九年級圓的相關證明與計算(教師版)

1、圓的相關證明與計算1 .如圖，aABC中，Z ABC=90%以AB為直徑的。交AC于點七為弧8。上一點，且NE4B= NC.延長3E交AC于點凡求證：AF=CF,AE 4(2)若竺二，AB=5&,求AE的長.1解：略；(2)由(1)知力尸=8立 連5。，：.BDLAF.由面積法知5Q=AE=4x, AO=3x, ：.AB=5x=5>/2 , ：.x= >/2 , ：.AE= 472 .2 .以OO的弦/W為邊作等邊ABC,。是。上一點，且80 = A3,連OC交。0于£ (1)如圖(1),當C在。內，求證：AE=CE；(2)如圖(2),當。O外時的結論是否還成立?

2、證明你的結論：(3)若CE=3,求。0的半徑長.證/E4C+NCA8+ND=180。，ZECA + ZACB+ZBCD =180% 又ABC為正,：.ZCAB=ZACB=60% :BC=BD.:/BCD=/D, ：.ZEAC=ZECA, ：.AE=CE.(2)由 8c=3D得N£>=N3CQ.又NO=N5AE,:NBAE=/BCE.又NE4c=60。-N3AE, Z£CA=60°-ZFCD. ：.ZEAC=ZECA. ：.AE=CE.(3)連 OA、OE,由 EC=E4. 8C=D4 可知 BE 垂直平分 AC, ：. ZEBA=30°.又 NEO

3、A=2NE8A=60。，E4O是等邊三角形，：.OE=AE=CE=3.即。的半徑為3.【知識梳理】1、圓中的重要概念2、圓中的重要定理3、易與圓結合的其他知識知識點一(圓的相關計算)以垂徑定理為中心的計算1.(2015元調)如圖，在。O中，半徑04,弦8C,點石為垂足，點。在優(yōu)弧上,(1)若NAO8=56。，求 NAOC 的度數；(2)若 8c=6, AE=1,求。的半徑.解：(1) ZADC=28°. (2)r=5.以弦、弦心距為中心的圓的計算1 .(元調題改)如圖，Rt/kABC中，ZC=90°,。為 ABC角平分線的交點，以。C為半徑的。交三邊于。、E、Fn G.(1

4、)求證：BE=BF；(2)若。半徑30, BF=2,求A8的長.解：(1)過0點作0M8, 0N上BC,垂足為何、N,易證 8M=3N, FM=EN.，BF=BE (2)同理可證AO=AG, R=30，,CN=EN=3, ：.CD =CE =FG=6.設AO=/lG=x, ，a+6)2+82=a+8)2, ：.x=9. ：.AB=1.2 .(元調題變式)如圖，R3ABC中，NAC8=90。，點。為NA8C、NAC8外角平分線的交點，以0C為半 徑的。交三邊所在的直線于E、F、G.(1)求證：BF=BG；若BF=2, AO=16,求。的半徑.(1)過。點作 OM«LA8, ON 1BC

5、,則 0M= ON, :.MF=NG.又,：BN=BM. ：.BF=BG.(2)同理可證 AO=AE,設 CO=CG=EF=x：A8=16(x-2)=18一1 BC=xf AC=6-x, A(18-x)2 =(x-2)2+(16-x) x=8, R=40 .以圓心角、圓周角為中心的計算1.如圖。為RS ABC斜邊AB上一點，以C。為直徑的圓分別交三邊于E、F、G三點，連接FE、 FG.(1)求證：NEFG=NB：(2)若AC=28C=46,。為AE的中點，求FG的長.略(2)解：在 RS ABC 中，9：AC=2BC=4y/5 . ：.AB2=AC2+BC2=OO.：.AB=O, 9：ACxB

6、C= CExAB=2Sabc. ：.CE=4,在 Rt田中VA£2=AC2-CE2=64，AE=8, 丁。是 AE 的中點.：.DE=4在 Rb CEO 中，9：CD2 = CE2+ED2=32. :.CD=4垃.V ZFCG=90°.，尸G 為圓的直徑，：.FG = CD=4yf2 .A2.如圖，等邊ABC內接于0O, P是AB上任一點(點尸不與A、5重合)連AP, BP,過C作CMBP交 PA的延長線于點M.(1)求證：4PCM為等邊三角形;(2)若PA = 1, PB=2,求梯形P8CM的面積.略(2)證AGWgABCP, .MA=3P=2, PM=CM=3.作于 H

