二次根式復(fù)習(xí)專題講義補(bǔ)課用

1、 二次根式復(fù)習(xí)專題講義1、 二次根式的概念： 1.二次根式：形如（a0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號。 .式子中，被開方數(shù)(式)必須大于等于零。. （a0）是一個非負(fù)數(shù)。. （）2a（a0）；=a（a0）2. 二次根式的乘：.一般的，有·（a0，b0）. 反過來，有× ( a 0 ，b 0 )3.二次根式的除： . 一般地，對二次根式的除法規(guī)定：=（a0，b>0）， . 反過來，=（a0，b>0） 4. 二次根式的加減法則： 二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。典型例題分析：例1. 下列式子，哪些是二次根

2、式，哪些不是二次根式：、（x>0）、-、（x0，y0） 分析：二次根式應(yīng)滿足兩個條件：第一，有二次根號“”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0。解：二次根式有：、（x>0）、-、（x0，y0）；不是二次根式的有：、。例2.當(dāng)x是多少時，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 分析：要使+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時滿足中的0和中的x+10 解：依題意，得 由得：x- 由得：x-1當(dāng)x-且x-1時，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。變式題1：當(dāng)x是多少時，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0，所以3x-10，才能有意義 解：由3x-10，得：x 當(dāng)x時，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義變式題2：

3、.當(dāng)x是多少時，+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？解：依題意得：，當(dāng)x>-且x0時，x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有意義。.若+有意義，則=_。.使式子有意義的未知數(shù)x有（ ）個。例3. .已知y=+5，求的值(答案: ).若+=0，求a2004+b2004的值(答案: 2).已知+=0，求xy的值（答案:81）例4. 計(jì)算1（）2 2（3）2 3（）2 4（）2 分析：我們可以直接利用（）2=a（a0）的結(jié)論解題解：（）2 =，（3）2 =32·（）2=32·5=45，（）2=，（）2=例5. 計(jì)算1（）2（x0） 2（）2 3（）2 4（）2分析：（1）因?yàn)閤0，所以x+1>0

4、；（2）a20；（3）a2+2a+1=（a+1）20；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）20所以上面的4題都可以運(yùn)用（）2=a（a0）的重要結(jié)論解題 解：（1）因?yàn)閤0，所以x+1>0 （）2=x+1 （2）a20，（）2=a2 （3）a2+2a+1=（a+1）2 又（a+1）20，a2+2a+10 ，=a2+2a+1 （4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又（2x-3）204x2-12x+90，（）2=4x2-12x+9 變式題：計(jì)算 1.（-3）2 2. 例6.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)

5、分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 例7.化簡 （1） （2） （3） （4） 分析：因?yàn)椋?）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可運(yùn)用=a（a0）去化簡。 解：（1）=3 （2）=4 （3）=5 （4）=3 例8.填空：當(dāng)a0時，=_；當(dāng)a<0時，=_，并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問題 （1）若=a，則a可以是什么數(shù)？ （2）若=-a，則a可以是什么數(shù)？ （3）>a，則a可以是什么數(shù)？ 分析：=a（a0），要填第一個空格可以根據(jù)這個結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“（ ）2”中的數(shù)是正數(shù)，因?yàn)?，?dāng)a0時，

6、=，那么-a0 （1）根據(jù)結(jié)論求條件；（2）根據(jù)第二個填空的分析，逆向思想；（3）根據(jù)（1）、（2）可知=a，而a要大于a，只有什么時候才能保證呢？a<0 解：（1）因?yàn)?a，所以a0； （2）因?yàn)?-a，所以a0；（3）因?yàn)楫?dāng)a0時=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；當(dāng)a<0時，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0綜上，a<0例9.當(dāng)x>2，化簡- 例10先化簡再求值：當(dāng)a=9時，求a+的值，甲乙兩人的解答如下： 甲的解答為：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答為：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17兩種解答中，_的解答是

7、錯誤的，錯誤的原因是_ 變式題1若1995-a+=a，求a-19952的值（提示：先由a-20000，判斷1995-a的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，去掉絕對值）變式題2若-3x2時，試化簡x-2+。 （答案：10-x) 例11計(jì)算 （1）× （2）× （3）× （4）× 分析：直接利用·（a0，b0）計(jì)算即可 解：（1）×=（2）×=（3）×=9（4）×= 例12 . 化簡（1） （2） （3）（4） （5） 分析：利用=·（a0，b0）直接化簡即可 解：（1）=×=3×4=12 （2

8、）=×=4×9=36 （3）=×=9×10=90 （4）=×=××=3xy （5）=×=3 例13 . 判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正： （1） （2）×=4××=4×=4=8 解：（1）不正確 改正：=×=2×3=6 （2）不正確改正：×=×=4 變式題1：若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為cm和cm，那么此直角三角形斜邊長是（ ） 變式題2：化簡a的結(jié)果是（ ） 變式題3：=_169×6 變式題4：一個底面為30

