圓的基本性質(zhì)各節(jié)知識(shí)點(diǎn)及典型例題

1、圓的基本性質(zhì)第一節(jié) 圓 第二節(jié) 圓的軸對(duì)稱性 第三節(jié) 圓心角 第四節(jié) 圓周角 第五節(jié) 弧長(zhǎng)及扇形的面積 第六節(jié) 側(cè)面積及全面積六大知識(shí)點(diǎn)：1、圓的概念及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系7、圓周角定理8、圓周角定理的推論9、圓錐的側(cè)面積與全面積2、三角形的外接圓3、垂徑定理4、垂徑定理的逆定理及其應(yīng)用5、圓心角的概念及其性質(zhì)6、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系【課本相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1、圓的定義：在同一平面內(nèi)，線段OP繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O ，另一端點(diǎn)P所經(jīng)過的 叫做圓，定點(diǎn)O叫做 ，線段OP叫做圓的 ，以點(diǎn)O為圓心的圓記作 ，讀作圓O。2、弦和直徑：連接圓上任意 叫做弦，其中經(jīng)過圓心的弦叫做 ， 是圓中最長(zhǎng)的弦。3、

2、?。簣A上任意 叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成的兩條弧，每一條弧都叫做 。小于半圓的弧叫做 ，用弧兩端的字母上加上“”就可表示出來(lái)，大于半圓的弧叫做 ，用弧兩端的字母和中間的字母，再加上“”就可表示出來(lái)。4、等圓：半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓；也可以說(shuō)能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓5、點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系：若點(diǎn)P到圓心O的距離為d，O的半徑為R，則：點(diǎn)P在O外 ；點(diǎn)P在O上 ；點(diǎn)P在O內(nèi) 。6、線段垂直平分線上的點(diǎn) 距離相等；到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在 上7、過一點(diǎn)可作 個(gè)圓。過兩點(diǎn)可作 個(gè)圓，以這兩點(diǎn)之間的線段的 上任意一點(diǎn)為圓心即可。8、過 的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。9、經(jīng)過三角形三

3、個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的 ，外接圓的圓心叫做三角形的 ，這個(gè)三角形叫做圓的 。三角形的外心是三角形三條邊的 【典型例題】【題型一】證明多點(diǎn)共圓例1、已知矩形ABCD，如圖所示，試說(shuō)明：矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)圓上【題型二】相關(guān)概念說(shuō)法的正誤判斷例1、（甘肅蘭州中考數(shù)學(xué)）有下列四個(gè)命題： 直徑是弦； 經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓； 三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等； 半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧。其中正確的有（ ）A.4個(gè) B.3個(gè) C.3個(gè) D.2個(gè)例2、下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（ ）A.直徑是弦 B.半圓是弧 C.圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦是直徑 D.弧小于半圓例3、下列命題中，正確的是（ ）A

4、三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上 B過圓心的線段叫做圓的直徑C大于劣弧的弧叫優(yōu)弧 D圓內(nèi)任一點(diǎn)到圓上任一點(diǎn)的距離都小于半徑例4、下列四個(gè)命題： 經(jīng)過任意三點(diǎn)可以作一個(gè)圓； 三角形的外心在三角形的內(nèi)部； 等腰三角形的外心必在底邊的中線上； 菱形一定有外接圓，圓心是對(duì)角線的交點(diǎn)。其中真命題的個(gè)數(shù)（ ）A.4個(gè) B.3個(gè) C.3個(gè) D.2個(gè)【題型三】點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的判斷例1、O的半徑為5，圓心O在坐標(biāo)原點(diǎn)上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2），則點(diǎn)P與O的位置關(guān)系是（ ）A點(diǎn)P在O內(nèi) B點(diǎn)P在O上 C點(diǎn)P在O外例2、已知矩形ABCD的邊AB=3cm，AD=4cm，若以A點(diǎn)為圓心作A，使B、C、D三點(diǎn)中至少有一個(gè)點(diǎn)

5、在圓內(nèi)且至少有一個(gè)點(diǎn)在圓外，則A的半徑r的取值范圍是 【題型四】“不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”的應(yīng)用如“把破圓復(fù)原成完整的圓”；如“找一點(diǎn)，使它到三點(diǎn)的距離相等”：方法就是找垂直平分線的交點(diǎn)例1、平面上不共線的四點(diǎn)，可以確定圓的個(gè)數(shù)為 【題型五】圓中角的求解如圖，AB為O的直徑，CD為O的弦，AB、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，已知AB=2DE，E=18°，求AOC的度數(shù)溫馨提醒：（1）在同圓或等圓中，直徑為半徑的2倍；（2）圓中常用半徑相等來(lái)構(gòu)造等腰三角形，這些看似十分簡(jiǎn)單的性質(zhì)和方法，卻最容易被遺忘。鞏 固 練 習(xí)1、如圖，一根5m長(zhǎng)的繩子，一端拴在柱子上，另一端拴著一只羊（羊只能

