數(shù)學(xué)分析傅里葉級(jí)數(shù)PPT課件

1、一、三角級(jí)數(shù)正交函數(shù)系 在科學(xué)實(shí)驗(yàn)與工程技術(shù)的某些現(xiàn)象中, 常會(huì)碰到一 種周期運(yùn)動(dòng). 最簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng), 可用正弦函數(shù) sin()(1)yAx 來描述. 由(1)所表達(dá)的周期運(yùn)動(dòng)也稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng), 其中A為振幅. 為初相角, 為角頻率, 于是簡(jiǎn)諧 振動(dòng)y 的周期是 2.T 較為復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng), 則 常常是幾個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng) 第1頁(yè)/共38頁(yè)sin() ,1,2,kkkyAkxkn 11sin().(2)nnkkkkkyyAkxky2,1,2, ,TTknk 由于簡(jiǎn)諧振動(dòng) 的周期為所以函數(shù)(2)周期為T. 對(duì)無窮多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)進(jìn)行疊 加就得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 01sin().(3)nnnAAn x的疊加： 若級(jí)

2、數(shù)(3)收斂, 則它所描述的是更為一般的周期運(yùn) 第2頁(yè)/共38頁(yè)1 1 動(dòng)現(xiàn)象. 對(duì)于級(jí)數(shù)(3), 只須討論 (如果可 用x 代換x )的情形. 由于 sin()sincoscossin,nnnnxnxnx 所以01sin()nnnAAnx 01(sincoscossin).(3 )nnnnnAAnxAnx00,sin,cos,1,2,2nnnnnnaAAaAb n記記第3頁(yè)/共38頁(yè)01(cossin).(4)2nnnaanxbnx它是由三角函數(shù)列(也稱為三角函數(shù)系)1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,sin,(5)xxxxnxnx所產(chǎn)生的一般形式的三角級(jí)數(shù). 容易驗(yàn)證,

3、若三角級(jí)數(shù)(4)收斂,則它的和一定是一 個(gè)以 為周期的函數(shù). 2關(guān)于三角級(jí)數(shù)(4)的收斂性有如下定理:則級(jí)數(shù)( )可寫成 3 第4頁(yè)/共38頁(yè)定理 15.1 若級(jí)數(shù)01|(|).2nnnaab收斂,則級(jí)數(shù)(4)在整個(gè)數(shù)軸上絕對(duì)收斂且一致收斂. 證 對(duì)任何實(shí)數(shù)x,由于|cossin| |,nnnnanxbnxab根據(jù)優(yōu)級(jí)數(shù)判別法, 就能得到本定理的結(jié)論.為進(jìn)一步研究三角級(jí)數(shù)(4)的收斂性, 先討論三角函 數(shù)系 (5) 的特性. 首先容易看出三角級(jí)數(shù)系(5)中所 第5頁(yè)/共38頁(yè)其次, 在三角函數(shù)系(5)中, 任何兩個(gè)不相同的函數(shù) cosdsind0,(6)nx xnx xcoscosd0 (),

4、sinsind0 (),(7)cossind0 .mxnx xmnmxnx xmnmxnx x有函數(shù)具有共同的周期 2.的乘積在 上的積分等于零,即, 而(5)中任何一個(gè)函數(shù)的平方在 -, 上的積分都第6頁(yè)/共38頁(yè)不等于零, 即 222cosdsind,(8)1 d2nx xx xx , a b若兩個(gè)函數(shù)與在上可積, 且 ( ) ( )d0baxxx , a b , a b則稱與在上是正交的, 或在上具有正 交性. 由此三角函數(shù)系(4)在 ,上具有正交性. 或者說(5)是正交函數(shù)系. 第7頁(yè)/共38頁(yè)現(xiàn)應(yīng)用三角函數(shù)系(5)的正交性來討論三角級(jí)數(shù)(4) 的和函數(shù) f 與級(jí)數(shù)(4)的系數(shù)0,nn

