三角函數(shù)中輔助角公式的應(yīng)用

1、輔助角公式在高考三角題中得應(yīng)用對于形如y=asinx+bcosx的三角式，可變形如下:y=asinx=bcosxJa2b2(sinx-12a2.ab評注：將三角式化為 y=Asin( x)+k的形式，是求周期的主要途徑上式中的與b的平方和為1,a2b2,a2b2故可記下號(hào)=cos0，尸=而.ab.abcosx sin )ya2b2(sinxcos2.2,absin(x)。由此我們得到結(jié)論：asinx+bcosx=va2b2sin(x),(*)其中。由來確定。通常稱式子(*)為輔助角公式，它可以將ab一.cos,sin2.2122.abab多個(gè)三角式的函數(shù)問題，最終化為y=Asin(x)+k的形

2、式。下面結(jié)合近年高考三角題，就輔助角公式的應(yīng)用，舉例分類簡析。.求周期例1求函數(shù)y2cos(x)cos(x)3sin2x的最小正周期。斛：y2cos(x)sin(x)、3sin2x44sin(2x)3sin2xi-、3sin2xcos2x2sin(2x6)所以函數(shù)y的最小正周期T=兀。求最值例2.已知函數(shù)f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若x0,求f(x)的最大值和最2小值。丁2sin(2x ) o4解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x二j-3由00x0-<2x-<2444,即x=0時(shí)，sin(2

3、x )最小值44.2當(dāng)2x，即x-時(shí)sin(2x)取最大值1。4284從而f(x)在0,金上的最大值是1,最小值是&三.求單調(diào)區(qū)間例3.已知向量(2cos,tan(),(V2sin(),tan(),令a224b2424f(x)-?一，求函數(shù)f(x)在0,九上的單調(diào)區(qū)間。ab解：f(x)7.一ab5先由0&x&&x0o444一、一，5反再由一&x00&x&&x&&x&o44242444所以f(x)在0,一上單調(diào)遞增，在一,上單調(diào)遞減。44評注：以向量的形式給出條件或結(jié)論，是近兩年來三角命題的新趨勢，但最終仍要

4、歸結(jié)為三角式的變形問題。而化為y=Asin(oox+)+k的形式，是求單調(diào)區(qū)間的通法6k 1cos(2x) 2.3sin( 2x)四.求值域例4.求函數(shù)f(x)cosp,12x)2x) 2、,3sin( 2x)(xR,kZ)的值域。f(x)cos(2k2x)cos(2k332cos(2x)2.3sin(2x)334sin(2x)coscos(2x)sin36364sin(2x)o所以函數(shù)f(x)的值域是-4,4o5 .圖象對稱問題例6.如果函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=對稱，那么a=()(A)<2(B)72(C)1(D)-1解：可化為y<1a2sin(2x)。知

5、x時(shí)，y取得最值±寸；1a2,即86 .圖象變換例7已知函數(shù)y-cos2sinxcosx1,xR。該函數(shù)的圖象可由ysinx(xR)的圖22象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？1.3解：y(1cos2x)sin2x144可將函數(shù)y=sinx的圖象依次進(jìn)行下述變換：(1)向左平移得到y(tǒng)=sin(x+%)的圖象；（2）將（1）中所得圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡膱D象;（3）將（2）中所得圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變，得y= -sin(2x+ -)的圖象; 26（4）將（3）中所得圖象向上平移5個(gè)單位長度,得到y(tǒng)sin(2x+ )+勺的圖象。264綜上，依次經(jīng)過四步變換，可得12y

6、- - cos x2+ sinxcosx 21的圖象。七.求值例 8.已知函數(shù) f(x)=<3sin2 x +sinxcosx0,兀），sin a的值。解：f(x)=3(1 cos2x) 1sin2x=sin (2x22.3O2由 f( -)=sin( -),32，得 sin( )=34（0,兀）(3,ir)osin=sin(”)、. 32故a +3(2, ),則cos(+ + )=3、.15o4一=sin (31 3、. 5o8一)cos一 33cos( )sin33評注：化為一種角的一次式形式，可使三角式明晰規(guī)范。在求sina時(shí)，巧用湊角法：a=（a+）-&，并且判斷出a+g的范圍，進(jìn)而求出cos（a+石）的確切值，使整個(gè)求值過程方向明確，計(jì)算簡捷。八.求系數(shù)例9.若函數(shù)f(x尸1cos2xasin3cos(與的最大值為2,試確定常數(shù)a的值224sin(x)222解：噲a峭吟1a-cosxsinx22=£in(x)，其中角由sin=-=,cos=來確定。1a21a2由已知有1a24,解得a=而九.解三角不等式例10.已知函數(shù)f(x)=sin2x+sin2x,x0,2,求使f(x)為正值的x的集合。解：f(x)=1-cos2x+sin2x=1+V2sin(2x)。4由f