2012二次函數經典中考試題(含解析)

1、2012年二次函數經典中考試題（含解析）一解答題（共30小題）1（2012鎮(zhèn)江）對于二次函數y=x23x+2和一次函數y=2x+4，把y=t（x23x+2）+（1t）（2x+4）稱為這兩個函數的“再生二次函數”，其中t是不為零的實數，其圖象記作拋物線E現有點A（2，0）和拋物線E上的點B（1，n），請完成下列任務：【嘗試】（1）當t=2時，拋物線E的頂點坐標是_；（2）判斷點A是否在拋物線E上；（3）求n的值【發(fā)現】通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實數，拋物線E總過定點，這個定點的坐標是_【應用1】二次函數y=3x2+5x+2是二次函數y=x23x+2和一次函數y=2x+4的

2、一個“再生二次函數”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由【應用2】以AB為一邊作矩形ABCD，使得其中一個頂點落在y軸上，若拋物線E經過點A、B、C、D中的三點，求出所有符合條件的t的值2（2012漳州）已知拋物線y=x2+1（如圖所示）（1）填空：拋物線的頂點坐標是（_，_），對稱軸是_；（2）已知y軸上一點A（0，2），點P在拋物線上，過點P作PBx軸，垂足為B若PAB是等邊三角形，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，點M在直線AP上在平面內是否存在點N，使四邊形OAMN為菱形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由3（2012揚州）已知拋物線y=ax2+b

3、x+c經過A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，直線l是拋物線的對稱軸（1）求拋物線的函數關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線l上是否存在點M，使MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由4（2012湘潭）如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標為（4，0）（1）求拋物線的解析式；（2）試探究ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；（3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標5（2012咸寧）如圖，在平面直角坐標系中，點C

4、的坐標為（0，4），動點A以每秒1個單位長的速度，從點O出發(fā)沿x軸的正方向運動，M是線段AC的中點將線段AM以點A為中心，沿順時針方向旋轉90°，得到線段AB過點B作x軸的垂線，垂足為E，過點C作y軸的垂線，交直線BE于點D運動時間為t秒（1）當點B與點D重合時，求t的值；（2）設BCD的面積為S，當t為何值時，S=？（3）連接MB，當MBOA時，如果拋物線y=ax210ax的頂點在ABM內部（不包括邊），求a的取值范圍6（2012通遼）如圖，在平面直角坐標系中，將一個正方形ABCD放在第一象限斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2）、點B（1，0），拋物線y=ax2ax2經過點C（1）求

5、點C的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否存在點P與點Q（點C、D除外）使四邊形ABPQ為正方形？若存在求出點P、Q兩點坐標，若不存在說明理由7（2012陜西）如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”（1）“拋物線三角形”一定是_三角形；（2）若拋物線y=x2+bx（b0）的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如圖，OAB是拋物線y=x2+bx（b0）的“拋物線三角形”，是否存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過O、C、D三點的拋物線的表達式；若不存在，說

6、明理由8（2012寧德）如圖，矩形OBCD的邊OD、OB分別在x軸正半軸和y軸的負半軸上，且OD=10，OB=8，將矩形的邊BC繞點B逆時針旋轉，使點C恰好與x軸上的點A重合（1）直接寫出點A、B的坐標：A（_，_）、B（_，_）；（2）若拋物線y=x2+bx+c經過A、B兩點，則這條拋物線的解析式是_；（3）若點M是直線AB上方拋物線上的一個動點，作MNx軸于點N，問是否存在點M，使AMN與ACD相似？若存在，求出點M的橫坐標；若不存在，說明理由；（4）當x7時，在拋物線上存在點P，使ABP得面積最大，求ABP面積的最大值9（2012寧波）如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A（

7、1，0），B（2，0），交y軸于C（0，2），過A，C畫直線（1）求二次函數的解析式；（2）點P在x軸正半軸上，且PA=PC，求OP的長；（3）點M在二次函數圖象上，以M為圓心的圓與直線AC相切，切點為H若M在y軸右側，且CHMAOC（點C與點A對應），求點M的坐標；若M的半徑為，求點M的坐標10（2012眉山）已知：如圖，直線y=3x+3與x軸交于C點，與y軸交于A點，B點在x軸上，OAB是等腰直角三角形（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）若直線CDAB交拋物線于D點，求D點的坐標；（3）若P點是拋物線上的動點，且在第一象限，那么PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標和P

