(電動力學)電、偶極天線的輻射功率報告

1、電、磁偶極天線的輻射功率2019年11月25日i目錄1電偶極輻射11.1 輻射場的一般公式推導11.2 矢勢的展開式21.3 電偶極輻射： 31.4 輻射能流輻射功率52磁偶極輻射62.1 高頻電流分布的磁偶極矩 62.2 磁偶極輻射功率83天線輻射93.1 天線上的電流分布 93.2 半波天線輻射功率 10參考文獻-1 -摘要電磁波是從交變運動的電荷系統(tǒng)輻射出來的。 在宏觀情形電磁波由載有交變電流的天線輻射出來；在微觀情形，變速運動的帶電粒子導致電磁波的輻射。當區(qū)域線度l 時輻射功率為（1/ ）2數(shù)量級或更小，因此，要得到較大的輻射功率，必須使天線長度至少達到與波長同數(shù)量級， 最常用的天線是

2、半波天線，這種天線的長度約為半波長。本文先討論電偶極子、磁偶極子輻射功率引出常用的半 波天線的輻射功率。關鍵詞：半波天線，電偶極子，磁偶極子，輻射功率BA(1-6)(1-1)(1-2)A(x, t)0 J(x)e(kr )4 v r(1-3)1電偶極輻射1.1輻射場的一般公式推導當交變電流分布給定時，計算輻射場的基礎是推遲勢公式rJ(x,t r)A(x,t) 0 -dV4 v r若電流J是一定頻率的交變電流，有J(x,t) J(x)e代入(i-i)式中得：3式中k 一為波數(shù)，令 cA(x,t) A(x)e可得A(x)0 J(x)eikr4 v r(1-4)在(1-3)式和(1-4)式中，因子e

3、ikr是推遲作用因子，它表示電磁波傳至場點時有相位滯后kr 0電荷密度 與電流密度J由電荷守恒定律相聯(lián)系，在一定頻率的交變電流情形中有iJ(1-5)由此，只要電流密度J給定，則電荷密度 也自然確定，其激發(fā)的標勢 也跟著確定。因此，在這情形下，由矢勢 A的公式(1-4)就可以完全確定電磁場。磁 場B可直接由A求出：算出B后，電場E可由麥克斯韋方程求出。在電荷分布區(qū)外面，J 0,由真空中的麥克斯韋方程BE i EB 0 0-2- Et c2行：icE k B(1-7)1.2矢勢的展開式在矢勢公式(1-4)中，我們注意到存在三個線度：電荷分布區(qū)域的線度1,它決 定積分區(qū)內x|的大小;波長 2 /k以

4、及電荷到場點的距離r。我們研究分布于 一個小區(qū)域內的電流所產生的輻射。所謂小區(qū)域是指它的線度 1遠小于波長 以 及觀察距離r,即1,1 r(1-8)至于r和 的關系，可以區(qū)別三種情況(1)近區(qū)r(2)感應區(qū)r (3)遠區(qū)(輻射區(qū))r三個區(qū)域內場的特點是不同的，在近區(qū)內 k 1 ,推遲因子eikr 1 o因而 場保持恒定場的主要特點，即電場具有靜電場的縱向形式，磁場也和恒定場相 似。在遠區(qū)內，電磁場變?yōu)闄M向的輻射場。感應區(qū)是一個過渡區(qū)域。實際上， 通常是在離發(fā)射系統(tǒng)遠處接收電磁波的，對這類問題需要計算遠場，由遠場可 定出輻射功率和角分布(方向性)。但是，如果要研究場對電荷系統(tǒng)的反作用(輻 射阻抗

5、)以及幾個靠近的發(fā)射系統(tǒng)之間的相互影響時，必須計算近場和感應場。我們在這里主要討論遠區(qū)的場。選坐標原點在電荷分布區(qū)域內，則的數(shù)量級為l。R表示由原點到場點x的距離R,r為由源點x到x的距離。有15(1-9)eR為沿R方向的單位矢量由條件(1-8)式,可以把A對小參數(shù)x/R和x/展開，在計算遠場時，只保留1/R的最低次項，而對x/的展開則保留各級項。r R eR x把(1-9)式代人(1-4)式得A(x)產4 vJ(x)eik(R eRx)dVR eR x(1-10)由于我們只保留1/R的最低次項，所以在分母中可略去 eR x項，但是相因于中的eR x不應略去，這是因為這項貢獻一個相因子ikeR

