第4章靜態(tài)場分析

1、電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析四、媒質(zhì)中的麥克斯韋方程組四、媒質(zhì)中的麥克斯韋方程組 積分形式 微分形式Cd() dlSDHlJStddlSBElSt ddVSVDSVd0SBSCddVSVJSVt CDHJtBEt VD0BCVJt 三個物態(tài)方程： EDHBCJE電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析電磁場中各參量的邊界條件，歸納如下。 標量形式 矢量形式12 ()SnJJt 1212()0JJn12SSAA1n2nSJJt 1t2t12JJ12SS1212SSSnn1n2nsDD12 ()SnDD1t2tEE12()0nEE1n2nBB12

2、 ()0nBB1t2tSHHJ12()SnHHJ電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析第4章 靜態(tài)場分析一、靜態(tài)場特性一、靜態(tài)場特性二、泊松方程和拉普拉斯方程二、泊松方程和拉普拉斯方程三、靜態(tài)場的重要原理和定理三、靜態(tài)場的重要原理和定理四、鏡像法四、鏡像法五、分離變量法五、分離變量法六、復變函數(shù)法六、復變函數(shù)法靜態(tài)場的工程應(yīng)用靜態(tài)場的工程應(yīng)用電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析靜態(tài)場的工程應(yīng)用靜態(tài)場的工程應(yīng)用均勻電場中帶電粒子的軌跡陰極射線示波器原理(電視機，示波器）電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析噴墨打印機工作原理選礦

3、器硫酸鹽礦石英含石英硫酸鹽礦電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析磁分離器回旋加速器電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析磁懸浮列車電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析磁錄音原理：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析一、靜態(tài)場特性1. 靜態(tài)場基本概念 靜態(tài)場是指電磁場中的源量和場量都不隨時間發(fā)生變化的場。 靜態(tài)場包括靜電場、恒定電場及恒定磁場，它們是時變電磁場的特例。 靜電場是指由靜止的且其電荷量不隨時間變化的電荷產(chǎn)生的電場。 恒定電場是指導電媒質(zhì)中，由恒定電流產(chǎn)生的電場。 恒定磁場是指由恒定電流或永久

4、磁體產(chǎn)生的磁場，亦稱為靜磁場。 0,0,0VDBttt電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析ccddd0ddd0d0lSlVSVSSHlJSElDSVBSJScc000VHJEDBJ1. 靜態(tài)場的麥克斯韋方程組 靜態(tài)場與時變場的最本質(zhì)區(qū)別：靜態(tài)場中的電場和磁場是彼此獨立存在的。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析1. 靜電場的泊松方程和拉普拉斯方程二、泊松方程和拉普拉斯方程 EVDE ()V 2V20靜電場基本方程d0ddlVSVElDSV0VEDDE靜電場是有散(有源)無旋場，是保守場。泊松方程拉普拉斯方程0無源區(qū)域 電磁場與電磁波電磁場與電磁波

5、第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析2. 恒定電場的拉普拉斯方程E c0JE()0 20恒定電場基本方程cd0d0lSElJS00EJcJE導電媒質(zhì)中的恒定電場具有無散、無旋場的特征，是保守場拉普拉斯方程電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析1. 恒定磁場的矢量泊松方程BAcBHJ cAJ2c()AAAJ 0A 洛侖茲規(guī)范 矢量泊松方程 2cAJ cddd0lSSHlJSBSc0HJBBH恒定磁場基本方程 恒定磁場是無散有旋場。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析20A矢量拉普拉斯方程 mH 0H注意： 標量磁位只有在無源區(qū)才能應(yīng)用，而矢量磁位則無此限

6、制。 2m0c0J 222xxyyzzAJAJAJ 2cAJ 分解在沒有電流分布的區(qū)域內(nèi)，磁場也成了無旋場，具有位場的性質(zhì)，引入標量磁位 來表示磁場強度。即mH m標量拉普拉斯方程 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析22222222xyz22222211()rr rrrz22222222111()(sin)sinsinRRRRRRu 拉普拉斯算子直角坐標系圓柱坐標系球坐標系電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析三、靜態(tài)場的重要原理和定理1. 對偶原理(1)概念：如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相同的數(shù)學形式，并具有對應(yīng)的邊界條件，那么它們解的數(shù)學形

