數(shù)字信號(hào)處理吳鎮(zhèn)揚(yáng)_CHP4無(wú)限沖激響數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

1、 許多信息處理過(guò)程，如信號(hào)的過(guò)濾，檢測(cè)、預(yù)許多信息處理過(guò)程，如信號(hào)的過(guò)濾，檢測(cè)、預(yù)測(cè)等都要用到測(cè)等都要用到濾波器濾波器，數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理，數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理中使用得最廣泛的一種系統(tǒng)，中使用得最廣泛的一種系統(tǒng)，濾波運(yùn)算也是數(shù)字信濾波運(yùn)算也是數(shù)字信號(hào)處理的基本運(yùn)算號(hào)處理的基本運(yùn)算。 數(shù)字濾波器的功能（本質(zhì)）數(shù)字濾波器的功能（本質(zhì)）是將一組輸入的數(shù)是將一組輸入的數(shù)字序列通過(guò)一定的運(yùn)算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字字序列通過(guò)一定的運(yùn)算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列。在轉(zhuǎn)變的過(guò)程中提取有用的分量，排除干擾序列。在轉(zhuǎn)變的過(guò)程中提取有用的分量，排除干擾的分量。在轉(zhuǎn)變的過(guò)程中也會(huì)帶來(lái)不必要的損耗或的分量

2、。在轉(zhuǎn)變的過(guò)程中也會(huì)帶來(lái)不必要的損耗或失真。失真。具有自己的特點(diǎn)。具有自己的特點(diǎn)。 本章和下一章討論數(shù)字濾波器的本章和下一章討論數(shù)字濾波器的各種實(shí)現(xiàn)方法各種實(shí)現(xiàn)方法及其性能差異及其性能差異，以方便我們?cè)诰唧w應(yīng)有中選擇適當(dāng)，以方便我們?cè)诰唧w應(yīng)有中選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ_(dá)到的方法，達(dá)到最佳的設(shè)計(jì)最佳的設(shè)計(jì)效果。效果。濾波器的分類濾波器的分類 濾波器：；時(shí)域上由差分方程描述的一類特殊的離散時(shí)間系統(tǒng),兩者等價(jià)。如低通濾波器：|X(ejw)|wwc有用無(wú)用wc|H(ejw)|Y(ejw)|wwc引言引言濾波器的種類很多，分類方法也不同.大類有和(優(yōu)點(diǎn):可軟硬實(shí)現(xiàn),靈活)。按頻率特性分為 (模擬和數(shù)字)數(shù)字濾波

3、器,從實(shí)現(xiàn)方法上分FIR系統(tǒng) (Finite Impulse Response:有限沖激響應(yīng)，h(n)有限長(zhǎng)）和IIR系統(tǒng) (Infinite Impulse Response:無(wú)限沖激響應(yīng) ,h(n)為無(wú)限長(zhǎng))。從處理信號(hào)分：經(jīng)典濾波器、現(xiàn)代濾波器等等。引言引言數(shù)字濾波器的四種類型數(shù)字濾波器的四種類型)(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0帶通0帶阻22222222 分析：分析： 數(shù)字濾波器的頻響是周期的，其重復(fù)周期是采數(shù)字濾波器的頻響是周期的，其重復(fù)周期是采樣頻率樣頻率fs，或者數(shù)字頻率，或者數(shù)字頻率2 ，且在每一周期內(nèi)，幅，且在每一周期內(nèi)，幅頻特性具有對(duì)稱性（實(shí)系統(tǒng)處理實(shí)信

4、號(hào)）。頻特性具有對(duì)稱性（實(shí)系統(tǒng)處理實(shí)信號(hào)）。假定輸入信號(hào)假定輸入信號(hào)x(n)中的有用成分和希望去除的成分，中的有用成分和希望去除的成分，各自各自占有不同的頻帶占有不同的頻帶。當(dāng)。當(dāng)x(n)經(jīng)過(guò)一個(gè)線性系統(tǒng)（即濾波器）后即經(jīng)過(guò)一個(gè)線性系統(tǒng)（即濾波器）后即可將欲去除的成分有效地去除?？蓪⒂コ某煞钟行У厝コ?。但如果信號(hào)和噪聲的頻譜相互但如果信號(hào)和噪聲的頻譜相互重疊，那么經(jīng)典濾波器將無(wú)能為力重疊，那么經(jīng)典濾波器將無(wú)能為力。現(xiàn)代濾波器主要研究?jī)?nèi)容是從現(xiàn)代濾波器主要研究?jī)?nèi)容是從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄（又稱（又稱時(shí)間序列）中估計(jì)出信號(hào)的某些特征或信號(hào)本身。一旦信號(hào)被時(shí)間序列）中估計(jì)出信號(hào)的

