高觀點(diǎn)下數(shù)列和式不等式放縮的研究

1、高觀點(diǎn)下數(shù)列和式不等式放縮的研究 探討兩類典型問(wèn)題的通法李紹塔（杭州第十四中學(xué),浙江 杭州 310015） 摘要：該文利用等價(jià)量的思想研究?jī)深悢?shù)列和式不等式的放大和縮小;通過(guò)兩個(gè)定理的給出,得到解決這兩類問(wèn)題的通法,即“抱團(tuán)”放縮法和“主導(dǎo)項(xiàng)”思想方法.關(guān)鍵詞：數(shù)列不等式;“主導(dǎo)項(xiàng)”思想;“抱團(tuán)”放縮 ;調(diào)和級(jí)數(shù);等價(jià)量0 引 言數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)內(nèi)容,同時(shí)作為高等數(shù)學(xué)研究極限的主要對(duì)象之一,是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接點(diǎn).在歷年的高考解答題中,數(shù)列也都占有相當(dāng)重要的地位,近年來(lái)的浙江省高考數(shù)列內(nèi)容的考查更以壓軸題形式出現(xiàn),而且把數(shù)列與不等式結(jié)合起來(lái)歷來(lái)是高考命題的熱點(diǎn)、難點(diǎn).我們都知

2、道數(shù)列是定義在正整數(shù)集或其子集上的函數(shù),那么處理數(shù)列與不等式問(wèn)題理論上也可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與不等式的問(wèn)題來(lái)處理,但數(shù)列又屬于離散數(shù)學(xué)范疇,所以處理這類問(wèn)題又不能照搬函數(shù)與不等式的處理方式,它具有其自身的獨(dú)特性,這些獨(dú)特性恰是值得我們探討的且需要我們?cè)诮窈蟮慕虒W(xué)中重點(diǎn)關(guān)注的. 實(shí)際上,近年來(lái)的高考命題往往可以尋到某些高等數(shù)學(xué)的影子,所以在今后的教學(xué)中可以適當(dāng)滲透一些高數(shù)中極限思想等以提高學(xué)生的思想高度和解題能力,所謂站得高看得遠(yuǎn),正是這個(gè)道理.本文正是基于極限思想下利用等價(jià)量對(duì)數(shù)列的和式不等式進(jìn)行放大或縮小,重點(diǎn)探討了兩類常見的典型數(shù)列放縮問(wèn)題,給出了解決這兩類問(wèn)題的通法.1 預(yù)備知識(shí)定義 1 若在上

3、有定義,當(dāng)時(shí),有,則稱為無(wú)窮大量.定義 2 若為無(wú)窮大量,且,則稱為的低階無(wú)窮大量.定義 3 若為無(wú)窮大量,且,則稱與為等價(jià)無(wú)窮大量.定義 4 若,則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)是收斂的.2 理論依據(jù)定理1 若為等價(jià)無(wú)窮大量,則,當(dāng)時(shí),有成立.證明 若為等價(jià)無(wú)窮大量,即,故,取,則存在,當(dāng)時(shí),有成立,從而有成立.證畢.事實(shí)上,定理1蘊(yùn)含夾逼的思想,從而天然的可以結(jié)合到數(shù)列的放縮中去.定理2 ,. 證法1首先,令,則,從而在上單調(diào)遞減,故,有成立.同理可證：,.實(shí)際上,由微分中值定理直接可得,.綜上,取,得,累加,得,即證.證法2由積分中值定理可得,同時(shí)從而有,即證.事實(shí)上,定理2說(shuō)明了調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的,同時(shí)它發(fā)

4、散到的速度和發(fā)散到的速度是相同的,即與是等價(jià)無(wú)窮大量.因此,定理2闡明了雖然寫不出求和的結(jié)果,但是可以通過(guò)它的一組上界和下界數(shù)列把握的變化規(guī)律.實(shí)際上,我們知道:（叫做歐拉常數(shù),近似值約為0.577286060651209）.3 主要結(jié)果接下來(lái),本文探討如下兩類問(wèn)題模型：?jiǎn)栴}模型一. 已知,求證:.問(wèn)題模型二.已知,其中為的低階無(wú)窮大量以及,收斂到,求證：,即證是收斂的.下面將通過(guò)給出具體例子以及相關(guān)變式的方式研究以上兩個(gè)問(wèn)題模型，通過(guò)利用前文給出的兩個(gè)定理,對(duì)這兩類問(wèn)題中的通項(xiàng)從某項(xiàng)開始（局部放縮）在等價(jià)量思想的指引下進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s,從而得到解決這兩類問(wèn)題解決的通法.問(wèn)題模型一. 已知,求證

5、:.問(wèn)題分析 由定理2可得，從而,則可根據(jù)定理1進(jìn)一步得到,當(dāng)時(shí),有成立.下面一起來(lái)看幾個(gè)問(wèn)題模型一具體的例子.例1.求證:. 分析 可知：,故的等價(jià)線性主部為,因此,縮小為是合理的.證明 由定理2可知：,從而,(1) 當(dāng)（表示取整）時(shí),有成立;(2) 當(dāng)時(shí),有成立;綜上,.實(shí)際上,通過(guò)以上證明過(guò)程，可以讓中學(xué)生了解例1的出題背景和出題思路，另一方面，中學(xué)生又是沒法采用以上的證明步驟解題的, 從而需要我們?cè)谶@一思路下尋找初等的方法進(jìn)行以上和式的放縮.因此，下面給出“抱團(tuán)”放縮的操作步驟.只要考慮一次項(xiàng)系數(shù),有,故,即證.變式1.求證：.證明 顯然,從而變式1是合理的,仿造例1的證明過(guò)程,即證.

