高量5-01不可約張量算符ppt課件

1、年月年月第五章第五章 不可約張量算符不可約張量算符4.1不可約張量算符的定義不可約張量算符的定義及其代數(shù)運算規(guī)那么及其代數(shù)運算規(guī)那么Irreducible Tensor引言引言坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動時物理量各有一定的變換規(guī)律坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動時物理量各有一定的變換規(guī)律，)()()(rPrVrxyzT動量速度坐標(biāo)溫度電四極矩張量轉(zhuǎn)動慣量張量，)(rV位能按坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動下的變換規(guī)律將物理量分類按坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動下的變換規(guī)律將物理量分類標(biāo)量，矢量一階張量，二階張量標(biāo)量，矢量一階張量，二階張量將物理量算符同樣分類將物理量算符同樣分類標(biāo)量算符，一階張量算符，二階張量算標(biāo)量算符，一階張量算符，二階張量算符符引言引言算符的表示依賴于坐

2、標(biāo)系的選擇算符的表示依賴于坐標(biāo)系的選擇笛卡兒坐標(biāo)系，球坐標(biāo)系，笛卡兒坐標(biāo)系，球坐標(biāo)系，不同坐標(biāo)系的基矢經(jīng)過幺正變換相聯(lián)絡(luò)不同坐標(biāo)系的基矢經(jīng)過幺正變換相聯(lián)絡(luò)zyxreeeeee0cossinsinsincoscoscoscossinsincossin一、球基矢一、球基矢在量子力學(xué)中為計算方便引入球基矢在量子力學(xué)中為計算方便引入球基矢101,與笛卡兒坐標(biāo)系基矢的關(guān)系與笛卡兒坐標(biāo)系基矢的關(guān)系zyxiieee01000221221101逆變換逆變換10122212101000iizyxeee一、球基矢一、球基矢性質(zhì)性質(zhì)mmm) 1(*正交歸一條件正交歸一條件mnnmijjiee*練習(xí)：證明上式練習(xí)：證

3、明上式二、球基矢上的向量算符表示二、球基矢上的向量算符表示坐標(biāo)向量坐標(biāo)向量zyxezeyexr01212121121)()(zyxii1210121)()(iyxziyx*121*0*121)()(iyxziyx*111*010*11134(YYYrmmmmmmrYrrYr)()(*134*134),(r其中二、球基矢上的向量算符表示二、球基矢上的向量算符表示在球基矢下坐標(biāo)向量算符的分量為在球基矢下坐標(biāo)向量算符的分量為)()(1134211rrYiyxr)(10340rrYzr)()(1134211rrYiyxr在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動下按如下規(guī)律變換在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動下按如下規(guī)律變換1)(mmmmmrDr二、

4、球基矢上的向量算符表示二、球基矢上的向量算符表示同理可得任一向量算符在球基矢上的表示同理可得任一向量算符在球基矢上的表示mmmAA*其中其中)(;);(2110211yxzyxAiAAAAAiAA在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動下的變換規(guī)律在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動下的變換規(guī)律11)(),()(),() (mmmmnmnmADdnUAdnUA三、不可約張量算符的定義三、不可約張量算符的定義如下變換的算符稱為一階不可約張量算符如下變換的算符稱為一階不可約張量算符11111)(),()(),() (mmmmnmnmTDdnUTdnUT進而定義進而定義 l 階不可約張量算符階不可約張量算符1)(),()(),() (mlmlmmnl

5、mnlmTDdnUTdnUT逆變換逆變換*) ()(mlmlmmlmTDT四、不可約張量算符的代數(shù)運算規(guī)那么四、不可約張量算符的代數(shù)運算規(guī)那么加法：兩個加法：兩個 l 階不可約張量算符之和階不可約張量算符之和仍為仍為 l 階不可約張量算符階不可約張量算符證明證明),()()(),(121nlmlmndnUTTdnU1211)()(UTUUTUlmlm21)()(mlmlmmmlmlmmTDTD21)()(mlmlmlmmTTD階不可約張量算符為lTTTlmlmlm)()()(2121四、不可約張量算符的代數(shù)運算規(guī)那么四、不可約張量算符的代數(shù)運算規(guī)那么乘法和收縮乘法和收縮兩個張量算符的乘法和收縮

6、按下式定義兩個張量算符的乘法和收縮按下式定義)()()(21212211212211mlmlmmLMmlmlLMTTCT|, 1,212121llllllL收縮乘法2121llLllL；四、不可約張量算符的代數(shù)運算規(guī)那么四、不可約張量算符的代數(shù)運算規(guī)那么乘法和收縮乘法和收縮階不可約張量為證明LTLM)(211211121)()()(2211212211UTUUTUCUTUmlmlmmLMmlmlLM222222111111212211)()(21llmllmmmLMmlmlTDTDC)()(21221122211121212211lllmlmmmLMmlmlTTDDC )()(21221121