7、,NMPH=30°, PH= .24直徑、等弧、角平分線相結合問題1 .如圖，在。中，半徑OB_L弦C。于H,七為。5延長線上一點，CE交。于F.(1)求證：NB0D=2/BFE；若 BFLDE, BE=5, CD=6,求。的半徑.D解：(1)連 8。、BD, ill： ZBFE= ZCDB= ZBCD= 1 ZBOD.2(2)連 OF,證NBFE=NBFD. 9：BF±DE.尸垂直平分 OE.；.BE=BD=5,: DH=3,:.BH=4,設OO 的半徑為凡 在 RSOHD 中,32+(4-/?)2=/?2,2 .如圖，以A8為直徑的。交ABC另二邊于。、E, AD=CD

8、.(1)求證：AB=BC(2)若=一，AC=M，求。的半徑.BE 4解：(1)連 3D, WlJ BDLAC, ：.AB=BC.(2)連 AE,則 AEJ_3a 設。E=筋 BE=4x,則 A8=5x.：.AE=3xf 在 ACE中,/+(3療=(加,Ax=L ：.R=2. 5.3 .如圖，AB為。的直徑，A8CO為圓的內接四邊形，CD=BC.(1)求證：OC/AD；(2)若AB=5, AC=20求AO的長.解：略；(2)連 8D 交 OC 于 M 點，WO OC±BD.在4C3 中，易知 BC=小,設。CM=2. 5 x, ，2 52r=(6)2 (2. 5-x) a=1. 5,

9、：.AD=3.知識點二(圓的相關證明) 切線、弦、直徑組成的圖形證明1 .如圖，ZkABC中以A3為直徑作。0,分別交邊AC、BC于D、E,過點。作。匚L8C于凡 且。為弧 AE的中點.(1)求證：O尸為圓。的切線;若些=±且X。=4喬時，求圓。的半徑二AB 5略RF ?解:連為直徑，A ZAEB=90Q, V_ = -tAB 5二設 BE=3x,則 AB=5玄：.AE=4x.又。4 =OD.：.AB=CB=5x, ACE=2x.又 AC=24O= 8",在 Rs ACE 中，AC2 = CE2 + AE2,/. (4x)2 + (2x)2 = (8x/5)2, ，x=&#

10、177;4(負舍)，A8=5x=20, ：.r=-AB = 0. 22 .如怪I,在 ABC 中，AB=AC.(1)如圖1,以AC為直徑的。M交BC于D作OE_LA8于£求證：。上是。M的切線.8c=8,求。的半徑.(2)如圖2,。為的外接圓，若E是A3的中點，連0E.0E略(2)連AO并“延K交00于匕支BC于G. £08,可得OG«LBCBG= 1bC = 4.8F=2OE=5,求得尸G= 2753 .設半徑為小 在RQ08G中，得4?+(一3尸=/，解得/ =二 6切線、四邊形組成的圖形證明1 .如圖，AB為。的直徑，AC為弦，A。平分NB4C交。0于 交A

11、C、A8的延長線于E、F.(1)求證：AF+CF=2A0：(2)若 3=1, DF=2,求 AB 的長.解：(1)連 OQ,則。連 8。、CD,作 DWLA8 于 M.易證 8尸烏BDM, ：.AM=AF, BM= CF, AF+CF=AM+BM=AB=2AO.(2)設。的半徑為 R,Q ODM 中，R2 +(R-1 尸=2、：.AB=5.2.如圖，平行四邊形ABCO中，過A、B、。三點的。且BC于B點，AO = A尸，直線OF交A8于G 點，交C3的延長線與E點.(1)求證：ED=EC；NBGE,(2)若 8c=10,求。的半徑.FG 3解：(1)連 OA、OB,則 OALO凡 OBLCE,

12、，NOAB= NOBA,AZC=ZCDE, ：.EC=ED.(2)由口ABC。，：.ZC=ZDGA, ：.DA=DG=0,:FG=6,設 04 交 OE于 M 點，則 DM=8,，在Rt/kADM 中，AM= JQ-H =6,在 R" OOM 中，+(R-6)2, R" .3.(2017四調改)如圖，平行四邊形"CD的邊AO與經過A、B、。三點00相切.(1)求證：AB = AC ：若8c=24, S, =192,求。的半徑R.解：(1)連 AO. yilj OA±AD,又：ADBC, ：.OALBC. ：. AB = AC .(2)設 OA 交 3c于

