李雅普諾夫穩(wěn)定性(2)

1、李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)第二章第二章 LyapunovLyapunov理論基礎(chǔ)理論基礎(chǔ) 穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)關(guān)心的首要問題。穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)關(guān)心的首要問題。穩(wěn)定性的定性描述：如果一個(gè)系統(tǒng)在靠近其期望工作點(diǎn)的某處開始運(yùn)動(dòng)，且該系統(tǒng)以后將永遠(yuǎn)保持在此點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)，那么就把該系統(tǒng)描述為穩(wěn)定的。 例如：?jiǎn)螖[，飛行器 李雅普諾夫的著作動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的一般問題，并于1892年首次發(fā)表。1. 線性化方法：從非線性系統(tǒng)的線性逼近的穩(wěn)定性質(zhì)得出非線性系統(tǒng)在一個(gè)平衡點(diǎn)附近的局部穩(wěn)定性的結(jié)論。2.直接法：不限于局部運(yùn)動(dòng)，它通過為系統(tǒng)構(gòu)造一個(gè)“類能量”標(biāo)量函數(shù)并檢查該標(biāo)量函數(shù)的時(shí)變性來確定非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性質(zhì)。 李

2、雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)2.1 穩(wěn)定性概念穩(wěn)定性概念幾個(gè)簡(jiǎn)化記法：令 表示狀態(tài)空間中由 定義的球形區(qū)域， 表示由 定義的球面本身。1、穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性 定義：如果對(duì)于任何 ，存在 ，使得對(duì)于所有的 ，如果 ，就有 ，則稱平衡點(diǎn) 是穩(wěn)定的，否則，就稱平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。 或者： 對(duì)于線性系統(tǒng)，不穩(wěn)定等于發(fā)散；對(duì)于非線性系統(tǒng)，不穩(wěn)定不等于發(fā)散。 RBRxRSRxRttrrR)(, 0)0(, 0, 0 xxRrBttBrR)(, 0)0(, 0, 0 xx0R0r0tr)0(xRt)(x0 x李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)圖2-1 穩(wěn)定性概念例2.1 范德堡振蕩器的不穩(wěn)定性對(duì)于范德堡

3、方程0) 1(2xxxx 2211221)1 (xxxxxx轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程描述很容易證明該系統(tǒng)在原點(diǎn)處有一個(gè)平衡點(diǎn)。 并且是不穩(wěn)定的。李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)從任何一個(gè)非零初始狀態(tài)開始的系統(tǒng)軌線都漸近地趨近一個(gè)極限環(huán)。這意味著如果選擇穩(wěn)定性定義中的 為足夠小，使得半徑為 的圓完全落入極限環(huán)的封閉曲線內(nèi)，那么在靠近原點(diǎn)處開始的系統(tǒng)軌線最終將越出這個(gè)圓,因此原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。RR李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)2、漸近穩(wěn)定性與指數(shù)穩(wěn)定性 在許多工程應(yīng)用中，僅有穩(wěn)定性是不夠的。定義：如果某個(gè)平衡點(diǎn)0是穩(wěn)定的，而且存在某一 ，使得 ，當(dāng) 時(shí)， ，那么稱平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。 平衡點(diǎn)的吸引范

4、圍是指：凡是起始于某些點(diǎn)的軌線最終都收斂于原點(diǎn)，這些點(diǎn)組成的最大集合所對(duì)應(yīng)的區(qū)域。注意：收斂并不意味著穩(wěn)定。（見圖） 0rr)0(xt0)(tx李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)定義：如果存在兩個(gè)嚴(yán)格正數(shù) 和 ，使得圍繞原點(diǎn)的某個(gè)球內(nèi) ， 那么稱平衡點(diǎn)0是指數(shù)穩(wěn)定的。 也就是說，一個(gè)指數(shù)穩(wěn)定的系統(tǒng)的狀態(tài)向量以快于指數(shù)函數(shù)的速度收斂于原點(diǎn)，通常稱正數(shù) 為指數(shù)收斂速度。 指數(shù)收斂性的定義在任何時(shí)候都為狀態(tài)提供明顯的邊界。 把正常數(shù) 寫成后 ，不難看到，經(jīng)過時(shí)間 后，狀態(tài)向量的幅值減小到原值的 ，與線性系統(tǒng)中的時(shí)間常數(shù)相似。 rBtett)0()(,xx0e)/1 (0)%(351 e李雅普諾夫理

