中考數(shù)學歸納猜想型問題

1、 Http:/歸納猜想型問題一 專題詮釋歸納猜想型問題在中考中越來越被命題者所注重。這類題要求根據(jù)題目中的圖形或者數(shù)字，分析歸納，直觀地發(fā)現(xiàn)共同特征，或者發(fā)展變化的趨勢，據(jù)此去預測估計它的規(guī)律或者其他相關結論，使帶有猜想性質的推斷盡可能與現(xiàn)實情況相吻合，必要時可以進行驗證或者證明，依此體現(xiàn)出猜想的實際意義。二 解題策略和解法精講歸納猜想型問題對考生的觀察分析能力要求較高，經常以填空等形式出現(xiàn)，解題時要善于從所提供的數(shù)字或圖形信息中，尋找其共同之處，這個存在于個例中的共性，就是規(guī)律。其中蘊含著“特殊一般特殊”的常用模式，體現(xiàn)了總結歸納的數(shù)學思想，這也正是人類認識新生事物的一般過程。相對而言，猜想

2、結論型問題的難度較大些，具體題目往往是直觀猜想與科學論證、具體應用的結合，解題的方法也更為靈活多樣：計算、驗證、類比、比較、測量、繪圖、移動等等，都能用到。由于猜想本身就是一種重要的數(shù)學方法，也是人們探索發(fā)現(xiàn)新知的重要手段，非常有利于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，所以備受命題專家的青睞，逐步成為中考的持續(xù)熱點。三 考點精講考點一：猜想數(shù)式規(guī)律通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或者不等式，然后猜想其中蘊含的規(guī)律。一般解法是先寫出數(shù)式的基本結構，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。例1（2011云南曲靖）將一列整式按某種規(guī)

3、律排成x，2x2，4x3，8x4，16x5則排在第六個位置的整式為 【分析】符號的規(guī)律：n為奇數(shù)時，單項式為正號，n為偶數(shù)時，符號為負號；系數(shù)的絕對值的規(guī)律：第n個對應的系數(shù)的絕對值是2n1指數(shù)的規(guī)律：第n個對應的指數(shù)是n【解答】根據(jù)分析的規(guī)律，得：第六個位置的整式為：26x6=32x6故答案為：32x6【評注】此題考查的知識點是單項式，確定單項式的系數(shù)和次數(shù)時，把一個單項式分解成數(shù)字因數(shù)和字母因式的積，是找準單項式的系數(shù)和次數(shù)的關鍵分別找出單項式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律也是解決此類問題的關鍵例2（2011山東濟寧）觀察下面的變形規(guī)律： 1； ；解答下面的問題：（1）若n為正整數(shù)，請你猜想 ；（2）

4、證明你猜想的結論；（3）求和： .【分析】（1）根據(jù)的定義規(guī)則，可知，則有（2） 觀察數(shù)表可知，第1問中的恰是的具體形式，若將賦值于不同的行與列，我們不難發(fā)現(xiàn)【解答】（1）（2）證明：（3）原式1【評注】歸納猜想題，提供的信息是一種規(guī)律，但它隱含在題目中，有待挖掘和開發(fā)，一般只要注重觀察數(shù)字（式）變化規(guī)律，經歸納便可猜想出結論本題屬于典型的開放性探究題，其中的分數(shù)形式、分母中相鄰兩數(shù)相差1，都給答案探究提供了蛛絲馬跡。問題設置層次感較強，遵循了從特殊到一般的認識規(guī)律從培養(yǎng)學生不完全歸納能力的角度看，不失為一道訓練思維的好題考點二：猜想圖形規(guī)律根據(jù)一組相關圖形的變化規(guī)律，從中總結通過圖形的變化所

