不等式易錯習(xí)題精選精講

1、1、不等式的性質(zhì):（1）同向不等式可以相加；異向不等式可以相減:異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減;（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘,a b、(若 a b 0,0 c d ,則一 一)； c d(3)左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方:abc .10,a b ,則一 a1心, 一.如(1)b(2)已知1 x y1,1 x(3)已知a b c,2.不等式大小比較的常用方法:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)不等式易錯題練習(xí)若 a b, c d ,則 a c但不能相除；異向不等式可以相除,若 a b 0 則 an1b3 ,則3x y的取值圍是c c0則一的取值圍

2、是 a(答:作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果;作商（常用于分數(shù)指數(shù)嘉的代數(shù)式）分析法；平方法；分子（或分母）有理化;利用函數(shù)的單調(diào)性；尋找中間量或放縮法圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）設(shè)a0且 a1,t-1t 1 ,.0 ,比較一 log a t和log a的大小22答：當a/1 .1 時，Tog at210g a(t1時取等號）；當0 a（2）設(shè) a2,p a 六,q2 a24a（3）比較110gx 3與 210gx 2答：當0 Xb d (若 a b, c d ,則但不能相乘：若a b0,c貝U ac bd.(答:2,1時,幾而；（4）若ab

3、1 3x y 7)；1 .-10gat 10g a0,a11 H則一一；右a b（t 1時取等號）;,a 2,試比較p,q的大?。ù穑簆 q）；1的大小.41或 x 鼻時,1 1ogx3 210gx 2;當13.利用重要不等式求函數(shù)最值時，你是否注意到: 如（1）下列命題中正確的是“一正二定三相等,4一時，1 10gx3 210gx2;當和定積最大，積定和最小”這 43時，1 10gx3 2logx217字方針。1a、y x 一 x的最小值是2B、yx2 3的最小值是2x22C、y 2 3x4-x 0的最大值是 x2 4-3D、y 2 3xx 0的最小值是2 4百（答：C）；x(2)若 x 2

4、y 1 ,則 24y的最小值是.(答:2 2);(3)正數(shù)x, y滿足x 2y1a的最小值為y（答：3 2無）;4.常用不等式有:a2 b2V 2（根據(jù)目標不等式左右的運算結(jié)構(gòu)選用）；(2)a, b,c_22R,a babbcca ，（當且僅當a b c時，取等號）；(3)若 a b0,m 0,則（糖水的濃度問題）。如：如果正數(shù)a,b滿足ab a3,則ab的取值圍是（答：9,）5、證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法（比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論。）.11111常用的放縮技巧有： -n n 1 n n 1 n n

5、n 1、.k 1, k =-=. k k 1k 1 Jk 2.k ,k 1. k如（1）已知a b八一2, ,22,2,22c,求證：a b b c c a ab bc ca ;2.2.2 22 2(2) 已知 a,b,c R ,求證：a b b c c aabc a b c ；(3)已知 a, b, x, y（4）若a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證:lgalglglg a lg b lg c(5)若 n N* ,求證：J n 1 2 1a b（7）已知a b ,求證：1 1 i a b11,12。（8）求證：1 -2 L f2232 n26.簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是:（1

6、）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正;（2）將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回;（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)f X的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集_2_1、_如（1）解不等式x 1 x 20。（答：x| x 1或x2）；（2）不等式x 2 收2x 3 0的解集是（答：x| x 3或x1）；（3）設(shè)函數(shù)f x , g x的定義域都是R,且f x0的解集為 x|1 x 2 ,g x0的解集為，則不等式f x g x 0的解集為（答：,1 U 2,；222（4）要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2x 9x a 0 （解集非空）的每一個x的值至

7、少滿足不等式 x 4x 3 0和x 6x 8 081中的一個，則實數(shù) a的取值圍是.（答：7, ）7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為 系數(shù)為正，最后用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母,0,再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的 但分母恒為正或恒為負時可去分母。2x(答：1,1 U 2,3 );（2）關(guān)于x的不等式ax b0的解集為1,則關(guān)于ax b -不等式0的解集為,1 U 2,8.絕對值不等式的解法:(1)分段討論法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）:如解不等式2(答:R);(2)利用絕對值的定義;(3)數(shù)形結(jié)合；如解不等式(答:U 2,(4)

