八年級數(shù)學(xué)三角形輔助線大全(精簡、全面)

1、三角形作輔助性方法大全L在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等關(guān)系時，如果直接證不出 來，可連結(jié)兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形外角的位置 上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題.例:已知D為AABC內(nèi)任一點，求證:NBDO/BAC證法（一）：延長BD交AC于E, VZBDC JAEDC 的外角, AZBDOZDEC 同理：ZDEC>ZBAC AZBDC>ZBAC證法（二）：連結(jié)A D,并延長交BC于F NBDF是4ABD的外角,AZBDF>ZBAD同理 NCDF>NCAD:.ZB D F+ ZCDF> ZBAD+ZCAD

2、即:NBDONBAC2 .有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形.例：已知,如圖，AD為ABC的中線且Nl = Z2, N3=N4,求證：B E+CF>E F證明：在DA上截取DN = DB,連結(jié)NE、NF,則DN =DC在 BDE和ANDE中,DN= D BZ1 = Z2ED = EDAABDEANDEABE = NE 同理可證:CF=NF EAEFN 中,EN+FNAEF :.BE+CF>EF3 .有以線段中點為端點的線段時，常加倍延長此線段構(gòu)造全等三角形.例:己知,如圖，AD為aABC的中線，且N1 =N2, Z 3 = N4,求證：BE+CF>EF 證明

3、：延長ED到M,使DM = DE,連結(jié)CM、FMBDE和CDM 中，BD= CDZ1 = Z 5ED =MDAABDEACDMACM = BE又/I =N2, Z3= Z4Z1 + Z2+Z3+ Z4 =180。AZ 3 +Z 2 =900即 NEDF = 9 0。AZFDM = ZEDF = 90。 EDF 和MDF 中ED = MDZFDM = ZEDFDF = DFAAEDFAMDF，EF =MF在 C MF 中,CF+CM >MFBE+CF>EF（此題也可加倍FD,證法同上）4.在三角形中有中線時，常加倍延長中線構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖.AD為aABC的中線，求證：A

4、B + AO 2 AD證明：延長AD至E,使DE = AD,連結(jié)BE,AD為ABC 的中線/.BD = CDIAACD 和4EBD 中B D =CDZ1 = Z2AD = EDAAACDAE bdV ABE 中有 AB+BE>AEAAB+AC>2 AD5 .截長補短作輔助線的方法截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段； 補短法:延長較短線段和較長線段相等.這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法.當已知或求證中涉及到線段8、力、C、d有下列情況之一時用此種方法: (Dn> b a±b =c a±b = c± d例:己知,如圖，在AA BC中,ABAAC,

5、 N1 = / 2 .P為AD上任一點， 求證：AB-AC>PB-PC 證明:截長法：在AB上截取AN = AC,連結(jié)PN在4APN和4APC中， AN= AC Z1 = Z2 AP = AP AAAPNAAPC :.PC = PNVABPN 中有 P B -PC<BN APB-PC<AB-AC補短法：延長AC至M,使AM = AB.連結(jié)PM 在AABP和AAMP中A B = AMZ1 = Z2A P = APAAABPAAMP，P B = PM又：在 P CM 中有 C M >PM-PCAAB-AOPB-PC練習(xí)：1.已知，在AABC中,NB = 60。，AD、CE是

6、AABC的角平分線，并且它們交于點O求證:AC = AE+CD2 .已知，如圖,ABCDN1 = N 2 ,N3 = Z4. 求證：BC= AB+CD6 .證明兩條線段相等的步驟：觀察要證線段在哪兩個可能全等的三角形中,然后證這兩個三角形全等。若圖中沒有全等三角形,可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所在 的三角形全等.如果沒有相等的線段代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形.例:如圖，已知，BE、CD相交于F,NB = ZC, Z1 = N2,求證：DF =EF證明：VZADF=ZB+Z3ZAEF= ZC + Z4 又,： 43 = Z4ZB = ZCA ZAD F =ZAEF EAAD

