參數(shù)分離雖巧分類討論不笨

1、參數(shù)分離雖巧分類討論不笨Newly compiled on November 23,2020參數(shù)分離雖巧，分類討論不笨一遇到對(duì)于某個(gè)變量恒成立，求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題，同學(xué)們 總是想到參數(shù)分離法，即將參數(shù)移到一邊，變量移到另一邊，然后 應(yīng)用這樣的結(jié)論：a > / (祖必< /)恒成立O。/ (1)皿(如< / (刈皿)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的最值問(wèn)題。這方法雖巧，它直接明了，擊中要 害，但對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)求最值，就遇到了困難，那我們就應(yīng)該轉(zhuǎn)換 思路，用另一種方法分類討論法來(lái)解決，它也不笨。下面舉幾 道高考題說(shuō)明。例1、(2006年全國(guó)卷II )設(shè)函數(shù)x) = a+l)ln(x+

2、l),若對(duì)所 有的工之0都有了(力之火成立，求。的取值范圍。分析：有大部分同學(xué)立刻想到分離參數(shù)，即轉(zhuǎn)化為心(x + l)ln(nl)恒成立,應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求最小值。但遇到極值點(diǎn)求 x不出陷入困境，解不下去。如果移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為了(X)-雙之o恒成立，再 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，對(duì)。進(jìn)行討論就簡(jiǎn)單了。解：令F(x) = f (x)-ar = (x+l)ln(x+l)-ar ,則尸(x) = ln(x+l)+l-a(1 ) 若a 貝lj ,xNO ,ln(x+l) + lNl.Ina+lHl-a 之01|旦成立，所以尸(X)在0,+8)上是增函數(shù)，即F(x)>F(0)=>/(x)-o¥>/

3、(0)-0=>/(x)>oy(2) 若，>1則由尸(x)>0=>x>eal -1;F (x) <0 =>-1 <x<eal -1 ,故當(dāng)GO時(shí)尸(x)之尸(0)不恒成立即了之公不恒成立。 綜合(1)、(2),所以。的取值范圍是。工1。例2、(2007年全國(guó)卷i理)設(shè)函數(shù)x) =，-(1) 求證之2； (2)若對(duì)所有的XN0都有求 。的取值范圍。分析：(1)略(2)由于x = 0成立，當(dāng)“0時(shí)f (x)>axO a< " '), X然后對(duì)3求導(dǎo)，再求最值，這是最容易想到的方法，但解方 X程有困難；如果移項(xiàng)對(duì)

4、。進(jìn)行討論，就豁然開(kāi)朗了。解：(2)令f(%) = f(x) - or 則 F (x) = /1 x)-a = ex +ex-avx>0,/.ex + e-x>2當(dāng)時(shí)尸(6之0即尸(x)在0,”)上為增函數(shù)，故尸(力之尸(0)又尸(0) = 0所以“X)之如恒成立；當(dāng)a > 2時(shí)尸(力在0,+8)上有增有減，尸(x)之尸(0)不恒成立即 f(x)之權(quán)不成立。綜合以上可得：。的取值范圍是。K2。例3、(2010年新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)x) = x("T-6(1)。=；,求”X)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)G0時(shí)“X)之o,求。的取值范圍。分析：(1)略(2) x=0時(shí)顯然成立，

5、當(dāng)“0時(shí),、er-lf(x)>0 <=> a < 對(duì)右邊求導(dǎo)，求極值但遇到了困難，如果應(yīng)用分類討論就迎刃 而解了。解：當(dāng) xNO 時(shí)f(x)之 0一 arNO ,令尸(x) = er-1一雙則 Fx) = ex-a , ,/x > 0 /. ex > 1當(dāng)時(shí)尸之。即尸(x)在0,+8)上是增函數(shù),則尸(x)之尸(0) 又尸(0) = 0即/之0也即之0恒成立。 當(dāng) a>l 時(shí)由 F (x)>0>x>ln«F (x)<0>0<x<In«tflgp 尸(x)在 0,+8)上有增有減，尸(x)NO

6、不恒成立,7(x)之0也就不恒成 立。綜上。的取值范圍是總結(jié)：在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，我們總喜歡找點(diǎn)技巧很快解決，但 有時(shí)事與愿違寸步難行，由此還是規(guī)勸同學(xué)要從最基本常用的 方法考慮，不能總怕煩，有時(shí)可能并不煩，還有意想不到的效 果呢！下面給出兩道供大家練習(xí)：1、已知函數(shù)/(x) = F +幺T (。£火且。為常數(shù))若對(duì)所有的工之0都有/(力之/(-封，求。的取值范圍。2、已知函數(shù)/(x) = x2-21nx ,若/(x)之2bx-士在x£(0,l內(nèi)恒 入成立，求b的取值范圍。答案：1、a>-l 2、-1<Z?<1f t?hix b107.(全國(guó)I理21)已知函