8、AB的最大面積；若沒有，請說明理由11（2012萊蕪）如圖，頂點坐標為（2，1）的拋物線y=ax2+bx+c（a0）與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A、B兩點（1）求拋物線的表達式；（2）設拋物線的對稱軸與直線BC交于點D，連接AC、AD，求ACD的面積；（3）點E為直線BC上一動點，過點E作y軸的平行線EF，與拋物線交于點F問是否存在點E，使得以D、E、F為頂點的三角形與BCO相似？若存在，求點E的坐標；若不存在，請說明理由12（2012錦州）如圖，拋物線y=ax2+bx3交y軸于點C，直線l為拋物線的對稱軸，點P在第三象限且為拋物線的頂點P到x軸的距離為，到y軸的距離為1點C關于直線l

9、的對稱點為A，連接AC交直線l于B（1）求拋物線的表達式；（2）直線y=x+m與拋物線在第一象限內交于點D，與y軸交于點F，連接BD交y軸于點E，且DE：BE=4：1求直線y=x+m的表達式；（3）若N為平面直角坐標系內的點，在直線y=x+m上是否存在點M，使得以點O、F、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由13（2012呼倫貝爾）如圖，在平面直角坐標系內，RtABCRtFED，點C、D與原點O重合，點A、F在y軸上重合，B=E=30°，AC=FD=FED不動，ABC沿直線BE以每秒1個單位的速度向右平移，直到點B與點E重合為止，設移動x秒后兩

10、個三角形重疊部分的面積為s（1）求出圖中點B的坐標；（2）如圖，當x=4秒時，點M坐標為（2，），求出過F、M、A三點的拋物線的解析式；此拋物線上有一動點P，以點P為圓心，以2為半徑的P在運動過程中是否存在與y軸相切的情況？若存在，直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由（3）求出整個運動過程中s與x的函數關系式14（2012河池）如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底邊BC的垂直平分線和BC所在的直線建立平面直角坐標系，拋物線y=x2+x+4經過A、B兩點（1）寫出點A、點B的坐標；（2）若一條與y軸重合的直線l以每秒2個單位長度的速度向右平移，分別交線段OA、CA和拋物線于點E、M和

11、點P，連接PA、PB設直線l移動的時間為t（0t4）秒，求四邊形PBCA的面積S（面積單位）與t（秒）的函數關系式，并求出四邊形PBCA的最大面積；（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點P，使得PAM是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由15（2012貴港）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3的頂點為M（2，1），交x軸于點A、B兩點，交y軸于點C，其中點B的坐標為（3，0）（1）求拋物線的解析式；（2）設經過點C的直線與該拋物線的另一個點為D，且直線CD和直線CA關于直線CB對稱，求直線CD的解析式；（3）在該拋物線的對稱軸上存在點P，滿足P

12、M2+PB2+PC2=35，求點P的坐標；并直接寫出此時直線OP與該拋物線交點的個數16（2012廣元）如圖，在矩形ABCD中，AO=3，tanACB=以O為坐標原點，OC為x軸，OA為y軸建立平面直角坐標系，設D、E分別是線段AC、OC上的動點，它們同時出發(fā)，點D以每秒3個單位的速度從點A向點C運動，點E以每秒1個單位的速度從點C向點O運動設運動時間為t（秒）（1）求直線AC的解析式；（2）用含t的代數式表示點D的坐標；（3）在t為何值時，ODE為直角三角形？（4）在什么條件下，以RtODE的三個頂點能確定一條對稱軸平行于y軸的拋物線？并請選擇一種情況，求出所確定的拋物線的解析式17（201

13、2撫順）如圖，拋物線的對稱軸是直線x=2，頂點A的縱坐標為1，點B（4，0）在此拋物線上（1）求此拋物線的解析式；（2）若此拋物線對稱軸與x軸交點為C，點D（x，y）為拋物線上一動點，過點D作直線y=2的垂線，垂足為E用含y的代數式表示CD2，并猜想CD2與DE2之間的數量關系，請給出證明；在此拋物線上是否存在點D，使EDC=120°？如果存在，請直接寫出D點坐標；如果不存在，請說明理由18（2012恩施州）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與一直線相交于A（1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N其頂點為D（1）拋物線及直線AC的函數關系式；（2）設點M（3，m），求使MN+MD

14、的值最小時m的值；（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EFBD交拋物線于點F，以B，D，E，F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由；（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求APC的面積的最大值19（2012鄂州）已知：如圖一，拋物線y=ax2+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線y=x2經過A、C兩點，且AB=2（1）求拋物線的解析式；（2）若直線DE平行于x軸并從C點開始以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點E，D，同時動點P從點B出發(fā)，沿BO方向以每秒2個單位

