第一章運(yùn)動(dòng)的描述3

1、首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出1 第一章第一章 運(yùn)動(dòng)的描述運(yùn)動(dòng)的描述1-1 1-1 參考系參考系 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 物理模型物理模型1-2 1-2 運(yùn)動(dòng)的描述運(yùn)動(dòng)的描述1-3 1-3 相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出21.1.1 運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性和相對(duì)性運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性和相對(duì)性例如例如,觀察表明：觀察表明：v地日地日30kms-1, 這說明，一切運(yùn)動(dòng)都是絕對(duì)的，因此只有討論相對(duì)意義上這說明，一切運(yùn)動(dòng)都是絕對(duì)的，因此只有討論相對(duì)意義上的運(yùn)動(dòng)才有意義。的運(yùn)動(dòng)才有意義。v日銀日銀25kms-1, 英國大主教貝克萊：英國大

2、主教貝克萊：“讓我們?cè)O(shè)想有兩個(gè)球，除此之外空讓我們?cè)O(shè)想有兩個(gè)球，除此之外空無一物，說它們圍繞共同中心作圓周運(yùn)動(dòng)，是不能想象的。無一物，說它們圍繞共同中心作圓周運(yùn)動(dòng)，是不能想象的。但是，若天空上突然產(chǎn)生恒星，我們就能夠從兩球與天空不但是，若天空上突然產(chǎn)生恒星，我們就能夠從兩球與天空不同部分的想對(duì)位置想象出它們的運(yùn)動(dòng)了同部分的想對(duì)位置想象出它們的運(yùn)動(dòng)了”。v銀銀銀銀600kms-1首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出3運(yùn)動(dòng)描述的相對(duì)性：運(yùn)動(dòng)描述的相對(duì)性：即選不同的參考系，運(yùn)動(dòng)的描述是不即選不同的參考系，運(yùn)動(dòng)的描述是不同的。同的。V例如，在勻速直線運(yùn)動(dòng)的火車上所作的自由落體運(yùn)動(dòng)，例如，在勻

3、速直線運(yùn)動(dòng)的火車上所作的自由落體運(yùn)動(dòng)，火車上的觀察者：物體作勻變速直線運(yùn)動(dòng)；火車上的觀察者：物體作勻變速直線運(yùn)動(dòng)；地面上的觀察者：物體作平拋運(yùn)動(dòng)。地面上的觀察者：物體作平拋運(yùn)動(dòng)。 描述物體運(yùn)動(dòng)時(shí)被選作參考（標(biāo)準(zhǔn)）的物體或物體群描述物體運(yùn)動(dòng)時(shí)被選作參考（標(biāo)準(zhǔn)）的物體或物體群稱為參考系。稱為參考系。1.1.2 參考系參考系首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出4日心系日心系ZXY地心系地心系o地面系地面系地球地球衛(wèi)星地球地球首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出51.1.3 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 z k r 0 j y i x zyxp、prx極軸極軸0r0o 為定量地描述物體位置而引入。

4、為定量地描述物體位置而引入。YOX0ss 0rxyzP 常用的有直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、自然坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)常用的有直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、自然坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系或柱面坐標(biāo)系等。系或柱面坐標(biāo)系等。 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出61.1.4 物理模型物理模型 對(duì)真實(shí)的物理過程和對(duì)象，根據(jù)所討論的問題的基本要對(duì)真實(shí)的物理過程和對(duì)象，根據(jù)所討論的問題的基本要求對(duì)其進(jìn)行理想化的簡化，抽象為可以用數(shù)學(xué)方法描述的理求對(duì)其進(jìn)行理想化的簡化，抽象為可以用數(shù)學(xué)方法描述的理想模型。想模型。*關(guān)于物理模型的提出關(guān)于物理模型的提出（）明確所提問題；（）明確所提問題；（）突出主要因素，提出理想模型；（）突

5、出主要因素，提出理想模型； “理想模型理想模型”是對(duì)所考察的問題來說的，不具有絕對(duì)意義。是對(duì)所考察的問題來說的，不具有絕對(duì)意義。（）分析各種因素在所提問題中的主次；（）分析各種因素在所提問題中的主次；（）實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。（）實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出7 1、 理想質(zhì)點(diǎn)模型理想質(zhì)點(diǎn)模型 真實(shí)的物體不滿足上述條件時(shí)，則可將其視為滿足第一個(gè)真實(shí)的物體不滿足上述條件時(shí)，則可將其視為滿足第一個(gè)條件的質(zhì)點(diǎn)系。條件的質(zhì)點(diǎn)系。選用質(zhì)點(diǎn)模型的前提條件是：選用質(zhì)點(diǎn)模型的前提條件是： 物體自身線度物體自身線度l與所研究的物體運(yùn)動(dòng)的空間范圍與所研究的物體運(yùn)動(dòng)的空間范圍r相比可以忽略；相比可以忽

