齊次化解定點(diǎn)定值問(wèn)題

1、齊次化聯(lián)立解決定點(diǎn)定值問(wèn)題廣東省英德中學(xué)（513000）陳國(guó)宗一、概述 圓錐曲線是歷年高考命題的重點(diǎn)與難點(diǎn)，而定點(diǎn)定值問(wèn)題又始終在圓錐曲線的問(wèn)題中占有一席之地，該問(wèn)題對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題能力，知識(shí)綜合運(yùn)用能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與技巧要求較高.學(xué)生普遍存在計(jì)算不完或者計(jì)算不對(duì)的現(xiàn)象.為此，本文將介紹齊次化聯(lián)立的方法解決一類定點(diǎn)定值問(wèn)題，以提高運(yùn)算的效率與準(zhǔn)確率.二、例題分析例1.已知為拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，設(shè)分別為直線的斜率且.證明：直線的斜率為定值.解：設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)，設(shè)直線的方程為.由 聯(lián)立得： 即變形得：又，即即直線的斜率.點(diǎn)評(píng)：上述解法的巧妙之處在于將條件中與的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于（視為整體）的

2、一元二次方程的兩根關(guān)系.將直線的方程設(shè)為是為了聯(lián)立拋物線方程后方便將方程中的各項(xiàng)補(bǔ)齊為二次式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程.例2.如圖1所示，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)及點(diǎn)都在橢圓上，若直線與直線的傾斜角互補(bǔ).（1） 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2） 證明：直線的斜率為定值.解：（1）依題意，化簡(jiǎn)得解得或（舍去）故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）分別平移軸，建立以為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，如圖2所示在直角坐標(biāo)系下：已知，設(shè)設(shè)直線方程為易知橢圓的方程為變形得：由聯(lián)立得：化簡(jiǎn)變形得：直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，故即 直線的斜率為.易知直線在平移前后斜率不變，綜上所述：直線的斜率為定值.點(diǎn)評(píng)：1.上述解法的核心在于對(duì)坐標(biāo)軸進(jìn)行平

3、移，聯(lián)立直線與橢圓方程齊次化，最后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程的兩根關(guān)系問(wèn)題.故我們稱上述方法為平移齊次化.2.一般地，設(shè)為圓錐曲線上一點(diǎn)，由點(diǎn)引傾斜角互補(bǔ)的兩弦，利用平移齊次化方法證明直線斜率為定值的基本步驟為：平移坐標(biāo)軸，建立以為原點(diǎn)的新平面直角坐標(biāo)系.在直角坐標(biāo)系下，求得圓錐曲線的方程為，并將直線方程設(shè)為.聯(lián)立直線與橢圓方程齊次化，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程兩根關(guān)系問(wèn)題.3.解題過(guò)程中應(yīng)注意到圓錐曲線：的常數(shù)項(xiàng)為0，以及直線平移前后斜率不變的一般規(guī)律.事實(shí)上，利用平移齊次化方法我們還可以得到一個(gè)更為的結(jié)論：設(shè)為有心二次曲線（圓、橢圓、雙曲線）上一點(diǎn)，由點(diǎn)引傾斜角互補(bǔ)的兩弦，則直線的斜率為

4、定值，證明留給讀者.例3（2017全國(guó)I卷理科20題）已知橢圓，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上.（1）求的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn).若直線與直線的斜率的和為-1，證明：過(guò)定點(diǎn).解：（1）因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱，所以兩點(diǎn)在橢圓上.故 又不在橢圓上，在橢圓上. 解得故的方程為.（2）平移軸，建立以為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，如圖3所示在直角坐標(biāo)系下：已知，設(shè)設(shè)直線方程為易知橢圓的方程為變形得：由聯(lián)立得：化簡(jiǎn)變形得：又，即. 即.直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)故在原坐標(biāo)系下直線過(guò)定點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：利用平移齊次化方法證明定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意平移前后定點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系.事實(shí)上，利用平移齊次化的方法我們還可以得到一個(gè)更為一般的結(jié)論：設(shè)為有心二次曲線上一點(diǎn)，若動(dòng)弦相對(duì)點(diǎn)張角為直角時(shí)，則弦所在的直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，其中有心二次曲線的離心率.證明留給讀者.三、結(jié)束語(yǔ) 以上是本人對(duì)平移齊次化方法在定點(diǎn)定值問(wèn)題中的一些見(jiàn)解，通過(guò)文中的幾