6、在草地上活動(dòng)），請(qǐng)畫出羊的活動(dòng)區(qū)域。3m2、如果O所在平面內(nèi)一點(diǎn)P到O上的點(diǎn)的最大距離為7，最小距離為1，那么此圓的半徑為 3、如圖，點(diǎn)A、D、G、M在半圓上，四邊形ABOC，DEOF、HMNO均為矩形，設(shè)BC=a，EF=b，NH=c，則a，b，c的大小關(guān)系是 第5題第3題4、已知O的半徑為1，點(diǎn)P與圓心O的距離為d，且方程x2-2x+d=0有實(shí)數(shù)根，則點(diǎn)P在O的 5、如圖，MN所在的直線垂直平分線段AB，利用這樣的工具，最少使用 次就可以找到圓形工件的圓心6、若線段AB=6，則經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓的半徑r的取值范圍是 7、在RtABC中，C=90°，兩直角邊a、b是方程x2-7x+1

7、2=0的兩根，則ABC的外接圓面積為 8、如圖，平面直角坐標(biāo)系中一第圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A、B、C，其中B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4），那么該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為 9、已知圓上有3個(gè)點(diǎn)，以其中兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的弧共有 條【課本相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1、軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿著某一條直線直線 ，直線兩旁的部分能夠 ，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是對(duì)稱軸。2、圓是軸對(duì)稱圖形， 都是它的對(duì)稱軸3、垂徑定理：垂直于弦的直徑 ，并且平分 4、分一條弧成 的點(diǎn)，叫做這條弧的中點(diǎn)。5、 的距離叫做弦心距。6、垂徑定理的逆定理1：平分弦（ ）的直徑垂直于弦，并且平分 垂徑定理的逆定理2：平分弧的直徑 【典型例題】【題型一

8、】應(yīng)用垂徑定理計(jì)算與證明例1、如圖所示，直徑CE垂直于弦AB，CD=1，且AB+CD=CE，求圓的半徑。例2、如圖所示，已知線段AB交O于C、D兩點(diǎn)，OA、OB分別交O于E、F兩點(diǎn)，且OA=OB，求證：AC=BD60cm10cm溫馨提醒：在垂徑定理中，“垂直于弦的直徑”可以是直徑，可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段?！绢}型二】垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用例1、某居民區(qū)內(nèi)一處圓形下水道破裂，修理人員準(zhǔn)備更換一段新管道，如圖所示，污水的水面寬為60cm，水面至管道頂部距離為10cm，問：修理人員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑多大的管道？溫馨提醒：要學(xué)會(huì)自己多畫圖，這樣有助于書寫解題過程。例2、工程上常用鋼珠來(lái)測(cè)量零件上小孔

9、的直徑，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm，測(cè)得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個(gè)小孔的直徑AB是 【題型三】垂徑定理與逆定理的實(shí)際應(yīng)用例1、如圖，已知M是的中點(diǎn)，過點(diǎn)M的弦MN交AB于點(diǎn)C，設(shè)O的半徑為4cm，MN=4cm。（1）求圓心O到弦MN的距離（2）求ACM的度數(shù)【題型四】應(yīng)用垂徑定理把弧2等份，4等份等鞏 固 練 習(xí)1、下列說(shuō)法正確的是（ ）A.每一條直徑都是圓的對(duì)稱軸 B.圓的對(duì)稱軸是唯一的 C.圓的對(duì)稱軸一定經(jīng)過圓心 D.圓的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心重合2、下列命題： 垂直于弦的直徑平分這條弦； 平分弦的直徑垂直于弦；垂直且平分弦的直線必定經(jīng)過圓心。其中正確的有（ ）A.0個(gè) B

10、.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)3、如圖，O的直徑為10cm，弦AB為8cm，P是弦AB上一點(diǎn)，若OP的長(zhǎng)是整數(shù)，則滿足條件的點(diǎn)P有（ ）個(gè)A.2 B.3 C.4 D.54、半徑為5cm的圓內(nèi)有兩條互相平行的弦，長(zhǎng)度分別為6cm和8cm，則這兩弦之間的距離為 cm5、圓的半徑等于2cm，圓內(nèi)一條弦長(zhǎng)2cm，則弦的中點(diǎn)與弦所對(duì)弧的中點(diǎn)的距離等于 6、如圖，矩形ABCD與O相交于M、N、F、E，如果AM=2，DE=1，EF=8，那么MN的長(zhǎng)為 ACOMNBOPMAN第8題第6題第7題第9題圖 7、如圖，AB是O的直徑，CD是弦。若AB=10cm，CD=6cm，那么A、B兩點(diǎn)到直線CD的距離之和為 8、如

11、圖，半徑為5的P與y軸交于點(diǎn)M（0，-4）、N（0，-10），函數(shù)y=（x<0）的圖象過點(diǎn)P，則k= 9、如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長(zhǎng)為 10、如圖，已知AB、AC為弦，OMAB于點(diǎn)M， ONAC于點(diǎn)N ，BC=4，則MN= 第10題11、已知圓內(nèi)接ABC中，AB=AC，圓心O到BC的距離為3cm，圓的半徑為7cm，求腰AB的長(zhǎng)12、如圖，已知O的半徑為10cm，弦ABCD，垂足為E，AE=4cm，BE=8cm，求弦CD的長(zhǎng)13、如圖，某菜農(nóng)在生態(tài)園基地搭建了一個(gè)橫截面為圓弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度（弦AB的長(zhǎng)）為米，大棚頂點(diǎn)C離地面的高度為2