15、速度運動，（如圖2）；當點P運動到原點O時，直線DE與點P都停止運動，連DP，若點P運動時間為t秒；設s=，當t為何值時，s有最小值，并求出最小值（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點的三角形與ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，請說明理由20（2012丹東）已知拋物線y=ax22ax+c與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，點A的坐標是（1，0），O是坐標原點，且|OC|=3|OA|（1）求拋物線的函數表達式；（2）直接寫出直線BC的函數表達式；（3）如圖1，D為y軸的負半軸上的一點，且OD=2，以OD為邊作正方形ODEF將正方形ODEF以每秒1個單位的速度沿x軸的

16、正方向移動，在運動過程中，設正方形ODEF與OBC重疊部分的面積為s，運動的時間為t秒（0t2）求：s與t之間的函數關系式；在運動過程中，s是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個最大值；如果不存在，請說明理由（4）如圖2，點P（1，k）在直線BC上，點M在x軸上，點N在拋物線上，是否存在以A、M、N、P為頂點的平行四邊形？若存在，請直接寫出M點坐標；若不存在，請說明理由21（2012大連）如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過A（，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，線段BC與拋物線的對稱軸相交于D該拋物線的頂點為P，連接PA、AD、DP，線段AD與y軸相交于點E（1）求該拋物線的解析式；（2

17、）在平面直角坐標系中是否存在點Q，使以Q、C、D為頂點的三角形與ADP全等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由；（3）將CED繞點E順時針旋轉，邊EC旋轉后與線段BC相交于點M，邊ED旋轉后與對稱軸相交于點N，連接PM、DN，若PM=2DN，求點N的坐標（直接寫出結果）22（2012朝陽）已知，如圖，在平面直角坐標系中，RtABC的斜邊BC在x軸上，直角頂點A在y軸的正半軸上，A（0，2），B（1，0）（1）求點C的坐標；（2）求過A、B、C三點的拋物線的解析式和對稱軸；（3）設點P（m，n）是拋物線在第一象限部分上的點，PAC的面積為S，求S關于m的函數關系式，并求使S最大時點P的坐

18、標；（4）在拋物線對稱軸上，是否存在這樣的點M，使得MPC（P為上述（3）問中使S最大時的點）為等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由23（2012濱州）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c經過A（2，4），O（0，0），B（2，0）三點（1）求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；（2）若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM+OM的最小值24（2012北京）已知二次函數y=（t+1）x2+2（t+2）x+在x=0和x=2時的函數值相等（1）求二次函數的解析式；（2）若一次函數y=kx+6的圖象與二次函數的圖象都經過點A（3，m），求m和k的值；（3）設二

19、次函數的圖象與x軸交于點B，C（點B在點C的左側），將二次函數的圖象在點B，C間的部分（含點B和點C）向左平移n（n0）個單位后得到的圖象記為G，同時將（2）中得到的直線y=kx+6向上平移n個單位請結合圖象回答：當平移后的直線與圖象G有公共點時，求n的取值范圍25（2012包頭）已知直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A，D兩點，拋物線y=x2+bx+c經過點A，D，點B是拋物線與x軸的另一個交點（1）求這條拋物線的解析式及點B的坐標；（2）設點M是直線AD上一點，且SAOM：SOMD=1：3，求點M的坐標；（3）如果點C（2，y）在這條拋物線上，在y軸的正半軸上是否存在點P，使BCP為等腰

20、三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由26（2011淄博）拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點C（0，2），與直線y=x交于點A（2，2），B（2，2）（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，線段MN在線段AB上移動（點M與點A不重合，點N與點B不重合），且MN=，若M點的橫坐標為m，過點M作x軸的垂線與x軸交于點P，過點N作x軸的垂線與拋物線交于點Q以點P，M，Q，N為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由27（2011營口）如圖（1），直線y=x+3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經過B、C兩點的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂

21、點為P（1）求該拋物線的解析式；（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點M，使以C、P、M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由；（3）連接AC，在x軸上是否存在點Q，使以P、B、Q為頂點的三角形與ABC相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；（4）當0x3時，在拋物線上求一點E，使CBE的面積有最大值（圖（2）、圖（3）供畫圖探究）28（2011煙臺）如圖，在直角坐標系中，梯形ABCD的底邊AB在x軸上，底邊CD的端點D在y軸上直線CB的表達式為y=x+，點A、D的坐標分別為（4，0），（0，4）動點P自A點出發(fā)，在AB上勻速運

