第3章 信道均衡算法

1、第3章 信道均衡算法第3章 信道均衡算法3.1 引言自適應(yīng)型的濾波器有兩種能力：自主學(xué)習(xí)能力和自主跟蹤能力。不同的優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)則的約束下，根據(jù)不同的性能要求，自適應(yīng)型的濾波選用的算法可以歸結(jié)為兩類(lèi)：遞推最小二乘(簡(jiǎn)稱(chēng)RLS)算法、最小均方誤差(簡(jiǎn)稱(chēng)LMS)算法。在最小均方誤差標(biāo)準(zhǔn)約束下，為了得到濾波器的輸出信號(hào)與濾波器的期望信號(hào)兩者間的最小的均方誤差，我們使用LMS算法。在最小二乘準(zhǔn)則標(biāo)準(zhǔn)約束下，為了得到估計(jì)誤差的最小的加權(quán)平方和，我們采用RLS算法，并設(shè)定了帶有權(quán)比的向量。階躍因子為，也就是遺忘因子，并且。很多經(jīng)典的自適應(yīng)濾波的算法都是從以上兩個(gè)準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的。3.2 不同類(lèi)別的信道均衡算

2、法應(yīng)用在自適應(yīng)型的濾波器中3.2.1 自適應(yīng)濾波的最小均方誤差算法最小均方誤差算法的優(yōu)點(diǎn)明顯：整個(gè)過(guò)程需要的計(jì)算少，實(shí)現(xiàn)起來(lái)十分方便。使用最小均方誤差算法中的最速下降法時(shí)，我們用到的迭代公式如下Error! Reference source not found.： （3-1） （3-2）設(shè)步長(zhǎng)因子，設(shè)自適應(yīng)型的濾波器在時(shí)的權(quán)向量，設(shè)時(shí)刻的輸入端的信號(hào)矢量表示為，設(shè)自適應(yīng)型的濾波器長(zhǎng)度為。定義期望信號(hào)是，誤差信號(hào)是，噪聲信號(hào)是。已知該使用該算法達(dá)到收斂的條件是： ，定義自相關(guān)矩陣的最大特征值是系統(tǒng)輸入信號(hào)的最大特征值。自適應(yīng)型的濾波算法有三項(xiàng)最重要的指標(biāo)：使用的時(shí)變系統(tǒng)在最開(kāi)始的收斂速度、得到穩(wěn)

3、定狀態(tài)后測(cè)量誤差和是否有能力繼續(xù)跟蹤。噪聲信號(hào)在大部分情況下都是在輸入端產(chǎn)生的，為了能有效的處理噪聲，該算法會(huì)產(chǎn)生參數(shù)失調(diào)噪聲，并且偏移噪聲的大小取決于噪聲信號(hào)。穩(wěn)態(tài)誤差的大小是和階躍因子相關(guān)的，收斂速度也是如此：如果設(shè)定大的步長(zhǎng)因子，我們就會(huì)得到較大的穩(wěn)態(tài)誤差，也就會(huì)有更快的收斂速度，如果取小的步長(zhǎng)因子，就會(huì)相應(yīng)的使收斂速度變慢，進(jìn)而得到較快的R穩(wěn)態(tài)誤差，跟蹤速度也是如此。無(wú)論是取大的值還是取小的值，步長(zhǎng)因子的值一旦確定下來(lái)就難以改變，這無(wú)法滿足我們對(duì)算法性能的要求。為了提高算法的性能，很多的自適應(yīng)型的濾波算法都是通過(guò)改變步長(zhǎng)這一方式，被不斷的發(fā)現(xiàn)提出的。3.2.2 RLS自適應(yīng)濾波算法在最