6、略；兩個(gè)條件中，具一即可。兩個(gè)條件中，具一即可?；蛘呶矬w只作平動(dòng)?；蛘呶矬w只作平動(dòng)。首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出82、理想剛體模型、理想剛體模型 剛體是指在任何情況下，都沒有形變的物體。剛體是指在任何情況下，都沒有形變的物體。 當(dāng)物體自身線度當(dāng)物體自身線度l與所研究的物體運(yùn)動(dòng)的空間范圍與所研究的物體運(yùn)動(dòng)的空間范圍r比不可比不可以忽略；物體又不作平動(dòng)時(shí)，即必須考慮物體的空間方位，以忽略；物體又不作平動(dòng)時(shí)，即必須考慮物體的空間方位，我們可以引入剛體模型。我們可以引入剛體模型。 剛體也是一個(gè)各質(zhì)點(diǎn)之間無相對(duì)位置變化且質(zhì)量連續(xù)分布剛體也是一個(gè)各質(zhì)點(diǎn)之間無相對(duì)位置變化且質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)

7、點(diǎn)系。的質(zhì)點(diǎn)系。首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出91)位置坐標(biāo)位置坐標(biāo) 1、位置矢量位置矢量 r 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)P在直角坐標(biāo)系中的位置可由在直角坐標(biāo)系中的位置可由P所在點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)所在點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)（x，y，z）來確定）來確定 1.2.1位矢、位移、速度和加速度在直角坐標(biāo)系中的表示式位矢、位移、速度和加速度在直角坐標(biāo)系中的表示式參照系參照系rYZXoP(x,y,z)首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出102)位置矢量位置矢量 r z k r 0 j y i x 其在直角坐標(biāo)系中為其在直角坐標(biāo)系中為 kzj yi xr222zyxr 由坐標(biāo)原點(diǎn)引向考察點(diǎn)的矢由坐標(biāo)原點(diǎn)引向考察點(diǎn)的

8、矢量，簡稱位矢。量，簡稱位矢。 r的方向余弦是的方向余弦是 rx cosry cosrz cos1222coscoscos在極坐標(biāo)系中在極坐標(biāo)系中 0r rr 在自然坐標(biāo)系中在自然坐標(biāo)系中 )(srr首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出113）運(yùn)動(dòng)方程和軌道方程）運(yùn)動(dòng)方程和軌道方程表示為：表示為： ).(,)(,)(tzztyytxx或或 )(trr運(yùn)動(dòng)方程是時(shí)間運(yùn)動(dòng)方程是時(shí)間t的顯函數(shù)。的顯函數(shù)。 a、質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，空間位置隨時(shí)間變化的函數(shù)式稱為運(yùn)、質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，空間位置隨時(shí)間變化的函數(shù)式稱為運(yùn)動(dòng)方程。動(dòng)方程。 b、質(zhì)點(diǎn)在空間所經(jīng)過的路徑稱為軌道（軌跡）。、質(zhì)點(diǎn)在空間所經(jīng)過

9、的路徑稱為軌道（軌跡）。 從上式中消去從上式中消去t即可得到軌道方程。即可得到軌道方程。軌道方程不是時(shí)間軌道方程不是時(shí)間t顯函數(shù)。顯函數(shù)。首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出122 2、位移和路程、位移和路程1 1）位移）位移 ra、定義、定義 ：由起始位置指向終了位置的有向線段；：由起始位置指向終了位置的有向線段；12rrrt 時(shí)間內(nèi)位置矢量的增量時(shí)間內(nèi)位置矢量的增量rr 位移的模位移的模 與矢量模的增量與矢量模的增量 不是同一個(gè)量不是同一個(gè)量|12rrr|12rrrXYZ1r2rrABS1r2rrAB1r122rrrr212212212zzyyxx212121222222zyxz