5、某些特征或信號(hào)本身。一旦信號(hào)被估計(jì)出，那么估計(jì)出的信號(hào)將比原信號(hào)會(huì)有高的信噪比。估計(jì)出，那么估計(jì)出的信號(hào)將比原信號(hào)會(huì)有高的信噪比?，F(xiàn)代濾波器把信號(hào)和噪聲都視為隨機(jī)信號(hào)，利用它們的統(tǒng)現(xiàn)代濾波器把信號(hào)和噪聲都視為隨機(jī)信號(hào)，利用它們的統(tǒng)計(jì)特征（如自相關(guān)函數(shù)、功率譜等）導(dǎo)出一套最佳估值算法，計(jì)特征（如自相關(guān)函數(shù)、功率譜等）導(dǎo)出一套最佳估值算法，然后用然后用?，F(xiàn)代濾波器理論源于維納在現(xiàn)代濾波器理論源于維納在40年代及其以后的工作，這一年代及其以后的工作，這一類濾波器的代表為：維納濾波器，此外，還有卡爾曼濾波器、類濾波器的代表為：維納濾波器，此外，還有卡爾曼濾波器、線性預(yù)測(cè)器、自適應(yīng)濾波器。線性預(yù)測(cè)器、自

6、適應(yīng)濾波器。引言引言數(shù)字濾波器的優(yōu)缺點(diǎn)數(shù)字濾波器的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 和數(shù)字系統(tǒng)相同，具有精度高，穩(wěn)定性好，不存和數(shù)字系統(tǒng)相同，具有精度高，穩(wěn)定性好，不存在阻抗匹配問(wèn)題，可以時(shí)分復(fù)用。在阻抗匹配問(wèn)題，可以時(shí)分復(fù)用。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 需要抽樣、量化、編碼；有限字長(zhǎng)效應(yīng)。需要抽樣、量化、編碼；有限字長(zhǎng)效應(yīng)。一、濾波器的設(shè)計(jì)步驟一、濾波器的設(shè)計(jì)步驟（）按照任務(wù)的要求，確定濾波器的性能指標(biāo)，例如，這些任務(wù)包括需要濾除哪些頻率分量，保留哪些頻率分量，保留的部分允許有多大的幅度或相位失真等。（）用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求。這種系統(tǒng)函數(shù)可以分為IIR和FIR兩類系統(tǒng)。（）數(shù)字

7、濾波器的實(shí)現(xiàn)。這包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)，確定運(yùn)算和系數(shù)存儲(chǔ)的字長(zhǎng)，選用通用計(jì)算機(jī)及相應(yīng)的軟件或?qū)Ｓ脭?shù)字濾波器硬件實(shí)現(xiàn)這一系統(tǒng)。二、可實(shí)現(xiàn)濾波器的特性二、可實(shí)現(xiàn)濾波器的特性理想濾波器物理理想濾波器物理不可實(shí)現(xiàn)不可實(shí)現(xiàn)的（由于從一個(gè)頻帶到另的（由于從一個(gè)頻帶到另一個(gè)頻帶之間的一個(gè)頻帶之間的突變，突變，且理想選頻濾波器的單位脈沖且理想選頻濾波器的單位脈沖響應(yīng)為雙邊序列，是非因果系統(tǒng)）。響應(yīng)為雙邊序列，是非因果系統(tǒng)）。物理可實(shí)現(xiàn)可實(shí)現(xiàn)的濾波器，應(yīng)從一個(gè)帶到另一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)可實(shí)現(xiàn)的濾波器，應(yīng)從一個(gè)帶到另一個(gè)帶之間設(shè)置一個(gè)帶之間設(shè)置一個(gè)過(guò)渡帶過(guò)渡帶且在通帶和止帶內(nèi)也不應(yīng)該嚴(yán)且在通帶和止帶內(nèi)也不應(yīng)該嚴(yán)格為格為1或