5、反映的規(guī)律。其中，以圖形為載體的數(shù)字規(guī)律最為常見。猜想這種規(guī)律，需要把圖形中的有關數(shù)量關系列式表達出來，再對所列式進行對照，仿照猜想數(shù)式規(guī)律的方法得到最終結論。例1（2011重慶）下列圖形都是由同樣大小的平行四邊形按一定的規(guī)律組成，其中，第個圖形中一共有1個平行四邊形，第個圖形中一共有5個平行四邊形，第個圖形中一共有11個平行四邊形，則第個圖形中平行四邊形的個數(shù)為（）A、55B、42C、41D、29【分析】規(guī)律的歸納：通過觀察圖形可以看到每轉動4次后便可重合，即4次一個循環(huán)，10÷422，所以應和圖相同【解答】圖平行四邊形有5個=1+2+2，圖平行四邊形有11個=1+2+3+2+3，

6、圖平行四邊形有19=1+2+3+4+2+3+4，圖的平行四邊形的個數(shù)為1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41故選C【評注】本題是規(guī)律的歸納題，解決本題的關鍵是讀懂題意，理清題歸納出規(guī)律，然后套用題目提供的對應關系解決問題，具有一定的區(qū)分度根據(jù)圖形進行數(shù)字猜想的問題，關鍵是通過歸納與總結，得到其中的規(guī)律，然后利用規(guī)律解決一般問題例2（2011浙江舟山）一個紙環(huán)鏈，紙環(huán)按紅黃綠藍紫的順序重復排列，截去其中的一部分，剩下部分如圖所示，則被截去部分紙環(huán)的個數(shù)可能是（）A、2010B、2011 C、2012D、2013【分析】該紙鏈是5的倍數(shù)，中間截去的是剩下3+5n，從選項中數(shù)減3為5的倍數(shù)

7、即得到答案【解答】由題意設被截去部分為5n+2+1=5n+3，從其選項中看，故選D【評注】本題考查了圖形的變化規(guī)律，從整體是5個不同顏色環(huán)的整數(shù)倍數(shù)，截去部分去3后為5的倍數(shù)，從而得到答案考點三：猜想數(shù)量關系數(shù)量關系的表現(xiàn)形式多種多樣，這些關系不一定就是我們目前所學習的函數(shù)關系式。在猜想這種問題時，通常也是根據(jù)題目給出的關系式進行類比，仿照猜想數(shù)式規(guī)律的方法解答。例1（2011江西南昌，25，10分）某數(shù)學興趣小組開展了一次活動，過程如下：設BAC=（0°90°）.現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線AB，AC之間，并使小棒兩端分別落在兩射線上.活動一：如圖甲所示，從點A1開始，依次向

8、右擺放小棒，使小棒與小棒在兩端點處互相垂直，A1A2為第1根小棒.數(shù)學思考：（1）小棒能無限擺下去嗎？答： .（填“能”或“不能”）（2）設AA1=A1A2=A2A3=1.= 度；若記小棒A2n-1A2n的長度為an（n為正整數(shù)，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此時a2，a3的值，并直接寫出an（用含n的式子表示）.圖甲活動二：如圖乙所示，從點A1開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第1根小棒，且A1A2= AA1.數(shù)學思考：（3）若已經向右擺放了3根小棒，則= ，= ，= ；（用含的式子表示）（4）若只能擺放4根小棒，求的范圍.圖乙【分析】（1）顯而易見，能。（2）22.5

9、°方法一：AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2A2A3，A1A3=，AA3=1+.又A2A3A3A4，A1A2A3A4.同理：A3A4A5A6，A=AA2A1=AA4A3=AA6A5，AA3=A3A4，AA5=A5A6，a2= A3A4=AA3=1+,a3=AA3+A3A5=a2+A3A5.A3A5=a2,a3=A5A6=AA5=a2+a2=(+1)2.方法二：AA1=A1A2=A2A3=1， A1A2A2A3，A1A3=，AA3=1+.又A2A3A3A4，A1A2A3A4.同理：A3A4A5A6，A=AA2A1=AA4A3=AA6A5，a2=A3A4=AA3=1+,又A2A3