12、.3米.求該圓弧形所在圓的半徑；若該菜農(nóng)身高1.70米，則他在不彎腰的情況下，橫向活動(dòng)的范圍有多大？14、O的半徑為2，弦BD=2，A為的中點(diǎn)，E為弦AC的中點(diǎn)，且在BD上。求四邊形ABCD的面積?！菊n本相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1、中心對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn) ，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形 ，那么，這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)是它的 2、過中心對(duì)稱圖形的 的任意一條直線可以平分其面積。3、圓的旋轉(zhuǎn)不變性：將圓周繞圓心O旋轉(zhuǎn) ，都能與自身重合，這個(gè)性質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)不變性。4、圓心角： 叫做圓心角。5、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的 ，所對(duì)的 （這就是圓心角定理）6、n°的圓心角

13、所對(duì)的弧就是 ，圓心角和 的度數(shù)相等。注意：在題目中，若讓你求，那么所求的是弧長(zhǎng)7、在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么 都相等。（姑且稱之為圓心角定理的逆定理）注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”時(shí)，這里的“弧相等”是指對(duì)應(yīng)的劣弧與劣弧相等，優(yōu)弧與優(yōu)弧相等。【典型例題】【題型一】與圓心角定理的逆定理的相關(guān)說(shuō)法的正確與否例1、下列說(shuō)法： 等弦所對(duì)的弧相等； 等弧所對(duì)的弦相等； 圓心角相等，所對(duì)的弦相等； 弦相等，所對(duì)的圓心角相等； 在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等。正確的個(gè)數(shù)為（ ）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【

14、題型二】運(yùn)用圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系證明線段、角度、弧相等例1、如圖，O的弦AB、CD相交于點(diǎn)P，PO平分APD。求證：AB=CD例2、如圖A與B是兩個(gè)等圓,直線CFAB,分別交A于點(diǎn)C、D，交B于點(diǎn)E、F。求證：CAD=EBF例3、如圖所示，AB、CD是O的直徑，CEAB交O于點(diǎn)E，那么與相等嗎？說(shuō)明理由?！绢}型三】計(jì)算弧的度數(shù)例1、如圖所示，C是O的直徑AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作弦DE，使CD=CO，若的度數(shù)為40°，求的度數(shù)【題型四】運(yùn)用用圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系解決實(shí)際問題例1、已知張莊、李莊分別位于直徑為300米的半圓弧上的三等分點(diǎn)M、N的位置，現(xiàn)在要在河邊（直徑

15、所在的位置）修建水泵站，分別向兩個(gè)村莊供水，求最小需要多少米的水管？（提示：將半圓補(bǔ)全，將軍飲馬問題）鞏 固 練 習(xí)1、如果兩個(gè)圓心角相等，那么（ ）A.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦相等 B.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧相等C.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦的弦心距相等 D.以上說(shuō)法都不對(duì)2、下列命題中，正確的是（ ）A.相等的圓心角所對(duì)弦的弦心距相等 B.相等的圓心角所對(duì)的弦相等C.同圓或等圓中，兩弦相等，所對(duì)的弧相等 D.同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弦心距也相等3、在半徑為1的圓中，長(zhǎng)為的弦所對(duì)的圓心角的度數(shù)是（ ）A.30° B.45° C.60° D.90°4、在O中，A

16、D是直徑，AB、AC是它的兩條弦，且AD平分BAC，那么： AB=AC；=； =； ADBC。以上結(jié)論中正確的有（ ）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)5、如圖所示，在ABC中，A=70°，O截ABC的三邊所得的弦長(zhǎng)相等，則BOC等于（ ）第6題第5題A.140° B.135° C.130° D.125°第7題第8題6、如圖，在O中，=2，則弦AB和弦CD的關(guān)系是（ ）A. AB>2CD B. AB<2CD C. AB=2CD D. 無(wú)法確定7、如圖，在條件：COA=AOD=60°；AC=AD=OA；點(diǎn)E分別是AO、C

17、D的中點(diǎn)；OACD且ACO=60°中，能推出四邊形OCAD是菱形的條件有 4個(gè)。8、如圖所示，在O中，弦AB>CD，OMAB，ONCD，M、N為垂足，那么OM、ON的關(guān)系是（ ）A. OM>ON B. OM=ON C. OM<ON D. 無(wú)法確定9、如圖所示，已知AB為O的弦，從圓上任一點(diǎn)引弦CDAB，作OCD的平分線交O于點(diǎn)P，連續(xù)PA、PB。求證：PA=PB10、如圖所示，M、N為AB、CD的中點(diǎn)，且AB=CD。求證：AMNCNM11、如圖，MONO，過MN的中點(diǎn)A作ABON，交于點(diǎn)B，試求的度數(shù)【課本相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1、頂點(diǎn)在 上，且兩邊 的角叫圓周角。2、圓周角