8、零或零,應(yīng)允許以較小應(yīng)允許以較小容限容限。sp21-11ps|H(ej)|1 1: :通帶的容限通帶的容限2 2：阻帶容限阻帶容限p p: :通帶截止頻率又通帶截止頻率又稱為通帶上限頻率稱為通帶上限頻率p p：通帶衰減：通帶衰減s s: :阻帶截止頻率阻帶截止頻率, ,又稱阻帶下限截止頻率。又稱阻帶下限截止頻率。s s ：阻帶衰減：阻帶衰減說(shuō)明說(shuō)明：通帶和止帶內(nèi)應(yīng)允許以較小：通帶和止帶內(nèi)應(yīng)允許以較小容限容限。通常用。通常用通帶衰減通帶衰減和和阻帶衰減阻帶衰減給出給出, ,下面三種濾波器不再給出下面三種濾波器不再給出通帶的容限通帶的容限和阻和阻帶容限。帶容限。rcjHAtjHjH,lg201lg

9、201lg20,1lg2011lg20lg2022max11minmax通帶波動(dòng)通帶波動(dòng)最小阻帶衰減最小阻帶衰減At1maxjH式中，通帶內(nèi)式中，通帶內(nèi)2maxjH阻帶內(nèi)阻帶內(nèi) s p1ps|H(ej)|p p: :通帶截止頻率通帶截止頻率, ,又又稱為通帶下限頻率。稱為通帶下限頻率。p p: :通帶衰減通帶衰減s s: :阻帶截止頻率阻帶截止頻率, ,又又稱阻帶上限截止頻率。稱阻帶上限截止頻率。s s : :阻帶衰減阻帶衰減通帶截止頻率：通帶截止頻率： 3 3: :上限截止頻率，上限截止頻率， 1 1 :下限截止頻率下限截止頻率。p p :通帶衰減通帶衰減阻帶截止頻率阻帶截止頻率： sh s

10、h :上阻帶截止頻率，上阻帶截止頻率， s1 s1 :下限截止頻率下限截止頻率s s :阻帶衰減阻帶衰減 s1 11ps|H(ej )| 3 sh通帶截止頻率：通帶截止頻率： 3 3 :上限截止頻率上限截止頻率 1 1 :下限截止頻率下限截止頻率p p : :通帶衰減通帶衰減阻帶截止頻率阻帶截止頻率： sh sh :上限截止頻率上限截止頻率 s1 s1 :下限截止頻率下限截止頻率s s :阻帶衰減阻帶衰減 s1 11ps |H(ej )| 3 sh對(duì)于對(duì)于IIR濾波器，常用方法之一濾波器，常用方法之一采用模擬濾波器的設(shè)采用模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法來(lái)設(shè)計(jì)后再轉(zhuǎn)化為數(shù)字濾波器計(jì)方法來(lái)設(shè)計(jì)后再轉(zhuǎn)化為數(shù)字

11、濾波器，具體步驟如下：，具體步驟如下：1.按一定的規(guī)則將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬按一定的規(guī)則將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)濾波器的技術(shù)指標(biāo)。2.根據(jù)轉(zhuǎn)化后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬濾波器根據(jù)轉(zhuǎn)化后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬濾波器G(s)。3.再按一定規(guī)則將再按一定規(guī)則將G(s)轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成H(z)。若為低通則可以。若為低通則可以結(jié)束。若為其它，則進(jìn)入步驟結(jié)束。若為其它，則進(jìn)入步驟4。4.將高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為將高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為低通模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后按上述步驟低通模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后按上述步驟2設(shè)計(jì)出設(shè)計(jì)出低通低通G(s)，再

12、將其轉(zhuǎn)化為所需要的，再將其轉(zhuǎn)化為所需要的H(z)。下面首先考慮模擬濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題下面首先考慮模擬濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題一、概述一、概述模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾濾波器、切比雪夫波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝濾波器、貝塞爾塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。成的曲線和圖表