10、A4=A4A5A6=90°，A2A4A3=A4A6A5，A2A3A4A4A5A6，a3=(+1)2.an=(+1)n-1.(3)(4)由題意得，15°18°.【解答】（1）能（2）22.5°an=(+1)n-1.(3)(4)由題意得，15°18°.【評注】這是一道典型的歸納猜想型問題，以物理學中反射的知識作為命題載體，而三角形外角等于不相鄰的兩個內角和，是解決問題的主干數(shù)學知識。例2（2011浙江衢州）是一張等腰直角三角形紙板，.要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法（如圖1），比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方

11、形面積更大？請說明理由. （圖2）（圖1）圖1中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得的正方形面積為；按照甲種剪法，在余下的中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為(如圖2)，則 ；再在余下的四個三角形中，用同樣的方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形的面積和為(如圖3)；繼續(xù)操作下去則第10次剪取時， . 求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積和.【分析】解決問題的關鍵看內接正方形的一邊與三角形重合的邊落在三角形的哪條邊上，通過對例題的分析，直角三角形的內接正方形有兩種，比較兩者的大小，可知，直角邊上的內接正方形的邊長

12、比斜邊上的內接正方形的邊長大?！窘獯稹?1)解法1：如圖甲，由題意得.如圖乙，設，則由題意，得又甲種剪法所得的正方形的面積更大說明：圖甲可另解為：由題意得點D、E、F分別為的中點，解法2：如圖甲，由題意得如圖乙，設甲種剪法所得的正方形的面積更大(2)(3)(3)解法1：探索規(guī)律可知：剩余三角形的面積和為：解法2：由題意可知，第一次剪取后剩余三角形面積和為第二次剪取后剩余三角形面積和為第三次剪取后剩余三角形面積和為第十次剪取后剩余三角形面積和為【評注】類比思想是數(shù)學學習中不可缺少的一種數(shù)學方法，它可以使一些數(shù)學問題簡單化，也可以使我們的思維更加廣闊。數(shù)學思維呈現(xiàn)形式是隱蔽的，難以從教材中獲取，這

13、就要求在教學過程中，有目的地進行思維訓練，通過思維類比，不斷在解決問題中深化引導，學生的數(shù)學思維能力就會得到相應的提高?？键c四：猜想變化情況隨著數(shù)字或圖形的變化，它原先的一些性質有的不會改變，有的則發(fā)生了變化，而且這種變化是有一定規(guī)律的。比如，在幾何圖形按特定要求變化后，只要本質不變，通常的規(guī)律是“位置關系不改變，乘除乘方不改變，減變加法加變減，正號負號要互換”。這種規(guī)律可以作為猜想的一個參考依據(jù)。例1（2010河北）將正方體骰子（相對面上的點數(shù)分別為1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如圖6-1在圖6-2中，將骰子向右翻滾90°，然后在桌面上按逆時針方向旋轉90°，

14、則完成一次變換若骰子的初始位置為圖6-1所示的狀態(tài)，那么按上述規(guī)則連續(xù)完成10次變換后，骰子朝上一面的點數(shù)是圖6-1圖6-2向右翻滾90°逆時針旋轉90°A6 B5 C3 D2【分析】不妨把立體圖形用平面的形式表現(xiàn)出來。如右圖所示。前三次變換過程為下圖所示：可以發(fā)現(xiàn)，三次變換可還原成初始狀態(tài)。十次意味著三輪還原后又變換了一次，所以狀態(tài)為上圖所示，骰子朝上一面的點數(shù)是 5?！窘獯稹緽?！驹u注】歷年以“骰子”形式出現(xiàn)的中考題不在少數(shù)。本題以考查學生空間想象能力為出發(fā)點，將空間轉化融入到正方體的旋轉中。正方體表面展開圖識別對面本不難，但這樣一來難度陡然上升。三次變換循環(huán)的規(guī)律也要

