2x-4y+x+y=180,y-x

9、=60, MAC=MAN+NAC=180+2x-2y=180-120=60MAC=MAN+NAC=180+2x-2y=180-120=6060延長延長ADAD，過，過C C作作CFCF垂直垂直ADAD的延長線于的延長線于F F，AFCAFCAECAEC，CF=CECF=CE，AF=AEAF=AE，AE=0.5(AB+AD),2AE=AE+EB+AD,AE=AD+EB=AAE=0.5(AB+AD),2AE=AE+EB+AD,AE=AD+EB=AF=AD+DF,EB=DF,F=AD+DF,EB=DF,CDFCDFCBECBE，B=FDC, B=FDC, ABC+ADC=180ABC+ADC=180

10、1801、如圖，在、如圖，在ABC中，中，ACB=90，AC=AE，BC=BF，則，則ECF=（ ）。）。A、60 B、45 C、30 D、不確定、不確定2、如圖，在、如圖，在ABC中，中，AB=AC，D為為BC上一點，上一點，BF=CD，CE=BD，那么，那么EDF等于（等于（ ）。）。A、90 -0.5 A B、90 - A C、180 - A D、 45 -0.5 A設(shè)設(shè)B=x, A=90-x, B=x, A=90-x, BCF=90-0.5x, BCF=90-0.5x, ACE=45+0.5x, ACE=45+0.5x, ECF=ACE+BECF=ACE+BCF-ACB=45CF-AC

11、B=45BBDFBDFBDE,BDE,則則EDF= B=90-EDF= B=90-0.5 A0.5 AA3、如圖，在、如圖，在ABC中，中，BAC=120，ADBC于于D，且且AB+BD=DC，則，則C的大小是（的大小是（ ）A、20 B、25 C、30 D、45 4、如圖，在等腰直角、如圖，在等腰直角ABC中，中，AD為斜邊上的高，以為斜邊上的高，以D為端點任作兩條相互垂直的射線與兩腰相交于為端點任作兩條相互垂直的射線與兩腰相交于E，連結(jié)，連結(jié)EF與與AD相交于相交于G，則，則AED與與AGF的關(guān)系為（的關(guān)系為（ ）A、 AED AGF B、 AED=AGFC、 AED CE,所以所以BGC

12、E。3、如圖，、如圖，AE、AD是直線且是直線且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，若若DAE=x,求求x的值的值A(chǔ)=x, CBD=FGE=2xECD=EFD=3x,AED=ADE=3xx+3x+3x=180 x=180/74、如圖，、如圖，ABC是邊長為是邊長為1的等邊的等邊三角形，三角形，BDC是頂角是頂角BDC=120度的等腰三角形，以度的等腰三角形，以D為頂點作一個為頂點作一個60度角，角的兩邊分別交度角，角的兩邊分別交AB于于M，交交AC于于N，連結(jié)，連結(jié)MN，形成一個三角，形成一個三角形，求證：形，求證： AMN的周長等于的周長等于2。延長AC使CE=BM，連結(jié)DE。CDE=

13、MDB，BDC=120，MDN=60BDM+NDC=60，NDE=NDC+CDE=60MDN EDN，MN=NEAM+AN+MN=AM+AM+NE=AM+CE+AN+NC=AB+AC=25、如圖，已知等腰、如圖，已知等腰ABC中，中，AB=AC，P、Q分別為分別為AC、AB上的點，且上的點，且AP=PQ=QB=BC，求，求PCQ的度數(shù)。的度數(shù)。在PC上取點D使QP=QD。A=x,AP=PQQPD=QDP=A+AQP=2xBQD=A+ADP=3x,BQ=QD QBD=90-1.5xBDC=A+ABD=90-0.5xA=x,AB=ACACB=90-0.5x, ACB=BDCBD=BC=BQ=QD,