18、定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的 3、圓周角定理推論1：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是 ；90°的圓周角所對(duì)的弦是 4、拓展一下：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角 5、圓周角定理推論2：在同圓或等圓中， 所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì) 的也相等【典型例題】【題型一】圓周角定理的應(yīng)用例1、ABC為O的內(nèi)接三角形，BOC=100°，求BAC的度數(shù)?！绢}型二】圓周角定理推論的應(yīng)用例1、如圖所示，點(diǎn)A、B、C、D在圓上，AB=8，BC=6，AC=10，CD=4，求AD的長(zhǎng)。例2、如圖所示，A、B、C三點(diǎn)在O上，CE是O的直徑，CDAB于點(diǎn)D。（1）求證：ACD=BCE；（2）延長(zhǎng)CD交O于

19、點(diǎn)F，連接AE、BF，求證：AE=BF【題型三】應(yīng)用圓周角知識(shí)解決實(shí)際生活問題例1、將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上，點(diǎn)A、B的讀數(shù)分別為86°，30°，則ACB的大小為 例2、現(xiàn)需測(cè)量一井蓋（圓形）的直徑，但只有一把角尺（尺的兩邊互相垂直，一邊有刻度，且兩邊長(zhǎng)度都長(zhǎng)于井蓋半徑）請(qǐng)配合圖形、文字說(shuō)明測(cè)量方案，寫出測(cè)量的步驟（要求寫出兩種測(cè)量方案）圖形1圖形2答案：解法一：如圖（1），把角尺頂點(diǎn)A放在井蓋邊緣，記角尺一邊與井蓋邊緣交于點(diǎn)B，另一邊交于點(diǎn)C（若角尺另一邊無(wú)法達(dá)到井蓋的邊上，把角尺當(dāng)直尺用，延長(zhǎng)另一邊與井蓋邊緣交于點(diǎn)C），度量BC長(zhǎng)即為直

20、徑；解法二：如圖（2），把角尺當(dāng)直尺用，量出AB的長(zhǎng)度，取AB中點(diǎn)C，然后把角尺頂點(diǎn)與C點(diǎn)重合，有一邊與CB重合，讓另一邊與井蓋邊緣交于D點(diǎn)，延長(zhǎng)DC交井蓋邊于E，度量DE長(zhǎng)度即為直徑；鞏 固 練 習(xí)1、圖中圓周角有（ ）第1題第3題第4題第5題第2題A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2、如圖，正方形ABCD內(nèi)接于O，點(diǎn)P在AB上，則DPC = .3、如圖，已知EF是O的直徑，把A為60°的直角三角板ABC的一條直角邊BC放在直線EF上，斜邊AB與O交于點(diǎn)P，點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，將三角板ABC沿OE方向平移，使得點(diǎn)B與點(diǎn)E重合為止設(shè)POF=x°，則x的取值范圍是（）A30&

21、#176;x60° B30°x90° C30°x120° D60°x120°4、如圖，PB交O于點(diǎn)A、B，PD交O于點(diǎn)C、D，已知的度數(shù)為42°，度數(shù)為38°，則P+Q= 5、如圖，AB是O的直徑，C, D, E都是O上的點(diǎn)，則12 = .6、如圖，AB是O的直徑，AD=DE，AE與BD交于點(diǎn)C，則圖中與BCE相等的角有（ ）第6題A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)第8題第7題7、已知，如圖，AB為O的直徑，AB=AC，BC交O于點(diǎn)D，AC交O于點(diǎn)E，BAC=45°。給出下列四個(gè)結(jié)論： EB

22、C=22.5°； BD=DC； 是的2倍； AE=BC。其中正確結(jié)論的序號(hào)是 8、如圖，O的半徑為1cm，弦AB、CD的長(zhǎng)度分別為cm，1cm，則弦AC、BD所夾的銳角為 9、如圖，AB, AC 是O的兩條弦，且AB=AC延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D使AD=AC， 連結(jié)DB并延長(zhǎng),交O于點(diǎn)E求證：CE是O的直徑10、如圖，在O中AB是直徑， CD是弦，ABCD.(1)P是上一點(diǎn)（不與C, D重合）求證：CPD=COB； (2)點(diǎn)P在劣弧CD上（不與C , D重合）時(shí)，CP/D與COD有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論11、（1）如圖（1）已知，已知ABC是等邊三角形，以BC為直徑的O交AB、AC于D、

23、E求證：ODE是等邊三角形；（2）如圖（2）若A=60°，ABAC，則（1）的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明，如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由12、如圖所示，直徑AB、CD互相垂直，P是OC的中點(diǎn)，過點(diǎn)P的弦MNAB，試判斷MBC與MBA的大小關(guān)系。13、如圖，AB為O的直徑，弦DA、BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，且BC=PC，求證：（1）AB=AP （2）【課本相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1、弧長(zhǎng)公式：在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為= 2、在弧長(zhǎng)公式中，有3個(gè)變量： ，已知其中的任意兩個(gè)，都可以求出第3個(gè)變量。我們只需要記住一個(gè)公式即可。（有些老師要求它的另外兩個(gè)變形公式都要記