15、煞費周折。有點動手操作題的味道。題目呈現(xiàn)方式靈活，考查形式新穎，使日常熟悉的東西平中見奇。要求考生有很強的空間感，給平時靠死記硬背得分的同學一個下馬威，也給教學中不重視動手探究的老師敲響了警鐘。例2. （2011湖南邵陽）數(shù)學課堂上，徐老師出示了一道試題：如圖（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC邊（不含端點B，C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是ACP的平分線上一點，若AMN=60°，求證：AM=MN。（1）經過思考，小明展示了一種正確的證明過程，請你將證明過程補充完整。證明：在AB上截取EA=MC，連結EM，得AEM。1=180°-AMB-AMN，2=180&#

16、176;-AMB -B，AMN=B=60°，1=2.又CN、平分ACP，4=ACP=60°。MCN=3+4=120°。又BA=BC，EA=MC，BA-EA=BC-MC，即BE=BM。BEM為等邊三角形，6=60°。5=10°-6=120°。由得MCN=5.在AEM和MCN中，_,_,_,AEMMCN（ASA）。AM=MN.(2)若將試題中的“正三角形ABC”改為“正方形A1B1C1D1”(如圖)，N1是D1C1P1的平分線上一點，則當A1M1N1=90°時，結論A1M1=M1N1是否還成立？（直接給出答案，不需要證明）（3）

17、若將題中的“正三角形ABC”改為“正多邊形AnBnCnDnXn”，請你猜想：當AnMnNn=_°時，結論AnMn=MnNn仍然成立？（直接寫出答案，不需要證明）【分析】證明線段相等，三角形全等是一種重要的方法。根據(jù)題目條件，結合圖形，對應邊角還是不難找的。關鍵是到正方形、正多邊形，哪些條件變了，哪些沒變?！窘獯稹浚?）5=MCN，AE=MC，2=1；（2）結論成立；（3）?！驹u注】三角形全等的判定是初中數(shù)學中的重點知識，第一問明顯考查“角邊角”方法的條件尋找。而從三角形到正方形的變化，抓住不變的東西，透視問題的本質，也不難得到正確答案。再到正多邊形，是一個質的飛躍。在這道題中，先探討

18、簡單情景下存在的某個結論，然后進一步推廣到一般情況下，原來結論是否成立，本題題型新穎是個不可多得的好題，有利于培養(yǎng)學生的思維能力，難度不算大，具有一定的區(qū)分度四真題演練1. （2011四川成都）設, 設，則S=_ (用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù))2. （2011內蒙古烏蘭察布）將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，請仔細觀察，第 n 個圖形 有 個小圓. （用含 n 的代數(shù)式表示）第1個圖形第 2 個圖形第3個圖形第 4 個圖形第 18題圖3（2011河北）如圖9，給正五邊形的頂點依次編號為1，2，3，4，5.若從某一頂點開始，沿正五邊形的邊順時針行走，頂點編號的數(shù)字是幾，就走幾個邊

19、長，則稱這種走法為一次“移位”.12345圖9如：小宇在編號為3的頂點時，那么他應走3個邊長，即從3451為第一次“移位”，這時他到達編號為1的頂點；然后從12為第二次“移位”.若小宇從編號為2的頂點開始，第10次“移位”后，則他所處頂點的編號是_.4. （2010四川內江）閱讀理解：我們知道，任意兩點關于它們所連線段的中點成中心對稱，在平面直角坐標系中,任意兩點P(x1，y1)、Q(x2，y2)的對稱中心的坐標為（，）.觀察應用：（1）如圖，在平面直角坐標系中，若點P1(0，1)、P2(2，3)的對稱中心是點A，則點A的坐標為；（2）另取兩點B(1.6，2.1)、C(1，0).有一電子青蛙從