22、行動點Q自點B出發(fā)，在折線BCD上勻速運行，速度均為每秒1個單位當其中一個動點到達終點時，它們同時停止運動設點P運動t（秒）時，OPQ的面積為s（不能構成OPQ的動點除外）（1）求出點B、C的坐標；（2）求s隨t變化的函數關系式；（3）當t為何值時s有最大值？并求出最大值29（2011襄陽）如圖，在平面直角坐標系xoy中，AB在x軸上，AB=10，以AB為直徑的O'與y軸正半軸交于點C，連接BC，ACCD是O'的切線，AD丄CD于點D，tanCAD=，拋物線y=ax2+bx+c過A，B，C三點（1）求證：CAD=CAB；（2）求拋物線的解析式；判斷拋物線的頂點E是否在直線CD上

23、，并說明理由；（3）在拋物線上是否存在一點P，使四邊形PBCA是直角梯形？若存在，直接寫出點P的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由30（2011湘西州）如圖拋物線y=x22x+3與x軸相交于點A和點B，與y軸交于點C（1）求點A、點B和點C的坐標（2）求直線AC的解析式（3）設點M是第二象限內拋物線上的一點，且SMAB=6，求點M的坐標（4）若點P在線段BA上以每秒1個單位長度的速度從 B 向A運動（不與B，A重合），同時，點Q在射線AC上以每秒2個單位長度的速度從A向C運動設運動的時間為t秒，請求出APQ的面積S與t的函數關系式，并求出當t為何值時，APQ的面積最大，最大面積是多少？

24、2013年3月zhp3709的初中數學組卷參考答案與試題解析一解答題（共30小題）1（2012鎮(zhèn)江）對于二次函數y=x23x+2和一次函數y=2x+4，把y=t（x23x+2）+（1t）（2x+4）稱為這兩個函數的“再生二次函數”，其中t是不為零的實數，其圖象記作拋物線E現有點A（2，0）和拋物線E上的點B（1，n），請完成下列任務：【嘗試】（1）當t=2時，拋物線E的頂點坐標是（1，2）；（2）判斷點A是否在拋物線E上；（3）求n的值【發(fā)現】通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實數，拋物線E總過定點，這個定點的坐標是A（2，0）、B（1，6）【應用1】二次函數y=3x2+5x+

25、2是二次函數y=x23x+2和一次函數y=2x+4的一個“再生二次函數”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由【應用2】以AB為一邊作矩形ABCD，使得其中一個頂點落在y軸上，若拋物線E經過點A、B、C、D中的三點，求出所有符合條件的t的值考點：二次函數綜合題2331208專題：計算題；壓軸題；新定義；數形結合分析：【嘗試】（1）將t的值代入“再生二次函數”中，通過配方可得到頂點的坐標；（2）將點A的坐標代入拋物線E上直接進行驗證即可；（3）已知點B在拋物線E上，將該點坐標代入拋物線E的解析式中直接求解，即可得到n的值【發(fā)現】將拋物線E展開，然后將含t值的式子整合到一起，令該式子為0（此時

26、無論t取何值都不會對函數值產生影響），即可求出這個定點的坐標【應用1】將【發(fā)現】中得到的兩個定點坐標代入二次函數y=3x2+5x+2中進行驗證即可【應用2】該題的關鍵是求出C、D的坐標；首先畫出相應的圖形，過C、D作坐標軸的垂線，通過構建相似三角形或全等三角形來求解在求得C、D的坐標后，已知拋物線E必過A、B，因此只需將C或D的坐標代入拋物線E的解析式中，即可求出符合條件的t值解答：解：【嘗試】（1）將t=2代入拋物線E中，得：y=t（x23x+2）+（1t）（2x+4）=2x24x=2（x1）22，此時拋物線的頂點坐標為：（1，2）（2）將x=2代入y=t（x23x+2）+（1t）（2x+4

27、），得 y=0，點A（2，0）在拋物線E上（3）將x=1代入拋物線E的解析式中，得：n=t（x23x+2）+（1t）（2x+4）=6【發(fā)現】將拋物線E的解析式展開，得：y=t（x23x+2）+（1t）（2x+4）=t（x2）（x+1）2x+4拋物線E必過定點（2，0）、（1，6）【應用1】將x=2代入y=3x2+5x+2，左邊=右邊=0，即點A在拋物線上將x=1代入y=3x2+5x+2，計算得：y=66，即可得拋物線y=3x2+5x+2不經過點B，二次函數y=3x2+5x+2不是二次函數y=x23x+2和一次函數y=2x+4的一個“再生二次函數”【應用2】如圖，作矩形ABC1D1和ABC2D2