24、住，其實(shí)完全沒有必要）3、扇形面積公式1：半徑為R，圓心角為n°的扇形面積為 。這里面涉及3個(gè)變量： ，已知其中任意兩個(gè)，都可以求出第3個(gè)變量。我們中需要記住一個(gè)公式即可。4、扇形面積公式2：半徑為R，弧長(zhǎng)為的扇形面積為 5、求陰影部分面積一般遵循“四步曲”，即：一套，二分，三補(bǔ)，四換一套：直接套用基本幾何圖形面積公式計(jì)算；二分：將其分割成規(guī)則圖形面積的和或差；三補(bǔ)：用補(bǔ)形法拼湊成規(guī)則圖形計(jì)算；四換：將圖形等積變換后計(jì)算。【典型例題】【題型一】靜止圖形的弧長(zhǎng)計(jì)算與運(yùn)動(dòng)圖形的弧長(zhǎng)計(jì)算【例1】、如圖所示，在ABC中，ACB=90°，B=15°，以C為圓心，CA的長(zhǎng)為半

25、徑的圓交AB于點(diǎn)D。若AC=6，求的長(zhǎng)【例2】、如圖，菱形ABCD中，AB=2，C=60°，菱形ABCD在直線l上向右作無(wú)滑動(dòng)的翻滾，每繞著一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°叫一次操作，則經(jīng)過36次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過的路徑總長(zhǎng)為 【題型二】求陰影部分的面積問題【例1】、如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，以B為圓心，以BA為半徑作圓弧，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接DE。求圖中陰影部分的面積。AHBOC【例2】、如圖所示，分別以n邊形的頂點(diǎn)為圓心，以單位1為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積之和為 例3例2【例3】、如上圖，RtABC中，ACB=90°，CAB=30

26、6;，BC=2，O、H分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，將ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到A1B1C1的位置，則整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中線段OH所掃過部分的面積（即陰影部分面積）為（ ）ABCD【例4】、如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面積。0BA【題型三】用弧長(zhǎng)及扇形面積公式解決實(shí)際問題【例1】、當(dāng)汽車在雨天行駛時(shí)，為了看清楚道路，司機(jī)要啟動(dòng)前方擋風(fēng)玻璃上的雨刷器。如圖是某汽車的一個(gè)雨刷器的示意圖，雨刷器桿AB與雨刷CD在B處固定連接（不能轉(zhuǎn)動(dòng)），當(dāng)桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)90°時(shí)，雨刷CD掃過的面積是多少呢？小明仔細(xì)觀察了雨刷器的轉(zhuǎn)動(dòng)

27、情況，量得CD=80cm、DBA=20°，端點(diǎn)C、D與點(diǎn)A的距離分別為115cm、35cm他經(jīng)過認(rèn)真思考只選用了其中的部分?jǐn)?shù)據(jù)就求得了結(jié)果。也請(qǐng)你算一算雨刷CD掃過的面積為 cm2（取3.14） 【例2】、如圖是一個(gè)滑輪起重裝置如圖所示，滑輪的半徑是10cm，當(dāng)重物上升10cm時(shí)，滑輪的一條半徑OA繞軸心O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的角度約為 57度（假設(shè)繩索與滑輪之間沒有滑動(dòng)，取3.14，結(jié)果精確到1°）鞏 固 練 習(xí)1、如果一條弧長(zhǎng)等于r，它的半徑是r，那么這條弧所對(duì)的圓心角度數(shù)為 2、如果一條弧長(zhǎng)為，它的半徑為R，這條弧所對(duì)的圓心角增加1°，則它的弧長(zhǎng)增加

28、3、扇形的弧長(zhǎng)為20cm，半徑為5cm，則其面積為 cm24、一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是20cm，面積是240cm2，那么扇形的圓心角是 5、圖中4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都相等，其中陰影部分面積相等的圖形個(gè)數(shù)是（ ）A.0 B.2 C.3 D.46、如圖所示，扇形AOB的圓心角為90°，分別以O(shè)A、OB為直徑在扇形內(nèi)作半圓，P和Q分別表示兩個(gè)陰影部分的面積，那么P和Q的大小關(guān)系是 第8題第7題第6題7、如圖，AB=12，C、D是以AB為直徑的半圓上的三等分點(diǎn)，則圖中陰影部分面積為 8、如圖，在RtABC中，C=90°，AC=4，BC=2，分別以AC、BC為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為

29、（結(jié)果保留）（到了初中階段，其實(shí)即使不說(shuō)，結(jié)果也要保留，這是一個(gè)基本常識(shí)）9、如圖，在RtABC中，C=90°，A=30°，AB=2將ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至ABC的位置，B，A，C三點(diǎn)共線，則線段BC掃過的區(qū)域面積為 第10題第9題10、（2013年溫州中考題）在ABC中，C為銳角，分別以AB，AC為直徑作半圓，過點(diǎn)B，A，C作，如圖所示，若AB=4，AC=2，則的值是（ ）A. B. C. D. 11、如圖，O的半徑為R，AB與CD是O的兩條互相垂直的直徑，以B為圓心，BC為半徑為,交AB于點(diǎn)E，求圓中陰影部分的面積。12、如圖，已知矩形ABCD中，BC=2AB，