10、yx首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出13b b、位移在直角坐標(biāo)系中的表示式、位移在直角坐標(biāo)系中的表示式 kzj yi xr2）路程）路程S位移和路程的比較與聯(lián)系位移和路程的比較與聯(lián)系聯(lián)系：聯(lián)系： 在在t 0時(shí)，時(shí)， dsrddrrdt 時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)在空間實(shí)際運(yùn)行的路徑。時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)在空間實(shí)際運(yùn)行的路徑。不同處：不同處：r 只與始末位置有關(guān)；只與始末位置有關(guān)；S S與軌道形狀和往返次數(shù)有關(guān)；與軌道形狀和往返次數(shù)有關(guān)；sr 因此，一般情況下因此，一般情況下r是矢量，是矢量， S S是是標(biāo)量；標(biāo)量；但仍是但仍是 dr ddr首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出143、速、速 度度

11、1）平均速度與平均速率）平均速度與平均速率 trvtsv讀成讀成t時(shí)刻附近時(shí)刻附近t時(shí)間內(nèi)的平均速度（或速率）時(shí)間內(nèi)的平均速度（或速率） z A 0 0vv B 1r 2r 3r 0 y x 1r2r描述質(zhì)點(diǎn)位置變化和方向變化快慢的物理量描述質(zhì)點(diǎn)位置變化和方向變化快慢的物理量 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出152）瞬時(shí)速度與瞬時(shí)速率）瞬時(shí)速度與瞬時(shí)速率 dtrdtrtv0limdtdststv0limvdtdsdtrdv0vv vv 在一般情況下在一般情況下ktzjtyitxv在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中0是軌道切線方向上的單位矢。是軌道切線方向上的單位矢?？梢娝俣仁俏皇笇?duì)時(shí)間

12、的變化率。可見速度是位矢對(duì)時(shí)間的變化率。可見速率是速度的模。可見速率是速度的模。可見速率是路程對(duì)時(shí)間的變化率。可見速率是路程對(duì)時(shí)間的變化率。首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出16dtrdvkvjvivzyx在直角坐標(biāo)系中的表示式在直角坐標(biāo)系中的表示式 v3 3）kdtdzjdtdyidtdxkzj yi xr設(shè)222zyxvvvvv222dtdzdtdydtdx首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出174 4、加速度、加速度a描述質(zhì)點(diǎn)速度大小和方向變化快慢的物理量描述質(zhì)點(diǎn)速度大小和方向變化快慢的物理量 為描述機(jī)械運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)參量為描述機(jī)械運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)參量 v ,r 稱為機(jī)械運(yùn)動(dòng)

13、狀態(tài)的變化率稱為機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化率 a1）平均加速度與瞬時(shí)加速度）平均加速度與瞬時(shí)加速度 tva220dtrddtvdtvtalimAo BAvBvvBvAv首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出18dtvda2 2）加速度在直角坐標(biāo)系中）加速度在直角坐標(biāo)系中akdtdvjdtdvidtdvzyxkajaiazyxkdtzdjdtydidtxd222222222zyxaaaa222222222dtzddtyddtxd222dtdvdtdvdtdvzyx首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出19例例1.1如圖如圖1.5，一人用繩子拉著小車前進(jìn)，小車位于高出繩，一人用繩子拉著小車

14、前進(jìn)，小車位于高出繩端端h的平臺(tái)上，人的速率的平臺(tái)上，人的速率v0 不變，求小車的速度和加速度大小不變，求小車的速度和加速度大小. 解解小車沿直線運(yùn)動(dòng)，以小車前進(jìn)方向?yàn)閤軸正方向，以滑輪為坐標(biāo)原點(diǎn)，小車的坐標(biāo)為x，人的坐標(biāo)為s，由速度的定義，小車和人的速度大小應(yīng)為0.dsvdt人由于定滑輪不改變繩長，所以小車坐標(biāo)的變化率等于拉小車的繩長的變化率，即dxdt車，圖圖1.5dxdldtdt車首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出203222022dvv hadtxh車又由圖1.5可以看出有 ，兩邊對(duì)t求導(dǎo)得222hxl22dldslsdtdt或02222vsv ssvlshsh人人車同理可