28、，過點B作BKy軸于點K，過B作BMx軸于點M，易得AM=3，BM=6，BK=1，KBC1MBA，則：=，即=，求得 C1K=，所以點C1（0，）易知KBC1GAD1，得AG=1，GD1=，點D1（3，）易知OAD2GAD1，=，由AG=1，OA=2，GD1=，求得 OD2=1，點D2（0，1）易知TBC2OD2A，得TC2=AO=2，BT=OD2=1，所以點C2（3，5）拋物線E總過定點A（2，0）、B（1，6），符合條件的三點可能是A、B、C或A、B、D當拋物線E經過A、B、C1時，將C1（0，）代入y=t（x23x+2）+（1t）（2x+4），求得t1=；當拋物線E經過A、B、D1，A、

29、B、C2，A、B、D2時，可分別求得t2=，t3=，t4=滿足條件的所有t的值為：，點評：該題通過新定義的形式考查了二次函數、矩形、相似三角形、全等三角形等綜合知識，理解新名詞的含義尤為關鍵最后一題的綜合性較強，通過幾何知識找出C、D點的坐標是此題的難點所在2（2012漳州）已知拋物線y=x2+1（如圖所示）（1）填空：拋物線的頂點坐標是（0，1），對稱軸是x=0（或y軸）；（2）已知y軸上一點A（0，2），點P在拋物線上，過點P作PBx軸，垂足為B若PAB是等邊三角形，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，點M在直線AP上在平面內是否存在點N，使四邊形OAMN為菱形？若存在，直接寫出所有滿足

30、條件的點N的坐標；若不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題2331208分析：（1）根據函數的解析式直接寫出其頂點坐標和對稱軸即可；（2）根據等邊三角形的性質求得PB=4，將PB=4代入函數的解析式后求得x的值即可作為P點的橫坐標，代入解析式即可求得P點的縱坐標；（3）首先求得直線AP的解析式，然后設出點M的坐標，利用勾股定理表示出有關AP的長即可得到有關M點的橫坐標的方程，求得M的橫坐標后即可求得其縱坐標，解答：解：（1）頂點坐標是（0，1），對稱軸是y軸（或x=O）（2）PAB是等邊三角形，ABO=90°60°=30°AB=20A=4PB=4解法一：把y=4代

31、入y=x2+1，得 x=±2P1（2，4），P2（2，4） 解法二：OB=2P1（2，4） 根據拋物線的對稱性，得P2（2，4） （3）點A的坐標為（0，2），點P的坐標為（2，4）設線段AP所在直線的解析式為y=kx+b解得：解析式為：y=x+2設存在點N使得OAMN是菱形，點M在直線AP上，設點M的坐標為：（m，m+2）如圖，作MQy軸于點Q，則MQ=m，AQ=OQOA=m+22=m四邊形OAMN為菱形，AM=AO=2，在直角三角形AMQ中，AQ2+MQ2=AM2，即：m2+（m）2=22解得：m=±代入直線AP的解析式求得y=3或1，當P點在拋物線的右支上時，分為兩種

32、情況：當N在右圖1位置時，OA=MN，MN=2，又M點坐標為（，3），N點坐標為（，1），即N1坐標為（，1）當N在右圖2位置時，MN=OA=2，M點坐標為（，1），N點坐標為（，1），即N2坐標為（，1）當P點在拋物線的左支上時，分為兩種情況：第一種是當點M在線段PA上時（PA內部）我們求出N點坐標為（，1）；第二種是當M點在PA的延長線上時（在第一象限）我們求出N點坐標為（，1）存在N1（，1），N2（，1）N3（，1），N4（，1）使得四邊形OAMN是菱形點評：本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是仔細讀題，并能正確的將點的坐標轉化為線段的長，本題中所涉及的存在型問題更是近幾年中考的熱點

33、問題3（2012揚州）已知拋物線y=ax2+bx+c經過A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，直線l是拋物線的對稱軸（1）求拋物線的函數關系式；（2）設點P是直線l上的一個動點，當PAC的周長最小時，求點P的坐標；（3）在直線l上是否存在點M，使MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題2331208專題：綜合題；分類討論分析：（1）直接將A、B、C三點坐標代入拋物線的解析式中求出待定系數即可（2）由圖知：A、B點關于拋物線的對稱軸對稱，那么根據拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點即為符合