7、數(shù)1- x+l+x,曲線> = /(用在點(diǎn)(L"l)處的 切線方程為x+2y-3=°。(I )求、的值；力,、 hix kf (x) >1.(II)如果當(dāng)且"1時(shí)， x-1 X,求k的取值范圍。,X + 1 .a(Inx) /于_ x2_解：(I)(x+爐 J,由于直線x+2y 3 = °的斜率為-2,且過(guò)點(diǎn)(I人,解得，=1, b = l一 .小)=(II )由(I )知nx 1F x+1 x,所以/«-(111X x-1LQlnx+ lg )-X'X(k - DY -1)人 I = (& - 1)(1 +1) +

8、 2x考慮函數(shù)/心)= 21nx+x (x>。)，則x2/13一打.+ 1)-(1(i)設(shè)2”由犬 知，當(dāng)"1時(shí)，。)<0。而她=°故當(dāng) 1£(0,1)時(shí) g)>0 可得 1一口一”)>。；當(dāng) x (1,十8)時(shí)，h (x) <0,可得 1一%2 h (x) >0hix kliix k從而當(dāng) x>0,且/I 時(shí)，f (x)-(工一1”)>0,即 f (x) >1一1 十 x.1(ii)設(shè) Ovkvl.由于當(dāng) x£ (1, 1)時(shí),(k-1) (x2+l) +2x>0,故/(x) >0,h

9、(1) =0,故當(dāng) x£ (1,11k )時(shí)，h (x) >0,1可得 Bh (x) vO,與題設(shè)矛盾。(iii)設(shè) kM.此時(shí)“(x) >0,而 h (1) =0,故當(dāng) xw (1, +8)時(shí),h 1(X)>0,可得匚F h (x) VO,與題設(shè)矛盾。綜合得，k的取值范圍為(-8, 09.(2009山東卷文)(本小題滿分12分)已知函數(shù)/。) = ：。丫3+區(qū)2 +工+3,其中4工0(1)當(dāng)。，滿足什么條件吐了(X)取得極值(2)已知。0,且在區(qū)間(0J上單調(diào)遞增，試用。表示出b的取值范圍.解：由已知得 f *(-) = ax2 + 2bx+l/(1)=。,得雙2

10、+2/?x+l = 0,f(x)要取得極值，方程ax2 +2bx+l = 0必須有解,所以 = 4/ 一4。0,即/。，此時(shí)方程雙2 + 2瓜+1 = 0的根為_(kāi) -2b-44 -4a _-b->jb2 -a_ -2b + J4b2 -4a _-b + >Jb2 -a% =2=%'所以 / '(X)= -占)(x - 七)當(dāng)。>0時(shí)，X(-8,X1)X1(X1,X2)X2僅2,+ 8)f'(x)一00+f(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以/(x)在X1,X2處分別取得極大值和極小值.當(dāng)。<0時(shí)，X9X2)X2(X2,X1)X1僅1,+ 8)

11、f'(x)0+0f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以在X L X2處分別取得極大值和極小值.綜上，當(dāng)。為滿足人?>。時(shí)，/(X)取得極值.(2)要使/(x)在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞增，需使尸(x)=/+ 2/+120在(0,1上恒成乂.即6之一一一；,工£(0恒成立，所以人之(一竽一；)詼2 2x2 zx設(shè) g(x) = *_3gO) _ _5+：=(，乙2 zx2 2x2x3或1=-3(舍去)，>Jay/a當(dāng)g時(shí)當(dāng)0,方時(shí)且，(、)03)=一十三單調(diào)增函數(shù);當(dāng).好時(shí)g，M0,g叱號(hào)W單調(diào)減函數(shù),所以當(dāng)X =時(shí),g(x)取得最大，最大值為當(dāng)0<。<

12、1時(shí)21，此時(shí)葭(1)20在區(qū)間(°，“恒成立，所以g(x)= 33在區(qū) yja2 zx間(0J上單調(diào)遞增，當(dāng)片1時(shí)g(x)最大，最大值為g(l) = -早，所以油-?綜上當(dāng)時(shí),心一而；當(dāng)0<。"1時(shí)”之-【命題立意】：本題為三次函數(shù),利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù) 的最值，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符號(hào)確定，從而轉(zhuǎn)為不 等式恒成立,再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值.運(yùn)用函數(shù)與方程的思想,化歸思想和分類討論 的思想解答問(wèn)題.10.設(shè)函數(shù)/(x) = (13一(1-4)2 +4OX + 24。,其中常數(shù) a>l(【)討論f(x)的單調(diào)性；(II)若