5、論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)例1：系統(tǒng) 它的解是： 以速度 指數(shù)收斂于 。 例2：系統(tǒng) 它的解為 ，是個(gè)慢于任何指數(shù)函數(shù) 的函數(shù)。 3、局部與全部穩(wěn)定性 定義：定義：如果漸近（或指數(shù)）穩(wěn)定對(duì)于任何初始狀態(tài)都能保持，那么就說平衡點(diǎn)是大范圍漸近（或指數(shù)）穩(wěn)定的，也稱為全局漸近（或指數(shù)）穩(wěn)定的。xxx)sin1 (2)(sin1 exp)0()(02tdxxtxtextx)0()(1)0(,2xxx 10 x)1/(1tx)0(te李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)2.2 2.2 線性化和局部穩(wěn)定性線性化和局部穩(wěn)定性 李雅普諾夫線性化方法與非線性系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性有關(guān)。李雅普諾夫線性化方法與非線性系統(tǒng)的

6、局部穩(wěn)定性有關(guān)。Lyapunou線性化方法說明：在實(shí)際中使用線性控制方法基本上是合理的。對(duì)于自治非線性系統(tǒng) ，如果 是連續(xù)可微的,那么系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性可以寫成( )：用 表示在 處 關(guān)于 的雅可比矩陣：原非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)0處的線性化結(jié)果為： )(xfx )(xf)(.xfxxfx0 xtohA0 xfx0 xxfAxxA0) 0(f李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)對(duì)于一個(gè)具有控制輸入 的自治非線性系統(tǒng)： 有：對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)，同樣可以得出上述結(jié)論。例2.2 考慮系統(tǒng)在 處線性化。u),(uxfx ),(.)0,()0,(uxfuufxxfxu0 xu0 xtohuxxBA 2111222122

7、1sin) 1(cosxxxxxxxxxx0 xxx1101線性化結(jié)果：李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)定理定理：（李雅普諾夫線性化方法） 1、如果線性化后的系統(tǒng)是嚴(yán)格穩(wěn)定的（即如果 的所有特征值都嚴(yán)格在左半復(fù)平面內(nèi)），那么平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的（對(duì)實(shí)際的非線性系統(tǒng)）； 2、如果線性化后的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的（即如果 的所有特征值至少有一個(gè)嚴(yán)格在右半復(fù)平面內(nèi)），那么平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的（對(duì)實(shí)際的非線性系統(tǒng)）； 3、如果線性化后的系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的（即如果 的所有特征值都在左半復(fù)平面內(nèi)，但至少有一個(gè)在 軸上），那么不能從線性近似中得出任何結(jié)論（其平衡點(diǎn)對(duì)于非線性系統(tǒng)可能是穩(wěn)定的，漸近穩(wěn)定的，或者是不穩(wěn)定的）

8、。 AAAj李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)例：對(duì)于一階系統(tǒng) 原點(diǎn)是這個(gè)系統(tǒng)的兩平衡點(diǎn)之一。這個(gè)系統(tǒng)在原點(diǎn)附近的線性化是： 應(yīng)用李雅普諾夫線性化方法，得出該非線性系統(tǒng)的下述穩(wěn)定性性質(zhì)： （1） 漸近穩(wěn)定； （2） 不穩(wěn)定； （3） 不能從線性化說明系統(tǒng)穩(wěn)定性性質(zhì)。在第三種情況下，非線性系統(tǒng)為這時(shí)線性化方法不能用來判斷它的穩(wěn)定性。 5bxaxxaxx 0a0a0a5bxx 李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)例：證明下面單擺的平衡狀態(tài) 是不穩(wěn)定的。式中 為單擺長(zhǎng)度， 為單擺質(zhì)量， 為鉸鏈的摩擦系數(shù)， 是重力常數(shù)。(系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是什么？) 在 的鄰域內(nèi)設(shè) ，那么系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的線性化結(jié)果是

9、因此，該線性近似是不穩(wěn)定的；近而該非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)也是不穩(wěn)定的。. .)(. .)(cossinsintohtoh02RgMRb )0,(0sin2MgRbMR RMbg李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ) 李雅普諾夫線性化定理說明李雅普諾夫線性化定理說明 線性控制設(shè)計(jì)存在一致性問題，人們必須設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)保持在它的“線性范圍”里。它也說明了線性設(shè)計(jì)的主要局限性：線性范圍到底有多大？穩(wěn)定范圍是什么？ 李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)2.3 2.3 李雅普諾夫直接法李雅普諾夫直接法 李雅普諾夫直接法的基本原理是對(duì)于下述基本物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)上的擴(kuò)展：如果一個(gè)機(jī)械（或電氣）系統(tǒng)的全部能量是連續(xù)

