專題一、含絕對(duì)值不等式的解法(含答案)

1、第三講含絕對(duì)值不等式與一元二次不等式、知識(shí)點(diǎn)回顧 1、絕對(duì)值的意義：(其幾何意義是數(shù)軸的點(diǎn) A (a)離開原點(diǎn)的距離OA a)a, a 0a 0, a 0a, a 02、含有絕對(duì)值不等式的解法：(解絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵在于去掉絕對(duì)值的符號(hào))(1)定義法；(2)零點(diǎn)分段法：通常適用于含有兩個(gè)及兩個(gè)以上的絕對(duì)值符號(hào)的不等式;(3)平方法：通常適用于兩端均為非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)(比如 f x g x );(4)圖象法或數(shù)形結(jié)合法；(5)不等式同解變形原理：即x a a 0 a xax b c c 0 c f x g x g xa f x b b a 0a x a a 0ax b c ax bf xg x f x

2、a f x b 或 bx a或 xac c 0 ax b cm£ ax g x f x g x 或 f x f x a3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。4、二次函數(shù)、一元二次方程、一元兩次不等式的聯(lián)系。(見P8) 5、利用二次函數(shù)圖象的直觀性來研究一元二次方程根的性質(zhì)和一元二次不等式解集及變化，以及含字母的有關(guān)問題的討論，滲透數(shù)形結(jié)合思想。6、解一元二次不等式的步驟：(1)將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式ax2 bx c 0 0或ax2 bx c 0 0解方程ax2 bx c 0據(jù)二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象寫出二次不等式的解集。基本解法與思想解含絕對(duì)值的不等式的基

3、本思想是等價(jià)轉(zhuǎn)化，即采用正確的方法去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為 不含絕對(duì)值的不等式來解，常用的方法有公式法、定義法、平方法。(一)、公式法：即利用a的解集求解主要知識(shí)：是指數(shù)軸上X1 ,X21、絕對(duì)值的幾何意義：x是指數(shù)軸上點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離;兩點(diǎn)間的距離.02、x a與x a型的不等式的解法。當(dāng)a 0時(shí)，不等式x 的解集是xx a,或x a 不等式x a的解集是x a x a ；當(dāng)a 0時(shí)，不等式x a的解集是xx R不等式|x a的解集是 ；3. ax b c與ax b c型的不等式的解法。把a(bǔ)x b看作一個(gè)整體時(shí)，可化為x a與x a型的不等式來求解。當(dāng)c 0時(shí)，不等式ax b c的解集是xax

4、b c,或ax b c不等式ax b c的解集是x c ax b c ；當(dāng)c 0時(shí)，不等式ax b c的解集是xx R不等式a bx c的解集是；例1解不等式x 2 3分析：這類題可直接利用上面的公式求解，這種解法還運(yùn)用了整體思想，如把“ x 2看著一個(gè)整體。答案為 x 1 x 5。(解略)(3)2x35(2) x2 9 x 3解：原不等式等價(jià)于2 3x 0,所以不等式解集為 xx -3,一x2 9 0x2 9 0解：(1)法一：原不等式2x 9 0或 x 2 9 0x 9 x 39 x x 3由解得x 3或3 x 4 ,由解得2x3原不等式的解集是 x2 x 4或x3法二：原等式等價(jià)于(x

5、3) x2 9 x 3x 城x 23x4x M 2 x 4原不等式的解集是 x2 x 4或x3法三：設(shè)yi x2 9 ,y2 x 3( x3),由x2 9 x 3解得非曲直yiy的x的范圍是xi4,x23,x3 2 ,在同一坐標(biāo)系下作出它們的圖象，由圖得使評(píng)析：數(shù)形結(jié)合策略運(yùn)用要解出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)(二)、定義法：即利用忖例2。解不等式a(a 0),0(a 0),去掉絕對(duì)值再解。a(a 0).分析：由絕對(duì)值的意義知，a aa> 0, a a a00。解：原不等式等價(jià)于 上0 x 2x(x+2) <0-2 <x< Qo練習(xí)：2 3x 2 3x解：原不等式等價(jià)于2 3x0,