8、兩邊平方：如若不等式 3x9、含參不等式的解法：求解的通法是 的解集是。2xR恒成立，則實數(shù)a的取值圍為“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵._ (答:”注意解完之后要寫上:“綜上，原不等式注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集（答：a 1或0 a,2_如（1）若loga x a R ,則a的取值圍是 31- 八 一x| x 一 或x 0 ; a 0 時， a2ax八（2）解不等式x a R （答：a 0時，x|x0；aax 1,1 cx| x 0或 x 0 a提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）不等式解集

9、的端點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義圍的端點值。x 2如關(guān)于x的不等式ax b 0的解集為,1，則不等式 0的解集為 ax b10.含絕對值不等式的性質(zhì)：a,b同號1a b| |a| |b| |a| |b| |a b|.a,b 異號|a b| |a| |b| |a| |b | |a b|.-2一 、 一,一一_如設(shè)f x x x 13,實數(shù)a滿足x a 1,求證：f x f a 2 a 1ii.不等式的恒成立，能成立，恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題, 也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）1） .恒成立問題若不

10、等式f xA在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上f xmin A若不等式f xB在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上f x Bmax如（1）設(shè)實數(shù)x, y滿足x2y 1 2 1,當x y c 0時，c的取值圍是（答：J2 1,）；（2）不等式x 4 x 3 a對一切實數(shù)x恒成立，數(shù)a的取值圍（答：a 1）；八 /2 ,八 一一77 1 73 1（3）若不等式2x 1 m x 1對滿足 m 2的所有m都成立，則x的取值圍（答：, ）；22n 1n13（4）若不等式1 a 2 對于任意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù) a的取值圍是（答：2-）；n221（5）若不等式x 2mx 2m 1 0對0 x 1的所有

11、實數(shù)x都成立，求m的取值圍.（答：m 一）22） .能成立問題若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f xA成立，則等價于在區(qū)間D上f xm* A；max若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f xB成立，則等價于在區(qū)間D上的f x min B.如已知不等式 x 4 x 3 a在實數(shù)集R上的解集不是空集，數(shù) a的取值圍（答：a 1）3） .恰成立問題若不等式f xA在區(qū)間D上恰成立，則等價于不等式f xA的解集為D；若不等式f xB在區(qū)間D上恰成立，則等價于不等式f xB的解集為D .例題選講：一 一 2例題1已知二次函數(shù)f（x） ax bx（a 0）滿足1 f（ 1） 2,2f（1） 5,求£（

12、3）的取值圍。錯解：Q f( 1) a bf(1) a b32127232又Q f ( 3) 9a3b3)30正解：設(shè)f(3)mf (1)nf(1),則有 9a 3b m(a b) n(af ( 3) 6f ( 1) 3f (1)f(1)f(1) 5,12 f(3) 27剖析：在多次應(yīng)用不等式樣性質(zhì)的時候，若等號不能同時成立時,c7 2,r c 、，口例題2、已知0 x 一，求f (x) x (7 3x)的最大值。3會使所求圍擴大,因此在解不等式圍的題時務(wù)必要檢查等號能否成立。錯解：Q x2(7343 f(x)/一、1 一一1 , x 2x3x)xg2xg7 3x)(22343即f (x)的最

13、大值為。547 3x/343542，一正解 1 ： f (x) x (73x)3-x (723x)3 x4 2_93x233x13722433因此，當且僅當一x23x14時,9f (x)的最大值為1372243正解2:(用導(dǎo)數(shù)知識解) Q f (x)x2(73x)f (x) 14xf (x)0,得 14x 9x2 0147 ,且當314一時，9小 14、，x (0,)時,9f (x)的最大值為14 7f (x) 0；當 x (一,一)時，f (x) 9 31372243剖析：在應(yīng)用均值不等式解題時，忽視了均值不等式中等號成立的條件:中取何值，等式x2x 73x都不成立?！耙徽⒍?、三相等”中

14、的第三個條件,7因為無論x在0 x 3例題3、已知a 0且ax的不等式1的解集是xx 0 ,解關(guān)于x的不等式loga(x1一)0的解集。xw I /1、錯解：loga(x -) x1；52正解：因為關(guān)于x的不等式1的解集是,，1、 clog a(x )0x1x 0x1x _ 1x1 52或 11 ,5原不等式的解集是(1,1.5、2 )。剖析：其一、忽視了所給條件的應(yīng)用和對數(shù)的真數(shù)大于例題4、已知:b都是正數(shù)，且0,其1a a二、忽視了分式不等式正確解法。的最小值。錯解：Qb都是正數(shù),2,2屋2正解：Q當且僅當4,的最小值為4。b都是正數(shù)，且1 b b1一時，2(aabb)的最小值為5。aba

