對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算2

1、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（2 2） 一般地，如果 ，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作1, 0aaNax,log Nxa其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。?底數(shù)?對(duì)數(shù)?真數(shù)?冪?指數(shù)?底數(shù)?log?a?Nb?a?b?=N常用對(duì)數(shù)： 我們通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)。 為了簡便,N的常用對(duì)數(shù) 簡記作 .N10logNlog自然對(duì)數(shù)： 在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無理數(shù)e=2.71828為底的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)叫自然對(duì)數(shù)。 Nelog并且把 簡記作 。 Nln例如： 1642216log41001022100log102421212log401. 0102201. 0log10根據(jù)對(duì)數(shù)的定

2、義，可以得到對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：當(dāng)a0，a1時(shí)，Nax.log Nxa根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，可以得到對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：當(dāng)a0，a1時(shí)，Nax.log Nxa 由指數(shù)與對(duì)數(shù)的這個(gè)關(guān)系，可以得到關(guān)于對(duì)數(shù)的如下結(jié)論：負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)：. 1log, 01logaaa例例1.1.將將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指 數(shù)式：數(shù)式： ；62554(1)；64126(2)73. 531m）（(3)416log21(4)；201. 0lg(5).303. 210ln(6)；4625log5(1)；6641log2(2)；m73. 5log31(3)；16)21(4(4)；01.

3、 0102(5).10303. 2e(6)解： 例例2.2.求下列各式中x的值： ；32log64x(1)；68logx(2);100lgx(3).ln2xe (4)解： ；32log64x(1)因?yàn)樗?；）?614464232332x, 68logx(2)因?yàn)椋唬?2282161361x所以, 86x,100lgx(3)因?yàn)樗?10010 x,10102x2x于是(4)因?yàn)?，xe 2ln所以，xe 2lnxee2于是. 2xR)M(nnMNMNMNMN)(Manaaaaaaaloglog3logloglog2logloglog1）（）（）（如果如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有

4、：有： 為了證明以上公式，請(qǐng)同學(xué)們回顧一下指數(shù)運(yùn)算法則 ：)()(),()(),(RnbaabRnmaaRnmaaannnmnnmnmnm(1)設(shè) ,logpMa,logqNa由對(duì)數(shù)的定義可以得： ,paM qaN MN= paqaqpaqpMNa log即證得 NM(MN)aaalogloglog證明：(2)設(shè) ,logpMa,logqNa由對(duì)數(shù)的定義可以得： ,paM qaN 即證得 qpaaqpaqpNMa logNMNMNMaaalogloglog證明：(3)設(shè) ,logpMa由對(duì)數(shù)的定義可以得： ,paM npnaMnpMna log即證得 R)M(nnManaloglog證明：其他

5、重要公式1:NmnNanamloglog證明：設(shè) ,logpNnam由對(duì)數(shù)的定義可以得： ,)(pmnaN 即證得 NmnNanamloglogmpnaN pnmNa logpnmaN 其他重要公式2:aNNccalogloglog)0), 1 () 1 , 0(,(Nca由對(duì)數(shù)的定義可以得：,paN 證明：設(shè) pNalogpccaNloglogapNccloglogaNpccloglog即證得 aNNccalogloglog這個(gè)公式叫做換底公式其他重要公式3:abbalog1log), 1 () 1 , 0(,ba證明:由換底公式 aNNccalogloglog取以b為底的對(duì)數(shù)得： abbb

6、balogloglog1logbbabbalog1log還可以變形,得 1loglogabba例例3.3.計(jì)算：計(jì)算： （1） )42(log752（2） 27log9（3） 8log7log3log732522log1422log= 5+14 = 19解： )42(log752522log724log(1)3log2332327log9333log2(2)（1） )42(log752（2） 27log92lg2lg32lg2lg3= 32lg3lg3lg7lg7lg8lg解： 8log7log3log732(3)（3） 8log7log3log732(1)zxyzxyaaalog)(logl

7、og(2) 3121232log)(loglogzyxzyxaaazyxaaalogloglog31212logloglogzyxaaazyxaaalog31log21log2解： 例4.用 ,log xa,log yazalog表示下列各式： 32log)2(;(1)logzyxzxyaa1.求下列各式的值：（4） 15log5log33（2） 2lg5lg （3） 31log3log55（1） 3log6log2211012.用lg，lg，lg表示下列各式：（2）（1） )lg(xyzzxy2lglglglg；lglglg；（3） zxy3lglglg 21lg； （4） zyx2lgzyxlglg2lg21（2）z