15、得小車的加速度大小為首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出211.2.2 曲線運(yùn)動(dòng)的描述曲線運(yùn)動(dòng)的描述1）物體作拋體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件：）物體作拋體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件： 00000夾角且常量vaav與2）重力場中拋體運(yùn)動(dòng)的描述）重力場中拋體運(yùn)動(dòng)的描述 (1)(1)速度公式速度公式 gtvvvvyxsincos00(2)(2)坐標(biāo)公式坐標(biāo)公式 20021sincosgttvytvx1、平面曲線運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)系描述、平面曲線運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)系描述以拋體運(yùn)動(dòng)為例以拋體運(yùn)動(dòng)為例XY0v首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出22(3) 幾個(gè)重要問題幾個(gè)重要問題 (i)射高射高 :gvtvHys

16、in, 00這時(shí)將將tH代入坐標(biāo)公式代入坐標(biāo)公式y(tǒng)中中 得得 gvH2sin220（或看成（或看成豎直上拋）豎直上拋）sin0v(ii)射程：射程： gvtTHsin220飛行總時(shí)間飛行總時(shí)間 代入坐標(biāo)公式代入坐標(biāo)公式x中中 得得 gvR2sin20討論：討論： 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，射程最大射程最大 4gvR20 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 有最大射高有最大射高 2gvH220首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出23）自然坐標(biāo)系）自然坐標(biāo)系 (1)(1)坐標(biāo)架單位矢坐標(biāo)架單位矢： 00, n方向通常指向前進(jìn)方向，方向通常指向前進(jìn)方向， 0方向指向曲線凹側(cè)方向指向曲線凹側(cè) 0n/o/0/0n/r0s0s

17、0r00nprd2、曲線運(yùn)動(dòng)的自然坐標(biāo)系描述、曲線運(yùn)動(dòng)的自然坐標(biāo)系描述 質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，將質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡曲線作為一維坐標(biāo)的質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，將質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡曲線作為一維坐標(biāo)的軸線軸線自然坐標(biāo)。自然坐標(biāo)。 從從O/點(diǎn)起，點(diǎn)起，p點(diǎn)的弧長為點(diǎn)的弧長為S 弧坐標(biāo)弧坐標(biāo))(srr(2)位置表示法位置表示法首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出242）切向加速度和法向加速度）切向加速度和法向加速度 tBCtvatt00limlimtvtvtnt00limlimvnvtvvnt0lim(3)(3)元位移元位移 0dsrd P1P2vvvABCvvvvvnv首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出

18、出25a、切向加速度切向加速度 00vvt;tvat0limdtvdab、法向加速度法向加速度 00nvvtn;tvantn0limdtvdann0dtdv022dtsdtvt00lim0dtdv0limntv0ndtdv0ndtdv0ndtdsdsdv02ndsdv首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出26dsdkddsk102nvan020nvdtdvaaatgan1的夾角與22222 vdtdvaaanxayaaxynaaa 將將a向不同的坐標(biāo)軸中投影向不同的坐標(biāo)軸中投影注意注意 的區(qū)別的區(qū)別dtdvdtvd與引入曲率、曲率半徑引入曲率、曲率半徑首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁

19、 退退 出出27例例1.2以速度以速度v0 平拋一小球，不計(jì)空氣阻力，求平拋一小球，不計(jì)空氣阻力，求t時(shí)刻小球的時(shí)刻小球的切向加速度量值切向加速度量值a 、法向加速度量值、法向加速度量值an和軌道的曲率半徑和軌道的曲率半徑. 解：由圖可知解：由圖可知 singa xg2220tggtgygcosgan22200tgg22202tgtg2222 2 3/2200()xynnvvg tvaagv首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出283、圓周運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)位矢 ),(srr速度 ,00vdtdsv加速度 020nvdtdvaaan勻速率圓周運(yùn)動(dòng)：勻速率圓周運(yùn)動(dòng)： a 0常數(shù)Rvan2元位

20、移 0dsrd 1）圓周運(yùn)動(dòng)的線量描述）圓周運(yùn)動(dòng)的線量描述首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出292）圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述）圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述 t 角位置角位置12角位移角位移 dtdtt0lim角速度角速度角加速度角加速度220limdtddtdtt2p 2r 1r 1p 0 1 2 （1）基本知識(shí)）基本知識(shí)首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出30（2）勻角加速圓周運(yùn)動(dòng)）勻角加速圓周運(yùn)動(dòng)請(qǐng)與勻速率圓周運(yùn)動(dòng)區(qū)別。請(qǐng)與勻速率圓周運(yùn)動(dòng)區(qū)別。 當(dāng)我們用平面極坐標(biāo)描述圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有一個(gè)變量當(dāng)我們用平面極坐標(biāo)描述圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有一個(gè)變量，故其可與勻變速直線運(yùn)動(dòng)類比。故其可與勻變速直線