4、小二乘標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)則的約束下，使用RLS算法，在自適應(yīng)型的濾波器的解算中，根據(jù)輸入信號(hào)的帶有權(quán)重的向量回歸自相關(guān)矩陣的性質(zhì)，目標(biāo)是得到最小的估計(jì)誤差的加權(quán)平方和。輸入信號(hào)的頻率譜線的有關(guān)特性并不會(huì)影響到收斂性能，其收斂速度比LMS算法更快。然而，由于其計(jì)算復(fù)雜度高，存儲(chǔ)所需的計(jì)算量非常大。無(wú)法達(dá)到理想狀態(tài)，所以一般不用于實(shí)際系統(tǒng) 3.2.3 變換域自適應(yīng)濾波算法特征值由輸入信號(hào)在系統(tǒng)中的自相關(guān)矩陣求得且與LMS算法的收斂性有關(guān)。如果特征值越小，證明該算法的收斂能力越強(qiáng)，反之收斂能力差。因此，為了使特征值由輸入信號(hào)的自相關(guān)矩陣求得的值較小，學(xué)者們探索出提出一種新的算法，是一種變換域自適應(yīng)濾波算法，通過(guò)

5、正交變換的方式對(duì)輸入信號(hào)變換，其目的是讓特征值的發(fā)散程度降低。變換域信號(hào)代替時(shí)域信號(hào)是該算法的核心，自適應(yīng)算在得到變換域中來(lái)進(jìn)一步使用。變換域算法分為以下幾個(gè)計(jì)算流程：第一，先進(jìn)行正交變換，用求得的變換域信號(hào)代替輸入原始的時(shí)域信號(hào)。第二，對(duì)變換后的信號(hào)再進(jìn)行求平方根運(yùn)算。第三，完成濾波，濾波可以通過(guò)選取一些適當(dāng)?shù)乃惴▉?lái)實(shí)現(xiàn)。3.2.4 共軛梯度算法雖然RLS算法收斂速度較快，但需要估計(jì)逆矩陣。如果估計(jì)的逆矩陣失去了正確性，則該算法發(fā)散，且算法的計(jì)算內(nèi)容需要大量存儲(chǔ)，對(duì)實(shí)現(xiàn)沒(méi)有幫助，更會(huì)提高實(shí)驗(yàn)的復(fù)雜性。雖然這些算法有時(shí)能有效減少了計(jì)算，但它們都具有數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題。共軛梯度自適應(yīng)濾波算法不包含R

6、LS算法中的矩陣運(yùn)算，不存在數(shù)值穩(wěn)定性問(wèn)題，保持了RLS算法的快速收斂Error! Reference source not found.。3.3 本章小結(jié)本章主要介紹和總結(jié)了自適應(yīng)濾波算法,并介紹了四種現(xiàn)代自適應(yīng)濾波算法。LMS算法是最基本的自適應(yīng)濾波算法。同時(shí),還討論了四種自適應(yīng)濾波算法的收斂速度。計(jì)算復(fù)雜性,數(shù)值穩(wěn)定性的影響算法性能的元素進(jìn)行了較為簡(jiǎn)單的比較。每一種算法都有自己的優(yōu)缺點(diǎn),在進(jìn)行自適應(yīng)濾波的時(shí)候都是值得借鑒的。第4章 LMS自適應(yīng)濾波算法研究4.1 引言LMS算法,利用得到的粗梯度估算值推測(cè)梯度最急劇下降算法的基礎(chǔ)上,算法的性能很好,而且適用范圍有限,但計(jì)算量少,容易實(shí)現(xiàn)實(shí)

7、用的優(yōu)點(diǎn)。這是廣泛使用的。LMS算法的基本原理是遵循下降法,即在加權(quán)梯度值的負(fù)方向上進(jìn)行搜索,從而實(shí)現(xiàn)最佳權(quán)重,以實(shí)現(xiàn)最小均方誤差的意義上的自適應(yīng)濾波。為了無(wú)線信道的多路徑效應(yīng),信號(hào)產(chǎn)生ISI和均衡器用來(lái)抑制失真。應(yīng)用環(huán)境的時(shí)變特性是均衡器是自適應(yīng)的,因此不必事先知道信道和發(fā)送信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性。而是根據(jù)需要事先了解訓(xùn)練最好的動(dòng)作狀態(tài),實(shí)現(xiàn)通道會(huì)失真,可以補(bǔ)償?shù)男枰Ｈ绻斎胄盘?hào)和信道變化的統(tǒng)計(jì)特性,則可以跟蹤該變化。在少數(shù)迭代之后恢復(fù)最佳的操作狀態(tài)。自適應(yīng)濾波器可以分為兩部分:參數(shù)可調(diào)數(shù)字濾波器和自適應(yīng)算法。本章主要介紹算法原理。4.2 最小均方誤差(LMS)算法原理LMS算法的判據(jù)是最小均方誤