7、221121221121212211llLMMLmlmlLLllmmLMmlmlTTDCCC 四、不可約張量算符的代數(shù)運算規(guī)那么四、不可約張量算符的代數(shù)運算規(guī)那么乘法和收縮乘法和收縮121)(UTULM)()(2122112121212211llLMLLLLllTTDC )()(2122112121212211llLMLllTTDC)()(2112111121121llLllLMTTCD令)(21LLMTD階不可約張量為LTLM)(21五、零階張量算符及張量算符的標(biāo)量積五、零階張量算符及張量算符的標(biāo)量積當(dāng)當(dāng)lll21時可收縮得到零階張量時可收縮得到零階張量)()()(21002100mllmm

8、mlmlTTCT)()(121121mllmlmmlTT ）（)()() 1()(12) 1(212100mllmmmlTTTl 左左=常數(shù)常數(shù)零階張量，在轉(zhuǎn)動下不變零階張量，在轉(zhuǎn)動下不變右亦然右亦然稱式右為兩個稱式右為兩個 l 階不可約張量的標(biāo)量積階不可約張量的標(biāo)量積記為記為)()()1()()(2121mllmmmllTTTT 五、零階張量算符及張量算符的標(biāo)量積五、零階張量算符及張量算符的標(biāo)量積一階不可約張量一階不可約張量熟知的標(biāo)量積方式熟知的標(biāo)量積方式例：兩個坐標(biāo)矢量的標(biāo)量積例：兩個坐標(biāo)矢量的標(biāo)量積110011) 1(rrrrrrrrrrmmmm ) )() )(221221221221

9、yxyxzzyxyxiiiizzyyxx六、不可約張量算符的六、不可約張量算符的Racah定義定義Giulio (Yoel) Racah (1909 - 1965)Israeli physicist & mathematician滿足下式的滿足下式的 2l+1 個算符為個算符為 l 階不可約張量算符階不可約張量算符lmlmzlmlmTmTJTmmllTJ,) 1() 1(,1六、不可約張量算符的六、不可約張量算符的Racah定義定義兩種定義的等價性兩種定義的等價性dz 軸轉(zhuǎn)無窮小角考慮繞) 1 (ziziJdUJdU111；)1 (|1 | )(mmzilmmmidlmJdlmD代入代入1)(

10、)()(mlmlmmlmTDUTUlmzilmziTmidJdTJd)1 ()1 ()1 (lmzlmlmziTmidJTTJdlmlmzTmTJ,六、不可約張量算符的六、不可約張量算符的Racah定義定義dx 軸轉(zhuǎn)無窮小角考慮繞) 12( xixiJdUJdU111；lmJJdlmlmUlmDilmm| )(1 | | 21) 1() 1(12122mmmmimmmmlmmld) 1(*2 lll代入代入1)()()(mlmlmmlmTDUTU)()()1)()1 (mlmlmmxilmxiTDJdTJd) 1() 1(12122lmlmilmTmmlTmmldT) 1() 1(,12122

11、lmlmlmxTmmlTmmlTJ六、不可約張量算符的六、不可約張量算符的Racah定義定義dy 軸轉(zhuǎn)無窮小角考慮繞)22( yiyiJdUJdU111；lmJJdlmlmUlmDiilmm| )(1 | | 21) 1() 1(121221mmmmmmmmlmmld) 1(*2 lll代入代入1)()()(mlmlmmlmTDUTU)()()1)()1 (mlmlmmyilmyiTDJdTJd) 1() 1(121221lmlmlmTmmlTmmldT) 1() 1(,12122lmlmilmyTmmlTmmlTJ六、不可約張量算符的六、不可約張量算符的Racah定義定義綜合以上結(jié)果得綜合以

12、上結(jié)果得112) 1() 1() 1(,lmlmlmylmxlmTmmllTmmlTJiTJTJ112) 1() 1() 1(,lmlmlmylmxlmTmmllTmmlTJiTJTJ1) 1() 1(,lmlmTmmllTJ六、不可約張量算符的六、不可約張量算符的Racah定義定義另一寫法另一寫法 利用角動量算符在球基矢上的表示利用角動量算符在球基矢上的表示mmmJJ*JJ iJJJJJJ iJJyxzyx)()(21211021211于是于是121101211)1() 1(,)1() 1(,lmlmlmlmlmlmTmmllTJTmTJTmmllTJ六、不可約張量算符的六、不可約張量算符的