21、運(yùn)動(dòng)類比。 勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng)1221222000221xxavvattvxxatvv勻角加速圓周運(yùn)動(dòng)勻角加速圓周運(yùn)動(dòng)1221222000221ttt常數(shù)即首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出313）線量與角量的關(guān)系）線量與角量的關(guān)系 同一種運(yùn)動(dòng)的兩種描述方法，二者必有聯(lián)系。同一種運(yùn)動(dòng)的兩種描述方法，二者必有聯(lián)系。 rv角速度矢量的方向：角速度矢量的方向：由右手螺旋法規(guī)確定。由右手螺旋法規(guī)確定。角速度矢量與線速度角速度矢量與線速度的關(guān)系。的關(guān)系。0rvRdds dtdsv dtdva Rvan2dtdRRdtdRR2R首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出32例例1

22、.3一飛輪以轉(zhuǎn)速一飛輪以轉(zhuǎn)速n1 500轉(zhuǎn)每分轉(zhuǎn)每分(rev/min)轉(zhuǎn)動(dòng)，受制轉(zhuǎn)動(dòng)，受制動(dòng)后而均勻地減速，經(jīng)動(dòng)后而均勻地減速，經(jīng)t50 s后靜止后靜止.(1)求角加速度求角加速度和從和從制動(dòng)開始到靜止飛輪的轉(zhuǎn)數(shù)制動(dòng)開始到靜止飛輪的轉(zhuǎn)數(shù)N；(2)求制動(dòng)開始后求制動(dòng)開始后t25 s時(shí)時(shí)飛輪的角速度飛輪的角速度；(3)設(shè)飛輪的半徑設(shè)飛輪的半徑R1 m，求，求t25 s時(shí)飛時(shí)飛輪邊緣上任一點(diǎn)的速度和加速度輪邊緣上任一點(diǎn)的速度和加速度.22001=5050(50) =1250 rad 22tt解(1)由題知 ，當(dāng)t50 s時(shí)0，故由式(1.26)可得： 0150022=50 rad/s60n050=3

23、.14 rad/s50t 從開始制動(dòng)到靜止，飛輪的角位移及轉(zhuǎn)數(shù)分別為：1250625 rev2N首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出33(2)t25 s時(shí)飛輪的角速度為：0t502525 rad/s(3)t25 s時(shí)飛輪邊緣上任一點(diǎn)的速度為vR1 2578.5 m/s 相應(yīng)的切向加速度和向心加速度為：2R3.14 m/sa 2232R1 (25 )6.16 10 m/sna 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出34 1、已知運(yùn)動(dòng)方程，求速度、加速度、已知運(yùn)動(dòng)方程，求速度、加速度(用求導(dǎo)法用求導(dǎo)法 )2、已知加速度、已知加速度(速度速度)，初始條件，求速度，初始條件，求速度(

24、運(yùn)動(dòng)程運(yùn)動(dòng)程)(用積分的方用積分的方法法) dtrdvdtvdadtdva ttvvadtdv00ttadtvv00設(shè)初始條件為設(shè)初始條件為 ：t = 0 時(shí)，時(shí)，x=x0，v = v0dtdxv ttxxvdtdx00ttvdtxx001.2.3 運(yùn)動(dòng)學(xué)中的兩類問題運(yùn)動(dòng)學(xué)中的兩類問題22dtrd首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出35例例1.4已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為r3ti 4t2 j，式中，式中r以以m計(jì)，計(jì)，t以以s計(jì)，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道、速度、加速度計(jì)，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道、速度、加速度.x = 3t ，y = -4t2解將運(yùn)動(dòng)方程寫成分量式解將運(yùn)動(dòng)方程寫成分

25、量式消去參變量消去參變量t，得軌道方程：，得軌道方程： 4x2 9y0，這是頂點(diǎn)在原，這是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線點(diǎn)的拋物線.見圖見圖1.15.由速度定義得由速度定義得38drvitjdt其模為其模為 ，與，與x軸的夾角軸的夾角223(8 )vt8arctan.3t圖圖1.15首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出36由加速度的定義得由加速度的定義得8dvajdt 即加速度的方向沿即加速度的方向沿y軸負(fù)方向，大小為軸負(fù)方向，大小為28/.m s首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出37解由速率定義，有解由速率定義，有14dsvtdt 2281/nvam sR例例1.5一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為一