34、條件的P點（3）由于MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：MA=AC、MA=MC、AC=MC；可先設出M點的坐標，然后用M點縱坐標表示MAC的三邊長，再按上面的三種情況列式求解解答：解：（1）將A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c中，得：，解得：拋物線的解析式：y=x2+2x+3（2）連接BC，直線BC與直線l的交點為P；點A、B關于直線l對稱，PA=PB，BC=PC+PB=PC+PA設直線BC的解析式為y=kx+b（k0），將B（3，0），C（0，3）代入上式，得：，解得：直線BC的函數關系式y=x+3；當x=1時，y=2，即P的坐標（1，2）（3

35、）拋物線的對稱軸為：x=1，設M（1，m），已知A（1，0）、C（0，3），則：MA2=m2+4，MC2=（3m）2+1=m26m+10，AC2=10；若MA=MC，則MA2=MC2，得：m2+4=m26m+10，得：m=1；若MA=AC，則MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=±；若MC=AC，則MC2=AC2，得：m26m+10=10，得：m1=0，m2=6；當m=6時，M、A、C三點共線，構不成三角形，不合題意，故舍去；綜上可知，符合條件的M點，且坐標為 M（1，）（1，）（1，1）（1，0）點評：該二次函數綜合題涉及了拋物線的性質及解析式的確定、等腰三角形的判定等知識，

36、在判定等腰三角形時，一定要根據不同的腰和底分類進行討論，以免漏解4（2012湘潭）如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標為（4，0）（1）求拋物線的解析式；（2）試探究ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；（3）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標考點：二次函數綜合題2331208專題：轉化思想分析：（1）該函數解析式只有一個待定系數，只需將B點坐標代入解析式中即可（2）首先根據拋物線的解析式確定A點坐標，然后通過證明ABC是直角三角形來推導出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標（3）MBC的面積可由SMBC=BC

37、×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點M到直線BC的距離最大，若設一條平行于BC的直線，那么當該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點M解答：解：（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：0=16a×42，即：a=；拋物線的解析式為：y=x2x2（2）由（1）的函數解析式可求得：A（1，0）、C（0，2）；OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OAOB，又：OCAB，OACOCB，得：OCA=OBC；ACB=OCA+OCB=OBC+OCB=90°，ABC為直角三角形，AB為ABC外接圓的直徑；所以該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為：（，

38、0）（3）已求得：B（4，0）、C（0，2），可得直線BC的解析式為：y=x2；設直線lBC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當直線l與拋物線只有一個交點時，可列方程：x+b=x2x2，即：x22x2b=0，且=0；44×（2b）=0，即b=4；直線l：y=x4所以點M即直線l和拋物線的唯一交點，有：，解得：即 M（2，3）過M點作MNx軸于N，SBMC=S梯形OCMN+SMNBSOCB=×2×（2+3）+×2×3×2×4=4點評：考查了二次函數綜合題，該題的難度不算太大，但用到的瑣碎知識點較多，綜合性很強熟練掌握直角

39、三角形的相關性質以及三角形的面積公式是理出思路的關鍵5（2012咸寧）如圖，在平面直角坐標系中，點C的坐標為（0，4），動點A以每秒1個單位長的速度，從點O出發(fā)沿x軸的正方向運動，M是線段AC的中點將線段AM以點A為中心，沿順時針方向旋轉90°，得到線段AB過點B作x軸的垂線，垂足為E，過點C作y軸的垂線，交直線BE于點D運動時間為t秒（1）當點B與點D重合時，求t的值；（2）設BCD的面積為S，當t為何值時，S=？（3）連接MB，當MBOA時，如果拋物線y=ax210ax的頂點在ABM內部（不包括邊），求a的取值范圍考點：二次函數綜合題2331208專題：壓軸題；動點型分析：（1）

40、由于CAB=90°，易證得RtCAORtABE；當B、D重合時，BE的長已知（即OC長），根據AC、AB的比例關系，即可得到AO、BE的比例關系，由此求得t的值（2）求BCD的面積時，可以CD為底、BD為高來解，那么表示出BD的長是關鍵；RtCAORtABE，且知道AC、AB的比例關系，即可通過相似三角形的對應邊成比例求出BE的長，進一步得到BD的長，在表達BD長時，應分兩種情況考慮：B在線段DE上，B在ED的延長線上（3）首先將拋物線的解析式進行配方，可得到拋物線的頂點坐標，將其橫坐標分別代入直線MB、AB的解析式中，可得到拋物線對稱軸與這兩條直線的交點坐標，根據這兩個坐標即可判定