13、Racah定義定義而而1)1() 1(01)1() 1(2/1212/121)1(11mmllmmmllClllmlmlmlmlmlmTCllTJ1) 1(,又因又因lmlmlmlmCC11) 1(lmlmlmlmTCllTJ1) 1() 1(,六、不可約張量算符的六、不可約張量算符的Racah定義定義又又1211101211)1() 1()1() 1(jmjmjmjmjmjmmmjjJmJmmjjJ也可一致寫為也可一致寫為jmjmjmjmCjjJ1) 1(4.2不可約張量算符的實例不可約張量算符的實例一、常見算符一、常見算符可用拉卡定義判別能否不可約張量算符可用拉卡定義判別能否不可約張量算符

14、、坐標(biāo)算符與球諧函數(shù)相關(guān)，后者既是、坐標(biāo)算符與球諧函數(shù)相關(guān)，后者既是函數(shù)，又是不可約張量算符函數(shù)，又是不可約張量算符zlmlmzlmlmzlmzLYYmLYYLYL)()(lmlmzlmlmzYmYLYmYL,LYYLYLlmlmlm)()(LYYmmlllmlm 12/1)1() 1(12/1)1() 1(,lmlmYmmllYL一、常見算符一、常見算符將坐標(biāo)重新組合可構(gòu)成一階和二階不可約將坐標(biāo)重新組合可構(gòu)成一階和二階不可約張量算符張量算符一階一階1134211)(rYiyxr10340rYzr1134211)(rYiyxr二階二階22254222123Yrixyyx）（2125423Yri

15、yzxz2025422213Yrrz）（1225423Yriyzxz22254222123Yrixyyx）（一、常見算符一、常見算符、角動量及動量算符、角動量及動量算符角動量算符在球基矢上的表示角動量算符在球基矢上的表示;1, 0, 1*mmmJJ;1,0, 1*mmmLL1, 0, 1*mmmSS利用利用zzJJJJJJ2,;,可證可證,mmmSLJ均為一階不可約張量算符均為一階不可約張量算符11211)(TJ iJJyx100TJJz11211)(TJ iJJyx一、常見算符一、常見算符、角動量及動量算符、角動量及動量算符動量算符在球基矢上的表示動量算符在球基矢上的表示;1, 0 , 1*

16、mmmPP其分量其分量11211)(TPiPPyx100TPPz11211)(TPiPPyx也是一階不可約張量算符也是一階不可約張量算符一、常見算符一、常見算符以上各向量算符，假設(shè)用符以上各向量算符，假設(shè)用符號號1T一致表示一致表示那么它們在球基矢上的分那么它們在球基矢上的分量量) 1, 0 , 1(1mTm都是都是一階不可約張量算符，且具有如下性質(zhì)一階不可約張量算符，且具有如下性質(zhì)mmmTT1*1) 1(或或*11) 1(mmmTTl 階不可約張量算符階不可約張量算符)(rYlm也具有這個性質(zhì)也具有這個性質(zhì)*) 1(;) 1(mlmlmmlmlmYYYY普通的為普通的為*) 1(;) 1(m

17、lmlmmlmlmTTTT二、不可約張量算符的厄米共軛二、不可約張量算符的厄米共軛不可約張量算符滿足不可約張量算符滿足1)()(mlmlmmlmTDUTU兩端取厄米共軛兩端取厄米共軛 *)()()()(mlmlmmmmmlmlmmlmTDTDUTU)()()()(mlmmlmmlmmTDUTU)()()()(mmlmlmmmlmTDUTU定義定義的厄米共軛算符為lmmlmlmTTT)(假假設(shè)設(shè)lmlmTT自共軛張量算符自共軛張量算符三、相互作用的位能算符三、相互作用的位能算符微觀粒子間相互作用能都具有轉(zhuǎn)動不變性微觀粒子間相互作用能都具有轉(zhuǎn)動不變性位能算符必為零階張量算符，位能算符必為零階張量算符，或兩個同階張量算符的標(biāo)量積或兩個同階張量算符的標(biāo)量積212121;|;|SSSLLLrrr設(shè)12210)()()()()(SrVSLrVrVrVrsVTLSz 標(biāo)量力標(biāo)量力 自旋力自旋力自旋自旋軌道耦合力軌道耦合力 張量力張量力三、相互作用的位能算符三、相互作用的位能算符上式中上式中) 1 (321)(12221rrrS)2(262)(22SrrS mmmmSY)3()(6221581) 2)221412)()()(rrrS)(2)()(21222141rrrr)()()(2)(222121221rr