6、所以不等式解集為 xx(三)、平方法：解f(x) |g(x)型不等式。例3、解不等式|x 1 2x 3。解：原不等式(x 1)2 (2x 3)2(2x 3)2 (x 1)2 04 (2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0(3x-4)(x-2)<04x2。說明：求解中以平方后移項(xiàng)再用平方差公式分解因式為宜。二、分類討論法：即通過合理分類去絕對(duì)值后再求解。例4解不等式|x 1 x 2 5。分析：由x 11 0"x 2 0,得x 1和x 2。2和1把實(shí)數(shù)集合分成三個(gè)區(qū)間,即x 2,2 x 1, x 1,按這三個(gè)區(qū)間可去絕對(duì)值，故可按這三個(gè)區(qū)間討論。解：當(dāng)x<-2時(shí)，得

7、x 2(x 1)(x 2) 5解得：3x2當(dāng)-20x01時(shí)，得2x1, (x 1) (x 2) 5解得：2 x 1,一 x 1一一當(dāng)x 1時(shí)，得x I,解得：1 x 2(x 1) (x 2) 5.綜上，原不等式的解集為 x 3 x 2說明：(1)原不等式的解集應(yīng)為各種情況的并集(2)這種解法又叫“零點(diǎn)分區(qū)間法”，即通過令每一個(gè)絕對(duì)值為零求得零點(diǎn)，求解應(yīng)注意 邊界值。k恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()三、幾何法：即轉(zhuǎn)化為幾何知識(shí)求解。例5對(duì)任何實(shí)數(shù)x ,若不等式|x 1 |x(A)k<3(B)k<-3(C)k <3(D) k<-3分析：設(shè)y x 1 x 2 ,則原式對(duì)任意

8、實(shí)數(shù)x包成立的充要條件是kymin ,于是題轉(zhuǎn)化為求y的最小值解：|x 1、x 2的幾何意義分別為數(shù)軸上點(diǎn)x到-1和2的距離|x 1-x 2的幾何意義 為數(shù)軸上點(diǎn)x到-1與2的距離之差，如圖可得其最小值為-3,故選(B)。(3)分析：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值方法1:零點(diǎn)分段討論法(利用絕對(duì)值的代數(shù)定義)當(dāng) x1時(shí)，x30,x1 0(x3) (x 1)1.4<1x當(dāng)1 x 3時(shí)1 ，1、 (x 3) (x 1) 1 x x|- x 3 22當(dāng)x 3時(shí)(x 3) (x 1) 1-4<1 x R .,.x|x 31綜上，原不等式的解集為x|x -2也可以這樣寫:_ x1_D x1或(x 3) (

9、x 1) 1解：原不等式等價(jià)于1 x 3或；x3) (x 1) 1，解的解集為小，的解集為(x 3) (x 1) 1x| - <x<3,的解集為x|x 3, 2.原不等式的解集為x|x> -2方法2:數(shù)形結(jié)合從形的方面考慮，不等式|x-3|-|x+1|<1 表示數(shù)軸上到3和-1兩點(diǎn)的距離之差小于1的占八、.原不等式的解集為x|x> -2變式：(1)若x 1 a包成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：由幾何意義可知,x 1的最小值為1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為,1M,使它到A B、C(2)數(shù)軸上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C,坐標(biāo)分別為-1 , 2, 5,在數(shù)軸上找一點(diǎn) 三點(diǎn)的距離之和最小

10、 解：設(shè) M (x, 0) 則它到A、B、C三點(diǎn)的距離之和f x x 1 x 2 x 53x 6, x 5x 4, 2 x 5x 8, 1 x 23x 6, x 1由圖象可得：當(dāng)x2日f x min 6四、典型題型-2- 一1、解關(guān)于x的不等式x 3x 8 10解：原不等式等價(jià)于 10 x2 3x 8 10,即 x2 3x 810 x1或x2x2 3x 8 106 x3原不等式的解集為(6, 2) (1,3) 一一 12、解關(guān)于x的不等式一1一 23x257一x 一442x 32x 3 0解：原不等式等價(jià)于 。0 12x 3 -23、解關(guān)于x的不等式2x 1 x 2解：原不等式可化為(2x 1

