南通市2020屆高三下開學(xué)模擬考試數(shù)學(xué)試題含附加題

1、高三一模數(shù)學(xué)試卷第3頁(共15頁)江蘇省南通市2020屆高三第二學(xué)期開學(xué)模擬考試數(shù)學(xué)試題2020.03（總分160分，考試時間120分鐘）注意事項：1 .本試卷考試時間為 120分鐘，試卷滿分160分，考試形式閉卷.2 .本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.3 .答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)1 .已知集合A x | 0 x 2 ,集合B x | x 1 ，則A U B 3 s,綠燈時間為2 .設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（2 i）z 1 i （i為虛數(shù)單位），

2、則復(fù)數(shù)z3 .某路口一紅綠燈東西方向的紅燈時間為45 s,黃燈時間為向東行駛的一輛公交車通過該路口，遇到紅燈的概率為 4 .在某頻率分布直方圖中，從左往右有10個小矩形，若第一小矩形的面積等于其余 9個小矩形的面積和的 工，且第一 5數(shù)據(jù)的頻數(shù)為25,則樣本容量為.5 .右圖是一個算法的流程圖，則輸出的k的值為6 .各棱長都為2的正四棱錐的體積為 一7,將函數(shù)f（x） sin x管（0）的圖象向左平移 十個單位后，所得圖象關(guān)于直緝+ 、6 3，結(jié)束）x兀對稱，則的最小值為.（第5題）一一一 .2x38 .已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù).當(dāng)x 0時，f （x） ,則不等式f（lnx）x 1的解

3、集為.9 .已知公差不為零的等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且a2 6,若且3且7成等比數(shù)列，則S8 ， x210.若橢圓x2十a(chǎn)b2=1的焦點在x軸上，過點1, 1作圓x2+y2=1的切線，切點分別為A,B,直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是 A11 .已知函數(shù)f(x) mln x圖像與函數(shù)g(x) 2jx圖像在交點處切線方程相同，則m的值為12 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知直線l1： y mx與曲線f(x) 2x3 x從左至右依次交于A、B、C三點，若直線l2：kY 2上存在P滿足uuu uuu ,則實數(shù)k的y kx 2PA PC 1取值范圍是.2222,.13 .在平

4、面直角在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x y 1,圓C:(x 4) y 4,動點P在直線x J3y 2 0上的兩點 E , F之間，過點 P分別作圓 O,C的切線，切點為 A,B ,若滿足PB> 2PA ,則線段EF的長度為 .14 .若 ABC中，AB=J2, BC=8,B 45° , D為ABC所在平面內(nèi)一點且滿足uun uuir uur uuur(AB AD) (AC AD) 4,則AD長度的最小值為.二、解答題：本大題共 6小題，1517每小題14分，1820每小題16分，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答 ，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或計算步驟.15 .(本

5、小題滿分14分)1(第15題)如圖，在 ABC中，a, b, c為A, B, C所對的邊，CD± AB于D,且BD AD - c. 2(1)求證：sinC 2sin( A B)；a3,(2)若 cos A 一,求 tanC 的值.516 .(本小題滿分14分)如圖，在三棱柱 ABC AB1c1中，已知 M ,N分別為線段BB1, AC的中點，MN與AA所成角的大小為90。，且MA1 MC .求證：(1)平面AMC 平面A1ACC1；(2) MN 平面 ABC .17.(本小題滿分14分)22已知點O為坐標(biāo)原點，橢圓C:x2 當(dāng)1 a b 0的左、右焦點分別為F1, F2,離心率 a

6、b為 9 ,點I , J分別是橢圓C的右頂點、上頂點， AIOJ的邊IJ上的中線長為 1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；過點H 2,0的直線交橢圓C于A, B兩點，若AF1 BF1 ,求直線AB的方程.18 .(本小題滿分16分)某校有一塊圓心O,為半徑為 200米，圓心角為 2的扇形綠地 OPQ ,半徑3OP, OQ的中點分別為 M ,N , A為弧PQ上的一點，設(shè) AOQ ,如圖所示，擬準(zhǔn)備兩套方案對該綠地再利用.(1)方案一：將四邊形綠地 OMAN建成觀賞魚池，其面積記為S1,試將S1表示為關(guān)于“的函數(shù)關(guān)系式；并求a為何值時，S1取得最大？(2)方案二：將弧 AQ和線段AN , NQ圍成區(qū)域

7、建成活動場地，其面積記為S2,試將S2表示為關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；并求a為何值時，S2取得最大?19 .(本小題滿分16分)已知正項數(shù)列an,其前n項和為Sn ,滿足2S0 a2 % , n N* (1)求數(shù)列an的通項公式an；(2)如果對任意正整數(shù)n ,不等式J0： 庭都成立，求證：實數(shù)c的最大20 .(本小題滿分16分)ax b已知函數(shù)f(x) x(其中a,b R).e(1)當(dāng)a 1時，若函數(shù)y f (x)在0,上單調(diào)遞減，求b的取值范圍；(2)當(dāng) b 1 , a 0 時，求函數(shù)y f(x)的極值；設(shè)函數(shù)y f (x)圖象上任意一點處的切線為l ,求l在x軸上的截距的取值高三一模數(shù)學(xué)試卷

