空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示ppt課件

1、,p,xypxayb.a ba b 如果兩個(gè)向量不共線，則向量 與向量共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì) ， ，使共線向量定理共線向量定理:復(fù)習(xí)：共面向量定理共面向量定理:0/ /a.a b babb 對(duì)空間任意兩個(gè)向量 、 （），的充要條件是存在實(shí)數(shù) ，使 1211212212e eaaee .e e 如果 ，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) ， ，使 （ 、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.）平面向量根本定理：平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示xyoaijaxiy j(1,0),(0,1),0(0,0).ijyxa,問(wèn)題：?jiǎn)栴}

2、： 我們知道，平面內(nèi)的恣意一個(gè)向量我們知道，平面內(nèi)的恣意一個(gè)向量 都可以都可以用兩個(gè)不共線的向量用兩個(gè)不共線的向量 來(lái)表示平面向量根本定來(lái)表示平面向量根本定理理.對(duì)于空間恣意一個(gè)向量，有沒(méi)有類似的結(jié)論呢？對(duì)于空間恣意一個(gè)向量，有沒(méi)有類似的結(jié)論呢？, a b p xyzOijkQPp 一、空間向量的坐標(biāo)分解一、空間向量的坐標(biāo)分解 給定一個(gè)空間坐標(biāo)系和向量給定一個(gè)空間坐標(biāo)系和向量 且設(shè)且設(shè) 為空間兩兩垂直的向?yàn)榭臻g兩兩垂直的向量，設(shè)點(diǎn)量，設(shè)點(diǎn)Q為點(diǎn)為點(diǎn)P在在 所確定平所確定平面上的正投影面上的正投影.p ,ij k , i j 一、空間向量的坐標(biāo)分解一、空間向量的坐標(biāo)分解,zkOQ實(shí)數(shù)存在所確定的

3、平面上在, ,i jx y 在所確定的平面上 存在實(shí)數(shù)jyi xOQ使得kzOQOP使得kzjyi xkzOQOPxyzQPp Oijk 由此可知由此可知,假設(shè)假設(shè) 是空間兩兩垂直的向量是空間兩兩垂直的向量,那么那么,對(duì)空間任一向量對(duì)空間任一向量 , 存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組 x,y,z使得使得 我們稱我們稱 為向量為向量 在在 上的分向量上的分向量., ,i j k P ,xi y j zk, ,i j k p .pxiy jzk 空間向量根本定理：空間向量根本定理：都叫做基向量都叫做基向量, ,a b c 注注:探求：在空間中探求：在空間中,假設(shè)用恣意三個(gè)不共面向量假設(shè)用恣意三

4、個(gè)不共面向量 替代兩兩垂直的向量替代兩兩垂直的向量 ,他能得出類似的他能得出類似的 結(jié)論嗎？結(jié)論嗎？, ,a b c , ,i j k 假設(shè)三個(gè)向量 不共面,那么對(duì)空間任一向量 , 存在有序?qū)崝?shù)組 ,使, ,a b c P .pxaybzc , ,x y z, , , ,. , , .a b cP Pxaybzc x y zRa b ca b c 如果三個(gè)向量 , ,不共面,那么所有空間向量組成的集合就是這個(gè)集合可以看做是由向量生成的故叫做空間的一個(gè)基底, , , ,. , , .a b cP Pxaybzc x y zRa b ca b c 如果三個(gè)向量 , ,不共面,那么所有空間向量組成的

5、集合就是這個(gè)集合可以看做是由向量生成的故叫做空間的一個(gè)基底, , , ,. , , .a b cP Pxaybzc x y zRa b ca b c 如果三個(gè)向量 , ,不共面,那么所有空間向量組成的集合就是這個(gè)集合可以看做是由向量生成的故叫做空間的一個(gè)基底, , , ,. , , .a b cP Pxaybzc x y zRa b ca b c 如果三個(gè)向量 , ,不共面,那么所有空間向量組成的集合就是這個(gè)集合可以看做是由向量生成的故叫做空間的一個(gè)基底1恣意不共面的三個(gè)向量都可做為空間恣意不共面的三個(gè)向量都可做為空間的一個(gè)基底的一個(gè)基底.特別提示：對(duì)于基底特別提示：對(duì)于基底a,b,c,除了應(yīng)

6、知道除了應(yīng)知道a,b,c不共面，還應(yīng)明確：不共面，還應(yīng)明確：2 由于可視由于可視 為與恣意一個(gè)非零向量共線為與恣意一個(gè)非零向量共線,與恣意兩個(gè)非零向量共面與恣意兩個(gè)非零向量共面,所以三個(gè)向量不共所以三個(gè)向量不共面面,就隱含著它們都不是就隱含著它們都不是 .003一個(gè)基底是指一個(gè)向量組一個(gè)基底是指一個(gè)向量組,一個(gè)基向量一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量是指基底中的某一個(gè)向量,二者是相關(guān)連的不二者是相關(guān)連的不同概念同概念. 二、空間直角坐標(biāo)系二、空間直角坐標(biāo)系xyze1e2e3O 單位正交基底：假設(shè)空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量相互垂直，且長(zhǎng)都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底,常用 表示.123,e

7、e e 123,e e e 123,e e e 空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底 ,以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以 的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz123,e e e 123,e e e 123,e e e 123,e e e 123,e e e 123,e e e 121323112233,.e e e e eee e ee ee 計(jì)算單位正交基之間的數(shù)量積121323112233,.e e e e eee e ee ee 計(jì)算單位正交基之間的數(shù)量積121323112233,.e e e e eee e ee ee 計(jì)算單位正交基之間的數(shù)量積1213