11、)2 (x 2)2. (2x 1)2 (x 2)2 0即(x 3)(3x 1) 01解得：-x 331原不等式的解集為(1,3)34、解關(guān)于x的不等式2x 1 2m 1 (m R)1解： 當(dāng)2m 1 0時(shí)，即m 二 因2x 1 0,故原不等式的解集是空 2集。1 當(dāng)2m 1 0時(shí)，即m二原不等式等價(jià)于2(2m 1) 2x 1 2m 1解得：1 m x m綜上，當(dāng)m 1時(shí)，原不等式解集為空集；當(dāng)m 1時(shí)，不等式解集為 22x1mxm5、解關(guān)于x的不等式2x1 x x 3 13)1,無(wú)解解：當(dāng)x 3時(shí)，得x 3,1 一當(dāng)3 x鼻，得'(2x 1) x (x，解得：3 x -2(2x 1)

12、x x 3 11v .一 1當(dāng)x 一時(shí)，得 2，角牛華：x 2222x 1 x x 3 12綜上所述，原不等式的解集為（3,1）426、解關(guān)于x的不等式x 1 x 2 5（答案：（，3 2,）解：五、鞏固練習(xí)1、設(shè)函數(shù) f（x） |2x 1 x 3,則£（ 2）=; 若 f （x）是.2、已知a R ,若關(guān)于x的方程x2 x a 1 |a 0有實(shí)根，則 4是.x 13、不等式J- 1的實(shí)數(shù)解為.x 214、解下列不等式 4x 3 2x 1； |x 21 | x 1|； |2x 1| 4 |2x 3| 7 ； |x 1 4 2; x25、若不等式ax 2 6的解集為 1,2 ,則實(shí)數(shù)a

13、等于（A. 8 B. 2 C. 4 D. 82 ,則x的取值范圍a的取值范圍|x 2| 4；a a (a R)6、若x R,則1 x 1 x 0的解集是（）A. x0 x 1 B.xx 0 且 x 1 C. x1 D.xx 1且 x 17、 1對(duì)任意實(shí)數(shù)x, |x 1| |x 2| a恒成立，則a的取值范圍2對(duì)任意實(shí)數(shù)x, |x 1| |x 3| a恒成立，則a的取值范圍3若關(guān)于x的不等式|x 4| |x 3| a的解集不是空集，則a的取值范圍8、不等式x2103x的解集為（A. x|2 x,10B.x| 2 x 5C. x| 2 x 5 D. x|/10x 59、解不等式:10、方程x2 3

14、x23x的解集為的解集12、不等式x （12x)0的解集是A（,2）11、不等式3 51B.(,0) (0,-)c.(2,D. (0,g)2x9的解集是A. , 2 U 7,12、已知不等式x 2B. 1,4a (a 0)的解集為C.13、解關(guān)于x的不等式：解關(guān)于x的不等式14、1| 3的解集為（15、A. (0,2)設(shè)集合AB. ( 2,0) U (2,4)2,1 U 4,7R| 1mx 1C.(yyD. 2,1 U 4,72c的值A(chǔ). R16、不等式2xB.1 xx x R, x 01的解集是_C.17、設(shè)全集UR,解關(guān)于x的不等式:3；2x 31 a (a R)4,0) x2, 1D. ( 4, x 2 ,2) U (0,2)則CR AI B等于D.（參考答案）1、_62、0,43、(, 2) ( 2, 3)2,、1(2) XX -21一 一4、(1) xx -或x 2313, XX 一或X 1 21,、7 X 2 X 一或一X 52 2 X 5 X1或3 X 7當(dāng)a 0時(shí)，x V2ax V2a ；當(dāng)a 0時(shí)，不等式的解集為5、C6、D8、C9、 XXXX 減 X 011、D1213、當(dāng)m 0時(shí)，x7、a