高一上學期函數(shù)單調(diào)性的證明練習題

1、高一上學期？函數(shù)單調(diào)，fi的證明 掰習題1.函數(shù) y=fx對于任意 x、yCR,有 fx+y二fx+fy-1,當 x>0 時，fx>1,且 f3二4,那么A. fx在R上是減函數(shù)，且f1=3B. fx在R上是增函數(shù)，且f1=3C. fx在R上是減函數(shù)，且f1=2 D. fx在R上是增函數(shù)，且f1二22.函數(shù)y二fx在0, +oo上為增函數(shù)，且fx<0x>0.試判斷Fx二一 f U)在0, +oo上的單調(diào)性并給出證明過程.3.函數(shù)y二fx在0上為減函數(shù)，且fx<0x>0，試判斷fx二寸，fG).word.zl.在0, +8上的單調(diào)性，并給出證明過程.4 .函數(shù)

2、 fx對任意 x, yCR,總有 fx+fy=fx+y，且當 x>0 時，fx<0,1求 f 0;2求證：fx在R上是減函數(shù)；3求fx在-3, 3上的最大值和最小值.5 .函數(shù) fx對任意 a, bCR,有 fa+b=fa+fb- 1,且當 x>0 時，fxI求證：fx是R上的增函數(shù)；II假設(shè) f - 4=5,解不等式 f3m2-m-3<2.6 .函數(shù)fx對任意的a, bC R,都有fa+b=fa+fb-1,并且當x>0時,fx>1.1求證：fx是R上的增函數(shù)；2假設(shè) f4=5,解不等式 f3m2-m-2<3.7 .函數(shù)fx對任意的a bC R,都有f

3、a+b二fa+fb-1,并且當x0時,fx1.1求證：fx是R上的增函數(shù)；2假設(shè) f2=3,解不等式 fm-23.8 .定義在R上的函數(shù)fx滿足：fx+y=fx+fy+1 ,當x0時，fx1；I求：f0的值，并證明fx在R上是單調(diào)增函數(shù)；II假設(shè) f1=1,解關(guān)于 x 的不等式；fx2+2x+f1-x4.9 .定義在R上的函數(shù)y二fx對任意的x、yCR,滿足條件：fx+y二fx+fy-1,且當 x0 時，fx1. 1求 f 0的值；2證明：函數(shù)fx是R上的單調(diào)增函數(shù)；3解關(guān)于t的不等式f2t2-t1.10 .定義在R上的函數(shù)y二fX對任意的x, yC R,滿足條件：fx+y二fx+fy 2,且

4、當 x>0 時，fX>21求 f 0的值；2證明：函數(shù)fx是R上的單調(diào)增函數(shù);3解不等式 f2t2-t-3- 2<0,11 . fx是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，且對于任意的 x, y R都滿足fx？f yO=f x+y 1求f0的值，并證明對任意的x R,有fx>0;2設(shè)當x<0時，都有fx>f0，證明：fx在-oo, +OO上是減函數(shù).高一？函數(shù)單調(diào)tO勺證明朗習題參考答案與試題解析1.函數(shù) y=fx對于任意 x、yCR,有 fx+y二fx+fy-1,當 x>0 時，fx>1,且 f3二4,那么A. fx在R上是減函數(shù)，且f1=3 B. fx

5、在R上是增函數(shù)，且f1=3C. fx在R上是減函數(shù)，且f1=2 D. fx在R上是增函數(shù)，且f1二2【分析】先依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由 f3=f1+f2-1=f1+f1+f1-1-1=4,解出 f1.【解答】解：設(shè)x1>x2,那么 fx- f &2=fx一 x2+x2- f 卜2=fx 一 x2+f %2- 1 - f h2=f x-乂2- 1>1- 1=0 ,即 fx1> fx2, .fx為增函數(shù).又f3=f1+f2 1=f1+f1+f1- 1 - 1=3f1 2=4, f1=2.應選：D.2.函數(shù)y=fx在0, +oo上為增函數(shù)，且fx<0

6、x>0.試判斷Fx= J 在0, +oo上的單調(diào)性并給出證明過程.【分析】首先，設(shè)x1, x2C0, +8，且x1<x2,然后根據(jù)函數(shù)fx的單調(diào)性進展證明即可.【解答】解：函數(shù)Fx二V丁為0, +OO上減函數(shù)，證明如下：任設(shè) x1，x2C0, +00且 x<x2,. y=fx在0, +oo上為增函數(shù), -fXIfX2，fXI 0, fX20,fXIfX2, -fX2- fXi 0, - fXi0, fX2 0, - fXi?f X20,.FXi一 FX20,即 FXiFX2，那么FX為0, +oo上的減函數(shù).3.函數(shù) y=fX在0上為減函數(shù)，且fX0x0，試判斷fX=_x_