10、消耗的，那么該系統(tǒng)無論是線性的還是非線性的，最終必定穩(wěn)定至某個(gè)平衡點(diǎn)。非線性質(zhì)量阻尼器彈簧系統(tǒng)，動(dòng)態(tài)方程是 整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的能量是它的動(dòng) 能和勢(shì)能之和0310 xkxkxxbxm 4120203102412121)(21)(xkxkxmdxxkxkxmVxx李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)建立了能量與穩(wěn)定性的關(guān)系。穩(wěn)定性與機(jī)械能的變化有關(guān)李雅普諾夫直接法建立在把上述概念推廣到更復(fù)雜系統(tǒng)的基礎(chǔ)上。 一、正定函數(shù)和李雅普諾夫函數(shù) 定義：定義：一個(gè)標(biāo)量連續(xù)函數(shù) ，如果 ，而且在一個(gè)球 內(nèi) 那么稱函數(shù) 為局部正定的。)(xV0)(0V0RB0)(x0 xV)(xV3310)()()(xbxxbxxx

11、kxkxxmV x李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ) 局部正定函數(shù)的幾何意義：對(duì)于具有兩個(gè)狀態(tài)變量 和 的正定函數(shù) ，在三維空間中畫出 ，它典型地對(duì)應(yīng)于一只看起來象向上的杯子的曲面，杯子的最低點(diǎn)位于原點(diǎn)。同樣可以定義：負(fù)定、半正定、半負(fù)定等一些概念。1x2x)(xV)(xV李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)定義：定義：如果一個(gè)球域內(nèi) ，函數(shù) 為正定的且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而且如果它沿著系統(tǒng)的任何軌跡線的時(shí)間導(dǎo)數(shù)是半負(fù)定的，即 那么稱 為系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。0RB)(xV)(xfx )(xV0)()(xfxxxxVVdtdVV李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ) 幾何解釋：表示 值的點(diǎn)總是指向

12、杯底，或指向越來越小的 值等高線。二、平衡點(diǎn)定理 李雅普諾夫直接法的幾個(gè)定理建立起李雅普諾夫函數(shù)與系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的精確關(guān)系。 1 1、局部穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理、局部穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理 定理定理（局部穩(wěn)定性）：如果在球域 內(nèi)，存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù) ，它具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，使得： （1） 為正定（局部地）； （2） 為半負(fù)定（局部地）。 那么平衡點(diǎn)0是穩(wěn)定的。如果實(shí)際上導(dǎo)數(shù) 在 域內(nèi)局部負(fù)定，那么穩(wěn)定性是漸近的。)(xV)(xV0RB)(xV)(xV)(xV)(xV0RB李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)例：局部穩(wěn)定性具有粘滯阻尼的單擺由下列方程描述判斷系統(tǒng)在原點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。考察下列標(biāo)量函

13、數(shù)：它的時(shí)間導(dǎo)數(shù) 可以得出原點(diǎn)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)的結(jié)論。不能得到關(guān)于系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的結(jié)論，因?yàn)?僅僅半負(fù)定。0sin 02)cos1 ()(2xV0sin2 V)(xV李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)例：研究非線性系統(tǒng)在它的以原點(diǎn)為平衡點(diǎn)處附近的穩(wěn)定性。給正定函數(shù) 它沿任何系統(tǒng)軌線的導(dǎo)數(shù) 是 這樣， 在二維球域 里（即在由 定義的區(qū)域里）就是局部負(fù)定的。因此，根據(jù)上面的定理，原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。 )2(44)2(222122212221222111xxxxxxxxxxxx222121),(xxxxV)(xV)2)(2),(2221222121xxxxxxV)(xV2B22221 xx李雅普諾夫理

14、論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)2、全局穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理、全局穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理 為了斷定一個(gè)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性，必須將 擴(kuò)展為整個(gè)狀態(tài)空間；還有 必須是徑向無界的，即 （換句話說，當(dāng)從任何方向趨向無窮遠(yuǎn)時(shí)）， 。定理定理（全局穩(wěn)定性）：假設(shè)存在狀態(tài) 的某個(gè)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù) ，使得：（1） 是正定的，（2） 為負(fù)定的，（3）當(dāng) 時(shí)， 。那么平衡點(diǎn)0是全局漸近穩(wěn)定的。0RB)(xVx)(xVx)(xV)(xV)(xVx)(xV李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ) 徑向無界性條件在于保證等值曲線（或高階系統(tǒng)情況下的等值曲面） 對(duì)應(yīng)于封閉曲線。如果該曲線不是封閉的，即使?fàn)顟B(tài)保持穿過對(duì)應(yīng)