8、第 5 頁 （共 15 頁）江蘇省南通市2020屆高三第二學(xué)期開學(xué)模擬考試附加題2020.03（總分160分，考試時間120分鐘）21 .【選做題】本題包括 A、B、C三個小題，請選定其中兩個小題，并在相應(yīng)的答題區(qū) 域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩小題評分，解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選彳4 2 :矩陣與變換（本小題滿分10分）11133已知矩陣A的逆矩陣A 133 .求矩陣A的特征值和相應(yīng)的特征向量.4133B .選彳4 4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心極坐標(biāo)為（2,）,且圓C經(jīng)過極點，求圓C的極坐標(biāo)4方程.C.選彳4-5 :不等式選講

9、（本小題滿分10分）111已知a , b, c為正頭數(shù)， 27abe的取小值為 m .a b c22.把編號為1, 2, 3, 4, 5的五個大小、形狀相同的小球，隨機放入編號為1, 2, 3,4, 5的五個盒子里.每個盒子里放入一個小球.（1）求恰有兩個球的編號與盒子的編號相同的概率；（2）設(shè)小球的編號與盒子編號相同的情況有X種，求隨機變量 X的分布列與期望.n k k m23.設(shè) P(n, m) ( 1) Cn- , Q(n, m) C；m,其中 m, n N .k 0m k(1)當(dāng) m 1 時，求 P(n,1) Q(n,1)的值;*(2)對 m N ,證明：P(n, m) Q(n, m)

10、恒為te值.江蘇省南通市2020屆高三第二學(xué)期開學(xué)模擬考試數(shù)學(xué)I試題參考答案高三一模數(shù)學(xué)試卷第9 頁（共15頁）一、填空題：本大題共 14小題，每小題位置上. 5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)1. x | x7. 2c13.2.+ - i5 58. ( , e4)e3.9. 8811. e12. k_51210.4. 15013.避34.25. 76.314.2二.解答題：本大題共 6小題,1517每小題14分，1820每小題16分，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答 ，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或計算步驟.15.（本小題滿分14分）(1)證明：因為BD AD 1c,2，所以

11、acosB bcosA 2c , 3 分由正弦定理,得 sin AcosB1 .sin B cosA sin C , 2，所以sin C2sin( A B).（2）解：由（1）得，sin(A B)2sin(A B)所以 sin AcosB cosAsin B2(sin AcosBcosAsin B)高三一模數(shù)學(xué)試卷第13頁(共15頁)10分又 cosA 35,所以sinA 所以tanA所以tanCtan(A B)詈密劇4-,tan B 34 4一 91 443 912分16.證明：（1）因為MN與AA1所成角的大小為 90。，所以MN481114分化簡，得 3cos Asin B sin Ac

12、osB .因為MAi MC ,且N是AiC的中點，所以 MN ± A1C .又 aa I AC A , AC , aa 平面 AACC1,故MN，平面AACCi ,因為MN 平面AMC ,所以平面 A1MC，平面A1ACC1.(2)取AC中點P,連結(jié)NP, BP.因為N為A1C中點，P為AC中點，所以PW/AAi,且PN在三棱柱 ABC A1BC1中，BB1 / AA1 ,且BBi AA1 .所以從而為BBi中點，故BM / AAi,且BMPN / BM,且PN BM,于是四邊形MN / BP.2AA1.PNMB是平行四邊形,AiBiNMACB2 AAi .又MN 平面ABC , B

13、P 平面ABC ,故MN /平面ABC .17.(1)由題意得AIOJ為直角三角形，且其斜邊上的中線長為巫，所以IJ 幣.2c 2a T設(shè)橢圓c的半焦距為c,則)了下曲,解得2.22a b ca 42b 12所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 1.2(2)由題知，點F1的坐標(biāo)為1,0 ,顯然直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為y k x 2 k0，點 A x1，y1，B X2，y2聯(lián)立X 22 y ,消去y ,得1y k x 222222kx 8kx 8k 2 0,。2。所以 A 8k24 1 2k2 8k2 2-28 1 2k2且為x28k2，為泡1 2k28k2 21 2k2因為AF1uuuu

14、uurBF1,所以 AF1 BFi 0 ,1x2, V20, 1 x1x2 x1x2y1y20,1 Xix2 x1x2k x12 k x220,整理得 1 2k2 x1 x2 + 1 k2 為x2 1 4k2 0 .c22即 1 2k28k21 k 8k 2222 1 4k 0 .1 2k1 2k21化簡得4k2 1 0 ,解得k 1 .2因為k1都滿足*式，所以直線AB的方程為y 1 x 2或y22即直線AB的方程為x 2y 2 0或x 2y 2 0 .18.(1)由已知,AOQ答:19.解:由2& 即2an 也就是整理得1 10022兀,(0r， 31200 sin2SiSa ON