5、aab之間的關(guān)系.定理15.2 若在整個(gè)數(shù)軸上 01( )(cossin)(9)2nnnaf xanxbnx且等式右邊級(jí)數(shù)一致收斂, 則有如下關(guān)系式: 1( )cosd ,0,1,2,(10 )naf xnx x na二、以 為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 2 1( )sind ,1,2,(10 )nbf xnx x nb第8頁(yè)/共38頁(yè)證 由定理?xiàng)l件, 函數(shù) f 在, 上連續(xù)且可積. 對(duì) (9)式逐項(xiàng)積分得 ( )df xx01d(cosdsind ).2nnnaxanx xbnx x由關(guān)系式(6)知, 上式右邊括號(hào)內(nèi)的積分都等于零. 所以 00( )d2,2af xxa第9頁(yè)/共38頁(yè)即01(

6、)d .af xx又以coskx乘(9)式兩邊 (k為正整數(shù)), 得0( )coscos2af xkxkx 1(coscossincos).(11)nnnanxkxbnxkx 從第十三章1 習(xí)題4知道, 由級(jí)數(shù)(9)一致收斂,可 得級(jí)數(shù)(11)也一致收斂. 于是對(duì)級(jí)數(shù)(11)逐項(xiàng)求積, 有 第10頁(yè)/共38頁(yè)( )cosdf xkx x01cosd(coscosd2nnakx xanxkx x由三角函數(shù)的正交性, 右邊除了以ka為系數(shù)的那一 項(xiàng)積分 2cosdkx x外,其他各項(xiàng)積分都等于0,于是得出: ( )cosd(1,2,).kf xkx xaksincosd ).nbnxkx x第11

7、頁(yè)/共38頁(yè)即1( )cosd(1,2,).kaf xkx xk同理,(9)式兩邊乘以sin kx,并逐項(xiàng)積分, 可得 1( )sind(1,2,).kbf xkx xk第12頁(yè)/共38頁(yè)2, 由此可知, 若f 是以 為周期且在 上可積的 nanb函數(shù), 則可按公式(10)計(jì)算出 和, 它們稱為函數(shù) f (關(guān)于三角函數(shù)系(5) ) 的傅里葉系數(shù),以 f 的傅里 葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)(9)稱為 f (關(guān)于三角函數(shù) 系) 的傅里葉級(jí)數(shù), 記作 01( )(cossin).(12)2nnnaf xanxbnx這里記號(hào)“”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級(jí) 數(shù), 由定理15.2知道: 若(9)式右邊的

8、三角級(jí)數(shù)在整 第13頁(yè)/共38頁(yè)個(gè)數(shù)軸上一致收斂于和函數(shù) f , 則此三角級(jí)數(shù)就是 f 的傅里葉級(jí)數(shù),即此時(shí)(12)式中的記號(hào)“”可換為 函數(shù) f 出發(fā), 按公式(10)求出其傅里葉系數(shù)并得到 傅里葉級(jí)數(shù)(12) , 這時(shí)還需討論此級(jí)數(shù)是否收斂.如果收斂, 是否收斂于 f 本身. 這就是下一段所要 敘述的內(nèi)容. 等號(hào). 然而, 若從以 為周期且在 , 上可積的 2第14頁(yè)/共38頁(yè) , , ,x 函數(shù) f 在 上按段光滑, 則在每一點(diǎn)f 的傅里葉級(jí)數(shù)(12)收斂于f 在點(diǎn)x 的左、右極限的 算術(shù)平均值, 即 01(0)(0)(cossin),22nnnaf xf xanxbnx,nna b其中