15、于越來越小的 的等值曲線（面），狀態(tài)軌線仍可能從平衡點(diǎn)漂移。 例如，對(duì)于正定函數(shù) 當(dāng) 時(shí)，曲線 是開曲線。 下圖說明狀態(tài)向“能量”越來越低的曲線移動(dòng)時(shí)的發(fā)散現(xiàn)象。aVV)(xaV222121)1/(xxxV1aVaVV)(x李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)例：一階非線性系統(tǒng)式中， 是任何一個(gè)與它的標(biāo)量自變量 有相同符號(hào)的連續(xù)函數(shù)，即選李雅普諾夫函數(shù)為當(dāng) 時(shí) ， 趨向于無窮，它函數(shù)是徑向無界。它的導(dǎo)數(shù)是 是一個(gè)全局漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。0)(xcx cx0)(xxc0 x對(duì)于 2xV xV)(22xxcxxV0 x李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)例： 考慮系統(tǒng)狀態(tài)空間的原點(diǎn)是這個(gè)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)

16、，設(shè) 是正定函數(shù) 沿任何系統(tǒng)軌跡的導(dǎo)數(shù)是)()(22212122221121xxxxxxxxxxV2221)(xxVxV222212211)(222)(xxxxxxVx它是負(fù)定的。因此，原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)。李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)3、注釋、注釋 對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)可以存在許多李雅普諾夫函數(shù)。例如，如果 是一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，那么下面的 也是李雅普諾夫函數(shù)： 此處 是任意嚴(yán)格正常數(shù)， 是任何大于1的標(biāo)量。 與 的正定，負(fù)定和徑向無界的特性是一致的。注意：對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，特別選擇的李雅普諾夫函數(shù)可能比其它的李雅普諾夫函數(shù)產(chǎn)生更精確的結(jié)果。 對(duì)具有粘滯阻尼的單擺，選李雅普諾夫函數(shù))

17、(xV)(1xV)()(1xxVV)(xV)(1xV22)(212)cos1 (2)(xV李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)它的導(dǎo)數(shù)為是局部負(fù)定的。雖然修正過的 沒有明顯的物理意義，但它卻能夠證明單擺的漸近穩(wěn)定性。注意：李雅普諾夫分析中的定理都是充分性定理。0)sin()(2xVV作業(yè)：為下面系統(tǒng)找一個(gè)平衡點(diǎn)，并確定穩(wěn)定性，指出穩(wěn)定性是否為漸近的以及是否為全局的。 543)5()2(sin) 1 (xxxxx李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)三、不變集定理 定理的中心概念是不變集的概念。 定義：定義：如果每條起始于集合中某點(diǎn)的系統(tǒng)軌線在任何未來時(shí)間里都保持在該集合內(nèi)，那么該集合稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

18、的一個(gè)不變集。1 1、局部不變集定理、局部不變集定理 不變集定理反映了一種直覺概念，即李雅普諾夫函數(shù) 必須逐漸減小至0（即 必須收斂于0），因?yàn)?是有下界的。定理（局部不變集定理）：定理（局部不變集定理）：對(duì)自治系統(tǒng) ， 是連續(xù)的，而且令 為具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)，假設(shè)： （1）對(duì)于某個(gè) ，由 定義的區(qū)域 是有界的； （2）對(duì)所有 中的 ， 。 )(xV)(xV)(xV)(xfx f)(xV0llV)(xllx0)(xV李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ) 令 為 中的所有 的點(diǎn)的集合，而 為 中最大的不變集；那么，當(dāng) 時(shí)起始于 內(nèi)的每一個(gè)解 趨向于 。 例：研究非線性系統(tǒng) 在它的以原點(diǎn)為平

19、衡點(diǎn)處附近的穩(wěn)定性。給正定函數(shù) Rl0)(xVMRtl)(txM)2(44)2(222122212221222111xxxxxxxxxxxx222121),(xxxxV)2)(2),(2221222121xxxxxxV沿任何系統(tǒng)軌跡的導(dǎo)數(shù)是李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)對(duì)于 ，由 定義的區(qū)域 是有界的。集合 只是原點(diǎn)0，它是一個(gè)不變集（因?yàn)樗且粋€(gè)平衡點(diǎn)）。局部不變集定理的所有條件都滿足，因而任何起始于這個(gè)圓內(nèi)的軌線都收斂于原點(diǎn)。這樣，根據(jù)不變集定理就明顯地確定了該系統(tǒng)的吸引范圍。1l1),(222121xxxxVlR李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)例：吸引極限環(huán)，考察系統(tǒng) 由 定義