14、 BDQ為等邊三角形為等邊三角形QBD=90-1.5x=60，x=20, ACB= ABC=80,BCQ=50, PCQ=30 由于等腰三角形有豐富的性質(zhì)，這些性質(zhì)為我們解幾由于等腰三角形有豐富的性質(zhì)，這些性質(zhì)為我們解幾何題提供了新的理論依據(jù)，所以尋找發(fā)現(xiàn)等腰三角形是解何題提供了新的理論依據(jù)，所以尋找發(fā)現(xiàn)等腰三角形是解一些幾何題的關(guān)鍵，判定一個三角形為等腰三角形的基本一些幾何題的關(guān)鍵，判定一個三角形為等腰三角形的基本方法是，從定義入手，證明一個三角形的兩條邊相等；從方法是，從定義入手，證明一個三角形的兩條邊相等；從角入手，證明一個三角形的兩個角相等。角入手，證明一個三角形的兩個角相等。 實際解

15、題中的一個常用技巧是，構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)實際解題中的一個常用技巧是，構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)為解題服務(wù)，常用的構(gòu)造方法有：而利用等腰三角形的性質(zhì)為解題服務(wù)，常用的構(gòu)造方法有： 1 1、“角平分線角平分線+ +平行線平行線”構(gòu)造等腰三角形；構(gòu)造等腰三角形； 2 2、“角平分線角平分線+ +垂線垂線”構(gòu)造等腰三角形；構(gòu)造等腰三角形； 3 3、用、用“垂直平分線垂直平分線”構(gòu)造等腰三角形；構(gòu)造等腰三角形； 4 4、用、用“三角形中角的三角形中角的2 2倍關(guān)系倍關(guān)系”構(gòu)造等腰三角形。構(gòu)造等腰三角形。1、如圖，在、如圖，在ABC中，中，AB=7，AC=11，點，點M是是BC的中點，的中點

16、，AD是是BAC的平分線，的平分線，MFAD，則則FC的長為的長為 。分析：用分析：用“角平分線角平分線+平行線平行線”構(gòu)造等腰三角形構(gòu)造等腰三角形AEF和等腰和等腰三角形三角形BPE，則，則AE=AF=11-x,BP=x=BE=11-x+7,x=992、如圖，、如圖，ABC=50，AD垂直垂直平分線段平分線段BC于點于點D，ABC的角平的角平分線分線BE交交AD于點于點E，連結(jié)，連結(jié)EC，則，則AEC的度數(shù)是的度數(shù)是 。3、如圖，、如圖，ABC中，中，AB=AC， B=36 ，D、E是是BC上兩點，使上兩點，使 ADE=AED=2 BAD，則圖中，則圖中等腰三角形共有等腰三角形共有 個。個。

17、4、如圖，、如圖， ABC中，中，AD平分平分BAC，AB+BD=AC，則，則 B：C的值的值 。11562：12是用“垂直平分線”構(gòu)造等腰三角形，4利用“三角形中角的2倍關(guān)系。5、已知等腰、已知等腰ABC中，中，AB=AC，D為為BC邊上一點，連接邊上一點，連接AD，若，若ACD和和ABD都是等腰三角形，都是等腰三角形，則則C的度數(shù)是的度數(shù)是 。6、在一個房間內(nèi)，有一個梯子斜、在一個房間內(nèi)，有一個梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離距離MA為為a米，此時梯子的傾斜角米，此時梯子的傾斜角為為75度，如果梯子底端不動，頂端度，如果梯子底端不動，頂端靠在對面墻上，