13、當(dāng)瘡。時(shí)，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。 解析：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合運(yùn)用能力，涉及利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào) 性，第一問(wèn)關(guān)鍵是通過(guò)分析導(dǎo)函數(shù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，第二問(wèn)是利用導(dǎo) 數(shù)及函數(shù)的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出的范圍。解：(I) fx) = x2 - 2(1 + a)x + 4a = (x- 2)(x- 2a)由。>1知，當(dāng)x<2時(shí)，r(x)>0,故在區(qū)間(-8,2)是增函數(shù)；當(dāng)2 Vx<2。時(shí)，r(x)<0,故在區(qū)間(2,2a)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，r(x)>0,故在區(qū)間(2凡+8)是增函數(shù)。綜上，當(dāng)。>1時(shí)，在區(qū)間(-8,

14、2)和(2凡+8)是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)是減函數(shù)。(II)由(I)知，當(dāng)xNO時(shí)，“X)在工=2或x = 0處取得最小值。由假設(shè)知>1 >1，4< f(2a) > 0,即 一一。(。+ 3)( - 6) > 0,解得 l<a<6"3 > 0,24a > 0.故的取值范圍是(1, 6)ex/W = -87.(安徽理16)設(shè) 1 +內(nèi)，其中。為正實(shí)數(shù)_ 4(I )當(dāng)。一5時(shí)，求"冷的極值點(diǎn)；(II)若"刈為H上的單調(diào)函數(shù)，求。的取值范圍。本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，極值點(diǎn)的判斷，導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)變化之間的關(guān)系，求解

15、二次不等式，考查運(yùn)算能力，綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力. 1 +ax2 - axJ (x) = ex.解：對(duì)求導(dǎo)得(1 + QX-)-A31a = fx） = 0,則 4- - 8x + 3 = 0,解得x = _, x, = _.當(dāng)3,若2-2綜合，可知+00+/極大值極小值/31所以,5是極小值點(diǎn)，2 - 5是極大值點(diǎn).（II）若"勸為R上的單調(diào)函數(shù)，則尸（刈在R上不變號(hào)，結(jié)合與條 件 a>0, ax2 -2ax + l>0在R上恒成立，因此A = 4M-40 = 44（。-1）"0,由此并結(jié)合。>o知 0<a<l.X88.（北京理18

16、）已知函數(shù)“冷=0一6”1求的單調(diào)區(qū)間；j G、fM < -若對(duì)v"£（°, +8）,都有 e,求人的取值范圍。 , -解：（i/°）一渣k ）e,令/（乃=。得x=±a當(dāng)4>°時(shí)，"冷在（口廠燈和&）上遞增，在（一上燈上遞減；當(dāng)& <°時(shí)，"冷在（口的和（一七2）上遞減，在出一幻上遞增出 1 1f（k + l） = e k >_/（x） <-（2）當(dāng)% >0時(shí)，-；所以不可能對(duì)也£（°, +8）都有 e ；當(dāng)&<0時(shí)有

17、（D知/（#在電一）上的最大值為,所以對(duì)Vxw（0 +8）都有“丫）, «k<0 j （八 、f （x） K 即e e 2,故對(duì)也£（°, +8）都有 -時(shí)，上的取值范圍為1 - 2-rL112.（陜西理21）設(shè)函數(shù)/（X）定義在。x°）上，導(dǎo)函數(shù) 一 x, g（x）=/a）+ra） （1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；g（2）討論且。）與x的大小關(guān)系；丫 >0g（x）-g（x0）<-（3）是否存在%> °,使得x對(duì)任意工>°成立若存在，求出/的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】（1）先求出原函數(shù)/

18、（）,再求得g（“），然后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間），并求出最小值；（2）作差法比較，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并由單調(diào)性判斷函數(shù)的正負(fù)；（3）存在性問(wèn)題通常 采用假設(shè)存在，然后進(jìn)行求解；注意利用前兩問(wèn)的結(jié)論.【解】（，為常數(shù)），又所以 lnl + c = 0 gp c = 01Xlr1rz、 1 g（x） = lnx+-gx） = , n - = 0. /（x） = lnx；x . x- 令g（x） = 0 即 x- 解得x = l 1當(dāng)X£（0,l）時(shí)，g'（x）<0, g（x）是減函數(shù)，故區(qū)間在（°）是函數(shù)g（x）的減區(qū)間；當(dāng)X£（L”）時(shí)，gx）0 g（x）是增函數(shù)，故區(qū)間在（Lx&#