26、質(zhì)點(diǎn)沿半徑為1 m的圓周運(yùn)動(dòng)，它通過的弧長的圓周運(yùn)動(dòng)，它通過的弧長s按按st2 的規(guī)律變化的規(guī)律變化.問它在問它在2 s末的速率、切向加速度、末的速率、切向加速度、法向加速度各是多少？法向加速度各是多少？2t將將t2代入，得代入，得2 s末的速率為末的速率為14 29/vm s 其法向加速度為其法向加速度為由切向加速度的定義，得由切向加速度的定義，得 2224/.d sam sdt首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出38解：解：因?yàn)橐驗(yàn)?23 1224dtdtdtdt 例例1.6一飛輪半徑為一飛輪半徑為2 m，其角量運(yùn)動(dòng)方程為，其角量運(yùn)動(dòng)方程為23t4 (SI)，求距軸心求距軸心1

27、m處的點(diǎn)在處的點(diǎn)在2 s末的速率和切向加速度末的速率和切向加速度.3t將t2 代入，得2 s末的角速度為23 12 (2)45/rad s 2 s末的角加速度為224 248/rad s 在距軸心1 m處的速率為 vR45 m/s切向加速度為248/aRm s 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出39例例1.7 一質(zhì)點(diǎn)沿一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，其加速度軸運(yùn)動(dòng)，其加速度 a= kv2，式中，式中k為正常為正常數(shù)，設(shè)數(shù)，設(shè)t=0時(shí)，時(shí)，x=0，v=v0； （1）求）求v和和x作為作為 t 的函數(shù)的表示的函數(shù)的表示式；式； （2）求）求v作為作為x函數(shù)的表示式。函數(shù)的表示式。 分離變量得2dvk

28、dtv 11vktc積分得001vvvkt解解 (1)因?yàn)橐驗(yàn)?2dvadtkv dt 因?yàn)閠0時(shí)，v ， 所以 .代入，并整理得0v101cv 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出40再由dxvdt，將v的表示式代入，并取積分02020v1ln(1)1vdtxckv tcktk因?yàn)閠0時(shí)，x0，所以 0.于是2c01ln(1)xkv tk首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出413dvvkdxc-kx0vv e3lnkxvcdvdv dxdvavdtdx dtdx(2)因?yàn)?2vdvkvdx 所以有 分離變量，并取積分因?yàn)閤0時(shí)，v ，所以 代入，并整理得0v30ln.cv

29、 首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出421-3 相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng) 引出：運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，運(yùn)動(dòng)的描述具有相對(duì)性。引出：運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，運(yùn)動(dòng)的描述具有相對(duì)性。以車站為參照系以車站為參照系以汽車為參照系以汽車為參照系車站車站車站車站首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出43一、運(yùn)動(dòng)參照系，靜止參照系一、運(yùn)動(dòng)參照系，靜止參照系 、“靜止參照系靜止參照系”、“運(yùn)動(dòng)參照系運(yùn)動(dòng)參照系”都是相對(duì)的。都是相對(duì)的。 對(duì)于一個(gè)處于運(yùn)動(dòng)參照系中的物體，相對(duì)于靜止參照系的運(yùn)動(dòng)對(duì)于一個(gè)處于運(yùn)動(dòng)參照系中的物體，相對(duì)于靜止參照系的運(yùn)動(dòng)稱為稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)絕對(duì)運(yùn)動(dòng);相對(duì)于觀察者為靜止的相對(duì)于觀察者為靜止的參照系參照

30、系,稱為稱為靜止參照系。靜止參照系。相對(duì)于觀察者為運(yùn)動(dòng)的相對(duì)于觀察者為運(yùn)動(dòng)的參照系參照系,稱為稱為運(yùn)動(dòng)參照系。運(yùn)動(dòng)參照系。Xv絕r牽r相r運(yùn)動(dòng)參照系相對(duì)于靜止參照系的運(yùn)動(dòng)稱為運(yùn)動(dòng)參照系相對(duì)于靜止參照系的運(yùn)動(dòng)稱為牽連運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng);物體相對(duì)于運(yùn)動(dòng)參照系的運(yùn)動(dòng)稱為物體相對(duì)于運(yùn)動(dòng)參照系的運(yùn)動(dòng)稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng)。相對(duì)運(yùn)動(dòng)。首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出44XYOSX/Y/O/S/v0P/rr/or二、參照系彼此之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)二、參照系彼此之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng) （非相對(duì)論效應(yīng)）（非相對(duì)論效應(yīng)） 設(shè)設(shè)系相對(duì)系以速度系相對(duì)系以速度v運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)，P為為S/系中的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，系中的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)， P對(duì)于對(duì)于O點(diǎn)的位

