2019平的微積分第一章15極限存在準則與兩個重要極限ppt課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 極限存在準則極限存在準則 兩個重要極限兩個重要極限v極限存在準則極限存在準則v兩個重要極限兩個重要極限v小結(jié)小結(jié) 基本要求：基本要求：1. 理解極限存在的夾逼準則理解極限存在的夾逼準則.2. 了解單調(diào)有界收斂準則了解單調(diào)有界收斂準則. 3. 會用兩個重要極限去求其它極限會用兩個重要極限去求其它極限.要記住兩個重要極限的各種形式要記住兩個重要極限的各種形式,并能熟練應(yīng)用并能熟練應(yīng)用.一、夾逼準則一、夾逼準則1、關(guān)于數(shù)列收斂的夾逼準則、關(guān)于數(shù)列收斂的夾逼準則滿足下列條件：滿足下列條件：若數(shù)列若數(shù)列 111)( ,)( ,)(nnnnnnzyx),3 , 2 , 1()1( nzxyn

2、nn,lim,lim)2(azaynnnn .lim,)(1axxnnnn 且且的的極極限限存存在在則則數(shù)數(shù)列列注意注意 用夾逼準則求極限用夾逼準則求極限, , 關(guān)鍵是構(gòu)造出關(guān)鍵是構(gòu)造出 ynyn與與 zn , zn , 并且并且 ynyn與與 zn zn 的極限相同且容易求的極限相同且容易求 . . 例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼得準則由夾逼得準則. 1)12111(lim222 nnnnn例例2 2.321lim)1(nnnnn 求

3、求.lim,)2(321321nnnnnaaaaaa 為為正正實實數(shù)數(shù)，求求設(shè)設(shè),maxlim321321aaaaaannnnn )()()(xhxfxg AxhAxgxx )(lim,)(lim)2(.)(lim,)(limAxfxfxx 且且存存在在則則有有時時或或當當。,)|(),()1(0MxrxUx 2 2、關(guān)于函數(shù)收斂的夾逼準則：、關(guān)于函數(shù)收斂的夾逼準則：( ), ( ), ( ) f x g x h x設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)滿滿足足如如下下條條件件：上述數(shù)列夾逼準則可以推廣到函數(shù)極限上述數(shù)列夾逼準則可以推廣到函數(shù)極限例例3 3 證明重要極限證明重要極限1sinlim0 xxx. )20(

4、xxAOB設(shè)設(shè)單單位位圓圓圓圓心心角角證明證明,AAOD過點作單位圓的切線 得,BBCOA過點作垂線xsin0 即即x ,tan x ,sin11tan1xxx 即即, 1sincos xxx.,02上上式式也也成成立立時時當當 x , 1sincos,2|0 xxxx有有時時當當 , 1coslim0 xx, 11lim0 x. 1sinlim0 xxxOBAx1DCAOBAODAOBSSS扇形則有例例4 40:limsin0 xx用夾逼準則證明重要極限重要極限(一一)1sinlim0 xxx01lim sin0,sinlim0 xxxxxx注意區(qū)別：0tanlimxxx例 求1201 co

5、slim.xxx 求例400( )( )sinlim1(lim( )0)xxxxxxx廣中 推： 其0sin3limsin5xxx 求例31lim sin1xxx注意：0arcsinlimxxx例2 求二、單調(diào)有界收斂準則二、單調(diào)有界收斂準則若數(shù)列若數(shù)列xnxn滿足：滿足：x1 x2 xn , 就就稱為遞增數(shù)列稱為遞增數(shù)列.x1 x2 xn , 就就稱為遞減數(shù)列稱為遞減數(shù)列.單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列單調(diào)有界收斂準則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界收斂準則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限.假設(shè)假設(shè) xn 單調(diào)增加且有上界單調(diào)增加且有上界 M, 那么那么 xn 必有必有極限極限且有且有 .Mxnn lim假設(shè)假設(shè) x

6、n 單調(diào)減少且有下界單調(diào)減少且有下界 m, 那么那么 xn 必有必有極限極限且有且有 .mxnn lim例例1 121111,(1,2,) ,22(1).(2)lim.nnnnnxxxnxx設(shè)求證： 數(shù)列單調(diào)遞增且有上界求注意注意 在取極限前應(yīng)該先證明數(shù)列在取極限前應(yīng)該先證明數(shù)列 xn 有極限有極限.這時常用的一個方法是先證明數(shù)列這時常用的一個方法是先證明數(shù)列 xn 單調(diào)有界單調(diào)有界.例例2 2.lim,lim,3,3,31121nnnnnnxxxxxxx 并求并求存在存在證明證明設(shè)設(shè)證證33312 xx3 ,1x ,1kkxx 假假定定11233 kkkkxxxx則則有有 .是是單單調(diào)調(diào)遞遞

7、增增的的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 31則則有有33 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,limAxnn 設(shè)設(shè),31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx 兩兩邊邊取取極極限限得得,32AA 即即2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx例例3 3.lim,10,22,2 11nnnnnxcxcxcxx 求求其中其中為：為：設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列解法一解法一先證明數(shù)列先證明數(shù)列xn單調(diào)有界單調(diào)有界.再兩邊同時取極限解出極限值再兩邊同時取極限解出極限值.解法二解法二,212cxnnn cxnnnnn212lim

8、lim .c 練習(xí)練習(xí).lim)2(.)1(, ), 2 , 1()(21,0,011nnnnnnxxnxaxxxa 求求單調(diào)減少且有下界單調(diào)減少且有下界數(shù)列數(shù)列求證：求證：設(shè)設(shè)例例4 4 重要極限重要極限exxx )11(lim定義定義.)11(limennn )()(xgxf形如形如 的函數(shù)的函數(shù)(f(x), g(x )是初等函數(shù)是初等函數(shù)),其中其中f(x)0且且 f(x )1,稱之為冪指函數(shù)稱之為冪指函數(shù).說明說明: 此極限也可寫為此極限也可寫為 exxx 10)1(limexxx )11(lim定義定義ennn )11(limnnnx)11( 設(shè)設(shè) 21! 2)1(1! 11nnnn

9、n).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 顯然顯然 ;是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記為記為)71828. 2( e類似地類似地,1時時當當 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而,

10、 e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim重要極限重要極限exxx )11(lim,)11(limexxx .)11(limexxx )(lim( )(11lim00)( xexxxxxx 其其中中可推廣為可推廣為)0)(lim( .)(1 lim00)(1 xexxxxxx 其其中中ex

11、xx 10)1(lim例5求 下列極限：.)11(lim)1(xxx .)21(lim)2(xxx .)tan31(lim)4(2cot20 xxx .)31(lim)3(10 xxx .)23(lim)5(2xxxx 0ln(1)(6) limxxxlimx例例6. 求求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1三、小結(jié)1.兩個準則兩個準則2.兩個重要極限兩個重要極限夾逼準則夾逼準則; 單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則 .; 1sinlim10 某某過過程程.)1(lim21

12、0e 某過程某過程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設(shè)設(shè) 思考題思考題求極限求極限 xxxx193lim 思考題解答思考題解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e._3cotlim40 xxx、一、填空題一、填空題:._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、._)1(lim610 xxx、練練 習(xí)習(xí) 題題._cotlim30 xxx、arcxxx2tan4)(tanlim2 、._)1(lim72 xxxx、._)11(lim8 xxx、xxxxsin2cos1lim10