7、式也將是相同的，這就是對偶原理，亦稱為二重性原理。具有同樣數(shù)學形式的兩個方程稱為對偶方程，在對偶方程中，處于同等地位的量稱為對偶量。靜電場(無源區(qū)域) 恒定電場(電源外區(qū)域) 0E0EE E 0Dc0JDEJE20 20 dSqDScdSIJS(2)靜電場與恒定電場I. 對偶方程II.對偶量電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析(3)靜電場與恒定磁場 對偶方程對偶量(4)有源情況下的對偶關(guān)系對偶關(guān)系存在不像上述兩種情況那樣一目了然(5)應(yīng)用 電偶極子和磁偶極子輻射的對偶關(guān)系， 某些波導中橫電波(TE波)和橫磁波(TM波)間的對偶關(guān)系 靜電場(無源區(qū)域) 恒定磁場(無源區(qū)域

8、) 0E0H0D0BDEBH202m0dSqDSdmSqBS電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析2R1R例1: 已知無限長同軸電纜內(nèi)、外半徑分別為 和 ，如圖所 示，電纜中填充均勻介質(zhì)，內(nèi)外導體間的電位差為 ，外導體接地。求其間各點的電位和電場強度。1R2RU解：根據(jù)軸對稱的特點和無限長的假設(shè)，可確定電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程，采用圓柱坐標系1()0rrrrlnArB積分由邊界條件1lnUARB20lnARB21122lnlnlnUUABRRRRR 221lnlnRURrR則：E 21lnrUEaRrR電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析解:

9、(1)由于內(nèi)、外導體的電導率很高，可以認為電力線仍和導體表面垂直，和靜電場的邊界條件一致，利用對偶原理，可以立即得到2221lnlnRURrR221lnrUEaRrR2121lnlnRURrR121lnrUEaRrR(2)單位長度同軸線漏電流密度為 c221lnrUJEaRrRc212dlnSUIJSRR例2: 如圖所示，在電纜中填充電導媒質(zhì)，其他條件同“例1”，求: (1)內(nèi)外導體間的電位及電場強度。(2)單位長度上該同軸線的漏電流。則漏電流為 2R1R電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析2. 疊加定理u若 和 分別滿足拉普拉斯方程，則 和 的線性組合必然滿足拉普拉斯

10、方程。 u 證明： 已知 和 滿足拉普拉斯方程 所以：12ab222212122212()()()ababab 22120 20 利用疊加定理，可以把比較復雜的場問題分解為較簡單問題的組合，便于求解。121221電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析3. 惟一性定理u 邊值問題的分類 n狄利克雷問題：給定整個場域邊界上的位函數(shù)值n聶曼問題：給定待求位函數(shù)在邊界上的法向?qū)?shù)值 n混合邊值問題：給定邊界上的位函數(shù)及其法向?qū)?shù)的線性組合 u 惟一性定理：在給定邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解 是惟一的。用反證法可以證明。( )f s( )f sn12( )( )f sfs

11、n惟一性定理為某些復雜電磁問題求解方法的建立提供了理論根據(jù)。鏡像法就是惟一性定理的直接應(yīng)用。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析四、鏡像法u鏡像法概念：在一定條件下，可以用一個或多個位于待求場域邊界以外虛設(shè)的等效電荷來代替導體表面上感應(yīng)電荷的作用，且保持原有邊界上邊界條件不變，則根據(jù)惟一性定理，空間電場可由原來的電荷和所有等效電荷產(chǎn)生的電場疊加得到。這些等效電荷稱為鏡像電荷，這種求解方法稱為鏡像法。 u理論依據(jù)：惟一性定理是鏡像法的理論依據(jù)。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析u應(yīng)注意的問題：鏡像電荷位于待求場域邊界之外。將有邊界的不均勻空間處理