9、為f 的傅里葉系數(shù). 定理的證明將在3中進(jìn)行. 定理15.3(傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理) 若以 為周期的 2三、收斂定理第15頁(yè)/共38頁(yè)注 盡管傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性質(zhì)不如冪級(jí)數(shù),但它對(duì) 函數(shù)的要求卻比冪級(jí)數(shù)要低得多, 所以應(yīng)用更廣. 而且即將看到函數(shù)周期性的要求也可以去掉. 概念解釋1. 若f 的導(dǎo)函數(shù)在 , a b上連續(xù), 則稱f在a, b上光滑. 2. 如果定義在 , a b 上函數(shù)f 至多有有限個(gè)第一類間 斷點(diǎn),其導(dǎo)函數(shù)在a, b上除了至多有限個(gè)點(diǎn)外都存 在且連續(xù), 并且在這有限個(gè)點(diǎn)上導(dǎo)函數(shù) f 的左、右 極限存在, 則稱 f 在 , a b上按段光滑. 第16頁(yè)/共38頁(yè)在a, b上按段光滑

10、的函數(shù) f ,有如下重要性質(zhì): (i) f 在 , a b上可積. , a b(0)f x (ii) 在 上每一點(diǎn)都存在 , 如果在不連續(xù) ( )(0)f xf x ( )(0)f xf x 點(diǎn)補(bǔ)充定義 , 或 , 則 還有 00()(0)lim(0),(13)()(0)lim(0),ttf xtf xfxtf xtf xfxt第17頁(yè)/共38頁(yè)f , a b(iii) 在補(bǔ)充定義在上那些至多有限個(gè)不存在 f f 導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)上的值后 ( 仍記為 ), 在a, b上可積. 從幾何圖形上講, 在 區(qū)間a, b上按段光滑 光滑函數(shù),是由有限個(gè) 多有有限個(gè)第一類間 斷點(diǎn) (圖15-1). 光滑弧段所組成

11、,它至 151 圖圖Oxb( )yf x 1x2xa3x4xy第18頁(yè)/共38頁(yè)收斂定理指出, f 的傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn) x 處收斂于 在f該點(diǎn)的左、右極限的算術(shù)平均值(0)(0);2f xf x而當(dāng) f 在點(diǎn) x 連續(xù)時(shí),則有(0)(0)( ),2f xf xf x即此時(shí)f的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于 ( )f x. 這樣便有 上按段光滑, 則 f 的傅里葉級(jí)數(shù)在 (,) 上收斂 于 f . 推論 若 f 是以 為周期的連續(xù)函數(shù), 且在 , 2第19頁(yè)/共38頁(yè)所以系數(shù)公式(10)中的積分區(qū)間 , 可以改為長(zhǎng) 221( )cosd0,1,2,(10 )1( )sind1,2,cnccncaf xnx xn

12、bf xnx xn其中 c 為任何實(shí)數(shù).注2 在具體討論函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式時(shí), 經(jīng)常 ( , , ) 只給出函數(shù)在 (或 )上的解析式, 但讀 注1 根據(jù)收斂定理的假設(shè),f 是以 為周期的函數(shù), 2nanb度為 的任何區(qū)間, 而不影響 , 的值: 2第20頁(yè)/共38頁(yè)者應(yīng)理解為它是定義在整個(gè)數(shù)軸上以 2為周期的函 ( , ( , 數(shù), 即在 以外的部分按函數(shù)在 上的對(duì) 應(yīng)關(guān)系做周期延拓. 也就是說函數(shù)本身不一定是定 義在整個(gè)數(shù)軸上的周期函數(shù), 但我們認(rèn)為它是周期 函數(shù). 如 f 為 ( , 上的解析表達(dá)式, 那么周期延拓 后的函數(shù)為 ( ),( ,( )(2 ),(21),(21),1,2

13、,.f xxf xf xkxkkk 第21頁(yè)/共38頁(yè)如圖15-2所示. 因此當(dāng)籠統(tǒng)地說函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 時(shí)就是指函數(shù) f 的傅里葉級(jí)數(shù). 例 1 設(shè) , 0,( )0,0,xxf xx求 f 傅里葉級(jí)數(shù)展 152( )yf x 圖圖實(shí)實(shí)線線與與虛虛線線的的全全體體表表示示Ox( )yf x 3 35y開式.第22頁(yè)/共38頁(yè)解 函數(shù) f 及其周期延拓后的圖像如圖15-3 所示, 顯然 f 是按段光滑的. 153 圖圖Oyx( )yf x 3 352 24故由傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理, 它可以展開成傅里葉級(jí) 數(shù). 由于 0011( )dd,2af xxx x 第23頁(yè)/共38頁(yè)當(dāng)n1時(shí), 011(

