高等數(shù)學方明亮42換元積分法1ppt課件

1、返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄復習引入復習引入(Introduction)在上次課中，我們學習了在上次課中，我們學習了“不定積分的概念和性質(zhì)不定積分的概念和性質(zhì)” 給出了給出了“基本積分公式表基本積分公式表” 。但是，但是，對于形如對于形如2sin2 d ;x x21d ;xx這樣的積分，利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式表這樣的積分，利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式表我們就無能為力了。我們就無能為力了。為此，為此，返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄第二節(jié)第二節(jié) 換元積分法換元積分法(1)(1) 第四章第四章 一、第一類換元積分法一、第一類換元積分法二、第二類換元積分法二、第二類換元積分法（In

2、tegration by Substitution）三、小結(jié)與思考題三、小結(jié)與思考題返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄第二類換元法第二類換元法第一類換元法第一類換元法xxxfd)()(uufd)(設, )()(ufuF)(xu可導,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(則有基本思路基本思路 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄一、第一類換元積分法一、第一類換元積分法定理定理1 ,)(有原函數(shù)設uf,)(可導xu則有換元公式xxxfd)()()d( )( )xfx( )duf u)(xu(也稱配元法 , 湊微分法湊微分法)返回返回上頁上頁下頁下頁

3、目錄目錄2sin2 d .x x提示：令提示：令2ux例例1 求求cos2xC 例例2 求求1d1 2xx提示：令提示：令1 2ux 1ln|1 2 |2xC 例例3 （補充題求（補充題求() d(1 . )maxbmx 解解: 令令,bxau那么,ddxau 故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄22 exxdx例例4 求求答案：答案：2exC例例5 求求tan dcot dx xx x和例例6 求求22d.xax答案：答案：1arctanxCaa例例7 （補充題求（補充題求22d(0).xaax解解:2)(1daxax2)

4、(1)(daxaxCax arcsin22dxax例例8 （課本（課本 例例7求求22d.xxa答案：答案：1ln2xaCaxa返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1萬萬能能湊湊冪冪法法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd常用的幾種配元形式常用的幾種配元形式: 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()

5、7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21例例9補充題求補充題求返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄.d3xxex解解: 原式原式 =xexd23)3d(323xexCex332例例11補充題求補充題求.dsec6xx解解: 原式原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC例例10補充題）補充題） 求求自學課本自學課本例例1819返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄.1dxex

6、解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee兩法結(jié)果一樣兩法結(jié)果一樣例例12補充題求補充題求返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄.dsecxx解法解法1 例例13課本課本 例例14求求（與課本解法不一樣）（與課本解法不一樣）xxsin11sin1121xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄xxtansecxxdsecxxdsecx

7、xtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxxCxxtansecln同樣可證xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln(課本課本 例例13 )解法解法 2 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄222d)(2123xax.d)(23223xaxx解解: 原式原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC例例14補充題求補充題求返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄)2cos2cos21 (241xx .dcos4xx解解:

8、224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C例例15 （補充題求（補充題求返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄.d3cossin22xxx解解:xx3cossin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1 (81xxx2cos2sin2)4cos1 (81x原式 =xd41)8d(8cos641xx)2(si

9、nd2sin221xx)4d(4cos321xxx41x8sin641x2sin361x4sin321C例例16補充題求補充題求返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄xxexex111xexexxxdd xexxd) 1(.d)1 (1xexxxx解解: 原式原式=xexxxxd)1 () 1(xexe)1 (1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1 (1xxxxxexexexe)(dxxexexlnxex1lnCCexxxx1lnln分析分析: 例例17 （補充題求（補充題求返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)常用簡化技巧常用簡化技巧: :(1) 分項積分分項積分:(2)

10、降低冪次降低冪次:(3) 統(tǒng)一函數(shù)統(tǒng)一函數(shù): 利用三角公式利用三角公式 ; 配元方法配元方法(4) 巧妙換元或配元巧妙換元或配元等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx萬能湊冪法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11利用積化和差; 分式分項;利用倍角公式 , 如返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄課后練習課后練習習題習題4-2 1；21）（）（18）思考與練習思考與練習1. 下列各題求積方法有何不同下列各題求積方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xx4)4(d222

11、21)(1)d(xx22214)4(dxxxxxd4)4(2224d)5(xxxxd441241xx2121xd24d)6(xxx2)2(4x)2(dx返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄xxxd) 1(110.) 1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3 ) 1(d10 xxx10)x ) 1(d10 xxx) 1(1010 xx ) 1(d10 xxx)1 (d1011xxx101x10d x10110(x10dx1012. 求求返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解: 原式原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 xxfxfxfxfd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf)()(xfxf3.求返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄xxxd11) 132) 1(d113133xxCx1323xxxxd2132)22xxxd2125)22(x2221)21d(xxxx 52) 1(2 x) 1d