12、為無限大均勻空間，該均勻空間中媒質(zhì)特性與待求場域中一致。實際電荷(或電流)和鏡像電荷(或電流)共同作用保持原邊界處的邊界條件不變。 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析 待求場域：上半空間 邊界： 無限大導體平面 邊界條件：1. 點電荷對無限大接地導體平面的鏡像 q導體平面0zddqqpxo1r2r導體平面在空間的電位為點電荷q 和鏡像電荷 -q 所產(chǎn)生的電位疊加，即012114qrr12rr電位滿足邊界條件導體平面邊界上：0電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析E 3/23/222222204()()xqxxExyz dxyz d3/23/222

13、222204()()yqyyExyz dxyz d3/23/222222204()()zqz dz dExyz dxyz d1/21/22222220114()()qxyzdxyzd上半空間的電場強度：電位：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析導體表面感應(yīng)電荷 導體表面上感應(yīng)電荷總量 導體表面上感應(yīng)電荷對點電荷的作用力0222 3/22()SnzqdDExyd 222 3/2d dd d2()SSqx yqdx yqxyd 22016zqFad 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析2. 線電荷對無限大接地導體平面的鏡像u 將無限長的線電荷看作無數(shù)

14、個點電荷的集合。根據(jù)點電荷對無限大接地導體平面的鏡像原理，可得到線電荷對應(yīng)的鏡像電荷仍為平行于導體表面的線電荷，其電荷密度為u 待求場域 中的電位u 上半空間的電場l(0)y 201ln2lrr120 10 222llrrEaarr電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析3. 點電荷對無限大介質(zhì)平面的鏡像12q11qqRRpdd設(shè)想用鏡像電荷代替界面上極化電荷的作用，并使鏡像電荷和點電荷共同作用，滿足界面上的邊界條件。當待求區(qū)域為介質(zhì)1所在區(qū)域時，在邊界之外設(shè)一鏡像電荷 q11144qqRR12244RRqqDaaRR介質(zhì)1中任一點的電位和電位移矢量分別為：電磁場與電磁波電

15、磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析22qqpR 當待求區(qū)域為介質(zhì)2所在區(qū)域時，設(shè)一鏡像電荷q位于區(qū)域1中，且位置與 q 重合，同時將整個空間視為均勻介質(zhì)2。于是區(qū)域2中任一點的電位和電位移矢量分別為：224qqR224RqqDaR在分界面(R = R= R)上，應(yīng)滿足電位和電位移矢量法向分量相等的邊界條件：1212nnDD12qqqqqqqq1212qqq 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析電介質(zhì)中的電場分布：電介質(zhì)中的電場分布：12111212qq 1212qq qqqqq22電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析4. 線電流對無限大

16、磁介質(zhì)平面的鏡像n 當計算上半空間的磁場時 可認為整個空間充滿磁導率為1的磁介質(zhì)，在下半空間有一鏡像電流I，與I關(guān)于分界面對稱(如圖所示)。上半空間任一點的磁場為122IIHaarr 設(shè)想用鏡像電流代替磁化電流的作用，并在界面上保持原有邊界條件不變電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析n 當計算下半空間磁場時 可認為整個空間充滿磁導率為2的磁介質(zhì)，在上半空間有一鏡像電流I，與電流I 位置重合(如圖)。下半空間任一點的磁場為n 在分界面(r = r= r)上，磁場滿足邊界條件：1t2tHH1n2nBB1tsinsin22IIHrr111ncoscos22IIBrr2tsin

17、2IIHr22n()cos2IIBr2121III22IIHar電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析討論：2121III (1) 當 時 ， ，說明 與 方向相同， 與 方向相反。210,0IIIIII(2) 當 時 ， ，說明 與 方向相反， 與 方向相同。210,0IIIIII221212222121limlim()2IBHIIrr(3) 當 有限 時 ， ，此時鐵磁質(zhì)中 但 。 1220B ,IIII 20H (4) 當 有限 時 ， ，此時 中磁場 為原來的兩倍。 221,IIII 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析II 2121II