7、F 和4AEF 中 ZA D F = ZAEF Z 1 = Z2AF = AF AAADFAAEF ，DF= EF7 .在一個圖形中，有多個垂直關(guān)系時，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個角相等.例:己知，如圖RtZkABC中，AB= AC,NBAC = 9 0。，過A作任一條直線AN,作B D_LAN 于 D, CEJ.AN 于 E,求證：DE = BD-CE證明:/NBAC = 9 0 BD±ANAZ1 + Z2 = 90。 Nl+N3 = 90".Z2= Z3VBD1AN C E±ANAZBDA =ZAEC = 90。在4ABD和4CAE中， ZBDA =Z

8、AECZ2= Z3AB= ACAAABDACAE，BD = AE 且 AD= CE AAE-AD = BD-CE ADE = B D-CE8 .三角形一邊的兩端點到這邊的中線所在的直線的距離相等.例:AD為AA BC的中線，且CF±AD于EBE±AD的延長線于E 求證:BE = CF證明:（略）9.條件不足時延長已知邊構(gòu)造三角形.例：已知 AC= BD, AD_LAC 于 A, BCBD 于 B求證:AD= BC證明：分別延長da、cb交于點eV ADIAC BC±BD，ZCAE = ZD B E = 9 0 ° 在ADBE和ACAE中ZDBE =ZCA

9、EBD =ACZE =ZEAADBEACAE，ED = EC, EB = EA AED-EA = EC- EBAAD = BC10.連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題.例:己知，如圖,ABCD,ADBC 求證：AB = CD 證明:連結(jié)AC（或BD）VAB/7CD.AD/7 B CAZI = Z2在4ABC和4CDA中,Z 1 = Z2AC = CAZ3 = Z4AAA BCACDAEBA AB =CD練習(xí)：已知，如圖,AB= DC,AD = BC, D E = BE 求證:BE = DF可歸結(jié)為“角分垂等腰歸91, Z1 = N2 , CELBD 的延1 1 .有和角平分

10、線垂直的線段時，通常把這條線段延長。 例:已知，如圖，在R t ABC中，AB =AC,ZB AC = 長線于E求證：BD = 2CE證明：分別延長BA、CE交于FVBE1CFAZBEF=ZBEC = 90” 在ABEF和ABEC中Z1 = Z2BE = BEZBEF =ZBE C .-BEFABECACE = FE =lcF 2VZBAC = 90° , BE±CF Z B AC = ZCAF = 90 1Zl + ZBDA = 90。Z 1 +ZB FC = 9 0° ZBDA = ZBFC 在AABD和AACF中 ZB A C = ZCAF ZBDA=ZBF

11、C A B = A C 二AB DAACF :.BD = CF ABD =2CE練習(xí):已知，如圖，ZACB = 3ZB, N1=N2, CD_LAD 于 D, 求證:AB-AC = 2CD12 .當證題有困難時,可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點連接起來構(gòu)造全等三角形.例：己知，如圖，AC、BD相交于O,且AB = DC, AC= BD. 求證：ZA = ZD 證明：（連結(jié)BC,過程略）13 .當證題缺少線段相等的條件時，可取某條線段中點，為證題提供條件.例：已知，如圖，AB = DC,ZA= ZD求證:N ABC = ZDCB邊做垂線，利用角平證明:分別取AD、BC中點N、M, 連結(jié)NB、NM

12、、NC（過程略）14 .有角平分線時，常過角平分線上的點向角兩 分線上的點到角兩邊距離相等證題.例:己知,如圖，Zl = Z2下為811上一點，且P DLBC于D, AB+BC = 2BD,求證:NBAP+NBCP= 180°證明：過P作PE_LBA于EP D J_BC, Zl = Z2APE =PD在 Rt/BPE 和 RtaBPD 中BP= B PPE = PDARtABPERtABPD :.BE = BDVAB + BC = 2BD.BC = CD+BD, AB = BE-AE/. AE = CDPE_LBE, PD±BCZPEB =ZPDC =90。在APEA和aP