20、的集合是不變的，因?yàn)樵谠摷现袨?。在不變集的運(yùn)動(dòng)由下面方程之一等價(jià)地描述因此，可以看到不變集實(shí)際上代表一個(gè)極限環(huán)。)102(3)102(22415231222417121xxxxxxxxxx1022241 xx)102)(124()102(2241221012241xxxxxxdtd31221xxxx李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)判斷極限環(huán)的吸引性。定義一個(gè)侯選李雅普諾夫函數(shù) 它表示到極限環(huán)的距離的量度?？捎貌蛔兗ɡ砼袛嗍諗啃?。22241)102(xxV2224162101)102)(3(8xxxxVV這樣 是嚴(yán)格負(fù)的。除了在1022241 xx0362101 xx情況下，0V集合

21、就是由它們的并集組成。假如取 ，原點(diǎn)不屬于 ，現(xiàn)在的集合 正是極限環(huán)。用不變集定理證明了極限環(huán)的漸進(jìn)穩(wěn)定性；同時(shí)意味著原點(diǎn)處的平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。M100llM李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)推論：推論：對(duì) 是連續(xù)的自治系統(tǒng) ，令 是一個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)，假設(shè)在原點(diǎn)的某一鄰域 內(nèi)，有：（1） 是局部正定的；（2） 是半負(fù)定的；（3）由 定義的集合 不包含除平凡軌跡 之外的系統(tǒng)軌線。那么，平衡點(diǎn)0是漸近穩(wěn)定的。而且，在 內(nèi)形式為 （由 定義）的最大連通域是這個(gè)平衡點(diǎn)的一個(gè)吸引范圍。 )(xfx )(xV)(xV)(xV0)(xVR0 xllV)(xf李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)

22、 內(nèi)的最大不變集 就只包含平衡點(diǎn)0。注意下列各點(diǎn)： a、上述推論用 為半負(fù)定的條件，以及關(guān)于 內(nèi)軌線的第三個(gè)條件代替了李雅普諾夫局部漸近穩(wěn)定性定理的負(fù)定條件。 b、在 內(nèi)的最大連通域 是平衡點(diǎn)的一個(gè)吸引范圍，但不一定是整個(gè)吸引范圍，因?yàn)楹瘮?shù) 不是唯一的。 c、集合 本身不一定是一個(gè)吸引范圍。實(shí)際上，上面的推論不保證 是不變的，某些起始于 內(nèi)但在 之外的軌線，實(shí)際上可能終止于 之外。 2 2、全局不變集定理、全局不變集定理 把所涉及的區(qū)域擴(kuò)大到整個(gè)空間并要求標(biāo)量 具有徑向無界性，可對(duì)上述定理進(jìn)行推廣。（略） RMVRLVL)(xV李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)例：對(duì)具有下面形式的一個(gè)二階系

23、統(tǒng)： 其中， 和 是滿足下面符號(hào)條件的連續(xù)函數(shù)： 對(duì)于 對(duì)于分析其在原點(diǎn)的穩(wěn)定性。取李雅普諾夫函數(shù)為： 可以把它看成系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能之和。 0)()(xcxbx bc0)0(, 0)(, 0bxbxx0)0(, 0)(, 0cxxcxxdyycxV02)(210)()()()()(xbxxxcxcxxbxxxcxxV 李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)0 x 0)(xbx0 x 根據(jù)假設(shè)，僅當(dāng) 時(shí) 。 意味著)(xcx 只要 ，它就不等于0。系統(tǒng)不能在 之外的任何平衡值上停住。 0 x 中的最大不變集 只包含一個(gè)點(diǎn)，即 。應(yīng)用局部不變集定理表明原點(diǎn)是一個(gè)局部漸近穩(wěn)定點(diǎn)。 如果積分 當(dāng) 時(shí)徑向

24、無界， 是徑向無界的。原點(diǎn)全局漸進(jìn)穩(wěn)定。 RM)0, 0(xx0 xxdrrc0)(xV李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)2.4 基于基于Lyapunov函數(shù)直接法的系統(tǒng)分析函數(shù)直接法的系統(tǒng)分析 如何尋找一個(gè)Lyapunov函數(shù)？ 不存在尋找Lyapunov函數(shù)的具體方法，這是Lyapunov穩(wěn)定性理論的根本缺點(diǎn)。對(duì)于具體問題人們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)、直覺和對(duì)系統(tǒng)的具體理解去尋找一個(gè)合適的Lyapunov函數(shù)。 對(duì)于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，Lyapunov函數(shù)可以用系統(tǒng)的方法找到的； 對(duì)于一個(gè)給定的非線性系統(tǒng)有很多數(shù)學(xué)方法可以幫助尋找Lyapunov函數(shù)。 最強(qiáng)有力、最巧妙的方法是通過對(duì)系統(tǒng)的理解來尋找Lyap