18、上半空間的磁場：當 有限 時 ，12磁壁電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析II 2上半空間的磁場：當 有限 時 ，21電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析5. 點電荷對半無限大接地導體角域的鏡像由兩個半無限大接地導體平面形成角形邊界，當其夾角 為整數(shù)時，該角域中的點電荷將有(2n-1)個鏡像電荷，該角域中的場可以用鏡像法求解u 當n=2時：u 該角域外有3個鏡像電荷q1、 q2和q3 ，位置如圖所示。其中 ,nn123,qqqqqq電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析u 當n=3時：u 角域夾角為/n，n為整數(shù)時，有(2

19、n1)個鏡像電荷，它們與水平邊界的夾角分別為 u n不為整數(shù)時，鏡像電荷將有無數(shù)個，鏡像法就不再適用了；當角域夾角為鈍角時，鏡像法亦不適用。角域外有5個鏡像電荷，大小和位置如圖所示。所有鏡像電荷都正、負交替地分布在同一個圓周上，該圓的圓心位于角域的頂點，半徑為點電荷到頂點的距離。 (2),1,2,(1)(2)mmnn及3q3qqqqqq電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析6. 點電荷對導體球面的鏡像u 設(shè)一點電荷q位于半徑 a 為的接地導體球附近，與球心的距離為d，如圖所示。待求場域為r a區(qū)域，邊界條件為導體球面上電位為零。adqadqq 設(shè)想在待求場域之外有一鏡像電

20、荷q，位置如圖所示。根據(jù)鏡像法原理， q 和 q在球面上的電位為零。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析點電荷與接地導體球周圍的電場aa電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析0121()04cqqrr21rqqrqabqda qabqda aqqd2abd22 1/22224 1/2014(2cos)(2cos)qdrdrdd rdraaadqqc1r2rb在球面上任取一點c，則MN( ,)r空間任意點 的電位：( ,)r電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析導體球不接地：aqqd2abdaqqqd a a電磁場與電磁波電磁場

21、與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析u導體球不接地：根據(jù)電荷守恒定律，導體球上感應(yīng)電荷代數(shù)和應(yīng)為零，就必須在原有的鏡像電荷之外再附加另一鏡像電荷 q=q 22 1/22224 1/2014(2cos)(2cos)qdardrdd rdraadr0044qqad球外任一點電位： 球面上任一點電位：為了保證球面為等位面的條件，鏡像電荷q應(yīng)位于球心處 。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析例3： 有一接地導體球殼，內(nèi)外半徑分別為a1和a2，在球殼內(nèi)外各 有一點電荷q1和q2 ，與球心距離分別為d1和d2 ，如圖所示。求：球殼外、球殼中和球殼內(nèi)的電位分布。u 球殼外：邊界為

22、r = a2的導體球面，邊界條件為根據(jù)球面鏡像原理，鏡像電荷 的位置和大小分別為球殼外區(qū)域任一點電位為 2(, , )0a 222 1/22 224 1/2022222214(2cos)(2cos)aqrd rdd rd raa外2q2222abd2222aqqd 2a2d2q1q1a1d解：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析u 球殼內(nèi)：邊界為r = a1的導體球面，邊界條件為 根據(jù)球面鏡像原理，鏡像電荷 的位置和大小分別為 球殼內(nèi)區(qū)域任一點電位為 u 球殼中： 球殼中為導體區(qū)域，導體為等位體，球殼中的電位為零。1( , , )0a 1q2111abd1111aqqd

23、 22 1/201112 224 1/2111114(2cos)(2cos)qrd rdad rd raa內(nèi)用鏡像法解題時，一定要注意待求區(qū)域及其邊界條件，對邊界以外的情況不予考慮。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析7. 線電荷對導體圓柱面的鏡像u 待求區(qū)域：u 邊界條件：柱面上電位為零 設(shè)想鏡像線電荷 位于對稱面上，且與圓柱軸線距離為b，則導體柱面上任一點的電位表示為其中：ral1200lnln22llrr 面2212cosradad2222cosrabab電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析00ln()ln()22llMdaab 00ln(