7、f G)在0, +8上的單調(diào)性，并給出證明過程.【分析】首先，設(shè)Xi,此0, +8，且xiX2,然后，比擬大小，從而得到結(jié)論.【解答】解：函數(shù)虱公二有為0,-L /+ 00上增函數(shù)，證明如下:0, +°°且 XiX2,- y=fX在0, +°°上為減函數(shù), -fXifX2，fXi 0, fX20, 虱勺”晨32）二fl：） -ft。f（ -f（町）=f（叼）M叼），fXifX2, -fX2- fXi 0, fXi0, fX2 0, - fXi?f X20, -gXI- gX2< 0,晨富）二1為0, +°0上的增函數(shù).4.函數(shù) fX對任意

8、 x, yCR,總有 fx+fy=fx+y，且當 x>0 時，fX<0, f 1二-1求 f 0；2求證：fx在R上是減函數(shù)；3求fx在-3, 3上的最大值和最小值.【分析】1令 x=y=0? f0二0;2令y二-x即可證得f-x=-f ：x,利用函數(shù)的單調(diào)性的定義與奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合即可證得fx是R上的減函數(shù)；3利用fx在R上是減函數(shù)可知fx在-3, 3上也是減函數(shù)，易求f3二- 2,從而可求得fx在-3, 3上的最大值和最小值.【解答】解：1令x=y=0 ,那么f0二0;2令 y二-x,那么 f - x二-fx，在 R 上任意取 x1，x2,且 x1<x2,那么 x=x2

9、-xI>0, Ay=f波-f必=fx2+f一x=fx2xx2>x1，. . x2 x1 > 0,又丁 x>0 時，fx<0, .fx2 x<0,即 fx2- fx<0,由定義可知函數(shù)fx在R上為單調(diào)遞減函數(shù).3;fx在R上是減函數(shù)， fx在-3, 3上也是減函數(shù).又 f3=f2+f1=f1+f1+f1=3X= -2,由 f 一 x= - fx可得 f 一 3= - f3=2,故fx在-3, 3上最大值為2,最小值為-2.5.函數(shù) fx對任意 a, bCR,有 fa+b=fa+fb- 1,且當 x>0 時，fxI求證：fx是R上的增函數(shù)；II假設(shè)

10、f - 4=5,解不等式 f3m2-m-3<2.【分析】I設(shè)實數(shù)x1<x2,那么x2-x1>0,利用可得f ：x2-xj >1.再利用可得f x2=fx2 x1+x1=fx2 x1+fx1 1>1+fx1- 1=fx1即可；H令 a=b= 2,以及 a=b= 1,解得 f 一 2=3, f 一 1=2 ,不等式 f3m2 m -3<2.化為f3m2-m-3<f - 1，由1可得：fx在R上是增函數(shù).可 得3m2- m - 3< - 1,解得即可.【解答】解：I證明：設(shè)x1<x2,那么x2-x1>0,.當 x> 0 時,fx>

11、;1, .fx2xj >1.又函數(shù) fx對任意 a, bC R都有 fa+b=fa+fbT,-fx2=fx2 x+x1=fx2 x+fxj - 1 > 1+fxj - 1=fx，. fx2>fx1, fx在R上是增函數(shù)；II令 a=b= - 2,那么 f 一 2一 2=f 一 2+f 一 2 1=5,解得 f一2=3, 再令 a=b= - 1,那么 f 11=f 1+f 一 1 1=3,解得 f 一 1=2 . 不等式 f3m2-m-3<2.化為 f3m2-m-3<f - 1.由1可得：fx在R上是增函數(shù).213m2-m - 3< - 1,解得-一<

12、m< 1.1.不等式f3m2-m- 3< 2的解集為-看,6 .函數(shù)fx對任意的a, bC R,都有fa+b=fa+fb-1,并且當x>0時, f x >1.1求證：fx是R上的增函數(shù)；2假設(shè) f4=5,解不等式 f3m2-m-2<3.【分析】1先任取x<x2, x2 x1>0.由當x>0時，fx>1.得到fx2必>1, 再對f 42按照fa+b二fa+fb- 1變形得到結(jié)論.2由 f4=f2+f2- 1 求得 f2二3,再將 f3m2-m-2<3轉(zhuǎn)化為 f3m2 m-2 <f2，由1中的結(jié)論，利用單調(diào)性求解.【解答】解：

13、1證明：任取x1<x2,x2 x1>0.fx2 x> 1 . -f a二fx+ 又-x=f CxJ +f lx2xj 1>fxj,.fx是R上的增函數(shù).2vf4=f2+f2- 1=5,. .f2二3. .f3m2 m 2< 3二f2.又由1的結(jié)論知，fx是R上的增函數(shù)，.-3m2-m-2<2,3m2 - m - 4<0, 1vm 普7 .函數(shù)fx對任意的a bC R,都有fa+b=fa+fb-1,并且當x>0時, f X >1.1求證：fX是R上的增函數(shù)；2假設(shè) f2=3,解不等式 fm-2<3.【分析】1先任取 Xi<X2,

