例析遞推數(shù)列通項求法

1、例析遞推數(shù)列通項求法有關遞推數(shù)列通項的求解問題，是考試的熱點，也是學生學習的難點.本文精選幾例，加以歸類解析，旨在探討解題規(guī)律，揭示解題方法.題型一遞推關系式為an+1=pan+q(p,q為常數(shù)，且p1)型分析：這種類型的遞推數(shù)列，可由待定系數(shù)法將上述遞推公式寫成an+1+t=p(an+t),則有pt-t=q,可得t=-，故數(shù)歹Uan+是以p為公比的等比數(shù)列，然后再進一步求an.例1若數(shù)列an的前項n和為Sn,對于任意的n6N*,都有Sn=2an-3n,試求數(shù)列an的通項an.解：令n=1,則S1=a1=2a1-3,a1=3又Sn+1=2an+1-3(n+1)®,Sn=2an-3n兩

2、式相減得an+1=2an+1-2an-3,an+1=2an+3可由待定系數(shù)法設上式等價于an+1+t=2(an+t),則有t=3an+3是以公比為2的等比數(shù)列，其首項為a1+3=6,an+3=(a1+3)2n-1=6x2n-1=3x2n，an=3(2n-1).題型二遞推關系式為a?琢n+1=pa(p>0)型若p=1,則等式兩邊取常用對數(shù)或自然對數(shù)，化為：？琢lgan+1=p?茁lgan,得到首項為Igai,公比為的等比數(shù)列l(wèi)gan,所以lgan=()n-1lga1,得an=a1BB.若pw1,則等式兩邊取以p為底的對數(shù)得：？琢lgpan=?茁lgpan-1+1,這就轉(zhuǎn)化為題型一求通項的形

3、式.例2已知a1=2,點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖像上，其中n=1,2,3,.求數(shù)列an的通項.解：由已知可得an+1=a+2anan+1=(an+1)2-1,即an+1+1=(an+1)2;a1=2,an+1>1于是兩邊取對數(shù)得lg(an+1+1)=2lg(an+1),即=2數(shù)歹Ulg(an+1)是以首項為lg(a1+1)=lg3,公比為2的等比數(shù)列.lg(an+1)=2n-1lg3=lg32/.an+1=32B，an=32-1.題型三遞推關系式為an+2=pan+1+qan(p,q為常數(shù))型分析：這種類型的遞推數(shù)列，可用待定系數(shù)法將原遞推式an+2=pan+1+

4、qan寫成an+2-Aan+1=B(an+1-Aan),即an+2=(A+B)an+1-ABan,則有A+B=p,AB=-q,于是由韋達定理構(gòu)造一元二次方程解由A、B,便可得數(shù)列an+1-Aan是以B為公比的等比數(shù)列，即可轉(zhuǎn)化為前面的題型求通項的形式.例3已知數(shù)列an中，a1=1,a2=2,an+2=an+1+6an,求數(shù)列an的通項an.解：設an+2=an+1+6an可化為an+2-Aan+1=B(an+1-Aan),則有A+B=1AB=-6,于是A、B為方程x2-x-6=0的兩根，解得A=3B=-2或A=-2B=3,于是當A=3,B=-2時，an+2-3an+1=-2(an+1-3an),則數(shù)列an+1-3an是以首項為a2-3a1=2-3=-1,公比為-2的等比數(shù)列，an+1-3an=-(-2)n-1同理當A=-2,B=3時：an+2+2an+1=3(an+1+2an),于是亦可求得：an+1+2an=4x3n-1由兩式相減得：5an=