全國數(shù)模競賽A題

1、2011高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： A 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設置

2、報名號的話）： 20111663 所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?南京郵電大學 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 劉超舟 2. 劉立億 3. 董睿 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 日期： 2011 年 9 月12 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2011高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：A題 城市表層土壤重金屬污染分析一摘要二問題重述三符號約定四基本假設五建模與求解5.1問

3、題（1）的建模與求解問題分析根據(jù)采樣的坐標，我們可以得到一個大概的區(qū)域分布散點圖，如下圖：圖 功能區(qū)采樣點分布散點圖圖中各功能區(qū)得分布無規(guī)律，采樣間隔比較大，很難建立各重金屬測量值與樣本采集點坐標的平滑函數(shù)，故采用等高線圖來描述各種重金屬在該城區(qū)的空間分布。附件中給了采樣點的三維坐標和各重金屬元素的含量值，由于我們只需要考慮該區(qū)域的污染程度，因此不需要考慮坐標，只用知道采樣地點位于某一區(qū)即可。我們從采集樣本的樣本值中可以分析出每一區(qū)域的污染程度。由于重金屬分子的相對分子質(zhì)量較大，取樣時只對表層土壤010厘米深度進行取樣，從收集的資料來看，可對取樣值污染程度采用地積累指數(shù)分析法進行評級分析。建模

4、與求解首先，在MATLAB中運用插值法作圖，具體結(jié)果如下:圖 As濃度空間分布 Cd濃度空間分布圖Cr濃度空間分布 圖5.1.5Cu濃度空間分布圖Hg濃度空間分布 圖5.1.7Ni濃度空間分布圖b濃度空間分布 圖5.1.9Zn濃度空間分布下面對該城區(qū)內(nèi)不同區(qū)域重金屬污染程度運用地積累指數(shù)法進行分析。地積累指數(shù)法（Muller指數(shù)）常用于評價土壤中重金屬的污染狀況，表達式為：其中：是元素n在土壤中的含量；是土壤中該元素的地球化學背景值；k為考慮各地巖石差異可能會引起背景值的變動而取的系數(shù)（一般取值為1.5），用來表征沉積特性，巖石地質(zhì)和其他影響。土壤中重金屬地積累指數(shù)分級與污染程度之間相互關(guān)系如

5、下表：表Muller地積累指數(shù)分級地積累指數(shù)（）分級污染程度6極嚴重污染5強-極嚴重污染4強污染3中等-強污染2中等污染1輕度-中等污染0無污染根據(jù)附件2，可知8種主要重金屬元素在城區(qū)采樣點處的濃度。而根據(jù)附件3可知這8中重金屬元素的背景值。再依照公式計算，就能得到8種元素的地積累指數(shù)?，F(xiàn)在用分級頻率（污染頻率）來表示某種重金屬元素對該城市的污染程度。分級頻率就是滿足某分級的采樣點個數(shù)比上所用采樣點個數(shù)。例如：As地積累指數(shù)分級頻率計算如下：具體結(jié)果如下表：表 該地區(qū)土壤中8種重金屬元素地積累指數(shù)分級頻率分布分級地積累指數(shù)（）污染程度As（%）Cd（%）Cr（%）Cu（%）Hg（%）Ni（%）

6、Pb（%）Zn（%）0無污染50.47 37.30 62.07 27.59 52.04 66.14 50.47 47.34 1輕度-中等污染46.39 39.50 32.60 37.30 21.63 32.29 33.86 28.84 2中等污染2.19 18.50 3.76 22.88 14.42 0.94 14.11 16.30 3中等-強污染0.94 4.39 0.94 9.09 6.27 0.63 0.63 4.08 4強污染0.00 0.31 0.00 2.51 1.57 0.00 0.94 2.51 5強-極嚴重污染0.00 0.00 0.63 0.00 1.57 0.00 0.0