13、供設(shè)計(jì)人員使用。 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有p, p,s和和s。其中。其中p和和s分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，p是通帶是通帶(=0p)中的最大衰減系數(shù)，中的最大衰減系數(shù)，s是阻帶是阻帶s的最小衰減系數(shù)，的最小衰減系數(shù)，p和和s一一般用般用dB數(shù)表示。數(shù)表示。2210/222| )(|lg10)(| )(|lg10)(10| )(| )(|1lg10|)()(|lg10)(sssppp）（jGjGjGjGjYjX顯然或 把低通模擬濾波器的四個(gè)技術(shù)指標(biāo)和濾波器的把低通模擬濾波器的四個(gè)技術(shù)指標(biāo)和濾波器的幅幅平方特性平方特性聯(lián)系了起

14、來(lái)。我們所設(shè)計(jì)的濾波器的沖澈響聯(lián)系了起來(lái)。我們所設(shè)計(jì)的濾波器的沖澈響應(yīng)一船都為實(shí)數(shù)，所以有應(yīng)一船都為實(shí)數(shù)，所以有2*| )(| )()()()(jGsGsGsGsGjs幅平方特性幅平方特性在模擬濾波器的設(shè)計(jì)中起到了重要的作用在模擬濾波器的設(shè)計(jì)中起到了重要的作用。定義定義目前，人們已給出了幾種不同類型目前，人們已給出了幾種不同類型 的表的表達(dá)式，它們代表了幾種不同類型的濾波器。達(dá)式，它們代表了幾種不同類型的濾波器。（1）巴特沃思濾波器）巴特沃思濾波器2| )(|jGNCjG)(11| )(|22222222)/()(11| )(|snsnCCjG)arccos(cos)(,)(11| )(|22

15、222nCCjGnn（2 2）切比雪夫）切比雪夫?yàn)V波器濾波器（3 3）切比雪夫）切比雪夫?yàn)V波器濾波器（4）橢圓濾波器）橢圓濾波器。UUjGnn是雅可比橢圓函數(shù))()(11| )(|2222 本節(jié)將討論本節(jié)將討論巴特沃思濾波器的設(shè)計(jì)方法巴特沃思濾波器的設(shè)計(jì)方法。 由于每由于每一個(gè)濾波器的頻率范圍將直接取決于設(shè)計(jì)者所應(yīng)用的一個(gè)濾波器的頻率范圍將直接取決于設(shè)計(jì)者所應(yīng)用的目的，因此應(yīng)是干差萬(wàn)別。為了使設(shè)計(jì)規(guī)范化，我們目的，因此應(yīng)是干差萬(wàn)別。為了使設(shè)計(jì)規(guī)范化，我們需要將濾波器的頻率參數(shù)作歸一化處理。需要將濾波器的頻率參數(shù)作歸一化處理。設(shè)所給的實(shí)設(shè)所給的實(shí)際頻率為際頻率為，歸一化后的頻率為，歸一化后的頻率

16、為，對(duì)低通模擬濾波對(duì)低通模擬濾波器，令器，令p/二、巴特沃思模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)二、巴特沃思模擬低通濾波器的設(shè)計(jì) 1、特點(diǎn)、特點(diǎn) 具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨f增大增大（ ），幅頻特性單調(diào)下降（），幅頻特性單調(diào)下降（ ）。）。2、設(shè)計(jì)步驟、設(shè)計(jì)步驟 （1）、將頻率歸一化）、將頻率歸一化NCCjGN,11)(222只有兩個(gè)參數(shù)110110110)1lg(10)(10/2210/2210/ )(2222spNsNpNNCCCC即則（2 2）、求）、求C C和和N NNpNpsjG，CdBNCpsp22210/10/10/2)/(1111| )(|1,3lg/

17、1010lg110這時(shí)則若令由由p p=1=1，有，有（3 3）、確定）、確定G(s)G(s)由由p=jp=j有有NkNNkjpppjppGpGkNNNNN2 , 2 , 1),212exp(, 0) 1(1) 1(11)/(11)()(222得由S S平面上極點(diǎn)分布情況（平面上極點(diǎn)分布情況（N=3N=3和和N=4N=4）。）。 由于 ,所以在求得G(p)后，用s/p代替變量P，即得實(shí)際需要的G(S)。)()(1)(, 2 , 1),212exp(21NkpppppppGNkNNkjp有 考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)在S平面左半部分,取例例1分析：求解的過(guò)程按設(shè)計(jì)步驟來(lái)進(jìn)行分析：求解的過(guò)