24、)ln()22llNdaab ll 201ln2lrcr2212cosrrddr2222cosrrbbr2abd兩平行線電荷的電位分布 在柱面上取兩個特殊點M和N，則空間電位為：其中：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析8. 帶有等量異號電荷的平行長直導體圓柱間的鏡像 設(shè)想將兩導體圓柱面上的電荷用兩根平行的線電荷等效，線電荷密度分別為 和 ，其位置如圖所示。ll 其等位面是許多圓柱面，若讓其中兩個等位面分別與兩圓柱面重合，即滿足兩導體柱面為等位面的邊界條件。根據(jù)惟一性定理，待求區(qū)域中的場就由這兩個等效線電荷產(chǎn)生。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分

25、析兩電軸在空間產(chǎn)生的電位為等位面方程為201ln2lrr222221()()x cyrkrx cy22222212()()11kckxcykk2112111kxck12121ckak2222211kxck22221ckbk22212abdxd22222abdxd221cxan 通常把這兩個等效的線電荷稱為電軸，該方法也稱為電軸法12xxd2221xca2222xcb電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析例4：圖為一偏心電纜，內(nèi)導體半徑為a，外導體半徑為b，兩幾何軸線間距離為d，求兩等效電軸的位置。只要能求出假想電軸的位置，使兩個導體圓柱面分別和電場中兩個等位面重合，就滿足

26、了導電圓柱面為等位面的邊界條件。根據(jù)電軸法n兩等效電軸的位置分別位于（c，0）和（c，0）處。2221xbc2222xac12dxx22212dbaxd 22222dabxd 221cxb電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析五、分離變量法u理論基礎(chǔ)u惟一性定理u分離變量法的主要步驟 根據(jù)給定的邊界形狀，選擇適當?shù)淖鴺讼担_寫出該坐標系下拉普拉斯的表達式，及給定的邊界條件。 經(jīng)變量分離將偏微分方程化簡為常微分方程，并給出常微分方程的通解，其中含有待定常數(shù)。 利用給定的邊界條件，確定通解中的待定常數(shù)，獲得滿足邊界條件的特解。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分

27、析靜態(tài)場分析1.直角坐標系中二維拉普拉斯方程分離變量法u 本征方程的求解(1)當 時22220 xy( , )( ) ( )x yX x Y y22221d( )1 d ( )0( )d( ) dX xY yX xxY yyu 本征函數(shù)2221d( )( )dxX xkX xx2221d( )( )dyY ykY yy220 xykk0 xykk01020( )XxA xA01020( )YyB yB110201020( , )()()x yA xAB yBu 本征方程u 本征值電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析212121( , )(cossin)(coshsinh

28、)mmmmmmmmmx yAk xAk x Bk yBk y(2)當 時，設(shè)20 xk(1,2,)xmkkmjj12( )eemmk xk xmmmXxAA12( )eemmk yk ymmmYyBB或222d( )( )dmX xk X xx222d( )( )dmY yk Y yy220 xykk由ymkjk本征方程為：則：1212( )cossin( )coshsinhmmmmmmmmmmXxAk xAk xYyBk yBk y電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析312121( , )(coshsinh)(cossin)mmmmmmmmmx yAk xAk x B

29、k yBk y12( )eemmk xk xmmmXxAAjj12( )eemmk yk ymmmYyBB1212( )coshsinh( )cossinmmmmmmmmmmXxAk xAk xYyBk yBk y(3)當 時，設(shè)20 xk j(1,2,)xmkkm220 xykk由ymkk222d( )( )dmX xk X xx222d( )( )dmY yk Y yy 本征方程為：或則：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析u應(yīng)用疊加定理，可將三種解疊加組成拉普拉斯方程的通 , )()()cossincoshsinhcoshs

30、inhcossinmmmmmmmmmmmmmmmmmmx yA xAB yBAk xAk xBk yBk yAk xAk xBk yBk yn 三種解的特點：第一種解中，X(x)和Y(y)為常數(shù)或線性函數(shù)，說明它們最多只有一個零點；第二種解中， X(x)為三角函數(shù)，有多個零點， Y(y)為雙曲函數(shù)，最多只有一個零點；第三種解中， X(x)為雙曲函數(shù)，最多有一個零點，而Y(y)為三角函數(shù)，有多個零點。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析解: 選直角坐標系，電位函數(shù)滿足二維拉普拉斯方程 邊界條件： 例5：一接地金屬槽如圖所示，其側(cè)壁和底壁電位均為零，頂蓋與側(cè)壁絕緣，其電位為