25、unov函數(shù)。 李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)一、線性定常系統(tǒng)的Lyapunov分析 Lyapunov函數(shù)象“能量”一樣是可以疊加的。1、對(duì)稱、斜對(duì)稱和正定矩陣 方陣的對(duì)稱性： 方陣的斜對(duì)稱性： 任何一個(gè)方陣表示為一個(gè)對(duì)稱陣和斜對(duì)稱陣的和： 與斜對(duì)稱陣相聯(lián)系的二次函數(shù)總是0，根據(jù)定義有： TMM TMM22TTMMMMMxxxxxxxMMMTTTT ,0 ,xxxMT李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ) 在后面的線性系統(tǒng)分析中，將經(jīng)常使用 形式的二次函數(shù)作為侯選李雅普諾夫函數(shù)，總是可以假定 是對(duì)稱的。 正定矩陣定義：一個(gè) 方陣 ，如果 那么該方陣是正定的。每個(gè)正定矩陣都與一個(gè)正定函數(shù)相聯(lián)

26、系。xx MTnnM0 0 ,xxxxMTM一個(gè)方陣為正定的必要條件是：它的對(duì)角元素是嚴(yán)格正的。一個(gè)對(duì)稱的方陣是正定的充分必要條件是：它的所有特征值都是嚴(yán)格正的。一個(gè)正定矩陣總是可逆的。一個(gè)正定矩陣總可以被分解為UUMT李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)證明： （1） （2） （3） 同樣可以定義矩陣半正定，負(fù)定和半負(fù)定的概念。對(duì)于一個(gè)時(shí)變矩陣 ，如果 則稱 是一致正定的。 )(tMaItMa)( 0,t , 0)(tM2max2min)()(xMMxxxMTzzUxUxMxxTTTTIMIM)()(maxmin2xzzT李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)2、線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)

27、給定一個(gè)線性系統(tǒng)為 ，考察侯選Lyapunov函數(shù)： 其中， 為一給定的對(duì)稱正定陣。沿系統(tǒng)軌跡微分得 式中， ，該式稱為L(zhǎng)yapunov方程。有效的解法是： （1）選擇一個(gè)正定矩陣 ； （2）從Lyapunov方程求解矩陣 ； （3）檢查 是否正定。xxAxx PVTPxxxxxxQPPVTTTQPAPATQPP李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)定理：定理：線性定常系統(tǒng) 嚴(yán)格穩(wěn)定的充要條件是，對(duì)于任何對(duì)稱正定矩陣 ，李雅普諾夫方程式的唯一解矩陣 是對(duì)稱正定的（證明略）。 的一個(gè)簡(jiǎn)單選擇是單位矩陣。 例：分析一個(gè)二階系統(tǒng)QxxAPQ212112840 xxxx局漸進(jìn)穩(wěn)定。結(jié)論：這個(gè)線性系統(tǒng)全其

28、解為：李雅普諾夫方程為：為：記取1,510011284012840,221211222112112221121122211211pppppppppppppppPPIQ李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)二、克拉索夫斯基（二、克拉索夫斯基（Krasovskii）方法方法 克拉索夫斯基（Krasovskii）方法提出了具有 形式的自治非線性系統(tǒng)的侯選Lyapunov函數(shù)的一種簡(jiǎn)單形式，即 ，這種方法的基本思想很簡(jiǎn)單，就是檢查這個(gè)具體選擇的函數(shù)是否確實(shí)能成為一個(gè)Lyapunov函數(shù)。 )(xfx ffTV )(xfx 定理：定理：對(duì)自治系統(tǒng) ，對(duì)平衡點(diǎn)原點(diǎn)，令 表示系統(tǒng)的雅可比矩陣，即)(xAxxf

29、A)(李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ) 如果矩陣 在原點(diǎn)的一個(gè)鄰域 上是負(fù)定的，那么原點(diǎn)是一個(gè)漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。這個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)Lyapunov函數(shù)是 如果 為整個(gè)狀態(tài)空間，而且當(dāng)時(shí) ， ，那么該平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。 例：非線性系統(tǒng) 判斷原點(diǎn)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。 2226,1113TAAFxfATAAF)()()(xfxfxTVx)(xV322122113xxxxxxx有：矩陣 是負(fù)定的。F李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)上述定理的應(yīng)用受到很多限制，許多系統(tǒng)的雅可比矩陣不滿足負(fù)定的條件。定理（廣義定理（廣義KrasovskiiKrasovskii定理）定理）：對(duì)自治系統(tǒng) ，對(duì)平衡點(diǎn)原點(diǎn)，