8、差，即使期望信號(hào)與濾波器輸出信號(hào)之間的差值的平方值的期望值最小，并且根據(jù)該準(zhǔn)則對(duì)權(quán)重系數(shù)進(jìn)行修改，所得到的算法被稱(chēng)為最小均方誤差算法（LMS）Error! Reference source not found.。假設(shè)N階有限沖激序列濾波器的抽頭權(quán)系數(shù)為 ，濾波器的輸入信號(hào)為，輸出信號(hào)為，則有限沖激序列橫向?yàn)V波器方程可表示為： （4-1）令代表期望信號(hào)，定義誤差信號(hào)： （4-2）采用向量形式表示權(quán)系數(shù)及輸入和，可以將誤差信號(hào)寫(xiě)作 （4-3）誤差的平方為： （4-4）上式兩邊取數(shù)學(xué)期望后，得到均方誤差： （4-5）定義互相關(guān)函數(shù)向量： （4-6）和自相關(guān)函數(shù)矩陣： （4-7）所以均方誤差可表述為：

9、 （4-8）這表明，均方誤差是具有凹拋物線的權(quán)系數(shù)向量的二次函數(shù)，因此它具有唯一最小值。調(diào)整加權(quán)因子使平均自乘誤差最小化。這相當(dāng)于拋物線的最小值。你可以用梯度找到最小值。利用加權(quán)系數(shù)公式(4-8)推導(dǎo)出均方誤差的梯度： （4-9）令，即可以求出最佳權(quán)系數(shù)向量： （4-10）將代入式（4-8），得到最小均方誤差： （4-11）用公式（4-11）求最佳權(quán)系數(shù)向量的精確解，需要知道統(tǒng)計(jì)先驗(yàn)知識(shí)和的和，需要進(jìn)行矩陣求逆等。根據(jù)最快下降法的優(yōu)化，“下一時(shí)刻”權(quán)系數(shù)向量應(yīng)等于“當(dāng)前時(shí)刻”權(quán)重系數(shù)向量加上負(fù)均方誤差梯度 的比例，即： （4-12）階躍因子用于控制收斂速度和常數(shù)誤差常數(shù)，因此也稱(chēng)為收斂因子。L

10、MS算法有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：梯度計(jì)算和收斂因子選擇Error! Reference source not found.。精確計(jì)算梯度是一件非常困難的事，在實(shí)際情況下幾乎是不可能的，因此，與均方誤差的估計(jì)值相比，有一個(gè)相對(duì)粗略但非常有效的計(jì)算方法：取作為均方誤差的估計(jì)值，即： （4-13）式中的為： （4-14）在公式(4-14)中替換(4-13)，我們得到如下： （4-15）于是，較優(yōu)化的LMS算法最終為： （4-16）由于LMS算法是一種隨機(jī)梯度算法,挖掘權(quán)重向量更新的方向是完全隨機(jī)的,并且在每次迭代之后不期望瞬時(shí)功率。因此受到重復(fù)中的梯度噪聲的影響。但是,由于循環(huán)迭代過(guò)程本身是不斷估計(jì)且平均的過(guò)

11、程,所以這不會(huì)對(duì)算法的性能產(chǎn)生較大影響。4.2.1 LMS算法的失調(diào)由于LMS算法在迭代時(shí)使用隨機(jī)的梯度,所以在算法的收斂之后的瞬間誤差功率比理論上的最小值更大,它是以一定值為中心的隨機(jī)值。用這種不平衡來(lái)描述自適應(yīng)濾波器穩(wěn)態(tài)誤差的瞬時(shí)誤差功率與理論最小值之間的關(guān)系： （4-17）可以證明，式（4-17）等效于： （4-18）輸入信號(hào)的自相關(guān)矩陣的值是，并且用表示濾波器的階數(shù)，表示步長(zhǎng)因子。根據(jù)自相關(guān)矩陣的本征值分解理論,矩陣的對(duì)角元素等于，式（4-18）等價(jià)于以下的方程式:： （4-19）其中，為濾波器抽頭輸入的總功率。4.2.2 平均時(shí)間常數(shù)平均時(shí)間常數(shù)被用于測(cè)量LMS算法的收斂速度，定義為