31、U0，求槽內(nèi)電位分布。22220(1)xy0000(2)00(3)000(4)0(5)xybxaybyxaUybxa電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析設(shè) ，代入式(1) 中得:( , )( ) ( )x yX x Y y22221d( )1d( )0( )d( )dX xY yX xxY yy2221d( )( )dxX xkX xx 2221d( )( )dyY ykY yy 220 xykk( )sinmmX xAk xsin0mk a(1,2, )mmkma根據(jù)邊界條件(2)與(3)可知，函數(shù)X(x)沿x方向有兩個零點，因此X(x)應(yīng)為三角函數(shù)形式，又因為X(0

32、) =0，所以X(x)應(yīng)選取正弦函數(shù)，即由邊界條件(3)得：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析對應(yīng)的Y(y)函數(shù)為雙曲函數(shù)，且Y(0)=0，于是Y(y)的形式為( )sinh()mmY yBya此時，電位可表示為由邊界條件(5)知 其中：1( , )sin()sinh()mmmmx yCxyaa011sin()sinh()sin()mmmmmmmUCxbCxaaasinh()mmmCCba 電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析01sin()mmmUCxa0001sin()dsin()sin()daammnmnUxxCxxxaaa2001sin(

33、)sin()dsin ()d2aanmnmaCmnnCxx xCx xaaa0002sind(1,3,5,)aaUnUx xnan對上式兩邊同乘以 ，再對x從0到a進行積分，即sin()nxa電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析04(1,3,5,)nUCnn 04(1,3,5,)sinh()nUCnnnba01,3,4( ,)sin()sinh()sinh()mUmmx yxymaamba滿足邊界條件的特解為：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析例6: 一矩形區(qū)域邊界條件如圖所示，求區(qū)域內(nèi)的電位分布。12001V3100sinybabxyo解:

34、從圖可見，在 x=0 和 x=a 的兩個邊界上出現(xiàn)非零情況，將原問題分解為如圖所示兩種邊界條件情況。令101011V10abxyo20202023100sinybabxyo電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析(1)求 ：1( , )x y11( ,)sin()sinh()mmmmx yCyxbb14sinh()mVCmmab2211220 xy11111000000000yxaybxaxybVxayb101011V10abxyo類似于“例5”求解過程， 形式為：1( , )x y由非零邊界條件確定mC011,3,4( ,)sin()sinh()sinh()mVmmx y

35、yxmbbmab則：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析21( , )sin()sinh()mmmmx yDyaxbb13100sin()sin()sinh()mmmmyDyabbb2222220 xy222200 000003100sin()0 0yxaybxaxaybyxybb210033( , )sin()sinh()3sinh()x yyaxbbab可見，當m3時，當m3時：0mD33100/sinh()Dab(2)求求 ：2( , )x y其解為：由非零邊界條件得20202023100sinybabxyo則：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜

36、態(tài)場分析2.直角坐標系中三維拉普拉斯方程分離變量法2222220 xyz( , , )( ) ( ) ( )x y zX xY y Z z2222221 d1 d1 d0dddXYZXxYyZz根據(jù)本征值的不同取值，可以得到類似于二維情況的解的形式。2221d( )( )dxX xkX xx 2221d( )( )dyY ykY yy 2221d( )( )dzZ zkZ zz 2220 xyzkkk電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析u 為了在給定邊界條件下，選取適當?shù)耐ń夂瘮?shù)形式，教材表4-5中給出了一些 的典型組合。表中 和 是由邊界條件確定的實數(shù)。( , , )