6、另一方面, “抱團(tuán)”放縮法：考慮,有從而即證.變式2.求證.證明 顯然,從而變式2是合理的,考慮,有故,即證.小結(jié)1 對(duì)于調(diào)和級(jí)數(shù)型數(shù)列求和的放縮,實(shí)際上從無(wú)窮級(jí)數(shù)的角度可以找到命題的高數(shù)背景和解題的理論依據(jù)及思想方法. 此外,在問(wèn)題模型一中常用的“抱團(tuán)”放縮的結(jié)論如下：.實(shí)際上,對(duì)這“一團(tuán)”還可以再進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹胺侄伪F(tuán)”放縮,如例1變式1中的 由等價(jià)量思想，不難得到中的一次項(xiàng)系數(shù)可以變大,比如說(shuō)取，其中，當(dāng)然此時(shí)的“一團(tuán)”也要相應(yīng)的變成“四團(tuán)”進(jìn)行放縮，以至于可以無(wú)限接近,當(dāng)然,常數(shù)項(xiàng)需要做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整.以上的例子和分析都是針對(duì)和式不等式縮小的處理,放大的處理方式和證明完全相同,本文不再贅述.

7、問(wèn)題模型二.已知,其中為的低階無(wú)窮大量以及,收斂到,求證：,即證是收斂的.題型分析 由可得,再由定理1可得,當(dāng)時(shí),有成立,于是,由，可取適當(dāng)?shù)模ㄒ蕾囉冢?使得即證，另一方面當(dāng)有上界，又由于且，故從某項(xiàng)開始單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)有界必收斂定理可得是收斂的. 在這里，重點(diǎn)探討為收斂幾何級(jí)數(shù)時(shí)的有關(guān)應(yīng)用.下面一起來(lái)看幾個(gè)具體的例子.例2.已知,證明不等式.證明 由定理1可知：成立,反之,取時(shí),為了使恒成立,則,則,從而,故,證畢.根據(jù)這個(gè)思維,考慮如下兩個(gè)變式.變式1.已知,證明不等式.證明 同上,只要取時(shí),為了使得恒成立,則,則,從而，故,證畢.變式2.已知,證明不等式.證明 同上,只要取時(shí),為了使得

8、恒成立,則,則,從而，故,證畢.小結(jié)2 實(shí)際上,以上數(shù)列和式放大的上界可以繼續(xù)縮小,即局部放大的過(guò)程中多留下幾項(xiàng),而后面所有項(xiàng)放大后的“盈余”也將越來(lái)越小,理論上可以讓這個(gè)“盈余”想要多小就多小,可以設(shè)定放大后的截?cái)嗾`差,使得放大的上界越來(lái)越精確.例2這里選取的通項(xiàng)類型是兩個(gè)等比數(shù)列作差之后取倒數(shù)的數(shù)列,實(shí)際上,當(dāng)時(shí),分母幾乎由控制了整個(gè)分式的變化,相對(duì)于在時(shí)可以忽略不計(jì),被“吃掉了”,那么,我們可以認(rèn)為即為這個(gè)分式結(jié)構(gòu)中分母的“主導(dǎo)項(xiàng)”,所以在后續(xù)的放縮過(guò)程中,均應(yīng)該選擇放縮成“主導(dǎo)項(xiàng)”,而我們唯一要做的事情就是基于“主導(dǎo)項(xiàng)”思想下選取從某項(xiàng)開始放縮的最優(yōu)系數(shù),如以上過(guò)程中等.在這里,不難得

9、到“主導(dǎo)項(xiàng)”放縮思想下的一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論： 恒成立.例3.已知,證明不等式.證明 由定理1可知：成立,反之,取時(shí),恒成立,則（通過(guò)作差法,易證單調(diào)遞減）,則,從而,故,不符.取時(shí),恒成立,則,則,從而,故,不符.取時(shí),恒成立,則,則,從而故,.小結(jié)3 實(shí)際上,在以上數(shù)列和式的一個(gè)上界給定的前提下,去尋找合適的放大系數(shù)的過(guò)程,按照“主導(dǎo)項(xiàng)”思想,我們知道這個(gè)過(guò)程一定是有限次數(shù)即可完成的.這里選取的通項(xiàng)類型是一個(gè)等比數(shù)列和一個(gè)等差數(shù)列作差之后取倒數(shù)的數(shù)列,實(shí)際上,當(dāng)時(shí),同樣由分母控制了整個(gè)分式的變化,相對(duì)于在時(shí)可以忽略不計(jì),也是被“吃掉了”,所以在后續(xù)的放縮過(guò)程中,均應(yīng)該選擇放縮成“主導(dǎo)項(xiàng)”,而我們唯一要做的事情就是基于“主導(dǎo)項(xiàng)”思想下不斷地選取從某項(xiàng)開始放縮的最優(yōu)系數(shù),如以上過(guò)程中等.隨著這個(gè)過(guò)程的進(jìn)行,總能找到一個(gè)時(shí)刻,從此以后滿足放大之后的上界均能小于所證式子中給定的上界.以上的例2、3及其相關(guān)的變式只是對(duì)為兩個(gè)等比數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)等差數(shù)列的類型進(jìn)行了簡(jiǎn)單的探討,實(shí)際上,通過(guò)結(jié)構(gòu)的變化可以產(chǎn)生更多有意思的問(wèn)題,也有待進(jìn)一步研究.4 結(jié)束語(yǔ)本文先是給出兩個(gè)后續(xù)實(shí)例展開所依托的定理,通過(guò)實(shí)例研究的方式進(jìn)一步探討兩類典型的問(wèn)題模型,根據(jù)等價(jià)量的思想,歸納出中學(xué)生能夠理解并具有操作性的“抱團(tuán)”放縮和“主導(dǎo)