13、DC中PE = PDZP EB=ZPDCAE =CDPEAd PDCZPCB = NEAPVZBAP+ZEAP= 180°AZBAP+ZBCP = 1 80°練習(xí)：1.已知，如圖，PA、PC分別是ABC外角NM AC與NNCA的平分線，它們交于P, PD_LBM于M, PF_LBN于F,求證:B P為NMBN的平分線2.已知，如圖，在 AABC 中，ZABC =1 00ZACB = 20% CE 是 NACB 的平分線.D是AC上一點，若NCBD=20°.求NCED的度數(shù)015 .有等腰三角形時常用的輔助線作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線例：已知，如圖，AB =

14、 AC, BDJ_AC于D.求證:NBAC = 2 ZD BC證明：（方法一）作NBAC的平分線AE,交BC于E,則Nl = N2= -ZBAC2又 TAB = ACAAE1BCaAZ2+ZACB=90°/KVBD1ACAZDBC + ZACB = 90°b/TcAZ2 = ZDBCAZBAC =2ZDBC（方法二）過A作AE±BC于E（過程略）（方法三）取B C中點E,連結(jié)A E （過程略）有底邊中點時,常作底邊中線例:己知,如圖,4ABC中.AB = AC,D為BC中點,DELA B于E .DF_LAC于F,求證：DE= DF證明：連結(jié)AD.D為BC中點，1：

15、.BD = CD/ 又.AB =AC，AD 平分NBACD CVDE±AB.DF±AC:.D E =DF將腰延長一倍,構(gòu)造直角三角形解題例:已知,如圖, ABC中，AB = AC,在B A延長線和AC上各取一點E、F,使AE= A F,求證：EF1BC證明:延長BE到N,使AN =AB,連結(jié)CN,則AB=AN = ACA ZB = ZACB, ZACN = ZANCV Z B + Z ACB+Z ACN + ZANC = 1 80°A2ZBCA+2 ZACN = 180'JAZBC A+ ZACN = 90°y即NBCN = 90。/ANC1BC

16、B 。VAE= AFAZAEF= ZAFE又 Y/BAC = ZAEF+ZAFEZBAC = ZACN +ZANCAZBAC =2ZAEF= 2 ZANCAZAEF= ZANC，EFNC :.E F±BC常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線例:已知，如圖，在4ABC中,AB = 結(jié)DE交BC于F 求證:DF= EF證明：（證法一）過D作DN AE, VAB = AC,A ZB = ZACB AZB=ZDNB ABD =DN 又BD = C E :.DN = EC在4DNF和AECF中 Z1 = Z2 ZNDF =NE DN = ECAC, D在AB上,E在AC延長線上，且BD =

17、CE,連交BC于N,則NDNB 二NACB, NNDE=NE.EAADNFAECF，DF=EF（證法二）過E作EMAB交BC延長線于M,則NEMB =NB（過程略） 常過一腰上的某一已知點做底的平行線AE,例：已知，如圖,ZABC中，AB =ACE在AC上.D在BA延長線上，且AD 連結(jié)DE 求證:DE_LBC證明:（證法一）過點E作EF B C交AB于F,ZA FE =ZB ZAEF =ZC VAB = AC AZB =ZC /. ZAFE =ZAEF AD = AEAZAED=ZADE1800又 TNAFE+NAEF+N A E D + ZADE A2ZAEF+2ZAE D = 9 0”即

18、/FED = 90。，DE±FE又; EF/7BCADE±BC（證法二）過點D作DNBC交C A的延長線于N,（過程略） （證法三）過點A作AM BC交D E于M,（過程略） 常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形-一一等邊三角形例:已知，如圖，ZkABC中，AB = AC, ZB AC = W , P為形內(nèi)一點，若NPB C =10。 ZPCB =3 0。求NPAB 的度數(shù).解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結(jié)CE 則 NBAE=NABE = 60。AE=AB=BEVAB= ACAAE =AC ZABC =ZACBAZAEC=ZACE,: ZEAC =ZBAC-Z B A

