三角形四心的向量性質(zhì)練習(xí)

1、 三角形“四心”的向量一、三角形的重心的向量表示及應(yīng)用命題一已知是不共線的三點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，若則是的重心證明：如圖1所示，因?yàn)椋?以，為鄰邊作平行四邊形，則有，所以又因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃?，交于點(diǎn)，所以，所以是的邊的中線故是的重心點(diǎn)評：解此題要聯(lián)系重心的定義和向量加法的意義；把平面幾何知識和向量知識結(jié)合起來解決問題是解此類問題的常用方法例1如圖2所示，的重心為為坐標(biāo)原點(diǎn)，試用表示解：設(shè)交于點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，圖2而變式：已知分別為的邊的中點(diǎn)則證明：如圖的所示， 圖3變式引申：如圖4，平行四邊形的中心為，為該平面上任意一點(diǎn)，則證明：，點(diǎn)評：（1）證法運(yùn)用了向量加法的三角形法則，證法2運(yùn)用了向量加法的平

2、行四邊形法則（2）若與重合，則上式變?yōu)? 例2. 已知是平面內(nèi)一點(diǎn)，是平面上不共線的三點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡一定通過的A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 內(nèi)心題2：已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足, . 則P點(diǎn)的軌跡一定通過ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則根據(jù)平行四邊形法則知點(diǎn)P在BC的中線AD所在的射線上，故P的軌跡過ABC的重心，選C.題3：已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足, 則動點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D

3、. 內(nèi)心解：由已知得，由正弦定理知，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則由平行四邊形法則可知點(diǎn)P在BC的中線AD所在的射線上，所以動點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的重心，故選A .題7：已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為ABC的外心，動點(diǎn)P滿足，則P的軌跡一定通過ABC的( )A. 內(nèi)心 B. 垂心 C. 重心 D. AB邊的中點(diǎn)解：= =,由平行四邊形法則知必過AB邊的中點(diǎn)，注意到，所以P的軌跡在AB邊的中線上，但不與重心重合，故選D.題8：已知O是ABC所在平面上的一點(diǎn)，若= 0, 則O點(diǎn)是ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心解：若= 0, 則，以、為鄰邊作平行四邊形OAC1B，設(shè)

4、OC1與AB交于點(diǎn)D，則D為AB的中點(diǎn)，有，得，即C、O、D、C1四點(diǎn)共線，同理AE、BF亦為ABC的中線，所以O(shè)是ABC的重心. 選C .題9：已知O是ABC所在平面上的一點(diǎn)，若(其中P為平面上任意一點(diǎn)), 則O點(diǎn)是ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得，即= 0，由上題的結(jié)論知O點(diǎn)是ABC的重心. 故選C .例4. 證明：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它到對邊中點(diǎn)的距離的兩倍。 A B C E F D G證：設(shè)= b，= a，則=+= b+a, =A, G, D共線，B, G, E共線可設(shè)=，= ,則=(b+a)=b+a,= = (b+a)=b+a, 即：b

5、+ (b+a) =b+a(-)a + (-+)b = 0 a, b不平行，即：AG = 2GD 同理可化：AG = 2GD , CG = 2GF二、三角形的外心的向量表示及應(yīng)用命題二：已知是內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)為ABC的外心。例2 已知G、M分別為不等邊ABC的重心與外心，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（1，0），且，（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；（2）若直線過點(diǎn)（0，1），并與曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且滿足，求直線的方程。解 （1）設(shè)C（x,y），則G（）， 其中， 由于， 故，外心M（0，），得軌跡E的方程是 題5：已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足, , 則

6、動點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 內(nèi)心解：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則，則由已知得，= 0 . DPBC，P點(diǎn)在BC的垂直平分線上，故動點(diǎn)P的軌跡通過ABC的外心. 選C .題12：已知O是ABC所在平面上的一點(diǎn)，若= 0，則O點(diǎn)是ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得：= 0= 0. 所以O(shè)點(diǎn)是ABC的外心. 選A .三、三角形的垂心的向量表示及應(yīng)用命題三：已知是內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)G為垂心。（2005全國文12）證明:由. 即則所以P為的垂心. 點(diǎn)評：本題將平面向量有關(guān)運(yùn)算、“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定

7、義等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。變式：若H為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則點(diǎn)H是ABC的垂心BCHA圖6證明: 0即0同理，故H是ABC的垂心例4. 如圖，AD、BE、CF是ABC的三條高，ABCDEFH求證：AD、BE、CF相交于一點(diǎn)。證：設(shè)BE、CF交于一點(diǎn)H，= a, = b, = h,則= h - a , = h - b , = b - a , 又點(diǎn)D在AH的延長線上，AD、BE、CF相交于一點(diǎn)題4：已知O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足, 則動點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 內(nèi)心解：由已知得，= 0，即APBC，所以動點(diǎn)P的軌

