二重積分的計(jì)算法ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法1 11、假如積分區(qū)域?yàn)?、假如積分區(qū)域?yàn)镈：, bxa ).()(21xyx X型型 特點(diǎn)：特點(diǎn)： 穿過區(qū)域且平行穿過區(qū)域且平行于于y軸的直線與區(qū)軸的直線與區(qū)域邊境相交不多于域邊境相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn).)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分為曲頂?shù)闹w的體積為曲頂?shù)闹w的體積為底

2、，以曲面為底，以曲面的值等于以的值等于以),(),(yxfzDdyxfD 應(yīng)用計(jì)算應(yīng)用計(jì)算“平行截面平行截面面積為知的立體求面積為知的立體求體積的方法體積的方法,a0 xbzyx)(2xy)(1xy),( yxfz)(0 xA得得.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 例例1 計(jì)算計(jì)算 Ddxdyxy2D2,xyxy 102xxyx解一解一D：X 型型21220136011()340 xDxxy dxdydxxy dyx xxdxD2、假如積分區(qū)域?yàn)椋?、假如積分區(qū)域?yàn)椋篋,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D.)

3、,(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x x軸的直線與區(qū)域邊境相交不多于兩個(gè)交軸的直線與區(qū)域邊境相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)點(diǎn). .例例1 計(jì)算計(jì)算 Ddxdyxy2D2,xyxy 102xxyx解一解一D：X 型型 10631022401)(312dxxxxdyydxdxdyxyDxxDD解二解二D 10yyxyY型型 1022102401)(21dyyyydxxydyIyy3、假設(shè)區(qū)域如圖，、假設(shè)區(qū)域如圖，那么必需分割那么必需分割.在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式使用積分公式.321 D

4、DDD3D2D1D注意注意二重積分化二次積分的步驟二重積分化二次積分的步驟畫積分區(qū)域圖；畫積分區(qū)域圖；選擇積分次序，寫出不等式組；選擇積分次序，寫出不等式組；將二重積分化為二次積分。將二重積分化為二次積分。二次積分中積分的上限不小于下限。二次積分中積分的上限不小于下限。假設(shè)是假設(shè)是X型，就先型，就先 y 后后 x 假設(shè)是假設(shè)是Y型，就先型，就先 x 后后 y ，注意內(nèi)層積分限是外層積分變量的函數(shù)，外層注意內(nèi)層積分限是外層積分變量的函數(shù)，外層積分限是常數(shù)。積分限是常數(shù)。 bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd假設(shè)D為 X 型區(qū)域 那么)(1xy

5、)(2xyxboyDax假設(shè)D為Y 型區(qū)域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(那么解解兩兩 曲曲 線線 的的 交交 點(diǎn)點(diǎn)),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy2xy 2yx Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 分析：此類題可先由所給積分畫出積分區(qū)域分析：此類題可先由所給積分畫出積分區(qū)域圖，寫出交換次序后的不等式組，最后寫出圖，寫出交換次序后的不等式組，最后寫出新的二次積分。新的二次積分。解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖xy 1原原式式 y

6、dxyxfdy1010),(. 分析：略分析：略解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖xy 222xxy 練習(xí)練習(xí) 交換以下積分順序交換以下積分順序22802222020d ),(dd ),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD將:D視為視為Y型區(qū)域型區(qū)域 , 那么那么282yxy20 yDyxyxfIdd),(20dy例例4 計(jì)算計(jì)算 DxyyxyDdxdyxy1, 2,:,22解解D 211yyxyY型型I = 21122yydxxydy 213249)(d

7、yyyy 假設(shè)先假設(shè)先 y 后后 x 由于由于D的下邊境曲線在的下邊境曲線在 x 的不同范的不同范圍內(nèi)有不同的表達(dá)式，圍內(nèi)有不同的表達(dá)式， 須分片積分，計(jì)算較費(fèi)事。須分片積分，計(jì)算較費(fèi)事。 由以上例由以上例3、例、例4可見，為了使二重積分的計(jì)算可見，為了使二重積分的計(jì)算較為方便，終究選用哪一種積分次序主要由積分區(qū)較為方便，終究選用哪一種積分次序主要由積分區(qū)域的特點(diǎn)來確定，在積分區(qū)域的表達(dá)式中選取比較域的特點(diǎn)來確定，在積分區(qū)域的表達(dá)式中選取比較簡單的一組，從而確定相應(yīng)的公式，同時(shí)還要兼顧簡單的一組，從而確定相應(yīng)的公式，同時(shí)還要兼顧被積函數(shù)的特點(diǎn)，看被積函數(shù)對哪一個(gè)變量較容易被積函數(shù)的特點(diǎn)，看被積

8、函數(shù)對哪一個(gè)變量較容易積分積分(如下例，總之要兼顧積分區(qū)域和被積函數(shù)如下例，總之要兼顧積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)。的特點(diǎn)。 例例5 計(jì)算計(jì)算 DxyxyyxxDdxdyye1, 2, 2, 1:,解解D是是X型區(qū)域型區(qū)域 2121xxydyyedxI要分部積分，不易計(jì)算要分部積分，不易計(jì)算假設(shè)先假設(shè)先 x 后后 y 那么須分片那么須分片 21211021dxyedydxyedyIxyyxyD易見雖然須分片積分，但由于被積函易見雖然須分片積分，但由于被積函 數(shù)的特點(diǎn)，積分相對而言也較方便。數(shù)的特點(diǎn)，積分相對而言也較方便。解解 dyey2無無法法用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示 積積分分時(shí)時(shí)必必須須考考

9、慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 解解 dxexy不不能能用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI22112xy xy 121)(dxeexx.2183ee 例例8 計(jì)算計(jì)算 DxyxyDdxdyxxy2,:,1) 1sin(2解解根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn)根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn)14-12應(yīng)先對應(yīng)先對 x 后對后對 y 積分積分dxxxydyIyy 21221) 1sin(但由于但由于 1) 1sin( xx對對 x 的積分求不出，無法計(jì)算，的積分求不出，無法計(jì)算，須

10、改變積分次序。須改變積分次序。先先 x 后后 y 有有dyxxydxxx 4121) 1sin(dxxxxx1)1sin()2(210241 dxxxxx 4121)1sin()45(21 41)1sin()4(21dxxx)3sin3(21 dyxxydxIxx 101) 1sin(奇函數(shù)奇函數(shù) 化二重積分為累次積分時(shí)選擇積分次序的化二重積分為累次積分時(shí)選擇積分次序的重要性，有些題目兩種積分次序在計(jì)算上難易水重要性，有些題目兩種積分次序在計(jì)算上難易水平差別不大，有些題目在計(jì)算上差別很大，甚至平差別不大，有些題目在計(jì)算上差別很大，甚至有些題目對一種次序能積出來，而對另一種次序有些題目對一種次序能積出來，而對另一種次序卻積不出來卻積不出來 另外交換累次積分的次序：先由累次積分另外交換累次積分的次序：先由累次積分找出二重積分的積分區(qū)域，畫出積分區(qū)域，交找出二重積分的積分區(qū)域，畫出積分區(qū)域，交換積分次序，寫出另一種次序下的累次積分。換積分次序，寫出另一種次序下的累次積分。以上各例說明以上各例說明二、小結(jié)二、小結(jié)二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公