7、0 0.63 6極嚴重污染0.00 0.00 0.00 0.63 2.51 0.00 0.00 0.31 再做如下計算：用每個區(qū)域的某一元素的地積累指數(shù)的平均值作為該元素在此區(qū)域的的地積累指數(shù)，進行分級評價。以生活區(qū)為例： 所有結(jié)果如下表：表 該地區(qū)8種土壤重金屬地積累指數(shù)及其分級情況元素生活區(qū)工業(yè)區(qū)山區(qū)交通區(qū)公園綠地區(qū)分級分級分級分級分級As0.127310.21291-0.532700.055610.13741Cd0.338410.79771-0.526400.596210.18211Cr0.14751-0.03010-0.445800.0271-0.16590Cu0.876711.377

8、22-0.39501.074720.39511Hg0.198911.31612-0.598800.462610.19611Ni-0.07820-0.03190-0.45790-0.18480-0.33970Pb0.238610.67471-0.455700.282210.12691Zn0.468310.85741-0.592500.652410.05311從8種重金屬元素的分級頻率計算的結(jié)果來看（表），該城區(qū)總體重金屬污染情況是Cu的污染頻率最大，達到72.41%，其次是Cd和Zn，是60.5%和52.66%；其余5種重金屬元素污染頻率的大小順序為As，Pb，Hg，Cr和Ni。而對于每個功能區(qū)

9、來說（表）：生活區(qū)幾乎沒有Ni污染，其他重金屬元素均屬于1等級，即輕度-中等污染；工業(yè)區(qū)沒有Ni污染和Cr污染，但Cu和Hg屬于中等污染；山區(qū)幾乎不受這8中重金屬元素污染；交通區(qū)同樣基本不受Ni污染，但Cu污染較多，公園綠地區(qū)沒有Ni污染和Cu污染,其他重金屬污染程度較輕。具體排序如下：表污染程度生活區(qū)工業(yè)區(qū)山區(qū)交通區(qū)公園綠地區(qū)CuCuCuCuCuZnHgCrZnHgCdZnPbCdCdPbCdNiHgAsHgPbCdPbPbCrAsAsCrZnAsCrZnAsCrNiNiHgNiNi表污染程度AsCdCrCuHgNiPbZn工業(yè)區(qū)工業(yè)區(qū)生活區(qū)工業(yè)區(qū)工業(yè)區(qū)工業(yè)區(qū)工業(yè)區(qū)工業(yè)區(qū)公園綠地區(qū)交通區(qū)交通

10、區(qū)交通區(qū)交通區(qū)生活區(qū)交通區(qū)交通區(qū)生活區(qū)生活區(qū)工業(yè)區(qū)生活區(qū)生活區(qū)交通區(qū)生活區(qū)生活區(qū)交通區(qū)公園綠地區(qū)公園綠地區(qū)公園綠地區(qū)公園綠地區(qū)公園綠地區(qū)公園綠地區(qū)公園綠地區(qū)山區(qū)山區(qū)山區(qū)山區(qū)山區(qū)山區(qū)山區(qū)山區(qū)為了評價該城區(qū)不同區(qū)域的綜合污染程度，現(xiàn)將各個區(qū)域的8種重金屬地積累指數(shù)的平均值再做算術(shù)平均處理，即該城區(qū)各個區(qū)域污染程度及排序如下：5.2問題（2）的建模與求解近年來，隨著工業(yè)發(fā)展、廢棄物排放，土壤重金屬污染已經(jīng)成為一個世界性問題。大量的研究證實，土壤重金屬污染不但損害土壤自身的理化性質(zhì)，而且影響作物的產(chǎn)量與品質(zhì)，并通過食物鏈進入人體危害人體健康。城市土壤由于生產(chǎn)、生活、和商業(yè)等不同土地利用的特點不同，重金