8、跡通過ABC的垂心，選B.題10：已知O是ABC所在平面上的一點(diǎn)，若，則O點(diǎn)是ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心解：由，則，即，得，所以. 同理可證，. O是ABC的垂心. 選D.題11：已知O為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足=，則O點(diǎn)是ABC的( )A. 垂心 B. 重心 C. 內(nèi)心 D. 外心解：由已知得= 0= 0，. 同理，. 故選A .四、三角形的內(nèi)心的向量表示及應(yīng)用 命題四：O是內(nèi)心的充要條件是變式1：如果記的單位向量為，則O是內(nèi)心的充要條件是 變式2：如果記的單位向量為，則O是內(nèi)心的充要條件也可以是。例4（2003江蘇）已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面

9、上不共線的三個點(diǎn)，滿足，則P的軌跡一定通過ABC的內(nèi)心 。 PECOABD圖7解： 如圖由已知， ，設(shè)，D、E在射線AB和AC上。AP是平行四邊行的對角線。又 ， ADPE是菱形。點(diǎn)P在 即 的平分線上。題1：已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足, . 則P點(diǎn)的軌跡一定通過ABC的A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得，是方向上的單位向量，是方向上的單位向量，根據(jù)平行四邊形法則知構(gòu)成菱形，點(diǎn)P在BAC的角平分線上，故點(diǎn)P的軌跡過ABC的內(nèi)心，選B. 1、若動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（ ）.（答案：B）A. 重心 B. 內(nèi)心 C. 垂心 D.

10、 外心練習(xí)：在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(3, 4)，若點(diǎn)C在AOB的平分線上，且，則=_.略解：點(diǎn)C在AOB的平線上，則存在使=, 而，可得，.題6：三個不共線的向量滿足=+) = 0，則O點(diǎn)是ABC的( )A. 垂心 B. 重心 C. 內(nèi)心 D. 外心解：表示與ABC中A的外角平分線共線的向量，由= 0知OA垂直A的外角平分線，因而OA是A的平分線，同理，OB和OC分別是B和C的平分線，故選C .題13：已知O是ABC所在平面上的一點(diǎn)，若= 0，則O點(diǎn)是ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心解：，則= 0，得. 因?yàn)榕c分別為和方向上的單位向量，設(shè)，則

11、平分BAC. 又、共線，知AO平分BAC. 同理可證BO平分ABC，CO平分ACB，所以O(shè)點(diǎn)是ABC的內(nèi)心.題14：已知O是ABC所在平面上的一點(diǎn)，若(其中P是ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn))，則O點(diǎn)是ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得=，=，由上題結(jié)論知O點(diǎn)是ABC的內(nèi)心. 故選B.五、三角形外心與重心的向量關(guān)系及應(yīng)用命題五：設(shè)ABC的外心為O，則點(diǎn)G為ABC重心的充要條件為：圖8證明：如圖8，設(shè)G為重心，連結(jié)AG并延長，交BC于D，則D為BC的中點(diǎn)。 反之，若，則由上面的證明可知：設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則，從而，G在中線AD上且AG=AD，即G為重心。六、三角形

12、外心與垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用命題六：設(shè)ABC的外心為O，則點(diǎn)H為ABC的垂心的充要條件是。證明：如圖2，若H為垂心，以O(shè)B、OC為鄰邊作平行四邊形OBDC，圖9則 O為外心，OB=OC， 平行四邊形OBDC為菱形 ODBC，而AHBC， AHOD，存在實(shí)數(shù)，使得 。同理，存在實(shí)數(shù)，使得 比較、可得， 反之，若，則， O為外心，OB=OCAHCB，同理，BHAC。 H為垂心。例6、已知H是ABC的垂心，且AH=BC，試求A的度數(shù)解：設(shè)ABC的外接圓半徑為R，點(diǎn)O是外心。 H是ABC的垂心 ，AH=BC， 而A為ABC的內(nèi)角， 02A360° 從而2A=90°或270°

13、 A的度數(shù)為45°或135°。A BCOH D題16：設(shè)O為ABC的外心，H為ABC的垂心，則.證明：在ABC的外接圓O中作直徑BD，連接AD、DC，則有：, ADAB, DCBC, 又H是垂心，則AHBC, CHAB, CHAD, AHDC, 于是AHCD是平行四邊形，.練習(xí)1：ABC的外接圓的圓心為O，兩邊上的高的交點(diǎn)為H，=，則實(shí)數(shù)m =_.解1：由上題結(jié)論知m = 1.解2：O為ABC的外接圓的圓心，所以，又H為三角形的垂心，則，故，設(shè). 則，又=，所以m=1.練習(xí)2：ABC中，AB=1, BC =, CA = 2, ABC的外接圓的圓心為O，若，求實(shí)數(shù)的值.解：，