14、X2 Xi>0.由當 X>0 時，fX>1.得到 fX2 Xi>1, 再對fX2按照fa+b二fa+fb- 1變形得到結(jié)論.2由 f2二3,再將 fm-2<3轉(zhuǎn)化為 fm-2<f2，由1中的結(jié)論，利用單調(diào)性求解【解答】解：1證明：任取X1<X2,x2-XA0.fx2-x>1.fX2=fX 1 +X2 X1=fX1+fX2X1 1>fX1，.fX是R上的增函數(shù).2vf2=3., fm-2<3=f2.又由1的結(jié)論知，fX是R上的增函數(shù)，m - 2<2, m<4.解不等式fm-2<3的解集為：-oo, 4.8.定義在R上的

15、函數(shù)fX滿足：fx+y=fX+fy+1 ,當x>0時，fX > T ；I求：f0的值，并證明fX在R上是單調(diào)增函數(shù)；II假設(shè) f1=1,解關(guān)于 X 的不等式；fx2+2x+f1-X>4.【分析】I根據(jù)條件中，：fx+y二fX+fy+1,當x>0時，fX>- 1;令x=y=0 ,即可求出f0的值，在R上任取X1>X2,那么X1-X2>0,根據(jù)fX1 =fX1-X2+X2,結(jié)合條件，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性;R假設(shè)f1=1,那么我們易將關(guān)于x的不等式；fx2+2x+f1-x>4化為fx2+x+1>f3，結(jié)合I的結(jié)論，可將原不等式化為一個一元二次不等

16、式，進而得到答案【解答】解：I令x=y=0- fx+y=fx+fy+1 ,. .f0=f0+f0+1 - f0二 - 1,在R上任取x1>x2,那么x1-x2>0,當 x> 0 時，fx> 1,f x1 - x2> - 1那么 fx=fx 一x2+x2,=fx一 x2+fx2+1 >fx2， fx在R上是單調(diào)增函數(shù).II由 f1二1 得：f2=3, f3=5,那么關(guān)于x的不等式；fx2+2x+f1-x>4可化為關(guān)于 x 的不等式；fx2+2x+f1-x+1 >5,即關(guān)于x的不等式；fx2+x+1>f3，由I的結(jié)論知fx在R上是單調(diào)增函數(shù)，故

17、 x2+x+1 > 3,解得：x< - 2或x> 1,故原不等式的解集為：-°°, 2U1, +8.9.定義在R上的函數(shù)y=fx對任意的x、y R,滿足條件：fx+y=fx+fy -1,且當 x>0 時，fx>1.1求f0的值；2證明：函數(shù)fX是R上的單調(diào)增函數(shù)；3解關(guān)于t的不等式f2t2-t<1.【分析】1用賦值法分析：在fx+y二fX+fy-1中，令x=y=0可得：f0=f0+f0-1,解可得f0的值，即可得答案；2用定義法證明：設(shè)x1>X2,那么X1=X2+x-X2，且x-X2>0,結(jié)合題意可得f CxJ =fX一X2+

18、X2=fX2+fX一X21,作差可得 fX1- fX2=fX 一X2-1,分析可得fX1-fX2>0,由增函數(shù)的定義即可得證明；3根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與f0=1可得2t2- t<0,解可得t的取值X圍， 即可得答案.【解答】解：1根據(jù)題意，在fx+y=fX+fy- 1中,令 x=y=0 可得：f0=f0+f0-1,解可得：f0=1 ,2證明：設(shè) x1>X2,那么 X1=X2+xX2，且 x-X2> 0,那么有 fX1=fX1 X2+X2=fX2+fX1 X2- 1 ,即 fX1- fX2=fX1 - X2- 1 ,又由 X1 X2>0,那么有 fX1 X2&

19、gt;1,故有 fX1一 fX2=fX1 X2- 1 >0,即函數(shù)fX為增函數(shù)；3根據(jù)題意，f2t2-t<1, 又由f0=1且函數(shù)fX為增函數(shù),那么有2t2- t<0,解可得0<t<y.10.定義在R上的函數(shù)y二fX對任意的x, yC R,滿足條件：fx+y二fx+fy 2,且當 x>0 時，fX>2 1求 f 0的值；2證明：函數(shù)fx是R上的單調(diào)增函數(shù)；3解不等式 f2t2-t-3- 2<0,【分析】1由題意y=fx對任意的x, y R,關(guān)系式成立，采用賦值法，可得 f 0的值； 2利用定義證明其單調(diào)性 3利用單調(diào)性及f 0的值，求解不等式即可【解答】解：由題意：函數(shù)y=fx定義在R上 對任意的x, yCR滿足條件：fx+y=f x +f y 2,. .令 x=y0,由 fx+y=fx+fy- 2,可得：f0=f0+f0- 2,解得： f 0 =2 故 f 0的值為：2 2證明：設(shè) xi<x2, xi、x2 R,那么 x2 - x