11、屬污染具有其特定的空間分布特征，不同的功能區(qū)土壤中不同重金屬濃度有著一定的差異。一般來說，工業(yè)區(qū)重金屬污染最為嚴重。從上一問的分析計算中，可以看到該城市土壤重金屬的濃度的空間分布特征及污染程度，下面針對不同功能區(qū)的土壤重金屬濃度狀況進行分析，解釋污染原因如下：1）生活區(qū) 生活區(qū)是人口密集的功能區(qū)，該區(qū)域土壤中Cr的含量多于其他區(qū)域，Cu、Hg和Zn的含量也偏高。這是由于城市生活垃圾中電池、廢電燈、廢舊電器等各種金屬制品或鍍金屬制品中金屬離子的溶出對重金屬污染有直接的貢獻，垃圾中最常見的重金屬污染主要就是Cu、Hg、Zn和Cr。2）工業(yè)區(qū) 工業(yè)區(qū)的土壤是受重金屬污染最嚴重的功能區(qū)，除了Cr和Ni

12、，其他重金屬在土壤中的含量都較高。工業(yè)能源大都以煤、石油類為主，它們是環(huán)境中Hg、Pb、Cd、As等重金屬污染的主要來源。在采礦、選礦、冶煉、鍛造、加工、運輸?shù)裙I(yè)生產(chǎn)過程中會產(chǎn)生大量的重金屬污染。排放的廢水、廢渣等直接進入水體及土壤中，廢氣中的重金屬經(jīng)沉降也進入土壤等環(huán)境中，從而使得環(huán)境中重金屬濃度嚴重超標。3）山區(qū) 山區(qū)的土壤重金屬濃度是最低的，幾乎不受重金屬污染。這是由于山區(qū)海拔較高，一般不會有人類活動，且生物多樣性豐富，植被對重金屬的吸收，微生物對重金屬的分解，都使得山區(qū)土壤中重金屬含量偏低。4）交通區(qū) 工業(yè)區(qū)的土壤是受重金屬污染較嚴重的功能區(qū)，僅次于工業(yè)區(qū)。Cu，Cd，Zn和Pb的含

13、量都相對較高。這是由于城市離不開交通運輸，汽車尾氣排放、輪胎添加劑中含有大量的Cu，Cd，Zn和Pb。隨著交通的發(fā)展，汽車的普及化，這些重金屬對土壤的污染會更加嚴重。5）公園綠地區(qū) 公園綠地區(qū)的土壤中重金屬濃度也比較低，相對而言，Cu的能讀偏高。從該城市功能區(qū)分布圖可看出公園綠地區(qū)周圍分布著一些工廠，工業(yè)污染擴散，導致公園綠地區(qū)土壤收到少量重金屬污染。 整體來看5.3問題（3）的建模與求解問題分析重金屬污染物的傳播主要有以下途徑：1.大氣中重金屬廢氣的沉降；2.農(nóng)藥、化肥和塑料薄膜的使用；3.污水灌溉，污泥堆肥；4.含重金屬廢棄物得堆積；5.金屬礦山酸性廢水的污染。從25可以看出重金屬污染的范

14、圍基本以污染源為中心，在其周圍分布，在1中，我們暫不考慮該城市的風向以及風速，還有污染源所處的海拔高度等因素，設排放的廢棄自然擴散，由于重金屬分子的相對分子質(zhì)量較大，故會較快沉降，在污染源周圍形成污染，但范圍會相對大一些。由以上的傳播特性，我們可以看出，重金屬污染嚴重的地區(qū)，在其附近定會存在污染源。由于線性綜合指標往往是不能直接觀測到，但它能反映事物的本質(zhì)，故我們采用統(tǒng)計學中的因子分析，將多個變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個線性不相關(guān)的綜合指標，用較少的有代表性的因子來說明多個變量提取的主要信息。因此因子分析在成因、來源問題分析上是較有效的。我們通過SPSS對數(shù)據(jù)進行因子分析，對得到的因子用MATLAB做等