13、 M點，24xAAf=192, ：.AM=S.在 RsOBM中,/?2=122+(/?-8)2, ：.R=3.切線、弦、直徑組成的圖形證明與計算1 .如圖，aABC中以A8為直各作。分別交邊AC、BC于D、E.過點。作OF_L8C于E且。為AE的 中點.(1)求證：。/為。的切線；BE_3若A8 5,且AO=4小45時，求。的半徑兒略BE(2)解：連 A8 為直徑，NAE8=90。，V AB m，設 BE=3x,則 A3=3.(, AE=4x.又OA = OD, ：.AB=CB=5x, ：. CE=2a,又:AC=2AD=。,，在 Rb ACE中，旦二田十8斤AE2.工(4x)2+(2x)2=

14、 ，x=±4(負舍)，A8 = 5x=20,1=2A8=10.2 .如圖，在 ABC 中，AB=AC.(1)如圖1,以AC為直徑的0M交5。于。，作OEL48于£求證：。石是。M的切線.5(2)如圖2,。為aABC的外接圓，若E是月3的中點，連。E, 0E=3 , BC=8,求。的半徑.圖1圖2略(2)連A0并且是長交。于£ 交BC于C,連。8, T得0GLBC1BG= 2 BC=4, 8/=2。七=5 求得 FG=325設半徑為八 在RS 08G中將4?x+(，3戶=/，解得廠=不3 .(中考汝口圖，點C在以A8為直徑的。上，A。與過點。的切線垂直，垂足為點。，

15、A。交。于點£ (1)求證：AC平分(2)連接3E交AC于點凡 若AO=4, AC=5,求。的半徑.（1）證明：連接 OC，則。C_LC。，又 AO_LCQ, VAD/OC, ：.ZCAD=ZOCA,又 OA=OC, ：.ZOCA =ZOAC. ，NCAO=NCAO,平分NQA反25解：84 .(2017江岸期中)如圖，在。0中，直徑CQJ弦AB于點E,點P是。延長線上一點，連接P8、BD (1)若8。平分NA8P,求證：P8是。的切線5(2)連接AP,延長3。交AP于點凡 若BD上AP, AB=® , OP= 4 ,求OE的長度解：（1）略.（2）連 AC, OA, NC

16、=NA8F=NAPC,，設 OE=x,在ZiAOE 中,得產區(qū)，oe=w 切線、四邊形組成的圖形證明1 .如圖，AB為。的直徑，AC為弦，A。平分N8AC交。O于。，過。點的切線分別交AC、A8的延長線于 E、F.(1)求證：AF+CF=2A0：(2)若 3=1, DF=2,求 A5 的長.解：(1)連 OD,則 凡 連 8。、CD,作。于 M.易證 CDFgZkBDM, ：.AM=AF, BM= CF, AF+CF=AM+BM=AB=2AO.(2)設。的半徑為心 在ODM 中，R2=(R- V)2+22. AB=5.2 .如圖，3LBCD中,過A、B、。三點的。切BC于8點，AO = A尸，

17、直線。尸交A8于G點，交C3的 延長線于E點.(1)求證：ED=EC；DG _ 5(2)若8C=10, FG 3 ,求。O的半徑解：(1)連 OA、OB,則 OA_LOP, OBLCE, ： ZOAB=ZOBA, ZEBG=ZBGE.：.ZC=ZCDE, ：.EC=ED.(2)由 口函8, ： NC=NDAB=NDGA, ：.DA=DC= 10. ：.FC=6.設 OA 交。E 于 例點，則 DM=8,:.在 RtA ADM 中，72254M= J。二G = 6,在 RsQOM中，*=8-+ R-6 ，汽=3 .3 .(2017四調改)如圖，必8c。的邊AO與經過A、B、C三點。相切.求證：A

18、B=AC；(2)若8c=24, 5二鋁8=192,求。的半徑凡解：(1)連 A。，IJllJOAlAD,又,：AD/BC, OALBC. ：. AB = AC (2)設。A 交 BC 于 M 點，24xAM=192, ：.AM=S.在 R3O8W 中，/?2=122+(/?-8)2, ：.R=3.知識點三:圓中幾何變換例1：如圖，ABC是等邊三角形，。為BC的中垂線A 上的動點，。經過以 C兩點，。為8c,上一 點，D, A兩點在8C邊異惻，連接A。，BD, CD.(1)如圖1,若。經過點A,求證：BD+CD=AD,(2)如圖2,圓心。在3。上，若N3A。=45。，求的度數：(3)如圖 3,若

