4-1幾何證明選講第二講(三)

1、定定理理圓圓的的切切線線的的性性質(zhì)質(zhì)及及判判定定三三.,;,;,.,稱稱直直線線與與圓圓相相離離公公共共點(diǎn)點(diǎn)直直線線與與圓圓沒(méi)沒(méi)有有稱稱直直線線與與圓圓相相切切公公共共點(diǎn)點(diǎn)直直線線與與圓圓只只有有一一個(gè)個(gè)稱稱直直線線與與圓圓相相交交點(diǎn)點(diǎn)直直線線與與圓圓有有兩兩個(gè)個(gè)公公共共刻刻畫畫的的數(shù)數(shù)共共點(diǎn)點(diǎn)個(gè)個(gè)這這是是從從直直線線與與圓圓的的公公離離三三種種位位置置關(guān)關(guān)系系和和相相直直線線與與圓圓有有相相交交、相相切切我我們們知知道道，.時(shí)時(shí)有有什什么么性性質(zhì)質(zhì)們們先先看看當(dāng)當(dāng)直直線線與與圓圓相相切切我我相相切切的的情情形形本本節(jié)節(jié)專專門門討討論論直直線線與與圓圓MlAO112圖圖?.,.,是否一定垂直呢

2、是否一定垂直呢半徑半徑與與那么那么圖形可發(fā)現(xiàn)圖形可發(fā)現(xiàn)觀察、測(cè)量觀察、測(cè)量為切點(diǎn)為切點(diǎn)切線切線的的是圓是圓直線直線如圖如圖OAlOAlAOl112.,.,.,一定垂直一定垂直與與因此因此的切線相矛盾的切線相矛盾是圓是圓這與這與相交相交圓圓就應(yīng)與就應(yīng)與于是于是的距離小于圓的半徑的距離小于圓的半徑圓心到直線圓心到直線這就是說(shuō)這就是說(shuō)可得可得性質(zhì)性質(zhì)垂線段最短垂線段最短根據(jù)根據(jù)垂足為垂足為可作可作點(diǎn)點(diǎn)那么過(guò)那么過(guò)不垂直不垂直與與假設(shè)假設(shè)OAlOlOllOMOAMlOMOOAl:于是有于是有:.,;,由此得到線也一定經(jīng)過(guò)圓心直過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的反之定過(guò)切點(diǎn)線的直線一所以經(jīng)過(guò)圓心垂直于切垂直線線與已知

3、直只有一條直過(guò)一點(diǎn)因?yàn)榻?jīng).切切點(diǎn)點(diǎn)的的半半徑徑圓圓的的切切線線垂垂直直于于經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)切切線線的的性性質(zhì)質(zhì)定定理理.必必經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)切切點(diǎn)點(diǎn)的的直直線線經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)圓圓心心且且垂垂直直于于切切線線推推理理1.必必經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)圓圓心心的的直直線線經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)切切點(diǎn)點(diǎn)且且垂垂直直于于切切線線推推理理 2.逆逆命命題題來(lái)來(lái)得得到到判判定定定定理理的的下下面面通通過(guò)過(guò)考考察察性性質(zhì)質(zhì)定定理理lAMO112圖圖B由此可得是圓的切線因此共點(diǎn)知圓與直線只有一個(gè)公的任意性由點(diǎn)在圓外點(diǎn)因此的斜邊是而是直角三角形這是因?yàn)槎加械狞c(diǎn)上任取異于點(diǎn)線在直的公共點(diǎn)且線與直是圓點(diǎn)如圖.,.,.,.,lBBOBARtOBOBAOAOBBAlOAl

4、lOA112.的切線的切線于這條半徑的直線是圓于這條半徑的直線是圓直直經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂切線的判定定理切線的判定定理.:.,的切線的切線是圓是圓求證求證的中點(diǎn)的中點(diǎn)過(guò)過(guò)圓圓徑徑的直的直是圓是圓如圖如圖例例ODEACDEDBCOOAB1221ABODCE122圖圖.OD連接證明,OBOACDBD因?yàn)?的中位線是所以ABCOD,/ ACOD則,090DEC又因?yàn)?090ODE所以所以在圓周上又因?yàn)?D.的切線是圓ODE.,打打開(kāi)開(kāi)幾幾何何畫畫板板實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)單單擊擊圖圖示示.:.,DABACDCADOCOAB平分平分求證求證垂足為垂足為點(diǎn)的切線互相垂直點(diǎn)的切線互相垂直和過(guò)和過(guò)上一點(diǎn)上一點(diǎn)為圓為圓直徑直徑的的為圓為圓圖圖如如例例1322ABCDO,OC連結(jié)證明CD因?yàn)?,CDOCO所以的切線是圓由此得所以又因?yàn)?/,ADOCCDAD .CADACO.,ACOCAOOAOC所以因?yàn)?DABACCAOCAD平分故則132圖圖.,打打開(kāi)開(kāi)幾幾何何畫畫板板實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)單單擊擊圖圖示示 ?.;:,嗎嗎理理中中同同一一個(gè)個(gè)定定及及它它的的兩兩個(gè)個(gè)推推論論概概括括在在你你能能把把圓圓的的切切線線性性質(zhì)質(zhì)垂垂直直于于切切線線經(jīng)