8、23112233,.e e e e eee e ee ee 計(jì)算單位正交基之間的數(shù)量積xyzOP(x,y,z)e1e2e3P 在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對(duì)空間任一向量 ,平移使其起點(diǎn)與原點(diǎn)o重合,得到向量 由空間向量根本定理可知,存在有序?qū)崝?shù)組 ,使opp opp , ,x y z123Pxeyeze 123Pxeyeze 123Pxeyeze 123, , , , .x y zPe e ePx y z 叫做向量 在單位正交基底下的坐標(biāo) 記做123, , , , .x y zPe e ePx y z 叫做向量 在單位正交基底下的坐標(biāo) 記做123, , , , .x y zPe e ePx

9、y z 叫做向量 在單位正交基底下的坐標(biāo) 記做 此時(shí)向量此時(shí)向量P的坐標(biāo)恰是點(diǎn)的坐標(biāo)恰是點(diǎn)P在直角在直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)中的坐標(biāo) ，其中其中x叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)P的豎坐標(biāo)的豎坐標(biāo)., ,x y z, ,x y z, ,x y z 顯然顯然, 向量向量 的坐標(biāo)，就是點(diǎn)的坐標(biāo)，就是點(diǎn)P在此空間在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(x,y,z).OP xyzOP(x,y,z)也就是說(shuō)也就是說(shuō),以以O(shè)為起點(diǎn)的有為起點(diǎn)的有向線段向線段 (向量向量)的坐標(biāo)可以的坐標(biāo)可以和終點(diǎn)的坐標(biāo)建立起一一和終點(diǎn)的坐標(biāo)建立起一一對(duì)應(yīng)的

10、關(guān)系對(duì)應(yīng)的關(guān)系,從而相互轉(zhuǎn)化從而相互轉(zhuǎn)化.e1e2e3AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1).思索：設(shè)思索：設(shè)A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2),那么那么AB的坐標(biāo)表示是什么？的坐標(biāo)表示是什么？_AM _OB1 _PQ 練習(xí)1 如圖在邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，取D點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，O、M、P、Q分別是AC、DD1、CC1、A1B1的中點(diǎn)，寫出以下向量的坐標(biāo).z zx xy yA AB BC CD DA A1 1B B1C C1D D1O OM MPQ Q.OQOPOCOBOAMNQPBC

11、OAOABCNM和和表表示示，量量用用向向的的三三等等分分是是，的的中中點(diǎn)點(diǎn)，的的邊邊分分別別是是四四面面體體，如如圖圖，OABCMNPQ.OQOPOCOBOAMNQPBCOAOABCNM和和表表示示，量量用用向向的的三三等等分分是是，的的中中點(diǎn)點(diǎn)，的的邊邊分分別別是是四四面面體體，如如圖圖，OABCMNPQ15練習(xí)練習(xí)3探求：向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示探求：向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 設(shè)設(shè)a a(x1(x1，y1y1，z1)z1)，b b(x2(x2，y2y2，z2). z2). ab(x1x2，y1y2，z1z2) a - b(x1-x2，y1-y2，z1-z2) 111,axyz ab abx1x2x1

12、x2y1y2y1y2z1z2 z1z2 x1x2 x1x2y1y2y1y2z1z2 z1z2 0 0/abrrabl=rr121212,xx yy zzlll=abrr0a b圩=rr222111| |axyz=+r假設(shè)點(diǎn)假設(shè)點(diǎn)A(x1A(x1，y1y1，z1)z1)，點(diǎn)，點(diǎn)B(x2B(x2，y2y2，z2)z2)(x2(x2x1x1，y2y2y1y1，z2z2z1)z1)， A Buuu r222212121()()()A Bxxyyzz=-+-+-uuu v222212121()()()A Bxxyyzz=-+-+-uuu v222212121()()()A Bxxyyzz=-+-+-uu

13、u v12121 2222222111222x xy yz zxyzxyz+=+12121 2222222111222x xy yz zxyzxyz+=+12121 2222222111222x xy yz zxyzxyz+=+cos,| | | |a ba bab =rrrrurrcos,| | | |a ba bab =rrrrurrcos,| | | |a ba bab =rrrrurr已知A( ， ， ）,111xyz1(1)則點(diǎn)A( ， ， ）關(guān)于xoy平面的對(duì)稱點(diǎn)A( ， ，-);111111xyzxyz1(2)則點(diǎn)A( ， ， ）關(guān)于yoz平面的對(duì)稱點(diǎn)A(， ，);111111x

14、yzxyz-1(3)則點(diǎn)A( ， ， ）關(guān)于xoz平面的對(duì)稱點(diǎn)A( ，- ，);111111xyzxyz已知A( ， ， ）,111xyz4(4)則點(diǎn)A( ， ， ）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A ( ，- ，-);111111xyzxyz5(5)則點(diǎn)A( ， ， ）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A (- ， ，-);111111xyzxyz6(6)則點(diǎn)A( ， ， ）關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)A (- ，- ，)。111111xyzxyz 如圖，在正方體如圖，在正方體ABCDABCDA1B1C1D1A1B1C1D1中，中，點(diǎn)點(diǎn)E E、F F分別是分別是A1B1A1B1，C1D1C1D1的一個(gè)四等分點(diǎn)，的一個(gè)四等分點(diǎn)，求異面直線求異面直線BEBE與與DFDF所成角的余