18、此時梯子頂端距離靠在對面墻上，此時梯子頂端距離NB為為b米，梯子的傾斜角為米，梯子的傾斜角為45度，度，則這間房子的寬則這間房子的寬AB是是 。45或或36度度a米米7、如圖，四邊形、如圖，四邊形ABDC中，中，EDC是是由由ABC繞頂點繞頂點C旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)40度所得，頂度所得，頂點點A恰好轉(zhuǎn)到恰好轉(zhuǎn)到AB上一點上一點E的位置，則的位置，則1+2= 。8、一個等腰三角形的一條高等于腰長、一個等腰三角形的一條高等于腰長的一半，則這個等腰三角形的底角度的一半，則這個等腰三角形的底角度為為 。9、有一個等腰三角形紙片，若能從一、有一個等腰三角形紙片，若能從一個底角的頂點出發(fā)，將其剪成兩個等個底角的頂點出

19、發(fā)，將其剪成兩個等腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片腰三角形紙片，則原等腰三角形紙片的頂角為的頂角為 度。度。11015或或30 或或75 36 或或180/7 1、如圖，已知、如圖，已知RtABC中，中，ACB=90，BAC=30，在直線，在直線BC或或AC上取一點，上取一點，使得使得PAB是等腰三角形，則符合條件是等腰三角形，則符合條件的的P點有（點有（ ）個。）個。A、2 B、4C、6 D、8C2、如圖，在、如圖，在ABC中，中，BAC=106度，度，EF、MN分別分別是是AB、AC的中垂線，的中垂線，E、M在在BC上，則上，則EAM等于等于（ ）度。）度。A、58 B、32 C、36 D

20、、34B3、如圖，在、如圖，在ABC中，中，B=2 C，則，則AC與與2AB之之間的關(guān)系是（間的關(guān)系是（ ）。）。A、AC2AB B、AC=2AB C、AC2AB D、AC2ABD4、在下列三角形中，若、在下列三角形中，若AB=AC，則能被一條直線分成，則能被一條直線分成兩個小等腰三角形的是（兩個小等腰三角形的是（ ）。）。A、1.2.3 B、1.2.4 C、2.3.4 D、1.3.4D5、在等邊三角形、在等邊三角形ABC所在的平面內(nèi)求一個點所在的平面內(nèi)求一個點P，使，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，具有這樣都是等腰三角形，具有這樣性質(zhì)的點性質(zhì)的點P有（有（ ）個。）個。A、1 B、4

21、 C、7 D、10D6、已知、已知ABC的三邊的長分別為的三邊的長分別為a、b、c，且，且a/b+a/c=(b+c)/(b+c-a),則則ABC一定是（一定是（ ）。）。A、等邊三角形、等邊三角形B、腰長為、腰長為a的等腰三角形的等腰三角形C、底邊長為、底邊長為a的等腰三角形的等腰三角形D、等腰直角三角形、等腰直角三角形B（ac+ab)/bc=(b+c)/(b+c-a)a/bc=1/(b+c-a)Bc=ab+ac-a2(a-b)a+c(b-a)=0(a-c)(a-b)=0a=c或或a=b1、如圖，、如圖， ABC中，中，ADBC于于D，B=2C，求證：，求證：AB+BD=CD證明：延長證明：延

22、長CB至至E，使，使AB=BE，連結(jié)連結(jié)AE AB=BE E= EAB ABC= E+EAB=2 EABC=2C C= EAC=AE AD BCCD=DE=DB+BE AB+BD=CD2、兩個全等的含、兩個全等的含30度、度、60度角的三角板度角的三角板ADE和三角和三角板板ABC，如圖所示放置，如圖所示放置，E、A、C三點在一條直線上，三點在一條直線上，邊結(jié)邊結(jié)BD，取，取BD的中點的中點M，連結(jié)，連結(jié)ME、MC，試判斷，試判斷EMC的形狀，并說明理由。的形狀，并說明理由。連結(jié)連結(jié)MAADE ABC可得可得ABD是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，再證再證MDE MAC可得可得EMC是等腰直角三角形是等腰直角三角形3、如圖，已知在、如圖，已知在ABC中，中，AD是是BC邊上的中線，邊上的中線，E是是AD上一點，且上一點，且BE=AC，延長，延長BE交交AC于于F，