18、程按設(shè)計(jì)步驟來(lái)進(jìn)行 （1）、將頻率歸一化）、將頻率歸一化 （2）、求）、求C和和n （3）、求）、求G(p) （4）、確定）、確定G(s)具體過(guò)程如下：具體過(guò)程如下：（1）、）、1,2,3dB,30dB,psps（2）、）、30/101;lg 101 lg25CN（3）、）、exp (2)5,1,2,3,4,5kpj kpk（4）、）、三、模擬高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計(jì)三、模擬高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計(jì) 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)已有了完整的計(jì)算公式及圖表。因模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)已有了完整的計(jì)算公式及圖表。因此，高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)應(yīng)盡量地利用這些已有的此，高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)應(yīng)

19、盡量地利用這些已有的資源，無(wú)需再各搞一套計(jì)算公式與圖表。資源，無(wú)需再各搞一套計(jì)算公式與圖表。 目前，模擬高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計(jì)方法都是先將要目前，模擬高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計(jì)方法都是先將要設(shè)計(jì)的濾波器的技術(shù)指標(biāo)，通過(guò)某種設(shè)計(jì)的濾波器的技術(shù)指標(biāo)，通過(guò)某種頻率轉(zhuǎn)變頻率轉(zhuǎn)變關(guān)系轉(zhuǎn)換成模關(guān)系轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，并擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，并依據(jù)這些技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)出低通依據(jù)這些技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)出低通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)，然后再，然后再依據(jù)頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系變成所要設(shè)計(jì)依據(jù)頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系變成所要設(shè)計(jì)的濾波器的轉(zhuǎn)因函數(shù)的濾波器的轉(zhuǎn)因函數(shù)。如圖所示。如圖所示。)().(),(,/,),(),

20、(.,),(),(f：jHqHjq，jHsH、：jpjGSG：p之間的關(guān)系和頻率變換率特性分別為歸一化的轉(zhuǎn)移函數(shù)和頻復(fù)值變量歸一化低通頻率帶通及帶阻濾波器為記高通記復(fù)值變量歸一化低通頻率低通濾波器為仍記為了防止符號(hào)混淆，規(guī)定為了防止符號(hào)混淆，規(guī)定模擬高通模擬高通, 帶通帶通, 帶阻濾波器設(shè)計(jì)流程帶阻濾波器設(shè)計(jì)流程設(shè)計(jì)模擬低設(shè)計(jì)模擬低通濾波器通濾波器G(p)給定高通、給定高通、帶通或帶阻帶通或帶阻的技術(shù)指標(biāo)的技術(shù)指標(biāo),psps 頻率轉(zhuǎn)換頻率轉(zhuǎn)換低通濾低通濾波器技波器技術(shù)指標(biāo)術(shù)指標(biāo),psps 得到高通、得到高通、帶通或帶阻帶通或帶阻濾波器濾波器H(s)頻率轉(zhuǎn)換頻率轉(zhuǎn)換pqspqj 10sp 01s

21、p1 （一）、模擬高通濾波器的設(shè)計(jì)（一）、模擬高通濾波器的設(shè)計(jì).)(),()()()()()(1)(11,1）即可求出高通的（已知低通歸一化的通的頻率變換公式：去歸一化，得低通到高將即可得歸一化復(fù)變量為性利用低通濾波器的對(duì)稱或歸一化頻率關(guān)系則變換為歸一化高通變換，為歸一化低通sHGpGsHGGHsjjj：q：LLahalspalahahalahppp例例3.6.1（二）、模擬帶通濾波器的設(shè)計(jì)（二）、模擬帶通濾波器的設(shè)計(jì)BWBWBWshshBWslslBWshsl，。，。：33111331,即軸作歸一化處理以此對(duì)定義系濾波器歸一化頻率的關(guān)并找出其與低通理現(xiàn)在對(duì)其進(jìn)行歸一化處頻率模擬帶通濾波器有四