41、出a的取值范圍解答：解：（1）CAO+BAE=90°，ABE+BAE=90°，CAO=ABERtCAORtABE=t=8（2）由RtCAORtABE可知：BE=，AE=2當0t8時，S=CDBD=（2+t）（4）=t1=t2=3當t8時，S=CDBD=（2+t）（4）=t1=3+5，t2=35（為負數，舍去）當t=3或3+5時，S=（3）過M作MNx軸于N，則MN=CO=2當MBOA時，BE=MN=2，OA=2BE=4拋物線y=ax210ax的頂點坐標為（5，25a）它的頂點在直線x=5上移動直線x=5交MB于點（5，2），交AB于點（5，1）125a2a點評：考查了二次函

42、數綜合題，該題是圖形的動點問題，前兩問的關鍵在于找出相似三角形，得到關鍵線段的表達式，注意點在運動過程中未知數的取值范圍問題最后一問中，先得到拋物線的頂點坐標是簡化解題的關鍵6（2012通遼）如圖，在平面直角坐標系中，將一個正方形ABCD放在第一象限斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2）、點B（1，0），拋物線y=ax2ax2經過點C（1）求點C的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否存在點P與點Q（點C、D除外）使四邊形ABPQ為正方形？若存在求出點P、Q兩點坐標，若不存在說明理由考點：二次函數綜合題2331208專題：綜合題分析：（1）作CEx軸于點E，根據四邊形ABCD為正方形，

43、得到RtAOBRtCEA，因此OA=BE=2，OB=CE=1，據此可求出C點坐標；（2）然后將C點坐標代入拋物線中即可求出二次函數的解析式（3）可以AB為邊在拋物線的左側作正方形AQPB，過P作PEy軸，過Q作QG垂直x軸于G，不難得出PEABQGBAO，據此可求出P，Q的坐標，然后將兩點坐標代入拋物線的解析式中即可判斷出P、Q是否在拋物線上解答：解：（1）作CEx軸于點E，四邊形ABCD為正方形，ABO+CBE=90°，OAB+OBA=90°，OAB=EBCRtAOBRtCEB，A（0，2）、點B（1，0），AO=2，BO=1得OE=2+1=3，CE=1C點坐標為（3，1

44、）；（2）拋物線經過點C，1=a×32a×32，a=，拋物線的解析式為y=x2x2；（2）在拋物線上存在點P、Q，使四邊形ABQP是正方形以AB為邊在AB的左側作正方形ABPQ，過P作PEOA于E，QGx軸于G，可證PEABQGBAO，PE=BG=AO=2，AE=QG=BO=1，P點坐標為（2，1），Q點坐標為（1，1）由（1）拋物線y=x2x2，當x=2時，y=1；當x=1時，y=1P、Q在拋物線上故在拋物線上存在點P（2，1）、Q（1，1），使四邊形ABQP是正方形點評：本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式、正方形的判定、全等三角形的判定和性質等知識點綜合性強，涉及

45、的知識點多，難度較大7（2012陜西）如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a0）與x軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”（1）“拋物線三角形”一定是等腰三角形；（2）若拋物線y=x2+bx（b0）的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如圖，OAB是拋物線y=x2+bx（b0）的“拋物線三角形”，是否存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD？若存在，求出過O、C、D三點的拋物線的表達式；若不存在，說明理由考點：二次函數綜合題2331208專題：代數幾何綜合題；新定義分析：（1）拋物線的頂點必在拋物線與x軸兩交點連線的垂直平分線上，

46、因此這個“拋物線三角形”一定是等腰三角形（2）觀察拋物線的解析式，它的開口向下且經過原點，由于b0，那么其頂點在第一象限，而這個“拋物線三角形”是等腰直角三角形，必須滿足頂點坐標的橫、縱坐標相等，以此作為等量關系來列方程解出b的值（3）由于矩形的對角線相等且互相平分，所以若存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD，那么必須滿足OA=OB，結合（1）的結論，這個“拋物線三角形”必須是等邊三角形，首先用b表示出AE、OE的長，通過OAB這個等邊三角形來列等量關系求出b的值，進而確定A、B的坐標，即可確定C、D的坐標，利用待定系數即可求出過O、C、D的拋物線的解析式解答：解：（1）如圖；根據拋物線的對稱

47、性，拋物線的頂點A必在O、B的垂直平分線上，所以OA=AB，即：“拋物線三角形”必為等腰三角形故填：等腰（2）當拋物線y=x2+bx（b0）的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，該拋物線的頂點（，），滿足=（b0）則b=2（3）存在如圖，作OCD與OAB關于原點O中心對稱，則四邊形ABCD為平行四邊形當OA=OB時，平行四邊形ABCD是矩形，又AO=AB，OAB為等邊三角形AOB=60°，作AEOB，垂足為E，AE=OEtanAOB=（b0）b=2A（，3），B（2，0）C（），D（2，0）設過點O、C、D的拋物線為y=mx2+nx，則，解得故所求拋物線的表達式為y=x2+2x點評：這