20、點P1處開始依次關于點A、B、C作循環(huán)對稱跳動，即第一次跳到點P1關于點A的對稱點P2處，接著跳到點P2關于點B的對稱點P3處，第三次再跳到點P3關于點C的對稱點P4處，第四次再跳到點P4關于點A的對稱點P5處，則P3、P8的坐標分別為，;拓展延伸： （3）求出點P2012的坐標，并直接寫出在x軸上與點P2012、點C構成等腰三角形的點的坐標.xyOCP2BP1答案：1. =S=+.接下去利用拆項法即可求和2. 或3. 根據(jù)“移位”的特點，然后根據(jù)例子尋找規(guī)律，從而得出結論小宇在編號為3的頂點上時，那么他應走3個邊長，即從3451為第一次“移位”，這時他到達編號為1的頂點；然后從12為第二次“

21、移位”，34512五個頂點五次移位為一個循環(huán)返回頂點3，同理可得：小宇從編號為2的頂點開始，第10次“移位”，即連續(xù)循環(huán)兩次，故仍回到頂點3故答案為：34. 設A、P3、P4、Pn點的坐標依次為(x，y)、(x3，y3)、(x4，y4)、(xn，yn)(n3，且為正整數(shù)).（1）P1(0，1)、P2(2，3)，x1，y1，A（1，1）（2）點P3與P2關于點B成中心對稱，且B(1.6，2.1),1.6，2.1，解得x35.2，y31.2，P3(5.2，1.2). 點P4與P3關于點C成中心對稱，且C(1，0),1，0，解得x43.2，y41.2，P4(3.2，1.2) .同理可得P5(1.2，

22、3.2)P6(2，1)P7(0，1)P8 (2, 3).（3）P1(0，1)P2(2，3)P3(5.2，1.2).P4(3.2，1.2)P5(1.2，3.2)P6(2，1)P7(0，1)P8 (2, 3) P7的坐標和P1的坐標相同，P8的坐標和P2的坐標相同，即坐標以6為周期循環(huán)， 2012÷63352，P2012的坐標與P2的坐標相同，為P2012 (2，3);在x軸上與點P2012、點C構成等腰三角形的點的坐標為（31,0），（2,0），（31,0），（5,0）第二部分 練習部分1. （2011湖南常德）先找規(guī)律，再填數(shù)：2.（2011四川內江）同學們，我們曾經研究過n

23、5;n的正方形網格，得到了網格中正方形的總數(shù)的表達式為12+22+32+n2但n為100時，應如何計算正方形的具體個數(shù)呢?下面我們就一起來探究并解決這個問題首先，通過探究我們已經知道0×1+1×2+2×3+(n1)×n=n(n+1)(n1)時，我們可以這樣做：(1)觀察并猜想：12+22=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2)12+22+32=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3=1+0×1+2+1

24、×2+3+2×3=(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)12+22+32+42=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+ =1+0×1+2+1×2+3+2×3+ =(1+2+3+4)+( )(2)歸納結論：12+22+32+n2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+1+(n1)n=1+0×1+2+1×2+3+2×3+n+(n一1)×n=( ) + = + =× (3)實踐應用：通過以

25、上探究過程，我們就可以算出當n為100時，正方形網格中正方形的總個數(shù)是 3. （2011廣東肇慶）如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第（是大于0的整數(shù)）個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是 4. （2011廣東東莞）如圖(1) ，將一個正六邊形各邊延長，構成一個正六角星形AFBDCE，它的面積為1，取ABC和DEF各邊中點，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖(2)中陰影部分；取A1B1C1和1D1E1F1各邊中點，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E 2F 2，如圖(3) 中陰影部分；如此下去，則正六角星形AnFnBnDnCnE nF n的面積為

