高中數學 3.1.1直線的傾斜角和斜率 新人教A版必修2

1、第三章 直線與方程3.1.1直線的傾斜角和斜率教學目標: 知識與技能(1) 正確理解直線的傾斜角和斜率的概念(2) 理解直線的傾斜角的唯一性.(3) 理解直線的斜率的存在性.(4) 斜率公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式情感態(tài)度與價值觀 (1) 通過直線的傾斜角概念的引入學習和直線傾斜角與斜率關系的揭示，培養(yǎng)學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力(2) 通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數形結合思想，培養(yǎng)學生樹立辯證統(tǒng)一的觀點，培養(yǎng)學生形成嚴謹的科學態(tài)度和求簡的數學精神重點與難點: 直線的傾斜角、斜率的概念和公式.教學用具：計算機教學方法：啟發(fā)

2、、引導、討論.教學過程：（一） 直線的傾斜角的概念我們知道, 經過兩點有且只有(確定)一條直線. 那么, 經過一點P的直線l的位置能確定嗎? 如圖, 過一點P可以作無數多條直線a,b,c, 易見,答案是否定的.這些直線有什么聯系呢? (1)它們都經過點P. (2)它們的傾斜程度不同. 怎樣描述這種傾斜程度的不同?引入直線的傾斜角的概念:當直線l與x軸相交時, 取x軸作為基準, x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.特別地,當直線l與x軸平行或重合時, 規(guī)定= 0°.問: 傾斜角的取值范圍是什么? 0°180°.當直線l與x軸垂直時, = 90&#

3、176;.因為平面直角坐標系內的每一條直線都有確定的傾斜程度, 引入直線的傾斜角之后, 我們就可以用傾斜角來表示平面直角坐標系內的每一條直線的傾斜程度.如圖, 直線abc, 那么它們的傾斜角相等嗎? 答案是肯定的.所以一個傾斜角不能確定一條直線.確定平面直角坐標系內的一條直線位置的幾何要素: 一個點P和一個傾斜角.(二)直線的斜率:一條直線的傾斜角(90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tan當直線l與x軸平行或重合時, =0°, k = tan0°=0;當直線l與x軸垂直時, = 90°, k 不存在.由此可知,

4、一條直線l的傾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.例如, =45°時, k = tan45°= 1; =135°時, k = tan135°= tan(180° 45°) = - tan45°= - 1.學習了斜率之后, 我們又可以用斜率來表示直線的傾斜程度. (三) 直線的斜率公式:給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,如何用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率?可用計算機作動畫演示: 直線P1P2的四種情況, 并引導學生如何作輔助線,共同完成斜率公式的推導.(略)斜率公式: 對于上面的斜率公式要注意下面

5、四點：(1) 當x1=x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角= 90°, 直線與x軸垂直；(2)k與P1、P2的順序無關, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同時交換, 但分子與分母不能交換; (3)斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標求得;(4) 當 y1=y2時, 斜率k = 0, 直線的傾斜角=0°，直線與x軸平行或重合. (5)求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標先求斜率而得到 (四)例題:例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直線AB, BC, CA的斜率, 并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角.(用計算

6、機作直線, 圖略)分析: 已知兩點坐標, 而且x1x2, 由斜率公式代入即可求得k的值; 而當k = tan<0時, 傾斜角是鈍角; 而當k = tan>0時, 傾斜角是銳角; 而當k = tan=0時, 傾斜角是0°.略解: 直線AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的傾斜角是銳角; 直線BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的傾斜角是鈍角; 直線CA的斜率k3=1>0, 所以它的傾斜角是銳角.例2 在平面直角坐標系中, 畫出經過原點且斜率分別為1, -1, 2, 及-3的直線a, b, c, l.分析:要畫出經過原點的直線a, 只要再找出a上的另外一點M. 而M的坐標可以根據直線a的斜率確定; 或者k=tan=1是特殊值,所以也可以以原點為角的頂點,x 軸的正半軸為角的一邊, 在x 軸的上方作45°的角, 再把所作的這一邊反向延長成直線即可.略解: 設直線a上的另外一點M的坐標為(x,y),根據斜率公式有 1=(y0)(x0) 所以 x = y 可令x = 1, 則y = 1, 于是點M的坐標為(1,1).此時過原點和點 M(1,1), 可作直線a. 同理, 可作直線b, c, l.(用計算機作動畫演示畫直線過程) (五)練習: P91 1. 2. 3. 4. (六)小結: (1)直線的傾斜角和斜率的概