14、兩邊平方得. 分別取AB、AC的中點(diǎn)M、N，連接OM、ON. 則=.又O為ABC的外接圓的圓心，則= 0，即有.同理有= 0，得. 解得，.七、三角形的外心、重心、垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用命題七：ABC的外心、重心、垂心分別為O、G、H，則O、G、H三點(diǎn)共線（O、G、H三點(diǎn)連線稱為歐拉線），且OG=GH。圖10證明：如圖10，由命題五、六知，連結(jié)AG并延長，交BC于D，則D為BC的中點(diǎn)。，O、G、H三點(diǎn)共線，且OG=GH。在中，分別是的外心、重心、垂心。（1） 求證：；（2） 求證：三點(diǎn)共線；（3） 若，求的大小.解：連接BO并延長交外接圓于點(diǎn)D 連接AD,CD,AH,CH,顯然，所以，同理，所以

15、，即，所以因?yàn)槭鞘堑闹匦?，所?。，則，所以，兩邊平方并注意到，又=，例7、已知O（0，0），B（1，0），C（b，c），是OBC的三個頂點(diǎn)。試寫出OBC的重心G，外心F，垂心H的坐標(biāo)，并證明G、F、H三點(diǎn)共線。（2002年全國）解：重心G為，設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，BC=(b-1，c)， ，故 H點(diǎn)的坐標(biāo)為 設(shè)外心F的坐標(biāo)為由|FO|=|FC|，得，所以F點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）。 從而可得出GH=（，），F(xiàn)H=（，） ，GHFH，F(xiàn)、G、H三點(diǎn)共線。 點(diǎn)評：向量不僅是平面解析幾何入門內(nèi)容，而且是解在關(guān)數(shù)形結(jié)合問題的重要工具。它一般通過概念的移植、轉(zhuǎn)化，將坐標(biāo)與向量結(jié)合起來，從而使一些難題在思路上獲得新的

16、突破。例8、已知P是非等邊ABC外接圓上任意一點(diǎn)，問當(dāng)P位于何處時，PA2+PB2+PC2取得最大值和最小值。解：如圖11，設(shè)外接圓半徑為R，點(diǎn)O是外心，則圖11PA2+PB2+PC2=（由命題六知：H為垂心，）當(dāng)P為OH的反向延長線與外接圓的交點(diǎn)時，有最大值6R2+2R·OH當(dāng)P為OH的延長線與外接圓的交點(diǎn)時，有最小值6R22R·OH八、與三角形形狀相關(guān)的向量問題題17：已知非零向量與滿足= 0且，則ABC為( )A. 三邊均不相等的三角形 B. 直角三角形C. 等腰非等邊三角形 D. 等邊三角形解：由= 0，知角A的平分線垂直于BC，故ABC為等腰三角形，即|AB| =

17、 |AC|；由，= 600 . 所以ABC為等邊三角形，選D .題18：已知O為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則ABC一定是( )A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形 D. 等邊三角形解：由已知得，可知以AB與AC為鄰邊的平行四邊形是矩形，所以ABAC，選B .題19：已知ABC，若對任意，則ABC( )A. 必為銳角三角形 B. 必為鈍角三角形C. 必為直角三角形 D. 答案不確定解法1：，式右邊表示A、C兩點(diǎn)之間的距離，記，則式左邊表示直線BC外一點(diǎn)A與直線BC上動點(diǎn)P之間的距離，由恒成立知，A在直線BC上的射影就是C點(diǎn)，所以ACBC，故選C .解法2：令，過點(diǎn)A作ADBC

18、于點(diǎn)D, 由，得，令f (t) =，則f (t)恒成立，只要f (t)的最小值大于或等于，而當(dāng)t =時，f (t)取最小值，此時：，即，從而有| AD | | AC | , , 故選C.題20：已知a, b, c分別為ABC中A, B, C的對邊，G為ABC的重心，且= 0, 則ABC為( )A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形 D. 等邊三角形解：G是ABC的重心，= 0, 又= 0, = 0, 即= 0 ., 不共線，a c = b c = 0, 即a = b = c. ABC為等邊三角形. 選D.九、與三角形面積相關(guān)的向量問題命題：平面內(nèi)點(diǎn)O是ABC的重心，則有 .題2

19、1：已知點(diǎn)O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，= 0, 則：(1) AOB與AOC的面積之比為_；(2) ABC與AOC的面積之比為_；(3) ABC與四邊形ABOC的面積之比為_.解： (1) 將OB延長至E，使OE = 2OB，將OC延長至F，使OF = 3OC，則= 0, 所以O(shè)是AEF的重心. ，.(2) ，=，又, .(3) =， .十、向量的基本關(guān)系(共線、垂直、夾角)命題：A、B、C三點(diǎn)共線，且(O為平面上任一點(diǎn)).題22：在ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若，則=( )A. B. C. D. 解：由上述命題的結(jié)論可知選A .ABCMONE題23：如圖，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若，則m + n =_.解1：取特殊位置. 設(shè)M與B重合，N與C重合，則m=n=1, 所以m+n=2.解2：=，M、O、N三點(diǎn)共線，,m + n = 2.解3：過點(diǎn)B作BEAC, 則，.又，1 m = n 1, m + n = 2 .GABCMPQ題24：如圖，已知點(diǎn)G是ABC的重心，若過ABC的重心，記=