6、 x' i2 eR x'e e所以這里涉及的是小參數(shù)x/而不是x/R ,相位差2 eR x / 一般是不能 忽略的，所以在相因子展開式中我們保留 x /的各級項。把(1-10)式中的相因子對keR x展開得ikR0e(1-11)A(x) J(x)(1 ikeR x L )dV4 R卜面我們會看到展開式中各項對應于各級電磁多極輻射。1.3電偶極輻射:現(xiàn)在我們研究展開式的第一項A(x)=ikR0eJ(x)dVV(1-12)設單位體職內先看電流密度體積分的意義。電流是由運動帶電粒子組成的 有n個帶電荷量為qi ,速度為i ,的粒子，則它們各自對電流密度的貢獻為 nq i ,因此nq

7、i式中求和號表示對各類帶電粒子求和，上式也等于對單位體積內所有帶電粒 子的q求和，因此J (x ) dVq uV式中求和號表示對區(qū)域內所有帶電粒子求和，但dq u - qxdt式中p是電荷系統(tǒng)的電偶極矩，因此(1-13)J(x)dVV由此可見，（1-12）式代表振蕩電偶極矩產生的輻射A(x)ikR。(1-14)在計算電磁場時，需要對 A作用算符 。由于我們只保留1/R的最低次項, 因而算符 不需作用到分母的R上，而僅需作用到相因子eikR上，作用結果相當 于代換ikeR(1-15)由此得輻射場i 0k e4 RikReRE = ickB = cBeR1ikR&=-3-e & e

8、R4 oC RikR e -2(p& eR)eR4oC R(1-16)若取球坐標原點在電荷分布區(qū)內,并以p方向為極軸，則由上式,B沿緯線上振蕩，E沿經線上振蕩，有1 ikR .B - f&e sin e(1-17)4 °C RE12- &ekRsin e4 °c2R磁感線是圍繞極軸的圓周，B總是橫向的，電場線是經面上的閉合曲線。由 于在空間中 E =0 , E線必須閉合，但E不可能完全橫向。只有在路去1/R高次項后，E才近似為橫向。即電偶極輻射場才是空間中的 TEM波。在輻射區(qū)電磁場：1/R,能流：1/R2 ,對球面積分后總功率與球半徑無關，這就保證

9、電磁能量可以傳播到任意遠處。1.4輻射能流輻射功率在輻射問題的實際應用中，最主要的問題是計算輻射功率和輻射的方向性。這些都可以由平均能流密度 S求出。所以電偶極輻射的平均能流密度S iRe(E* H) 2c*-Re( B eR) B0看|B |2務 2 0|闞232 2 0c3R2.2 sineR(1-18)因子sin2表示電偶極輻射的角分布，即輻射的方向性。在90o的平面上輻射最強，而沿電偶極矩軸線方向(0o和180o)沒有輻射。把S對球面積分即得總輻射功率P。由(1-18)式，有2?| S|R dQI鯽32 2 0C3dQ(1-19)1畫24 0 3c3由此看出，若保持電偶極矩振幅不變，則

10、輻射功率正比于頻率 四次方。頻率變高時，輻射功率迅速增大。2磁偶極輻射2.1高頻電流分布的磁偶極矩現(xiàn)在我們計算輻射場矢勢 A展開式（1-11）第二項A(x)ikR ik oeJ(x)(eR x )dV(2-1)當電流分布的電偶極項（1-13）式為零時，這項變?yōu)橹饕?。以下我們看?（2-1）式代表磁偶極矩和電四極矩產生的輻射。在恒定情況，我們知道小區(qū)域內的電荷分布激發(fā)電多極場，電流分布激發(fā)磁多極場。在交變情形中，由于電流一般不閉合，電流分布往往與電荷分布相聯(lián)系，由電荷守恒定律有(2-2)我們需要把因此，一般來說（2-2）式包括電荷分布的貢獻和磁矩分布的貢獻,兩者分離開來。圖2-1圖2-1表示兩

11、種不同的電流分布。在圖（a）所示的線圈中，當各點上的電流以相同振幅和相同相位振蕩時，每一時刻都有J = 0,這類電流分布是閉合的，線圈上不帶凈電荷 ，因此線圈上的振蕩電流所產生的輻射是純磁多極輻 射。圖2-1(b)表示四個導體球的體系，它們用細導線相連。當導線上有如圖所 示的振蕩電流時，在四個導體上交替出現(xiàn)正負電荷，因而這體系有振蕩電四板 矩，它產生電四極輻射，在一般情形下，給定電流分布可以同時有電多極輻射 和磁多極輻射?，F(xiàn)在我們把(2-1)式中的積分分離為磁矩的貢獻和電四極矩的貢獻，把被積 函數(shù)寫為J (eR x )eR x JxJ是一個張量，我們把它分解為對稱部分和反對稱部分:11x J