9、cm×30cm長方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分水例入一個底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長是多少厘米？ 設(shè)：底面正方形鐵桶的底面邊長為x，則x2×10=30×30×20，x2=30×30×2， x=×=30 變式題5：探究過程：觀察下列各式及其驗(yàn)證過程 （1）2=驗(yàn)證：2=×= （2）3=驗(yàn)證：3=×= 同理可得：4 5， 通過上述探究你能猜測出： a=_（a>0）,并驗(yàn)證你的結(jié)論 解： a= 驗(yàn)證：a=. 例14計(jì)算： （1） （2） （

10、3） （4） 分析：上面4小題利用=（a0，b>0）便可直接得出答案解：（1）=2 （2）=×=2（3）=2（4）=2 例15化簡： （1） （2） （3） （4） 分析：直接利用=（a0，b>0）就可以達(dá)到化簡之目的解：（1）= （2）= （3）= （4）= 例16已知，且x為偶數(shù)，求（1+x）的值分析：式子=，只有a0，b>0時才能成立因此得到9-x0且x-6>0，即6<x9，又因?yàn)閤為偶數(shù)，所以x=8 解：由題意得，即 6<x9 x為偶數(shù) x=8 原式=（1+x） =（1+x） =（1+x）= 當(dāng)x=8時，原式的值=6 變式題1.計(jì)算的結(jié)果是

11、（ ） 變式題2.閱讀下列運(yùn)算過程：， 數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”，那么，化簡的結(jié)果是（ ） 變式題3.已知x=3，y=4，z=5，那么的最后結(jié)果是_ 變式題4.有一種房梁的截面積是一個矩形，且矩形的長與寬之比為：1，現(xiàn)用直徑為3cm的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大截面積是多少？ 解：設(shè)：矩形房梁的寬為x（cm），則長為xcm，依題意，得：（x）2+x2=（3）2，4x2=9×15，x=（cm），x·x=x2=（cm2） 變式題5.計(jì)算 （1）·（-）÷（m>0，n>0） （2）-3÷（

12、）× （a>0） 解：（1）原式-÷=-=-=- （2）原式=-2=-2=-a 例17.把它們化成最簡二次根式： (1) ; (2) ; (3) 點(diǎn)評：二次根式有如下兩個特點(diǎn)： 1被開方數(shù)不含分母； 2被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式 我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式 例18.如圖，在RtABC中，C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的長 解：因?yàn)锳B2=AC2+BC2 所以AB=6.5（cm） 因此AB的長為6.5cm 例19.觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：=-1，=-， 同理可得：

13、=-， 從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算 （+）（+1）的值 分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達(dá)到化簡的目的 解：原式=（-1+-+-+-）×（+1） =（-1）（+1） =2002-1=2001 練習(xí)： 一、選擇題 1如果（y>0）是二次根式，那么，化為最簡二次根式是（ ） A（y>0） B（y>0） C（y>0） D以上都不對 2把（a-1）中根號外的（a-1）移入根號內(nèi)得（ ） A B C- D- 3在下列各式中，化簡正確的是（ ）A=3 B=±C=a2 D =x4化簡的結(jié)果是（ ） A- B

14、- C- D- 二、填空題 1化簡=_（x0） 2a化簡二次根式號后的結(jié)果是_ 三、綜合提高題 1已知a為實(shí)數(shù)，化簡：-a，閱讀下面的解答過程，請判斷是否正確？若不正確，請寫出正確的解答過程： 解：-a=a-a·=（a-1） 2若x、y為實(shí)數(shù)，且y=，求的值 答案: 一、1C 2D 3.C 4.C 二、1x 2-三、1不正確，正確解答：因?yàn)?，所以a<0，原式-a·=·-a·=-a+=(1-a) 2 x-4=0，x=±2，但x+20，x=2，y= . 例20.計(jì)算 （1）+ （2）+ 分析：第一步，將不是最簡二次根式的項(xiàng)化為最簡二次根式；第

15、二步，將相同的最簡二次根式進(jìn)行合并 解：（1）+=2+3=（2+3）=5 （2）+=4+8=（4+8）=12 點(diǎn)評：二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并 例21計(jì)算 （1）3-9+3 （2）（+）+（-） 解：（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）=15 （2）（+）+（-）=+- =4+2+2-=6+ 例22已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值 分析：本題首先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3其次，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先把各項(xiàng)化成最簡二次根

16、式，再合并同類二次根式，最后代入求值 解：4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 （2x-1）2+（y-3）2=0 x=，y=3 原式=+y2-x2+5x =2x+-x+5 =x+6 當(dāng)x=，y=3時， 原式=×+6=+3 練習(xí)： 一、選擇題 1以下二次根式：；中，與是同類二次根式的是（ ） A和 B和 C和 D和 2下列各式：3+3=6；=1；+=2；=2，其中錯誤的有（ ） A3個 B2個 C1個 D0個 二、填空題 1在、3、-2中，與是同類二次根式的有_ 2計(jì)算二次根式5-3-7+9的最后結(jié)果是_ 三、綜合提高題 1已知2.236，求（-）-