30、令 表示系統(tǒng)的雅可比矩陣。那么原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的充分條件是，存在兩個(gè)對(duì)稱正定矩陣 和 ，使得 ，矩陣 在原點(diǎn)的某一鄰域 內(nèi)是半負(fù)定的。且函數(shù) 就是這個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)Lyapunov函數(shù)。如果 為整個(gè)狀態(tài)空間，而且當(dāng) 時(shí)有 ，那么該平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。 )(xfx )(xAPQ0 x QPAPAFT)(xffxPVT)(x)(xV李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)三、變量梯度法三、變量梯度法 變量梯度法是構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的一種形式化方法。它假定未知Lyapunov函數(shù)的梯度具有某種形式，然后通過積分這個(gè)假定的梯度來求得Lyapunov函數(shù)本身。對(duì)于低階系統(tǒng)，這種方法有時(shí)會(huì)成功地找到Lya

31、punov函數(shù)。 有一個(gè)標(biāo)量函數(shù) ，可以通過積分關(guān)系使的它與其梯度 聯(lián)系起來： 其中 。為了從梯度 找到唯一的標(biāo)量函數(shù) ，該梯度函數(shù)必須滿足所謂旋轉(zhuǎn)條件： )(xVVxVdxxV0)(nxVxVV/,/1V)(xV), 2 , 1,( njixVxVijji李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ) 其中第 個(gè)分量 就是方向?qū)?shù) 。 變量梯度法原理就是假定梯度 具有某種特定形式，而不是假定Lyapunov函數(shù)本身。其中一種簡(jiǎn)單的假定就是梯度函數(shù)具有某種形式： 式中 為待定系數(shù)。這樣，尋找Lyapunov函數(shù)的過程如下： （1）假定 是由上式給出的形式（或另外的形式）； （2）求解系數(shù) ，以滿足旋轉(zhuǎn)方

32、程； （3）限制上式中的系數(shù)，使的 是半負(fù)定的（至少是局 部半負(fù)定的） iiVixV /VnjjijixaV1ijaVijaV李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)（4）通過積分，由 計(jì)算 ； （5）檢查 是否正定。 因?yàn)闈M足旋轉(zhuǎn)條件意味著上述積分結(jié)果與積分路徑無關(guān)，那么依次沿著平行于每一條軸的路徑進(jìn)行積分，來求 通常是方便的，即 例：用變量梯度法為下列非線性系統(tǒng)求一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。 VVVVnxnnnxxdxxxxVdxxxVdxxVxV021022120111),( )0 ,()0 , 0 ,()(212212211222xxxxxx李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)假定待定的李雅普諾夫

33、函數(shù)的梯度具有下面這種形式旋轉(zhuǎn)方程是：如果選取系數(shù)：則： 那么，可算出 為： 22212122121111xaxaVxaxaV122212112121221221111221xaxxaxaxaxaxaxxVxV0, 121122211aaaa2211,xVxVV)1 (22212221xxxxxVV李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)這樣， 在區(qū)域 上是局部負(fù)定的，而函數(shù) 則為它確實(shí)是正定的，因此，系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性得到了保證。注意：上式并不是通過變量梯度法能夠獲得的唯一的Lyapunov函數(shù)。例如?。旱玫秸ê瘮?shù)： 它的導(dǎo)數(shù)是：容易證明， 是一個(gè)局部負(fù)定的函數(shù)，因此，這表示系統(tǒng)的另一個(gè)Lyap

34、unov函數(shù)。 V0)1 (21xxV2102221220112xxxxdxxdxxV2221221222113, 3, 1xaxaaa3212221232xxxxV)3(262222121222221xxxxxxxVV李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)四、根據(jù)物理意義誘導(dǎo)產(chǎn)生李雅普諾夫函數(shù)四、根據(jù)物理意義誘導(dǎo)產(chǎn)生李雅普諾夫函數(shù) 數(shù)學(xué)方法，對(duì)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)有效，對(duì)于復(fù)雜的系統(tǒng)方程往往作用甚微。如果系統(tǒng)的工程含義和物理性質(zhì)被適當(dāng)?shù)陌l(fā)掘，那么一種精巧的和強(qiáng)有力的李雅普諾夫分析方法可能適用于非常復(fù)雜的系統(tǒng)。 五、性能分析五、性能分析 李雅普諾夫函數(shù)能夠進(jìn)一步估計(jì)穩(wěn)定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。 1、一個(gè)簡(jiǎn)單的收斂