22、個(gè)對(duì)帶通濾波器，對(duì)帶通濾波器，如何實(shí)現(xiàn)頻率如何實(shí)現(xiàn)頻率的的歸一化歸一化?用帶寬歸一化用帶寬歸一化!）（，。，ppshslspps對(duì)于低通濾波器的帶寬波器的則帶通濾的頻率由于歸一化低通濾波器之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為和這樣獲得帶通濾波器低通濾波器有波器的原點(diǎn)通過(guò)頻率變換為低通濾為歸一化的幾何中心頻率稱為幾何中心頻率定義1122/0013132232131223122)(1331223122222222222213312| )()()()(/)(/ssBWBWBWpGsHssssqqjqjqjjjp可得由之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為和則（三）、模擬帶阻濾波器的設(shè)計(jì)（三）、模擬帶阻濾波器的設(shè)計(jì)BWBWBWshshBWsl

23、slBWshsl，。，。：33111331,即軸作歸一化處理以此對(duì)定義系濾波器歸一化頻率的關(guān)并找出其與低通理現(xiàn)在對(duì)其進(jìn)行歸一化處頻率模擬帶通濾波器有四個(gè)）（，。，ppslshspps對(duì)于低通濾波器的帶寬波器的則帶通濾的頻率由于歸一化低通濾波器之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為和這樣獲得帶阻濾波器低通濾波器有波器的原點(diǎn)通過(guò)頻率變換為低通濾為歸一化的幾何中心頻率稱為幾何中心頻率定義1122/013132221323122312231213)(3121322| )()()(ssppGsHssp可得同帶通濾波相似得之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為和則 下面討論由模擬濾波器的傳遞函數(shù)下面討論由模擬濾波器的傳遞函數(shù)G(s)G(s)或或H(

24、s)求求出相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)H(z)，即找出，即找出s s平面平面與與z z平面之間的映射變換，這種映射變換應(yīng)遵循兩個(gè)平面之間的映射變換，這種映射變換應(yīng)遵循兩個(gè)基本的目標(biāo)基本的目標(biāo): :逼近程度逼近程度：H(z)H(z)的頻響必須要模仿的頻響必須要模仿G(s)G(s)的頻響。的頻響。s s平面的虛軸平面的虛軸j j應(yīng)該映射到應(yīng)該映射到z z平面的單位圓上。平面的單位圓上。穩(wěn)定性穩(wěn)定性：H(s)H(s)的因果穩(wěn)定性，通過(guò)映射后仍應(yīng)在得的因果穩(wěn)定性，通過(guò)映射后仍應(yīng)在得到的到的H(z)H(z)中保持，也即中保持，也即s s平面的左半平面平面的左半平面(Re

25、sO)(ResO)應(yīng)應(yīng)該映射到該映射到z z平面的單位圓內(nèi)平面的單位圓內(nèi)(|z|1)(|z|Z-Z平面是多值的映射關(guān)系所造成平面是多值的映射關(guān)系所造成的的 。標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)z z變換下，變換下，s s平面上每一個(gè)寬度為平面上每一個(gè)寬度為2/T 2/T 的橫帶都映射的橫帶都映射到整個(gè)到整個(gè)z z平面，這可以想象為平面，這可以想象為s s平面虛軸上平面虛軸上(-/T, /T) (-/T, /T) 、 (/T, 3/T)(/T, 3/T)、 (3/T, 5/T)(3/T, 5/T)等段分別映射到等段分別映射到z z平平面單位圓面單位圓(-, )(-, )段。段。數(shù)字頻譜數(shù)字頻譜(-, )(-, )段是模擬

26、頻譜各段的疊加，相當(dāng)于段是模擬頻譜各段的疊加，相當(dāng)于 模擬頻譜周期延拓后疊加的效果。如果模擬頻譜周期延拓后疊加的效果。如果H(jH(j) )的頻譜分量的頻譜分量 限于限于(-/T(-/T，/T)/T)的范圍內(nèi)，也就是最高頻率不超過(guò)采的范圍內(nèi)，也就是最高頻率不超過(guò)采樣頻率的一半，即樣頻率的一半，即: : G(jG(j)=0 | )=0 | | /T | /T 。 則周期延拓后無(wú)頻譜混疊，變換得到的數(shù)字濾波器的頻響則周期延拓后無(wú)頻譜混疊，變換得到的數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響。才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響。說(shuō)明說(shuō)明 沖激響應(yīng)不變法適用于濾波器非零帶寬小于采沖激響應(yīng)不變法適用