31、矢為絕對(duì)位矢點(diǎn)的位矢為絕對(duì)位矢r O/對(duì)于對(duì)于O點(diǎn)的位矢為牽連位矢點(diǎn)的位矢為牽連位矢r0 P對(duì)于對(duì)于O/點(diǎn)的位矢為相對(duì)位矢點(diǎn)的位矢為相對(duì)位矢rrrr0在牛頓的時(shí)、空觀中在牛頓的時(shí)、空觀中即絕對(duì)位矢即絕對(duì)位矢=牽連位矢牽連位矢+相對(duì)位矢相對(duì)位矢首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出45絕對(duì)速度絕對(duì)速度v絕絕，牽連速度，牽連速度v牽牽，相對(duì)速度，相對(duì)速度v相相 ，且有，且有vvv0絕 將上式再對(duì)將上式再對(duì)t求導(dǎo)，即可得絕對(duì)加速度，牽連加速度，相加對(duì)求導(dǎo)，即可得絕對(duì)加速度，牽連加速度，相加對(duì)速度速度 之間的關(guān)系之間的關(guān)系/0aaa絕rrr0將將 兩邊對(duì)兩邊對(duì)t t求導(dǎo)，求導(dǎo)， 即得即得兩點(diǎn)說

32、明：兩點(diǎn)說明：上述各式均只在上述各式均只在vc時(shí)成立；時(shí)成立；上述結(jié)論只適用于兩參考系間不存在轉(zhuǎn)動(dòng)的情況。上述結(jié)論只適用于兩參考系間不存在轉(zhuǎn)動(dòng)的情況。首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出46三、同一參照系內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)三、同一參照系內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng) 兩質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位矢，即兩質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位矢，即B對(duì)對(duì)A的位矢為的位矢為 ABBArrrB對(duì)對(duì)A的相對(duì)速度的相對(duì)速度 ABBAvvvB對(duì)對(duì)A的相對(duì)加速度的相對(duì)加速度 ABBAaaa 若一質(zhì)點(diǎn)系同在某一基本參若一質(zhì)點(diǎn)系同在某一基本參考系內(nèi)運(yùn)動(dòng)，如果我們討論的考系內(nèi)運(yùn)動(dòng)，如果我們討論的是質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)運(yùn)是質(zhì)點(diǎn)

33、系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則有時(shí)運(yùn)用下面的方法要?jiǎng)樱瑒t有時(shí)運(yùn)用下面的方法要方便些。方便些。 設(shè)設(shè)A、B為質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的兩個(gè)質(zhì)為質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們同在點(diǎn)，它們同在OXYZ系內(nèi)運(yùn)動(dòng)，系內(nèi)運(yùn)動(dòng)，rA、rB為對(duì)為對(duì)O點(diǎn)的位矢，則點(diǎn)的位矢，則ArBrBAr首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出47 后一種描述相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方法可以統(tǒng)一到前一種方法中。例后一種描述相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方法可以統(tǒng)一到前一種方法中。例如，將如，將A質(zhì)點(diǎn)看成質(zhì)點(diǎn)看成S/系，則系，則rA為牽連位矢，為牽連位矢，rBA為相對(duì)位矢，為相對(duì)位矢，則則rB為絕對(duì)位矢，于是有為絕對(duì)位矢，于是有BAABrrr首首 頁頁 上上 頁頁 下下 頁頁 退退 出出48(船換向時(shí)間忽略不計(jì)船換向時(shí)間忽略不計(jì)).例例1.91.9如圖如圖1.18(a)1.18(a)所示，河寬為所示，河寬為L L，河水以恒定速度，河水以恒定速度u u流動(dòng)，岸邊有流動(dòng)，岸邊有A A，B B碼頭，碼頭，A A，B B連線與岸邊垂直，碼頭