待定系數(shù)法求特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式

1、待定系數(shù)法求特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式靖州一中蔣利在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常碰到一些特殊數(shù)列求通項(xiàng)公式，而這些 問題在高考和競賽中也經(jīng)常出現(xiàn)，是一類廣泛而復(fù)雜的問題，歷屆 高考常以這類問題作為一道重大的試題。因此，在教學(xué)中，針對(duì)這 類問題，提供一些特殊數(shù)列求通項(xiàng)公式范例，幫助同學(xué)們?nèi)嬲莆?這類問題及求解的一般方法。求數(shù)列的通項(xiàng)公式，最為廣泛的的辦法是：把所給的遞推關(guān)系 變形，使之成為某個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列的形式，于是就可以由此 推得所給數(shù)列的通項(xiàng)公式。求解的關(guān)健在于變形的技巧，而變形的 技巧主要在于引進(jìn)待定系數(shù)。其基本原理是遞推關(guān)系兩邊加上相同 的數(shù)或相同性質(zhì)的量，構(gòu)造數(shù)列的每一項(xiàng)都加上相同的數(shù)或相同性

2、 質(zhì)的量，使之成為等差或等比數(shù)列。具體的求解過程詳見示例。第一類別：an=Aan-i+B例1設(shè)X1 =2,且X n =5x n 4 +7.求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：所給的遞推公式可變形為Xn+m=5Xn+7+m=5（X n+ 乎），令55于是 x n + 7 =5（x nj + 7）， X44=15 ,公比為q=5.于是415 小 7Xn = 5-447Xl+7所以7 m7m= .貝S m=-5 547n+-47X +=n 4是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為15 5nJ43X（n=2，3，4，）設(shè) X1=1,且 X n= 3Xn42Xn4 +5求數(shù)列 Xn 的通項(xiàng)公式解：所給的遞推公式可變?yōu)?152=xn3xn

3、 43丄心5(Xn3-3m),令 m=2,貝q m=1Xn d 5555于是丄1Xn=2(丄 1) o 1是等比數(shù)列，3 Xn!Xn其首項(xiàng)是 1 =2,公比是Xi5q=-3于是丄1=2Xn所求的Xn3n2 5nJ -3nJ第二類別：a=Aa n- 1 +Ban - 2例3設(shè)Xi=1 ,X2=5,X n=13Xn-1-22Xn-2.(n=3,4,)求數(shù)列 Xn 的通項(xiàng)公式解：所給的遞推公式可變?yōu)閄n+mXn-1= ( m+13) Xn-1-22X n-2= ( m+13) ( Xn-1- Xn-2 )m 1322令 m=-,貝U m= 2,或 m= 11m+13于是 Xn-2x n-1 =11(

4、Xn-1-X n-2 ) ,X n-11X n-1=2(X n- 1-X n-2) Xn-2X n-1 , X-11X n-1 都是等比數(shù)列，其首項(xiàng)與公比分別為X2 -11x 1=-6,q=2 o于是 Xn-2x n-1 = 3 11 n-2 , Xn-11x n-1 =-6 22 oX2-2x 1=3,q=11 o由此消去 Xn-1 可得 Xn = (11 n-1+2n)/3例 4:設(shè) X1=1,x 2=2 o 且 Xn=7x n-1+18x n-2 ( n=3,4,)求數(shù)列 Xn 的通項(xiàng)公式解：所給的遞推公式可變?yōu)閄n+mXn-1=(m + 7)X n-l+18x n-2=(m + 7)(

5、x18 、n- 1+X n - 2)m +7令 m= 18,貝U m=2,或 m=-9m +7Xn+2x n-1=9(x n-1+2Xn-2),X n-9X n-1=-2(X n- 1-9X n-2)Xn+2Xn-1 與 Xn-9X n-1 都是等比數(shù)列，其首項(xiàng)與公比分別為X2+2x 1=4, q=9 o X2-9x 1=-7 , q=-2n-2n-2Xn+2X n-1=4 9, Xn-9X n-1=-7(-2)由此消去 Xn-1 可得 Xn= ( 4 9n-1+7 (-2) n-1) /11第 三類別:an=Aan- i+f(n)例 5 設(shè) xi=1 ,且 Xn=3xn-i + 5n + 1