12、： （4-20）由式（4-19）和式（4-20）可知，LMS算法的穩(wěn)定狀態(tài)偏移與濾波順序和步長(zhǎng)成正比例，與收斂時(shí)間成反比，會(huì)聚率和穩(wěn)定狀態(tài)的不均衡相矛盾。如果步長(zhǎng)增大，算法的收斂速度會(huì)加快，但穩(wěn)定狀態(tài)的不平衡也會(huì)變大。如果步長(zhǎng)的取值減小，固定位置的偏差會(huì)減小，但是算法的收斂速度會(huì)變慢。如何取得兩者的平衡，提高算法整體的性能是目前的主要研究?jī)?nèi)容。4.3 LMS算法和RLS算法的仿真對(duì)比在傳統(tǒng)的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中，為了能使某一不需要的頻率信號(hào)得到足夠大的衰減，來(lái)使得信道均衡以此得到所需的信號(hào)，通常的做法就是把階數(shù)選的足夠高來(lái)達(dá)到很大的衰減不需要的噪聲信號(hào)，但同時(shí)計(jì)算量也變得更大了。而且設(shè)計(jì)的過(guò)程復(fù)雜

13、，不利于動(dòng)態(tài)的調(diào)整。為了解決上述存在的問(wèn)題自適應(yīng)濾波器孕育而生，其效果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于傳統(tǒng)的數(shù)字濾波器。       當(dāng)我們知道原始信號(hào)里的干擾信號(hào)頻率是多少時(shí)（例如最常見(jiàn)的50Hz工頻干擾），這時(shí)我們只需要知道這個(gè)干擾信號(hào)的相位和幅度，然后就可以完全的“再現(xiàn)”這個(gè)干擾信號(hào)，然后我們就可以直接的從原始信號(hào)中將其減去，從而就得到了我們想要的信號(hào)成分。這一過(guò)程實(shí)際上就是自適應(yīng)濾波器的基本工作原理。4.3.1 LMS算法仿真最簡(jiǎn)單的LMS算法是通過(guò)每一次迭代輸入的數(shù)據(jù)對(duì)當(dāng)前的目標(biāo)函數(shù)的梯度進(jìn)行估計(jì)，得到了輸入信號(hào)的對(duì)應(yīng)自相關(guān)矩陣與互相關(guān)向量。然后，梯度估計(jì)如下： (

14、4-21)則濾波系數(shù)更新方程為： (4-22)整理可得LMS算法：初始化部分： (4-23)單次迭代部分： (4-24) (4-25)其中參數(shù)表示單次調(diào)節(jié)的步長(zhǎng)，它是一個(gè)常數(shù)需要在實(shí)際的應(yīng)用中進(jìn)行確定。我們可以得到單次迭代所需要進(jìn)行的乘法次數(shù)為量級(jí)，N表示FIR濾波器的系數(shù)矢量的維數(shù)。圖4-1圖4-2圖4-3仿真分析：可以看出，原始信號(hào)在被干擾之后產(chǎn)生信號(hào)，通過(guò)自適應(yīng)濾波器的信道均衡最終得到的我們想要的輸出誤差信號(hào)，能明顯看出被嚴(yán)重污染的信號(hào)經(jīng)過(guò)LMS濾波器得到了不錯(cuò)的恢復(fù)。4.3.2 RLS算法仿真基于瞬時(shí)梯度估計(jì)的LMS算法實(shí)際上只使用了當(dāng)前時(shí)刻的輸入信號(hào)矢量和期望信號(hào)，由于沒(méi)有利用過(guò)去的信息，導(dǎo)致梯度估計(jì)的誤差很大，算法收斂的數(shù)度慢。如果能把過(guò)去的信息利用起來(lái)，那么梯度估計(jì)的誤差就會(huì)大大的減小，算法的收斂速度也會(huì)變快。最小二乘（RLS）算法正好就實(shí)現(xiàn)了這一過(guò)程。其目的是最小化期望信號(hào)與輸出信號(hào)之間的差值的平方和。可以得到RLS算法。整理可得R