30、以B為圓心，BC為半徑的圓交AD于E，交BA的延長(zhǎng)線于F ，設(shè)AB=1，求陰影部分的面積.13、如圖，在ABC中，已知AB=4cm，B=30°，C=45°，若以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F。（1）求的長(zhǎng) （2）求CF的長(zhǎng)【課本相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1、圓錐可以看做是直角三角形繞 旋轉(zhuǎn)一周所成的圖形。 旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面。另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做 。圓錐的 和 的和叫做圓錐的全面積（或表面積）。2、沿圓錐的母線把圓錐剪開并展平，可得圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè) ，圓錐的側(cè)面積等于這個(gè)扇形的面積，其半徑等于圓錐的 ，弧長(zhǎng)等于圓錐的 3、圓錐的側(cè)面積： ；

31、圓錐的全面積： 4、圓錐的母線長(zhǎng)，高h(yuǎn)，底面圓半徑r滿足關(guān)系式 5、已知圓錐的底面圓半徑r和母線長(zhǎng)，那么圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為 6、圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角x的取值范圍為 【典型例題】【題型一】與圓錐有關(guān)的計(jì)算（主要是算面積）【例1】如圖所示，在ABC中，BAC=30°，AC=2a，BC=b，以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則這個(gè)幾何體的全面積是（ ）A. 2a B. ab C. 3a2+ab D. a（2a+b）【例2】如圖，有一圓心角為120°，半徑長(zhǎng)為6cm的扇形，若將OA、OB重合后圍成一圓錐側(cè)面，那么圓錐的高是（ ）A. 4cm B. C. D. 【

32、例3】如圖，在紙上剪下一個(gè)圓形和一個(gè)扇形紙片，使之恰好能夠圍成一個(gè)圓錐模型，若圓的半徑為r，扇形的半徑為R，扇形的圓心角等于120°（如圖），則r與R之間的關(guān)系是 例3例2例1【題型二】與圓錐有關(guān)的方案設(shè)計(jì)題【例1】在一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形材料上截取一扇形，圍成母線長(zhǎng)為a的圓錐（1）試設(shè)計(jì)兩種不同的截法（要求每一種截法盡量減少浪費(fèi)的材料），并把截法在圖上表示出來(lái)（2）分別求出（1）中兩種不同截法所得的圓錐底面的半徑和高（3）（1）中哪一種截法所得的圓錐側(cè)面積較大？【題型三】與圓錐有關(guān)的最短距離問題【例1】如圖,圓錐底面半徑為r,母線長(zhǎng)為3r，底面圓周上有一螞蟻位于A點(diǎn)，它從A點(diǎn)出發(fā)沿圓

33、錐面爬行一周后又回到原出發(fā)點(diǎn)，請(qǐng)你給它指出一條爬行最短的路徑，并求出最短路徑。鞏 固 練 習(xí)1、一個(gè)圓錐形零件的底面半徑為4，母線長(zhǎng)為12，那么這個(gè)零件側(cè)面展開圖的圓心角為 2、一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則該圓錐的側(cè)面展開圖的扇形的圓心角等于 3、如圖，扇形OAB是圓錐的側(cè)面展開圖，若小正方形方格的邊長(zhǎng)為1cm，則這個(gè)圓錐的底面半徑為 第3題第4題第5題4、如圖所示是小芳學(xué)習(xí)時(shí)使用的圓錐形臺(tái)燈燈罩的示意圖，那么圍成這個(gè)燈罩的鐵皮的面積為 5、如圖是一個(gè)用來(lái)盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開口圓的直徑EF長(zhǎng)為10cm，母線OE（OF）長(zhǎng)為10cm在母線OF上的點(diǎn)A處有一塊爆米花殘?jiān)?，且FA=2c

34、m，一只螞蟻從杯口的點(diǎn)E處沿圓錐表面爬行到A點(diǎn)，則此螞蟻爬行的最短距離  cm6、如圖所示，有一直徑為1m的圓形鐵皮，要從中剪出一個(gè)圓心角為90°的最大扇形ABC（1）求被剪后陰影部分的面積（2）用所得的扇形鐵皮圍成一個(gè)小圓錐，則該圓錐的底面半徑是多少？7、卷一個(gè)底面半徑為2，高為2的圓錐側(cè)面，有以下4個(gè)扇形紙片可供選擇。如果要使材料浪費(fèi)最少，你認(rèn)為選哪一個(gè)最合理？請(qǐng)說(shuō)明理由。8、在一次科學(xué)探究實(shí)驗(yàn)中，小明將半徑為5cm的圓形濾紙片按圖1所示的步驟進(jìn)行折疊，并圍成圓錐形。（1）取一漏斗，上部的圓錐形內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）的母線OB長(zhǎng)為6cm，開口圓的直徑為6cm。當(dāng)濾紙片重