15、b1ab2中等號成立的條件是當且僅當剖析:2中等號成立的條件是當且僅當b 1 o這與a b 1矛盾,因此解題中忽視了條件ab 1,從而造成錯誤。例題5解不等式 x 1收x 20.0,解彳導(dǎo)x>2.x 2 0.x 1錯解一：原不等式可化為2x:原不等式的解集是x|x> 2.錯解二：在不等式f(x) ,g (x)，。中，按f(x)的取值情況分類,f (x) 0,，g(x) 0,f(x)0,或 I.g(x) 0x > 1時，原不等式等價于 x2 x 2 > 0,解得x > 2;x = 1時，顯然qg(x)無意義，其解集為綜上所述，原不等式的解集為x|x > 2.學(xué)

16、”具有相等與不相等的雙錯因：錯解一中，當x = - 1時，原不等式也成立，漏掉了 x = - 1這個解.原因是忽略了不等式中 重性.事實上， f (x) 0,不等式 f(x) - v'g(x) >0 與 ,、 c 或 g(x) = 0 同解.g(x) 0f(x) 0,錯解二中分類不全，有遺漏，應(yīng)補充第三種情況g(x) 0.即當x - l < 0 ,且x2x 2 = 0時也合乎條件，即補上 x = - 1 .故原不等式的解集為x|x> 2,或x = - 1.分析一：符號是由符號“>” “=”合成的，故不等式f(x) - Jg(x) > 0可轉(zhuǎn)化為f(x)、/

17、g(x) > 0或f(x) 4； g(x) = 0.正解一：原不等式可化為(i)(x-i) qx2 x 2 > 0,或(u)(x - 1) <x2 x 0 = O .x 1 0,(I)中，由 9得 x > 2;(口)中，由 x2- x- 2 = 0,或 x 1 = O,x2x 2 0.且x2 - x - 2有意義，得x = 1 ,或x = 2 .:原不等式的解集為x|>2,或x = - 1.分析二：在不等式f(x) g(x) )0中，按g(x)的取值情況分類，有兩種情況：f(x) 0,(1)g(x) > 0時，等式等價于 , (2)g(x) = 0時'

18、;只須f(x)有意義即可.,g(x) 0,正解二：分兩種情況討論.x 1 0,(1)當x2 - x 2 > 0 ,即x > 2 ,或x < - 1時，原不等式等價于x2 x 2 0解彳導(dǎo)x > 2 .(2)當x2 x 2 = 0 ,即x = 2 ,或x = - 1時，顯然有意義，是原不等式的解 綜上所述.原不等式的解集是 x|x>2,或x = - 1.例題6設(shè)函數(shù)f xJx2 1 ax,其中a 0,解不等式+ 1 < (1 + ax)2 ,錯解：:不等式f(x)<1, Vx21 < 1 + ax.兩邊平方，得x2即 x-(a2- 1)x + 2a

19、 >0, /a > 0,:當 a > 1 時，x > 0,a-12a當 0 < a < 1 時，0 < x < r .1 aax>0錯因：未能從已知條件中挖掘出隱含條件:進而由a > 0可得x>0.正解：不等式f(x) & 1,即 vx21 <1 + ax .由此得101 + ax ,即ax> O,其中2x原不等式等價于不等式組x221 (1 ax)2,即 x(a20.x 0.1)x 2a 0,:當0 < a <1時，原不等式的解集為x|0< x< 一12a;當a>1時，原不等式

20、的解集為x|x>O.小結(jié)：解不等式常見的思維誤區(qū)有:(1)概念模糊。變形不同解.常見于解分式不等式、對數(shù)不等式、無理不等式、指數(shù)不等式、含絕對值不等式、含排列數(shù)或組合數(shù)的不 等式等等.(2)以偏概全，未分類或分類不全，對某些含有參數(shù)的不等式，未進行分類討論，片面認為是某種情況.如例題6.(3)忽視隱含條件，信息不能被全部挖掘出來.如例題7.例題7不等式證明的錯解的成因及分析策略不等式的證明方法有很多，如:基本不等式法、比較法、綜合法、分析法、反證法、判別式法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、放縮法、導(dǎo)數(shù)法、公式法 (向量公式、方差公式、斜率公式等 卜數(shù)形結(jié)合法等等.不等式的證明過程，是常規(guī)的證明方法