35、性引理 引理：如果一個(gè)實(shí)函數(shù) 滿足不等式 式中 為一實(shí)數(shù)，那么 )(tW0)()(taWtWaateWtW)0()(李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)上述引理說明，如果 是一個(gè)非負(fù)函數(shù)，滿足就能保證 指數(shù)收斂到零。應(yīng)用李雅普諾夫直接法進(jìn)行穩(wěn)定性分析時(shí)，可以把 處理成 的形式，可以推導(dǎo)出 的指數(shù)收斂性和收斂速度。進(jìn)而狀態(tài)的指數(shù)收斂速率也可以確定。W0)()(taWtWWV0)()(taWtWV李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)2、估計(jì)線性系統(tǒng)的收斂速度 線性系統(tǒng) 的李雅普諾夫函數(shù)為： 由矩陣?yán)碚摫砻鳎?有： 因此有： xx PVTxx QVTQPAPAT)(/ )(maxminPQQIQIP

36、P)( ,)(minmaxVIPPQQTTxxxx)()()(maxmaxminVVxxA李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)根據(jù)引理有 ：這說明，狀態(tài)至少以 的速度收斂于原點(diǎn)。 3、估計(jì)非線性系統(tǒng)的收斂速度 對(duì) 的表達(dá)式進(jìn)行運(yùn)算以獲得 的一個(gè)明顯估計(jì) 。 例：對(duì)非線性系統(tǒng) tTeVP)0(xx2min)()(tPPTxxxtePVt)()0()(min2x2VV) 1(44) 1(222122212221222111xxxxxxxxxxxx李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)候選的Lyapunov函數(shù)：求這個(gè)方程的解，有：其中： ，如果 ，有 這意味著狀態(tài)向量的范數(shù) 已1的速率按指數(shù)收斂于零

37、。反之 結(jié)果會(huì)如何？有限時(shí)間趨于無限。221),(xxxV) 1(2) 1)(222212221VVxxxxVVxxdtVVdV2)1 (/ttaeaeV221)(x)0(1)0(VVa1)0()0(2Vx0ataetV2)()(tx1)0()0(2 Vx李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)2.5基于李雅普諾夫直接法的控制設(shè)計(jì)基于李雅普諾夫直接法的控制設(shè)計(jì) 0 xuxxx23 第一種方法：假設(shè)控制律的一種形式，然后找到一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)來判斷所選定的控制律能否導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定。第二種方法：假設(shè)一個(gè)候選的李雅普諾夫函數(shù)，然后找到一個(gè)控制律以使得這個(gè)候選函數(shù)成為真正的李雅普諾夫函數(shù)。例：控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

38、把系統(tǒng)的狀態(tài)控制到原點(diǎn)選擇控制規(guī)律)()(21xuxuu李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)一、模型參考控制系統(tǒng) 假設(shè)對(duì)象的狀態(tài)方程為： 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖： 0)(, 00)(, 02213xuxxxxuxxx對(duì)于對(duì)于),(tuxfx xv對(duì)象控制器模型參考系統(tǒng)udx0)()(xcxbx 也就是，即使在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中出現(xiàn)某些不確定性的情況下，局部穩(wěn)定的控制器。參照前面的例題：二階動(dòng)態(tài)系統(tǒng) 的穩(wěn)定性分析。李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)參考模型為：誤差向量為： 誤差向量的微分方程：現(xiàn)在設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，使得在穩(wěn)態(tài)時(shí) 對(duì)誤差微分方程給出的系統(tǒng)構(gòu)造一個(gè)Lyapunov函數(shù)： vxxBAddxxedvuxfxexxeBtAAd),(0 ee eeePVT)(),(2)()(vuxfxeeeeBtAPMMPAPAVTTT李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李雅普諾夫理論基礎(chǔ)如果：1、 是一個(gè)負(fù)定矩陣；2、設(shè)計(jì)控制向量 使得 為非正值。 平衡狀態(tài) 是大范圍漸近穩(wěn)定的 （滿足徑向無界）。 例子：考慮由下式描述的非線性時(shí)變系統(tǒng)： 式中， 是時(shí)變參數(shù)， 為正常數(shù)。設(shè)參考模型的方程為： QQPAPAT,uM0euxxxtabxx10)(1021221)(tabvxxxxnddnndd2212210210李雅普諾夫理論基礎(chǔ)李