14、)cosdcosdnaf xnx xxnx x 2000111sinsindcos|xnxnx xnxnnn2221(cos 1)nnnnn， 當(dāng)當(dāng) 為為奇奇數(shù)數(shù)時(shí)時(shí), ,0 0， 當(dāng)當(dāng) 為為偶偶數(shù)數(shù)時(shí)時(shí), ,011( )sindsindnbf xnx xxnx x第24頁(yè)/共38頁(yè) 0011coscosd|xnxnx xnn120( 1)1cosdnnx xnn1( 1),nn(,) 所以在開區(qū)間 上21( )cossinsin24221cos3sin3.93f xxxxxx在x 時(shí), 上式右邊收斂于 第25頁(yè)/共38頁(yè)(0)( 0)0.222ff于是, 在 , 上 f 的傅里葉級(jí)數(shù)的圖象如

15、圖15-4 所示( 注意它與圖15-3 的差別 ).154 圖圖Oyx( )yf x 3 3 52 242例2 將下列函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù): 第26頁(yè)/共38頁(yè)22,0,( )0 ,2.xxf xxxx解 f 及其周期延拓的 圖形如圖15-5 所示. 顯然 f 是按段光滑的, 因此可以展開成傅里 葉級(jí)數(shù). 155 圖圖Oyx( )yf x 3 32 2第27頁(yè)/共38頁(yè)10 0c 0, 2 在( )中令 , 在 上計(jì)算傅里葉系數(shù)如下: 2001( )daf xx222011d()dxxxx22272 ,33 201( )cosdnaf xnx x222011cosd()cosdxnx xxnx

16、 x第28頁(yè)/共38頁(yè)2320122sincosxxnxnxnnn24( 1)1,nn201( )sindnbf xnx x2232122sincosxxnxnxnnn第29頁(yè)/共38頁(yè)222011sind()sindxnx xxnx x2320122cossinxxnxnxnnn2232122cossinxxnxnxnnn 223221( 1).nnnn所以當(dāng) (0,)(,2)x時(shí), 第30頁(yè)/共38頁(yè) 2214( )( 1)1cosnnf xnxn 222118 coscos3cos535xxx 2232 21( 1)sinnnxnnn2223234(34)sinsin2sin3233xx

17、x2sin4.4x第31頁(yè)/共38頁(yè)當(dāng)x 時(shí), 由于(0)(0)0,2ff所以 222211108.(14)1352211( (00)(00)( 40)2 ,22ff -因此當(dāng)0 x 或 時(shí), 由于2第32頁(yè)/共38頁(yè)2222211128.(15)135 由(14)或(15)都可推得2222111.1358注 上式提供了一個(gè)計(jì)算 的方法. 還可以找出其他 展開式來計(jì)算 , 關(guān)鍵是收斂速度要快. 例3 在電子技術(shù)中經(jīng)常用到矩形波(如圖15-6所示), 反映的是一種復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng), 用傅里葉級(jí)數(shù)展開 后, 就可以將復(fù)雜的矩形波看成一系列不同頻率的 第33頁(yè)/共38頁(yè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加, 在電工學(xué)中稱為諧波分析. ( )f x2設(shè)是周期為的矩形波函數(shù)( 圖15-6 ), Oxy44156圖圖,) 在上的表達(dá)式為,0,4( ),0.4xf xx 求該矩形波函數(shù)的傅里葉展開式.解 由于( )f x是奇函數(shù), 積分區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間 , , 所以 第34頁(yè)/共38頁(yè)01( )d0,af xx 012( )sindsind4nbf xnx xnx x 01 11cos(1cos )22nxnnn1,1, 3,