19、 AH=OH,求證：BD2+CD2=AD2.圖2解：(1)求證的是兩條線段之和等于第三條線段，故考慮截長補短法，結合為等邊三角形考慮旋轉.方法一：延長8。到F,使OF=OC,再證BCFgaACD：方法二：在A。上截取OG=OC,連接CG,先證aOCG為等邊三角形，再證 ACG也BCD；方法三：此題也可作垂線，構造全等：過C作CMJ_A。于M, CN工BD于N.先證ACMg/kBCN,再證 MCDANCD.【課堂練習】1 .如圖，AB是。的直徑，C為圓上一點，ZkACO為等邊三角形，。在。0外，已知NAD8=45。，。的半徑為4,則A。的長為 .解：NC。8=60。-45。=15。： NC3O=

20、 180。-60。- 90。- 15。= 15°；DC=CB=AC=AD； ®AD=AC=4yl2 .2 .如圖，AB是。的直徑，C為圓上一點，ACO為等邊三角形，。在。外，已知NABO=30。，則"AB 的值為解：設 3。與。相交于 E,連接 AE、EC,弧 AE=MAE, A ZACE= ZABL OCEgZXACE； (3)DE=AE： ® = l .AB 21 .(中考)如圖，點C在以AB為直徑的。上，A。與過點C的切線垂直，垂足為點D,(1)求證：AC平分NOA8；(2)連接3E交AC于點F,若AD=4, AC=5,求。的半徑.DE q(1)證

21、明：連接 0C,則。C_LCD,又 AD工CD, ：.AD/OC,：. ZCAD= OC,：./OCA=/OAC, ，NCAO = NCAO, ，AC平分NOA8.25(2)解：2 . (2017江岸期中)如圖，在。中，直徑。_1弦八8于點£點P是C。延長線上一, (1)若BD平分NABP,求證：尸8是。的切線：(2)連接AP.延長8。交AP于點E,若8。_LAP, AB=垃,OP=L 求。七的長度. 4、/ BB圖1圖2解：(1)略.(2)連 AC, OA, ZC=ZABF=ZAPC,二.設。E=x，在 RS AOE 中，x2+(-e)=30。= NOCE：AO交。于點E.1 ZO

22、CA,又 OA與、,連接P8、BD.馬2一解得X = l. 43 .如圖，oABCO中，。經過A、B、C三點，0c的延長線交。于點E, BE=AB.(1)求證:A。為。的切線：(2)若 BE= 13, DE=36,求。的半徑.解：略.(2)易知 AB=CO= 13,作 于 M, AN1DE 于 N,工EM=5, BM=12,連。4 交 8c 于 H, BC=1 Q6厲，,由面積法知，從"=2萬，*=(3而)2+(/?-2炳2, R = y/3.44 .如圖，AB是。的直徑，C為。上一點，過點C的切線CQL4。，垂足為。點，A。交。于E點.(1)連AC,求證：AC平分NBA。：(2)若

23、 CO=4, DE=2,求 8C 的長.解：略. y(2)過。點作 OA/_LA。于“點，連。，則有 0M=4, 0M=OC=R, ：.AM- EM=R 2,在4QW 中，(R-2)2+42=R2, ，/? = 5, ：.AE=6, AC2 =42+82 =64 + 16 = 80 .在 RMAC8 中，5C2 =100-80=20, BC= 25 .5 . 8c為。內一弦，A為優(yōu)弧就C的中點，。為劣弧&上任意一點，過A作AEJ_5。于E, AFJ_C。于 F,則下列結論正確的有 (填序號).NABD=NACD,NEAF=NBAC,NBAC=2/DEF,"默2=2.【提示】9

24、AD=AD. ZABD=ZACD,故對：；AELBD, AFLCD.，NAE3= NAFC=90。，F 為翕C的中點， ：.AB=AC, .-.ABEAACF. A ZEAB=ZFAC.：.ZEAF=ZBAC,故對：VAABEAACF. ：.AE=AF.連 AD,則 AEDgZVIFZ), DE=DF, ：.4DEF= NDFE, NBDC= ZDEF+ ZDFE=2ZDEF.9：BC=BC9 :. /BAC= /BDC=2/DEF,故對：.BE=CF. VAAEDZXAFD,:.DE=DF,=2,故對:CD-BD CFDF-(BE-ED) DF+ED 2ED EDED = ED ='ED故填.6.如圖，在。中，直徑AB_L弦CD,點P是檢上任一點，作AMJ_OP延長線于則與產=解：連接A。、AC,過A作ANLCP于N.;直徑 46CD, ：.AC=AD, ，AC=AD.0 = a, ZACP=ZADP. AMLMD. ANLCP,:.aamdaanc9 :.dm=cn, am=am 9：AP=AP.J.AAMPAANP.:MP=PN,.PC-PD CN+PN (DM-MP) PN+PM 2PM ,*