37、x y zmknk電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析解: 選直角坐標系，電位函數(shù)滿足三維拉普拉斯方程及邊界條件2222220 xyz例7: 求圖示長方形體積內(nèi)的電位函數(shù)。0000,000,0000,000,0000,00,0 xybzcxaybzcyxazcybxazczxaybVzcxayb由邊界條件可以判斷，特征函數(shù)可表示為：( )sinmmX xAk x( )sinnnY yBk y( )sinhmnmnZ zCkz電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析( , , )0a y zsin0mk a 1,2,3,mmkma( , , )0 x

38、b zsin0nk b 1,2,3,nnknb由邊界條件可得：11( , , )sin()sin()sinh()mnmnmnnmx y zDk xk ykz電位函數(shù)可表示為：2220 xyzkkk由本征值關(guān)系可得：22 1/2()() mnmnkab2211( , , )sin()sin()sinh ()()mnnmmnmnx y zDxyzabab則：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析最后，由最后一個邊界條件得：22 1/2011sin()sin()sinh()() mnnmmnmnVDxycabab上式兩端同乘以 ，并對x, y積分，利用三角函數(shù)正交性可得：sin

39、()sin()stxyab0222 1/2161,3,5,;1,3,5, sinh()() mnVDmnmnmncab于是所求的電位函數(shù)為：0222 1/ 21,3,5,1,3,5,22 1/ 216( , ) sinh()() sin()sin()sinh()() nmVx y zmnmncabmnmnxyzabab電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析3. 3. 圓柱坐標系中的分離變量法圓柱坐標系中的分離變量法 2222211()0rr rrrz( , , )( )( ) ( )rzR rZ z 22222dd1 d1 d()0ddddrRZrrR rrZz2221

40、ddn 2221 ddzZkZz2221 dd()()0ddzRnrkrRrrr該方程的解常用的有四種情況該方程的解常用的有四種情況該方程的解有兩種情況該方程的解有兩種情況該方程的解有三種情況該方程的解有三種情況電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析( )coshsinhmmmmZ zCk zDk zu 的解：的解：00( )AB ( )cossinnnAnBn 20n (1) 當時，20n (2) 當時，( )(2) 由于，限定了n必須為正整數(shù)。00( )Z zC zD( )cossinmmmmZ zCk zDk z ，20zk jzmkkmk(2) 當時，設(shè) 為任意非

41、零實數(shù)。20zk zmkkmk(3) 當 時，設(shè)，為任意非零實數(shù)。20zk 時，(1) 當2221 ddn u 的的解解: :2221 ddzZkZz電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析2221 dd()()0ddzRnrkrR rrru 的解的解22222dd()0ddzRRrrk rn Rrr0000( )()()zzR rA Jk rB Nk r20n (1)當時，方程化簡為零階貝塞爾方程，其解的形式為( )nnnnR rA rB r20zk (2)當時，方程化簡為歐拉方程，其解的形式為( )lnR rArB( )()()nnznnzR rA Jk rB Nk r

42、220znk(3)當時，方程的解為220,0znk(4) 當時，方程的解為n階貝塞爾方程階貝塞爾方程電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析例8：在一均勻電場中，放置一無限長的圓柱導體，圓柱的軸線與電場強度的方向垂直，如圖所示，求放入圓柱導體后的電場分布。解：按題意應(yīng)選用圓柱坐標系。導體為等位體，導體內(nèi)部不存在電場，因而0(0)Era( )cosnAn ( )nnnnR rC rD r1( , )cos()nnnnnnrAnC rD r20n ( )根據(jù)題意可確定，的形式為220,0zkn( )R r當時，對應(yīng)的函數(shù)的形式為( , )r于是，電位的形式為：電磁場與電磁波電磁

43、場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析放置圓柱導體之后，使均勻場發(fā)生畸變，但遠離導體的地方，電場仍然保持均勻狀態(tài)。0 xEE a由 得相應(yīng)的電位函數(shù)為：E 00( , )|cosrrE xE r 10( , )()cosDrE rr 未放置圓柱導體前，空間電場為均勻場1n 110ACE 比較上兩式可知，當時，2n 0nA 當時，于是：1( , )cos()nnnnnnrAnC rD r已知：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析202(1)cosraEErr 202(1)sinaEErrmax02EEE 根據(jù) ，得到,0,rara及可見，在處，電場強度最大。20( ,