21、及構(gòu)造性思 維在新的領(lǐng)域中的移植和運用，以及局部的創(chuàng)新.但在實際教學(xué)活動中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于不等式證明上存在著一定的思維障礙，并仍有不少學(xué)生沉醉于“題海戰(zhàn)術(shù)”之中，阻礙著創(chuàng)造性思維能力的發(fā)展.、用新教材中新增知識點證明不等式這一思考方法很不適應(yīng)例1忽視向量不等式等號成立條件，造成圍失真irr ur r向量不等式| p | | q | | p q |等號成立的條件為ur，當向量p /r ur rq且p與q方向相同時“+ ”不等式取等號；當向量urPr irq且Pr與q方向相反時“-”不等式取等號.例 2 a2 16 . (a 4)2 36 >2.29 .ir rur rir錯解設(shè) p (a

22、,4), q (a 4,6)，由 | p | |q| |pf211r、,a2 16 ,(a 4)2 36 |p| |q |ir rI p q| l(a,4) (a 4,6) | |(4, 2)| ,16 4. Ja2 16 J(a 4)2 36 > 2 V5 .irr ur r成因分析 向量不等式| p | | q | | p q |等號成立的條件是2.5irr ur rirrp / q，且向量p與q方向相反，而當p / q時，得a8，此時irrp ( 8,4), q ( 12,6)方向相同，故等號不成立，使不等式圍縮小了ir rur r urr正解設(shè) p(a,4), q(4 a,6),

23、由 | p | q| pq|,得 ur rur ra2 16 , (a 4)2 36 I p| |q| I p q|(a,4) (4 a,6) | |(4,10) | ,16 100 2 29irr 8 ur rr ur r ur r|q| I p q| I p| |q|當p / q即a 時，p,q方向相同，故等號成立. 5ur r ur rur評述 向量作為新教材中的另一個新增知識點，利用數(shù)量積不等式|p q | | p| | q |與和差不等式| p|證明不等式，有著其它方法所不能比擬的優(yōu)越性，在教學(xué)中應(yīng)適當推廣及應(yīng)用 、忽視題設(shè)條件或隱含條件有些題設(shè)條件看似平淡，但在解題中就會顯示出其隱

24、蔽性，學(xué)生往往由于忽視了隱含條件，或?qū)﹄[含條件的挖掘只浮于表面，而未能展示其真正的面目，從而在解題過程中誤入陷阱0,n為偶數(shù)，證明bn 1nabn錯解 a(an bn)(an1 (ObFbn1)n 為偶數(shù)，：(ab)nbn 1同號，bn 1na成因分析實際上，n為偶數(shù)時，1 bn1不一定同號，這里忽略了題設(shè)條件 a b0,在沒有明確字母的具體值情況下，要考慮分類討論，即需分a0,b 0和a,b有一個負值的兩種情況加以分類討論bn正解an 1 a bnbn)(an1 bn1) (ab)n當0,b0時,(ab)n0,(ann n 1b )(a當bn)(a(ab)n)>0 ,n 1 a bna

25、, b有一個負值時，不妨設(shè)a0,b0,即 a |b| .為偶數(shù)時，：(ann n 1b )(abn1盧0，且(ab)n 0bn 1nan 1a 1> nb an n n 1 n 1、a b )(a b )->0，故(ab)n綜合可知，原不等式成立.、分式不等式分母較復(fù)雜時，不能靈活變形而形成思維障礙證明分式不等式需要去分母，去分母的方法有很多，如輪換法、添加分母法、添加分式法、添加和積式法等等 ，在添加代數(shù)式時需考慮 均值不等式等號成立條件，并最終利用均值不等式去掉分式或部分分母 ，但學(xué)生對于這一靈活的變形常常無法領(lǐng)悟 ，覺得在解題時處 處均可下手，但又無從下手，從而形成分式變形障

26、礙.例 5 已知 a,b, c 0, abc 1,1113證明 二 二 工> 一.a (b c) b (c a) c (a b) 2分析這是一道技巧性較強的分式不等式證明題，其分子與分母差別太大，學(xué)生往往不能注意其整體聯(lián)系 ，而想省事處理，想一步到位地消去所有分式，從而進入了繁忙的運算程序中，最后不得結(jié)果，反而覺得此題處處都是切入點，又處處陷于被動.實際上，由1abcbc 11a3 (b c)a3(b c) a2(b c)a2 1 1b c、1 1 11可添加分式k ()，使彳寸一2b c a 1bk(b-) c2Ma由a b c 1時，不等式取等號 得k1故可考慮添加分式-)來解決問題. c1證明v :a (b c)111c，a ；b3(c a)11111-3 -( )> c (a b) 4 a b b11111111.13-+ -+ -> ( + +)> J-a (b c) b (c a) c (a b) 2 a