19、E80 °= 80。-600 = 20"A ZACE = - (18 0 0-ZEAC)= 2VZACB= 1(1 8 0°.ZBAC)=50° 2AZ BCE =ZACE-ZA CB=80。-5 0 ° =30”V ZPCB =3 0°:.ZPCB = ZBCEV ZABC =Z ACB= 5 0°, ZABE = 60°AZEBC=ZABE-ZABC = 60。- 5 0” =1 0V ZPB C = 10°A ZPBC = ZEBC在aPBC和AEBC中ZPBC = ZEBCBC =BCZPCB =

20、 ZBCE/.PBCAEB C，BP =BEVAB = BEA AB = BPAZ BAP =ZBPAVZABP=ZABC-ZPBC =50*10" =40°AZP AB= -(18O)-ZABP)= 70° 2解法二:以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。解法三:以BC為一邊作等邊三角形ABCE,連結(jié)AE,則EB = EC= BC, ZBEC =ZEBC =60” VEB =EC.E在BC的中垂線上e同理A在BC的中垂線上Z'E A所在的直線是B C的中垂線小AEA±BC/ZAEB = -ZBEC= 3 00 =ZPCB 2由解法一知:N ABC

21、 =5 0。A ZABE = ZEBC-Z ABC =10" =ZPBCV ZAB E =NPBC,BE = BC,NAEB =NPCBAAABEAPBCA AB =BPA ZBAP =ZBPAV ZABP =ZABC-ZPBC = 5O°-1 0° = 40AZPAB = - (180-ZABP) = -( 1 80°-40°)= 70” 2216.有二倍角時常用的輔助線構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角例：已知，如圖，在aABC 中，Z 1 =/2, ZABC= 2 NC, 求證：AB+BD = AC證明:延長AB到E,使BE

22、= BD,連結(jié)DE 則NB ED = ZBDEV ZABD =ZE+ZBDEAZABC =2 ZE/ ZABC = 2 ZC，ZE= ZC1在 AAE D 和4A C D 中NE= ZCb/ XcZ1= Z21/AD = ADEaaaedaacdA AC = AEVAE= A B+BEA AC = AB + BE 即 AB+B D = AC平分二倍角例:已知，如圖，在ABC中，ZBAC = 2ZDBC求證：ZA BC= ZACB證明:作NBA C的平分線AE交BC于E,則NBAE= ZCAE =ZDBCVBD±ACNCBD+NC = 90°A ZCAE+ZC= 90

23、6;/ ZAEC= 1 8 O0-ZCAE-ZC= 90”AAE1BC，NABC+/BAE= 90°V ZCAE+ZC= 90"ZBAE= ZCAEAZABC = ZACB加倍小角例:已知，如圖，在AABC中，8口_1_人（：于口，ZBAC= 2 ZDBC求證:NAB C = ZACB證明：作/FBD =NDBC, BF交AC于F （過程略）17 .有垂直平分線時常把垂直平分線 例:已知,如圖，ZABC中,AB = A的垂直平分線，EF交BC于上的點與線段兩端點連結(jié)起來.C, ZBAC = 120"，EF 為 AB F,交AB于E求證:BF =1fC2證明：連結(jié)A

24、F.則AF= BF AZB=ZF AB V AB = AC .ZB=ZCV ZBAC = 12 0°A ZB =ZCZBAC =1 (180”-/BAC)= 2AZFAB = 30°A Z F AC =ZBAC-ZFAB = 12 0。- 30"又 YNC = 30。300=9001AAF = - FC2.BF =- FC2練習(xí)：已知,如圖，在ABC中,NCAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點D, DM_LAB于M, DN_LAC延長線于N求證：BM = CN18 .有垂直時常構(gòu)造垂直平分線.例：已知，如圖，在ABC中，NB = 2NC,求證：CD =AB+BD證明：（一）在CD上截取DE = DB,連結(jié)AE,則AB = AEAZB=ZAEBVZB = 2ZCAZAEB = 2ZC又/AEB= ZC+ZEAC，Z