27、于濾波器非零帶寬小于采樣頻率一半的場(chǎng)合。顯然，高通和帶阻不能用此法，樣頻率一半的場(chǎng)合。顯然，高通和帶阻不能用此法，另外，截止特性不好拖尾太長(zhǎng)的低通、帶通也不宜另外，截止特性不好拖尾太長(zhǎng)的低通、帶通也不宜用此法。用此法。例例 6.4.16.4.1分析：略分析：略例例 6.4.26.4.2分析：略分析：略二、二、雙線性變換法雙線性變換法 雙線性變換法由凱塞雙線性變換法由凱塞(Kaiser)和戈?duì)柕呛透隊(duì)柕?Golden)提出提出，其，其是從是從頻域頻域出發(fā)，使出發(fā)，使DF的頻率響應(yīng)與的頻率響應(yīng)與AF的頻率響應(yīng)相似的一種的頻率響應(yīng)相似的一種變換法。變換法。實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)S平面與平面與Z平面一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系平

28、面一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，避免了沖激響，避免了沖激響應(yīng)不變法的頻域混疊應(yīng)不變法的頻域混疊。映射滿足：映射滿足：、S S平面的整個(gè)虛軸只映射為平面的整個(gè)虛軸只映射為Z Z平面的單位圓一周；平面的單位圓一周；、G G（S S）穩(wěn)定，則）穩(wěn)定，則H H（Z Z）穩(wěn)定；）穩(wěn)定；、映射可逆；、映射可逆；、若、若G(j0)=1G(j0)=1，則，則H(eH(ej0j0)=1;)=1;滿足上述關(guān)系式的映射為滿足上述關(guān)系式的映射為sTsTzzzTzzTsssss22)1 ()1 (2) 1() 1(2111.解決了沖激不變法的解決了沖激不變法的混疊失真問(wèn)題。混疊失真問(wèn)題。2.它是一種簡(jiǎn)單的代數(shù)它是一種簡(jiǎn)單的代數(shù)關(guān)系。

29、關(guān)系。這種雙線性變換法的背景是用表征數(shù)字濾波器這種雙線性變換法的背景是用表征數(shù)字濾波器H(z)H(z)的差分方程作為模擬濾波器的差分方程作為模擬濾波器H(s)H(s)所對(duì)應(yīng)的微分方程所對(duì)應(yīng)的微分方程的近似解獲得，其變換過(guò)程是的近似解獲得，其變換過(guò)程是: : )1()(2)1()(2)1()(1),(2/)1()(),(2/)1()(/)1()()()()(),/()()(H)(ZnxnxAnynynynyTtxnxnxtynyny，TnynytAxtydttdysAsG：zsHss于是得到來(lái)代替來(lái)代替用代替微分可用則其時(shí)域微分方程為對(duì)一階系統(tǒng)例差分方程微分方程)2/arctan(2)2/tan

30、(2),2/tan(2| )()()(,)1 ()1 (2)()1()1(21111ssszzTssTTTjj。sGzHsGzzTAzHZs即由此可得的關(guān)系這就是這種雙線性變換比較可得與變換得兩邊取arctan2),2/tan(11) 1() 1(ss，zzzs在上述的雙線性變換法中，如果省略在上述的雙線性變換法中，如果省略2/TS，不影響濾，不影響濾波器的設(shè)計(jì)，得波器的設(shè)計(jì)，得。zHsG、；sG、；、：IIRspspsp)()(3)(2,)2/tan(1轉(zhuǎn)換成利用雙線性變換法將模擬低通濾波器利用上述性能指標(biāo)設(shè)計(jì)不變和而和轉(zhuǎn)換成和的關(guān)系將利用濾波器的步驟如下利用雙線性變換設(shè)計(jì)例例 6.5.16.5.1分析：略分析：略注意：注意：雙線性變換雙線性變換