48、道二次函數綜合題融入了新定義的形式，涉及到：二次函數的性質及解析式的確定、等腰三角形的判定和性質、矩形的判定和性質等知識，難度不大，重在考查基礎知識的掌握情況8（2012寧德）如圖，矩形OBCD的邊OD、OB分別在x軸正半軸和y軸的負半軸上，且OD=10，OB=8，將矩形的邊BC繞點B逆時針旋轉，使點C恰好與x軸上的點A重合（1）直接寫出點A、B的坐標：A（6，0）、B（0，8）；（2）若拋物線y=x2+bx+c經過A、B兩點，則這條拋物線的解析式是y=x2+x8；（3）若點M是直線AB上方拋物線上的一個動點，作MNx軸于點N，問是否存在點M，使AMN與ACD相似？若存在，求出點M的橫坐標；若

49、不存在，說明理由；（4）當x7時，在拋物線上存在點P，使ABP得面積最大，求ABP面積的最大值考點：二次函數綜合題2331208專題：計算題；壓軸題；數形結合；分類討論分析：（1）由OB長，能直接得到點B的坐標；在RtOAB中，已知OB、BA（即BC長）長，由勾股定理可得到OA的長，即可確定點A的坐標（2）根據（1）的結論，利用待定系數法能求出拋物線的解析式（3）根據OA、OB以及AD、CD的長，不難發(fā)現BAO=CAD，那么若題干提到的兩個三角形若相似，必須滿足夾這對相等角的兩組對應邊成比例，所以分兩種情況，列比例式求解即可（4）此題涉及的情況較多，大致分三種情況：點P在x軸下方（分左右兩側共

50、兩種情況）、點P在x軸上方；可過點P作x軸的垂線，通過規(guī)則圖形間的面積和差關系得出關于ABP的函數關系式，再由函數的性質得到ABP的面積最大值解答：解：（1）由OB=8，得：B（0，8）BA由BC旋轉所得，BA=BC=10；在RtBAO中，OB=8，BA=10，則：OA=6，即：A（6，0）A（6，0）、B（0，8）（2）拋物線y=x2+bx+c經過A、B兩點，則：，解得 故這條拋物線的解析式：y=x2+x8（3）存在設M（m，m2+m8），則N（m，0），MN=|m2+m8|，NA=6m，又DA=4，CD=8；若點M在N上方，=，則AMNACD；=，即 m216m+60m=0，解得 m=6或

51、m=10與點M是直線AB上方拋物線上的一個動點不符此時不存在點M，使AMN與ACD相似若點M在點N下方，=，則AMNACD；=，即 2m217m+30=0，解得 m=或m=6；當m=時符合條件；此時存在點M（，），使AMN與ACD相似綜上所述，存在點M（，），使得AMN與ACD相似（4）設P（p，p2+p8），在y=x2+x8中，令y=0，得x=4或x=6；x7分為x4，4x6和6x7三個區(qū)間討論：如圖，當x4時，過點P作PHx軸于點H，則OH=p，HA=6p，PH=p2p+8；SABP=SOABS梯形OBPHSAPH=68（p2p+8）p（6p）（p2p+8）=p2+6p=（p3）2+9當x

52、4時，SABP隨p的增大而減小；當x=時，SABP取最大值，且最大值為如圖，當4x6時，過點P作PHBC于點H，過點A作AGBC于點G；則BH=p，HG=6p，PH=p2+p8+8=p2+pSABP=SBPH+S梯形PHGASABG=（p2+p）p+（p2+p+8）（6p）68=p2+6p=（p3）2+9當4x6時，SABP隨p的增大而減小；當x=4時，SABP取得最大值，且最大值為8如圖，當6x7時，過點P作PHx軸于點H；則OH=p，HA=p6，PH=p2p+8SABP=S梯形OBPHSOABSAPH=（p2p+8）p68（p6）（p2p+8）=p26p=（p3）29當6x7時，SABP隨p的增大而增大；當x=7時，SABP取得最大值，最大值為7；綜上所述，當x=時，SABP取得最大值，最大值為點評：該題主要考查了矩形的性質、函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質以及圖形面積的求法等重要知識；后兩個小題涉及了多種情況，容易出現漏解的情況，是本題易錯的地方9（2012寧波）如圖，二次函數