15、高線圖，得到每個因子和其對應坐標的分布圖，由以上分析的金屬傳播特性可知，在最大污染程度附近，可以找到其對應的污染源。5.3.2建模與求解設總體，其均值向量和協(xié)方差矩陣都存在。建立因子模型的一般形式其中，為初始變量的公共因子，為變量的特殊因子。下面通過SPSS 11.0軟件對本問題進行因子分析：1） 描述性統(tǒng)計輸出。下表所示的是關(guān)于8個初始變量（As,Cd,Cr,Cu,Hg,Ni,Pb,Zn）的描述性統(tǒng)計量，包括均值、標準差和分析用到的取值個數(shù)(N)。描述統(tǒng)計量均值標準差分析 NAs5.67653.02429319Cd302.3962224.98760319Cr53.509770.0017931

16、9Cu55.0167162.91510319Hg299.71131629.53978319Ni17.26189.94142319Pb61.740950.05776319Zn201.2026339.23254319初始變量的相關(guān)性檢驗。如下表，可見，Cr和Ni的相關(guān)性最大，為0.716，其次是Pb和Cd，相關(guān)系數(shù)為0.660，且上面兩組的Sig值很小，而其他元素之間的相關(guān)性并不是很好。從成因上來分析，相關(guān)性好的元素可能在成因和來源上有一定的聯(lián)系。相關(guān)矩陣ascdcrcuhgni相關(guān)as1.000.255.189.160.064.317cd.2551.000.352.397.265.329cr.1

17、89.3521.000.532.103.716cu.160.397.5321.000.417.495hg.064.265.103.4171.000.103ni.317.329.716.495.1031.000pb.290.660.383.520.298.307zn.247.431.424.387.196.436Sig.（單側(cè)）as.000.000.002.126.000cd.000.000.000.000.000cr.000.000.000.033.000cu.002.000.000.000.000hg.126.000.033.000.033ni.000.000.000.000.033pb.0

18、00.000.000.000.000.000zn.000.000.000.000.000.0003）KMO檢驗和Bartlett球形檢驗。如下表所示，KMO檢驗用于研究變量之間的偏相關(guān)性，一般KMO統(tǒng)計量大于0.7就可以接受，本題中得KMO值為0.778，可以接受。Bartlett球形檢驗統(tǒng)計量的Sig<0.01，由此否定了相關(guān)矩陣為單位的零假設，即認為各變量之間存在著顯著的相關(guān)性。KMO 和 Bartlett 的檢驗取樣足夠度的 Kaiser-Meyer-Olkin 度量。.778Bartlett 的球形度檢驗近似卡方905.711df28Sig.0002） 變量的共同度。如下表所示，

19、本題中As的共同度為0.993，表示6個公共因子能夠解釋As的方差的99.3%，其他變量共同度的解釋類似。公因子方差初始提取as1.000.993cd1.000.938cr1.000.853cu1.000.930hg1.000.989ni1.000.882pb1.000.872zn1.000.994提取方法：主成份分析。3） 方差解釋表。如下表所示，前6個公因子解釋的累計方差已將達到93.156%，故而提取這6個公因子就能夠比較好的解釋原有8個變量所包含的信息了。解釋的總方差5）特征值碎石圖。下圖所示的是初始特征值（也就是方差貢獻）的碎石圖。觀察發(fā)現(xiàn)，第6個7）旋轉(zhuǎn)前后的因子載荷陣。旋轉(zhuǎn)成份矩陣a成份123456ni.859.095.175.224.226.059cr.822.180.321.200.036-.006cd.189.907.089.177.114.165pb-.003.674.528.313.184.080cu.315.130.841.145.052.288zn.191.188.138.939.112.092as.095.102.048.093.981.020hg-.008.109.167.073.020.972提取方法 :主成分分析法。 旋轉(zhuǎn)法 :具有 Kaiser 標準化的全體旋轉(zhuǎn)法。a. 旋轉(zhuǎn)在 7 次迭代后收斂。已知因子載荷是變量與公共因子的相關(guān)系