6、 ( n=2,3,)(1)求數(shù)列 Xn 的通項(xiàng)公式解：X2=14 ,于是(1)把n改成n-1得X n- 1 =3x n- 2 + 5(n-1)+ 1 ( 2)兩式相減得 Xn-X n- 1=3(x n-1 -X n-2)+ 55 mXn-X n-1+m = 3(X n-1-X n-2)+ 5 + m = 3(X n-1-X n-2+)33令 m=5 m ,貝U m=-。于 是 Xn-X n-1+ =3(X n- 1-X n- 2+5 )332225 Xn-X n- 1 +是等比數(shù)列，25312 2于是 Xn -X n-1 + 5=31 3 ( 3 )2 2由(1 )與(3 )消去Xn-1得n-

7、1Xn=(31 3-10 n-17)/4例 6:設(shè) X1 =4,且 Xn=5x n-1 + 7n 3 ( n=2,3, ) (1)求數(shù)列 Xn 的通項(xiàng)公式其首項(xiàng)為X2 -x 1 + -=,其公比q=3。方法1解：X2=31,于是（1）把n改成n-1得Xn-1 =5x n -2 + 7(n-1) 3 ( 2)兩式 相減得 Xn-X n- 1=5(X n-1-X n- 2)+ 77 + mXn-X n-1 + m = 5(x n-1-X n-2)+ 7 + m = 5(X n- 1-X n-2 +)57 m777、令 m=,貝y m = -。 Xn-X n-1 +=5(x n- 1-X n-2 +

8、)5444 Xn-X n- 1+ 是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為X 2-X 1 + = -5 ,444其公比 q=5。于是 Xn-x n-1+ 7 =115 5n-2 ( 3)44由(1 )與(3 )消去Xn-1得1 nXn=丄(23 5n-28n-23)16方法2 :所給的遞推公式可變?yōu)閄n + An+ B=5(x n-1 +An B 7n -3+57n -3+5設(shè) A(n-1)+ B= An B5A 75b=2316n-1 + g)23),于是比較系數(shù)得A=由此求得A=7 ,4,28 n +23 口X n +=5(x16-A+B=B -351628n23 是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為X1+51=11516

9、16 16 28n23115 廠 n-1其公比q=5。于是 x n += 516 16所以1 nXn= (23 5n-28n-23)16例7,設(shè)X1 =2,且Xn=3x n-1 + 2n2 + 1 ,求數(shù)列 Xn 的通項(xiàng)公式解：所給的遞推公式可變?yōu)? 22 An Bn C 2 n1、xn + An + Bn + C=3(x n-1 +)3 3設(shè) A(n-1) 2 + B(n-1)+ c=An2 Bn C jnU33A + 2-2A+B=A-B+C=比較系數(shù)得：A=3由此求得A=1 , B=3 , C=f。于是Xn +2n26 n 72=3(xn- 1 +2(n -1)26(n -1)72X1+

10、15 = 19,其公比2 22n2 +6n +7Xn +勺匹丄是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為222n 6n 719n-1q=3。于是 Xn +=一 3。2 2所以Xn=(19 3n-1 2n2 6n 7)2例 8:設(shè) X1 =1 ,且 Xn=-x n-1+3 2n, ( n=2,3,)(1)求數(shù)列 Xn 的通項(xiàng)公式解：X2=-x 1 + 12=11 。于是（1）把n改成n-1得x n-i=-x n-2+3 2n-1, 2xn-i=-2x n-2+3 2n ( 2)(1 )( 2)得 Xn-2X n- 1=-X n- l+2X n-2 o 即 Xn=X n- l+2Xn-222x n + mXn-i=(m+1)(x n-1 + Xn-2) o 令 m= ,貝U m=1,m=-2m +1m +1于是：Xn+X n- 1=2(X n- l+Xn-2)； Xn-2X n-1=-(X n-1-2X n-2) Xn+Xn-1 與 Xn-2X n-1 都是等比數(shù)列，其首項(xiàng)與公比分別為首項(xiàng)X2+xi=12，公比 q=2。首項(xiàng) x 2-2x 1=9，公比 q=-1 o于是Xn+Xn- 1=12 2n-2 , Xn-2X n- 1=9(-1)由此消去 Xn-1 得 Xn=2n+1+3(-1) n練習(xí)：1設(shè)X1=5,且Xn=7xn-1+8 n+3 , ( n=2,3,)求