12、-(x J J x ) - (x J J x )因而(2-1)式中的積分可以寫為1 r,、,-(eR x )J 2(eR J )x dV(eR x)J (eR J )xdV(2-3)先看第二項，由于(eR x)J(eR J )xeR (x J )因而(2-3)式第二項為1eR - x J dVeR m(2-4)m是體系的磁矩，因此這項導致的輻射是磁偶極輻射。再看(2-3)式第一項，把它寫為對所有帶電粒子求和，得11 (eR x')J' (eR J')x'dV'12q(eR x ) u (eR u)x 式中為帶電粒了的速度，因為dx /dt ,因而上式可寫

13、為式中是體系的電四極矩。91dt 2eRd 1 eR -R dt 21d r二 eR 一6dt3qx xqx x1&6eR &(2-5)(2-6)代入(2-4)和(2-5)式得A(x)ikikR0eeR m1一 eR6(2-7)第一項是磁偶極輻射勢，第二項是電四極矩輻射勢。由此可見,磁偶極輻射和電四極輻射是在A的展開式同一級項中出現(xiàn)的。在圖2-1(b)所示的體系中，若導體所在平面為xy面,則這體系的電四極矩有xy分量。2.2磁偶極輻射功率先計算(2-7)式中的磁偶極輻射項:A(x)ikRik 0e4 ReR m(2-8)輻射區(qū)的電磁場為A ikeR Ak2ikR0e鋒 m) e

14、RikR0e4 c2R(m& eR) eR(2-9)E cB eRikR0e4 cR(m& eR)(2-10)把(2-9)式和電偶極輻射場(1-16)式比較，可見由電偶極輻射場作以下代換:E cBcB E即得磁偶極輻射場，這代換反映麥克斯韋方程組的電磁對稱性， 在自由空間中，麥氏方程組對變換E B,cBE是對稱的，若電磁場E(x,t),B(x,t)是麥克斯韋方程組的解，則代換后的電磁場也是麥克斯韋方程組的解。磁偶極輻射的能流密度為32一一 2 一2 sineR(2-11)式中m|為磁矩的振幅，為極角,總輻射功率為(2-12)12 c33天線輻射3.1天線上的電流分布當天線長度與

15、波長入同級時，不能用展開式(1-11),而必須直接用公式(1-4)計算。用此式進行計算時，首先要知道天線上的電流密度 J x o由于天線上的電流是受到場作用的，因此這個問題的徹底解決要求把天線外面的場和天線上的電流作為相互作用的兩個方面,用天線表面上的邊值關系聯(lián)系起來, 作為邊值問 題來求解。近年來所用的許多特殊形狀的天線都需要這樣來求解，這類問題的理 論分析往往是比較復雜的。但是，某些形狀的天線可以用較簡單的方法導出近似 電流分布，下面我們分析細長直線天線上電流分布的形式。取天線沿z軸，天線表面上的電流J沿z軸方向，因而A只有z分量，由洛 倫茲條件(3-1)Ez設天線為理想導體，在天線表面上

16、,電場切向分量Ez 0 ,因而在天線表面(3-2)上Az滿足一維波動方程2 Az-2ziJAz02 x2c t(3-3)矢勢A與天線電流的關系是推遲勢公式'ikr(3-4)A(x)Jx叵dV4 v r3.2半波天線輻射功率設有中心饋電的直線狀天線，天線上的電流近似為駐波形式，兩端為波節(jié)。設天線總長度為l,電流分布為若l /2,上式化為I0 sin k(-z),0 z -22I(z)l 、 l cIo sin k( z), z 022I (z) 10 coskz,|z|4在矢勢公式中，把J(x)dV改為Idl ,并把(3-5)式公式代入，得Az(x)/ikr4 eI o coskzdz4

17、 r計算遠場時，令zcos其中R為原點到場點的距離，取1/R最低次項時，分母中的r可代為A(x), ikR cos( cos ) oI°e222 kR sin2由此算出輻射區(qū)的電磁場B(x),ikR cos( cos )ihe2e2 Rsin輻射能流密度為E(x)cB eR i. ikRoCI 0ecos( cos ) esin二 1S Re(E* H)28oCl ocos2 ( cos )2 2. 2RsineR(3-5)(3-6)R計算可得(3-7)(3-8)(3-9)輻射角由因子cos2 (cos )sin2確定。它是偶極輻射角分布相似，但較集中于90o平面上?？傒椛涔β蔙2d0cI08 2cos ( cos )2sin20cI04cos2 ( cos )2dsin令u cos積分化為cosdu0cI0216第二項括