44、 )()cos(,02)arE rarr 故圓柱體外部空間的電位為10( , )()cos0DaE aa 10Daa21Da 邊界條件為圓柱導體表面為等位面，取該等位面電位為零，即于是電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析4. 4. 球坐標系中的分離變量法球坐標系中的分離變量法 222222111()(sin)0sinsinrrrrrr( , , )( )( )( )rR r 2222sinddsindd1 d()(sin)0dddddRrRrr2221 ddm 21 dd()(1)ddRrn nRrr221dd(sin)(1)0sinddsinmn n 該方程只討論電位

45、與方位角無關(guān)的情況該方程只討論電位與方位角無關(guān)的情況該方程的解有兩種情況該方程的解有兩種情況該方程的解有兩種情況該方程的解有兩種情況電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析0,20m ( )A 20n 100( )R rAB r20n (1)( )nnnnR rA rB r20n (1)時，(2)時，的情況不存在。當電位與方位角無關(guān)時，即：2221 ddm 的解的解 的解的解21 dd()(1)ddRrn nR rr電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析0nQ當或時，是發(fā)散的。而電位應(yīng)為有限值，所以nQ的解中不含有 項。(1)0( , )(cos )n

46、nnnnnrA rB rP( , )r通過以上分析，電位 的通解為nAnB和 根據(jù)給定的邊界條件來確定。 20n 0000( )(cos )(cos )A PB Q 20n ( )(cos )(cos )nnnnA PB Q (1)時，(2)時，勒讓德方程 1dd(sin)(1)0sinddn n 221dd(sin)(1)0sinddsinmn n 的解的解電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析六、復變函數(shù)法六、復變函數(shù)法 u 利用復變函數(shù)中的一些解析函數(shù)性質(zhì)可以直接表示某些具有導體邊界的二維場。u 利用復變函數(shù)中解析函數(shù)的保角變換性質(zhì)，可以將復雜的場域邊界變換成比較簡

47、單的邊界，這給具有復雜場域邊界的二維電磁場的求解提供了一種比較簡便的方法。u 利用復變函數(shù)求解電磁場邊值問題的方法，稱為復變函數(shù)法。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析u 復變函數(shù)：自變量為復數(shù)的函數(shù)。 ( )( , )j ( , )W zu x yv x yu 解析函數(shù)uvxyuvyx 柯西黎曼條件是判斷復變函數(shù)是否為解析函數(shù)的必要和充分條件。 1. 復變函數(shù)的性質(zhì)復變函數(shù)的性質(zhì) 柯西黎曼條件：自變量jzxy-復變函數(shù)1uvrr1vurr 或電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析u 復變函數(shù)的幾個重要性質(zhì)復變函數(shù)的幾個重要性質(zhì)（1）復變函數(shù)中解析

48、函數(shù)的實部和虛部都滿足二維拉普拉斯方程。uvxyuvyx 柯西黎曼條件：222uvxy x 222uvyx y 可見：22220uuxy同理：22220vvxy柱坐標中：22211()0uurrrrr22211()0vvrrrrr電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析（2）在坐標變量為x及y的復平面z上，解析函數(shù)W(z)的實部u(x,y)等于常數(shù)的曲線與虛部v(x,y)等于常數(shù)的曲線處處正交。令：1 ,2( , )( , )u x yCv x yC對這兩條曲線求梯度：xyuuuaaxy xyvvvaaxy 可見：0u vuvu uu uuvxxyyxyyx 說明：u(x,y)等于常數(shù)的曲線與虛部v(x,y)等于常數(shù)的曲線處處正交。電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析(3) 解析函數(shù)W(z)可將復平面z上的兩條相交曲線保角變換到坐標變量為u+jv的復平面W上。保角變換的含義：電磁場與電磁波電磁場與電磁波第第4章章 靜態(tài)場分析靜態(tài)場分析2 . 復變函數(shù)法復變函數(shù)法 復(電)位函數(shù) ( )( , )j ( , )W zu x yv x y 若已知某一解析函數(shù)WW( (z z) )的實部（或虛部）等于常數(shù)的曲