17、（+）的值（結(jié)果精確到0.01） 2先化簡，再求值 （6x+）-（4x+），其中x=，y=27 答案: 一、1C 2A 二、1 26-2 三、1原式=4-=×2.2360.452原式=6+3-（4+6）=xy(3-4x/y)=12.52 例23如圖所示的RtABC中，B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A移動；同時，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動問：幾秒后PBQ的面積為35平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡二次根式表示） 分析：設(shè)x秒后PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根據(jù)三角形面積公式就可以求出x的值

18、 解：設(shè)x 后PBQ的面積為35平方厘米 則有PB=x，BQ=2x 依題意，得：x·2x=35 x2=35 x= 所以秒后PBQ的面積為35平方厘米 PQ=5 答：秒后PBQ的面積為35平方厘米，PQ的距離為5厘米 例23要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）？ 分析：此框架是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材，只需知道這四段的長度 解：由勾股定理，得 AB=2 BC= 所需鋼材長度為 AB+BC+AC+BD =2+5+2 =3+7 3×2.24+713.7（m） 答：要焊接一個如圖所示的鋼架，大約需要13.7m的鋼材 例24若最簡根式與根

19、式是同類二次根式，求a、b的值（同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡二次根式） 分析：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同；事實(shí)上，根式不是最簡二次根式，因此把化簡成|b|·，才由同類二次根式的定義得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b 解：首先把根式化為最簡二次根式： =|b|· 由題意得 a=1，b=1 練習(xí)： 一、選擇題 1已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和5，那么斜邊的長應(yīng)為（ ）（結(jié)果用最簡二次根式） A5 B C2 D以上都不對 2小明想自己釘一個長與寬分別為30cm和20cm的長方形的木框，為了增加其穩(wěn)定性，他沿長方形的對角線又釘

20、上了一根木條，木條的長應(yīng)為（ ）米（結(jié)果同最簡二次根式表示） A13 B C10 D5 二、填空題 1某地有一長方形魚塘，已知魚塘的長是寬的2倍，它的面積是1600m2，魚塘的寬是_m（結(jié)果用最簡二次根式） 2已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為，那么這個等腰直角三角形的周長是_（結(jié)果用最簡二次根式） 三、綜合提高題 1若最簡二次根式與是同類二次根式，求m、n的值 2同學(xué)們，我們以前學(xué)過完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟練掌握了吧!現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了二次根式，那么所有的正數(shù)（包括0）都可以看作是一個數(shù)的平方，如3=（）2，5=（）2，你知道是誰的二次根式呢

21、？下面我們觀察： （-1）2=（）2-2·1·+12=2-2+1=3-2 反之，3-2=2-2+1=（-1）2 3-2=（-1）2 =-1求：（1）； （2）； （3）你會算嗎？(3-1) （4）若=，則m、n與a、b的關(guān)系是什么？并說明理由 答案:一、1A 2C二、120 22+2三、1依題意，得 ， ， 所以或 或 或2（1）=+1 （2）=+1 （3）=-1 （4） 理由：兩邊平方得a±2=m+n±2 所以 例25計(jì)算: （1）（+）× （2）（4-3）÷2 分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律，所以直接可用整式的

22、運(yùn)算規(guī)律 解：（1）（+）×=×+× =+=3+2 解：（4-3）÷2=4÷2-3÷2 =2- 例26計(jì)算 （1）（+6）（3-） （2）（+）（-） 分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算在乘法公式運(yùn)算中仍然成立 解：（1）（+6）（3-） =3-（）2+18-6 =13-3 （2）（+）（-）=（）2-（）2 =10-7=3 例27已知=2-，其中a、b是實(shí)數(shù)，且a+b0，化簡+，并求值。 分析：由于（+）（-）=1，因此對代數(shù)式的化簡，可先將分母有理化，再通過解含有字母系數(shù)的一元一次方程得到x的值，代入化簡得結(jié)果即可解：原式=+=+ =（x+1）+x-2+x+2 =4x+2 =2- b（x-b）=2ab-a（x-a） bx-b2=2ab-ax+a2 （a+b）x=a2+2ab+b2 （a+b）x=（a+b）2 a+b0 x=a+b 原式=4x+2=4（a+b）+2 練習(xí)： 一、選擇題 1（-3+2）×的值是（ ） A-3 B3- C2- D- 2計(jì)算（+）（-）的值是（ ） A2 B3 C4 D1 二、填空題 1（-+）2的計(jì)算結(jié)果（用最簡根式表示）是_2（1-2）（1+2）-（2-1）