15、ASaoma ；2100 200 sin(),3Si 10000 3sin(一)6（平方米），(S )max10000 V3 (平方米)（2）由已知，S2S扇形AOQ S»2S2(3(1)當(dāng)(2)當(dāng)2 an1200 200210000 (2sin1100 200 sin , 2)10000 (2 cos ),故& ( ) 0 ；,2兀 f，）在（0,上為增函數(shù), 324一時，(&)max 10000 (一33J時，（S）max 1000073 （平方米）；3&關(guān)于的函數(shù)表達式$ 10000(S2)max,410000 (一3（平方米）(2 sin ),31平方

16、米）101112142兀(0,-316(a2an 1an2 n 11 時，2S1得，2Sman ) (an 12al解得a1 1,或a10(舍)2Sm 2Sn (Iian 1 ) (an an ),an) (an 1an)an )0由于數(shù)列為各項均為正數(shù)，所以 an 11an)(an 1 an1)an 1 0,即an 1 an 1.所以數(shù)列an是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,6分所以數(shù)列an的通項公式為ann.對任意正整數(shù)n ,所以c的最大值為cmax另一方面，任取實數(shù) a an 2 an ,1.1時.10分、n2 ,n. an 22、2 a( . . fi-2(2 a)，n 2一 na Jn

17、.na n-2, 0-2( .n-2.n)當(dāng)a2時，對任意的正整數(shù).n 2( . n 2 . n) n，都有JOT向12分當(dāng)1n (2a 2時，只要a）2乜時，就有(2a) Vn_2a>/n0 ,即,an 2 '(2 a)2(n2) a2n ,14分也就是2（a 1）因此c的最大值為ana.所以滿足條件的can 21,從而cmax1.16分20. (1) a 1 時,f(x)x b的導(dǎo)函數(shù)f'(x) e由題意知對任意0,有 f '(x)0,即 xb x 1 min，即1 時，f(x)ax（i）當(dāng)0時，有x1x -的導(dǎo)函數(shù) ea 1.A),f(x) 0；f'

18、(x)ax 1 ax ， ea 1 jx，),f (x) 0,函數(shù)f (x)在 xa）單調(diào)遞增，x （a，）單調(diào)遞減,a函數(shù)f (x)在 x1，一取得極大值a ea 1丁，沒有極小值.(ii)當(dāng) a0時，有x函數(shù)yf (x)在 xa 11),f (x) 0 ; aa 1,)單調(diào)遞減，(aJa),f (x) 0,）單調(diào)遞增,高三一模數(shù)學(xué)試卷第15 頁（共15頁）函數(shù)yf (x)在 xa 1a 1取得極小值a e a ,沒有極大值.a高三一模數(shù)學(xué)試卷第21頁(共15頁)綜上可知：當(dāng)a 0時,a 1函數(shù)y f (x)在x 取得極大值aa 1e 丁，沒有極小值;當(dāng)a 0時,a 1,沒有極大值.一a 1

19、函數(shù)y f (x)在x 取得極小值a設(shè)切點為十, at 1T(t, 丁 e),則曲線在點T處的切線l方程為att eat 1 ate(xt),a 1當(dāng)t 時，切線aat 1l的方程為y ex軸上的截距不存在.l在x軸上的截距為at 1(at 1 a) a t 1，當(dāng)tatatat 1 a0時,0時,當(dāng)切線l在x軸上的截距范圍是江蘇省南通市2020屆高三第二學(xué)期開學(xué)模擬考試數(shù)學(xué)附加題參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)121A 解：由 A 1343由特征多項式1)213,21,所以特征值13對應(yīng)的特征向量0C1特征值21對應(yīng)的特征向量a2分1021B.解：方法設(shè)圓C上任意一點的極坐標(biāo) P(,)，過OC的直徑的另一

20、端點為 B ,連接PO,PB.則在直角三角形OPB中， OPB -, POB所以 4cos(I),即為圓C的極坐標(biāo)方程. 10分方法二C(2,/的直角坐標(biāo)為(死 死)，半徑r 8亞0)2 (衣 0)2 2,所以圓C的直角坐標(biāo)方程為(x板)(y &) 4, 5分即 x2 y2 2缶 2%/2y 0 ,故圓C的極坐標(biāo)方程為2 4 cos( ) 0 ,410分即4cos().21C解關(guān)于x的不等式 所以1 2x m.因為a27abe27abe27abc > abc18,1111 1 13327abe > 33.-333333333abca b c當(dāng)且僅當(dāng)a b c 3"3時，取“所以m 18 .所以不等式x 1 2x m即 x所以 2x 18 x 1 2x 18,1 2x 18,解得x 19, 3所以原不等式的解集為(-, 310分2