35、疊部分為三層，且每層為圓時(shí)，濾紙圍成的圓錐形放入該漏斗中，能否緊貼此漏斗的內(nèi)壁（忽略漏斗管口處），請(qǐng)你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明；（2）假設(shè)有一特殊規(guī)格的漏斗，其母線長(zhǎng)為6cm，開口圓的直徑為7.2cm，現(xiàn)將同樣大小的濾紙圍成重疊部分為三層的圓錐形，放入此漏斗中，且能緊貼漏斗內(nèi)壁問重疊部分每層的面積為多少？第三章 圓的基本性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)及典型例題知識(shí)框圖三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等圓心角定理及逆定理都是根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)不變性推出來(lái)的求不規(guī)則陰影部分的面積圓的相關(guān)證明求圓心角、圓周角、弧長(zhǎng)、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及表面積求半徑、弦長(zhǎng)、弦心距圓的中心對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)不變性圓心角定理及逆定理圓的軸對(duì)稱性

36、垂徑定理及其2個(gè)逆定理點(diǎn)和圓的位置關(guān)系不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓弧可分為劣弧、半圓、優(yōu)弧在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫等弧圓概 念圓、圓心、半徑、直徑弧、弦、弦心距、等弧圓心角、圓周角三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形圓的基本性質(zhì)圓周角定理及2個(gè)推論圓的相關(guān)計(jì)算證明多邊形的形狀；證明兩線垂直證明弧度之間的數(shù)量關(guān)系；證明線段長(zhǎng)度之間的數(shù)量關(guān)系；證明角度之間的數(shù)量關(guān)系1、過一點(diǎn)可作 個(gè)圓。過兩點(diǎn)可作 個(gè)圓，以這兩點(diǎn)之間的線段的 上任意一點(diǎn)為圓心即可。過三點(diǎn)可作 個(gè)圓。過四點(diǎn)可作 個(gè)圓。2、垂徑定理：垂直于弦的直徑 ，并且平分 垂徑定理的逆定理1：平分弦（ ）的直徑垂直于弦，并且平

37、分 垂徑定理的逆定理2：平分弧的直徑 3、圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的 ，所對(duì)的 圓心角定理的逆定理：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么 都相等。注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”時(shí)，這里的“弧相等”是指對(duì)應(yīng)的劣弧與劣弧相等，優(yōu)弧與優(yōu)弧相等。在題目中，若讓你求，那么所求的是弧長(zhǎng)4、圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的 圓周角定理推論1：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是 ；90°的圓周角所對(duì)的弦是 圓周角定理推論2：在同圓或等圓中， 所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì) 的也相等5、拓展一下：圓內(nèi)

38、接四邊形的對(duì)角之和為 6、弧長(zhǎng)公式：在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為= 7、扇形面積公式1：半徑為R，圓心角為n°的扇形面積為 。這里面涉及3個(gè)變量： ，已知其中任意兩個(gè)，都可以求出第3個(gè)變量。我們中需要記住一個(gè)公式即可。扇形面積公式2：半徑為R，弧長(zhǎng)為的扇形面積為 8、沿圓錐的母線把圓錐剪開并展平，可得圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè) ，圓錐的側(cè)面積等于這個(gè)扇形的面積，其半徑等于圓錐的 ，弧長(zhǎng)等于圓錐的 9、圓錐的側(cè)面積： ；圓錐的全面積： 10、圓錐的母線長(zhǎng)，高h(yuǎn)，底面圓半徑r滿足關(guān)系式 11、已知圓錐的底面圓半徑r和母線長(zhǎng)，那么圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為 1

39、2、圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角x的取值范圍為 考點(diǎn)一、與圓相關(guān)的命題的說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)，絕大多數(shù)是選擇題，也有少部分是填空題（填序號(hào)）考點(diǎn)二、求旋轉(zhuǎn)圖形中某一點(diǎn)移動(dòng)的距離，這就要利用弧長(zhǎng)公式考點(diǎn)三、求半徑、弦長(zhǎng)、弦心距，這就要利用勾股定理和垂徑定理及逆定理考點(diǎn)四、求圓心角、圓周角考點(diǎn)五、求陰影部分的面積考點(diǎn)六、證明線段、角度、弧度之間的數(shù)量關(guān)系；證明多邊形的具體形狀考點(diǎn)七、利用不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓的作圖題考點(diǎn)八、方案設(shè)計(jì)題，求最大扇形面積考點(diǎn)九、將圓錐展開，求最近距離練習(xí)一、選擇題1、下列命題中： 任意三點(diǎn)確定一個(gè)圓；圓的兩條平行弦所夾的弧相等； 任意一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)外接圓； 平分

40、弦的直徑垂直于弦； 直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，半徑不是弦。正確的個(gè)數(shù)是（ ）A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)2、如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿 的路徑運(yùn)動(dòng)一周設(shè)為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則下列圖形能大致地刻畫與之間關(guān)系的是（ ）PAOBstOsOtOstOstABCD3、如圖所示，在ABC中，BAC=30°，AC=2a，BC=b，以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則這個(gè)幾何體的全面積是（ ）A. 2a B. ab C. 3a2+ab D. a（2a+b）4、如圖，有一圓心角為120°，半徑長(zhǎng)為6cm的扇形，若將OA、OB重合后圍成一圓錐側(cè)面，那么圓錐的高是（ ）