26、.5（2011廣東汕頭）如下數(shù)表是由從1 開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答.（1）表中第8行的最后一個數(shù)是 ，它是自然數(shù) 的平方，第8行共有 個數(shù)；（2）用含n的代數(shù)式表示：第n行的第一個數(shù)是 ，最后一個數(shù)是 ，第n行共有 個數(shù)；（3）求第n行各數(shù)之和6. （2011四川涼山）我國古代數(shù)學的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例。如圖，這個三角形的構造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律。例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應展開式中的系數(shù);第四行的四個數(shù)1，3，

27、3，1，恰好對應著展開式中的系數(shù)等等。1112113311（a+b）1（a+b）2（a+b）3（1）根據(jù)上面的規(guī)律，寫出的展開式。（2）利用上面的規(guī)律計算：7.（2011江蘇南通）如圖，三個半圓依次相外切，它們的圓心都在x軸上，并與直線yx相切設三個半圓的半徑依次為r1、r2、r3，則當r11時，r3 OO1O2O3xy···8.（2010年湖北恩施） (1)計算:如圖10,直徑為的三等圓O、O、O兩兩外切，切點分別為A、B、C ，求OA的長（用含的代數(shù)式表示）. 圖10（2）探索:若干個直徑為的圓圈分別按如圖10所示的方案一和如圖10所示的方案二的方式排放，探索

28、并求出這兩種方案中層圓圈的高度和（用含、的代數(shù)式表示）.（3）應用:現(xiàn)有長方體集裝箱，其內空長為5米，寬為3.1米，高為3.1米.用這樣的集裝箱裝運長為5米，底面直徑（橫截面的外圓直徑）為0.1米的圓柱形鋼管，你認為采用（2）中的哪種方案在該集裝箱中裝運鋼管數(shù)最多？并求出一個這樣的集裝箱最多能裝運多少根鋼管？（1.73）答案：1. 2. （1+3）×44+3×40×1+1×2+2×3+3×41+2+3+n0×1+1×2+2×3+(n-1)×nn(n+1)(n1)n(n+1)(2n+1)3. 4.

29、 5. （1）64，8，15； （2），； （3）第2行各數(shù)之和等于3×3；第3行各數(shù)之和等于5×7；第4行各數(shù)之和等于7×7-13；類似的，第n行各數(shù)之和等于=.6. 原式= = =1 7. 設直線yx與三個半圓分別切于A，B，C，作AEX軸于E，則在RtAEO1中，易得AOE=EAO1=300，由r11得EO=，AE=，OE=，OO1=2。則。同理，。8. (1)O、O、O兩兩外切， OO=OO=OO=a 又OA= OA OAOO OA= = （2） = = (3) 方案二裝運鋼管最多即：按圖10的方式排放鋼管，放置根數(shù)最多.根據(jù)題意，第一層排放31根，第二層

30、排放30根，設鋼管的放置層數(shù)為n,可得解得 為正整數(shù) =35鋼管放置的最多根數(shù)為：31×18+30×17=1068（根）【答案】1. （1）=+=440（2）（3）=+=12602.根據(jù)如圖所示的運算程序，分情況列出算式，當x為偶數(shù)時，結果為；當x為奇數(shù)時，結果為，若開始輸入的x值為48，我們發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結果為24，第二次輸出的結果為12，第三次輸出的結果為6，第四次輸出的結果為3，第五次輸出的結果為3，以后每次輸出的結果都是3所以選擇B。3.圖案是一圈一圈的?？梢愿鶕?jù)每圈中棋子的個數(shù)得出規(guī)律。第1個圖案需要716枚棋子，第2個圖案需要191612枚棋子，第3個圖案需要37161218枚棋子，由此規(guī)律可得第6個圖案需要16123×（61）枚棋子，第n個圖案需要16123×（n1）13×23（n1）枚棋子。所以，擺第6個圖案需要127枚棋子，擺第n個圖案需要枚棋子4. 正A1B1C1的面積，第二個正三角形的面積是前一個正三角形面積的四分之一，第8個正A8B8C8的面積是第一個正