41、第4題第3題A. 4cm B. C. D. 5、如圖所示，長(zhǎng)方形ABCD中，以A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于E點(diǎn)。取BC的中點(diǎn)為F，過F作一直線與AB平行，且交于G點(diǎn)。求ÐAGF=（ ）第5題第7題第6題第8題 (A) 110° (B) 120° (C) 135° (D) 150° 。6、如圖，AB是O的直徑，AD=DE，AE與BD交于點(diǎn)C，則圖中與BCE相等的角有（ ）A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)7、如圖，弧BD是以等邊三角形ABC一邊AB為半徑的四分之一圓周， P為弧BD上任意一點(diǎn)，若AC=5，則四邊形ACBP周長(zhǎng)的最大值是

42、（ ） A 15 B 20 C15+ D15+8、如圖，已知O的半徑為5，點(diǎn)到弦的距離為3，則O上到弦所在直線的距離為2的點(diǎn)有（ ）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)9、如圖，C為O直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線交O于D、E兩點(diǎn)，且ACD=45°，DFAB于點(diǎn)F,EGAB于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)C在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AF=，DE=，下列中圖象中，能表示與的函數(shù)關(guān)系式的圖象大致是 A B C D10、如圖5，AB是O的直徑，且AB=10，弦MN的長(zhǎng)為8，若弦MN的兩端在圓上滑動(dòng)時(shí)，始終與AB相交，記點(diǎn)A、B到MN的距離分別為h1，h2，則|h1h2| 等于（ ）A、5 B、6 C、7 D、8AHBOC11、如

43、上圖，RtABC中，ACB=90°，CAB=30°，BC=2，O、H分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，將ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到A1B1C1的位置，則整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中線段OH所掃過部分的面積（即陰影部分面積）為（ ）ABCD12、（2013年溫州中考題）在ABC中，C為銳角，分別以AB，AC為直徑作半圓，過點(diǎn)B，A，C作，如圖所示，若AB=4，AC=2，則的值是（ ）A. B. C. D. 二、填空題1、如圖，O是等腰三角形的外接圓，為O的直徑，連結(jié)，則 ， 第1題第2題第3題第4題2、如圖，為O的直徑，點(diǎn)在O上，則 3、如圖，AB、AC分別是O的直徑和弦，ODAC

44、于點(diǎn)D，連結(jié)BD、BC。 AB=5，AC=4，則BD= 4、如圖，AB為O的直徑，弦CDAB，E為上一點(diǎn)，若CEA=，則ABD=°. 5、在半徑為5cm的圓中，兩條平行弦的長(zhǎng)度分別為6cm和8cm，則這兩條弦之間的距離為 6、在半徑為1的O中，弦AB、AC分別是和，則BAC的度數(shù)為_7、如圖，扇形OAB是圓錐的側(cè)面展開圖，若小正方形方格的邊長(zhǎng)為1cm，則這個(gè)圓錐的底面半徑為 第7題第8題第9題8、如圖所示是小芳學(xué)習(xí)時(shí)使用的圓錐形臺(tái)燈燈罩的示意圖，那么圍成這個(gè)燈罩的鐵皮的面積為 ABCDEO12第12題圖9、如圖是一個(gè)用來(lái)盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開口圓的直徑EF長(zhǎng)為10cm，母線OE

45、（OF）長(zhǎng)為10cm在母線OF上的點(diǎn)A處有一塊爆米花殘?jiān)?，且FA=2cm，一只螞蟻從杯口的點(diǎn)E處沿圓錐表面爬行到A點(diǎn)，則此螞蟻爬行的最短距離  cm10、如圖，是的直徑，弦若，則 第11題OBACD（第10題）11、如圖, AB是O的直徑，點(diǎn)C在O上，BAC=30°，點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng).設(shè)ACP=x，則x的取值范圍是 12、如圖，是的直徑，是上的點(diǎn)，則 13、以半圓O的一條弦BC（非直徑）為對(duì)稱軸將弧BC折疊后與直徑AB交于點(diǎn)D。若AD=4，DB=6，那么AC的長(zhǎng)為 14、如圖，菱形ABCD中，AB=2，C=60°，菱形ABCD在直線l上向右作無(wú)滑動(dòng)的翻滾，每繞

46、著一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°叫一次操作，則經(jīng)過36次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過的路徑總長(zhǎng)為 第13題第14題第15題15、當(dāng)汽車在雨天行駛時(shí)，為了看清楚道路，司機(jī)要啟動(dòng)前方擋風(fēng)玻璃上的雨刷器。如圖是某汽車的一個(gè)雨刷器的示意圖，雨刷器桿AB與雨刷CD在B處固定連接（不能轉(zhuǎn)動(dòng)），當(dāng)桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)90°時(shí)，雨刷CD掃過的面積是多少呢？小明仔細(xì)觀察了雨刷器的轉(zhuǎn)動(dòng)情況，量得CD=80cm、DBA=20°，端點(diǎn)C、D與點(diǎn)A的距離分別為115cm、35cm他經(jīng)過認(rèn)真思考只選用了其中的部分?jǐn)?shù)據(jù)就求得了結(jié)果。也請(qǐng)你算一算雨刷CD掃過的面積為 cm2（取3.14）三、解答題1、如圖所示，AB是O的一條弦，ODAB，垂足為C，交O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在O上。（1）若AOD=52°