全國(guó)中考數(shù)學(xué)圓與相似的綜合中考真題匯總附詳細(xì)答案

1、全國(guó)中考數(shù)學(xué)圓與相似的綜合中考真題匯總附詳細(xì)答案、相似1.如圖1,經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O的拋物線y=ax2+bx (awQ與x軸交于另一點(diǎn) A (上，0),在第(1)求這條拋物線的表達(dá)式；(2)在第四象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)C,滿足以B, O, C為頂點(diǎn)的三角形的面積為2,求/MBO=/ABO,在(2)的條件下，是否存在點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)如圖2,若點(diǎn)M在這條拋物線上，且P,使得POSMOB?若存在，求出點(diǎn)【答案】(1)解：B (2, t)在直線y=x上,. .t=2, /.B (2,2),把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得 ，拋物線解析式為y=2x2 - 3x4a+b

2、fl 3 7寸(2)解：如圖1,過(guò)C作CD/ y軸，交x軸于點(diǎn)E,交OB于點(diǎn)D,過(guò)B作BF± CD于點(diǎn)F,圖1點(diǎn)C是拋物線上第四象限的點(diǎn)，可設(shè) C (t, 2t2-3t),則 E (t, 0) , D (t, t),.OE=t, BF=2- t, CD=t- (2t23t) = - 2t2+4t, 111.Sa obC=Sa cdo+Sa cdB= W CD?OE+- CD?BF= (-2t2+4t) (t+2-t)= OBC的面積為2,- 2t2+4t=2,解得 ti=t2=1 ,C (1 , 1)-2t2+4t,(3)解：存在.設(shè) MB交y軸于點(diǎn)N,如圖2,1 . B (2, 2

3、) , ZAOB=Z NOB=45 ,°在 AOB和ANOB中上AOB -/NOBOB = OBNAB0 = ZNBC2 .AOBANOB (ASA), l' J.ON=OA=.jN (0,-),JJ7可設(shè)直線BN解析式為y=kx+工，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得 2=2k+ _ ,解得k=7 ,3，直線BN的解析式為y= -i x+上，聯(lián)立直線BN和拋物線解析式可得T 貨 力，解得日-，M （- 5 ,義），,. C (1 , - 1) , Z COA=Z AOB=45 ,° 且 B (2, 2), .-OB=2 1工，OCY, -.POCAMOB,圓相5=況=2, / P

4、OC4 BOM,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，如圖 3,過(guò)M作MGy軸于點(diǎn)G,過(guò)P作PHx軸于點(diǎn)H, / COA=Z BOG=45 ；=2,/ MOG= / POH,且 / PHO=Z MGO,.MOGAPOH, 士(: M (占，比)， .MG= , OG=,I 31 超.PH=匕 MG= % , OH=工 OG=偏,當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，如圖 4,過(guò)M作MGy軸于點(diǎn)G,過(guò)P作PHy軸于點(diǎn)H,j 3 i 45同理可求得 PH= - MG= lb o OH= 一二 OG=6"| J| 45.P ( R,詬)；4533 國(guó)綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為(汨，五)或(-五，汨)【解析】【分析】

5、(1)根據(jù)已知拋物線在第一象限內(nèi)與直線 y=x交于點(diǎn)B (2, t),可求 出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將點(diǎn) A、B的坐標(biāo)分別代入 y=ax2+bx,建立二元一次方程組，求出 a、b 的值，即可求得答案。(2)過(guò)C作CD/ y軸，交x軸于點(diǎn)E,交OB于點(diǎn)D,過(guò)B作BF，CD于點(diǎn)F,可知點(diǎn) C、 D、E、F 的橫坐標(biāo)相等，因此設(shè)設(shè) C (t, 2t23t),則 E (t, 0) , D (t, t) , F (t, 2), 再表示出 OE、BF、CD的長(zhǎng)，然后根據(jù) Sobc=Scdc+Sa cdb=2,建立關(guān)于t的方程，求出t 的值，即可得出點(diǎn) C的坐標(biāo)。(3)根據(jù)已知條件易證 AOBNOB,就可求出 ON

6、的長(zhǎng)，得出點(diǎn) N的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B、N的坐標(biāo)求出直線 BN的函數(shù)解析式，再將二次函數(shù)和直線BN聯(lián)立方程組，求出點(diǎn) M的坐標(biāo)，求出 OB、OC的長(zhǎng)，再根據(jù) POgMOB,得出竹 . , /POC=/ BOM,然 后分情況討論：當(dāng)點(diǎn) P在第一象限時(shí)，如圖 3,過(guò)M作MGy軸于點(diǎn)G,過(guò)P作PHI±x 軸于點(diǎn)H,證MOGsPOH,得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn) P在第三 象限時(shí)，如圖4,過(guò)M作MGy軸于點(diǎn)G,過(guò)P作PHy軸于點(diǎn)H,同理可得出點(diǎn) P的坐 標(biāo)，即可得出答案。2.如圖，已知：在 RtABC中，斜邊 AB=10, sinA= $，點(diǎn)P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與 A,B重合)

7、，PQ平分/CPB交邊BC于點(diǎn)Q, QMLAB于M, QNLCP于N.(2)若四邊形PMQN為菱形，求CQ;(3)探究：AP為何值時(shí)，四邊形 PMQN與4BPQ的面積相等?【答案】(1)解：. AB=10, sinA= 1 ,BC=8,則 AC=淳=6, PA=PCZ PAC=/ PCA, PQ 平分 / CPR/ BPC=2Z BPQ=2Z A,/ BPQ=Z A, .PQ/ AC, .PQBC,又 PQ平分 /CPR/ PCQ=Z PBQ, .PB=PC .P是AB的中點(diǎn)，IPQ= AC=3(2)解：二四邊形PMQN為菱形，MQ / PC,/ APC=90 ,°a a 二 X A

8、BX QP= AC? BC則 PC=4.8,由勾股定理得，PB=6.4,. MQ / PC,PBR = =解得，CQ=(3)解：PQ平分/CPB, QMXAB, QNXCP, .QM=QN, PM=PN,Sapmq=Sapnq ,四邊形PMQN與 BPQ的面積相等， .PB=2PM,.QM是線段PB的垂直平分線,/ B=ZBPQ,/ B=/CPQ.CPCACBP,£灰"一況戰(zhàn).CP=4 乂楣=4 .CQ= 8.BQ=8-=.BM=.AP=AB- PB=AB- 2BM=【解析】【分析】(1 )當(dāng)2539QC - - ff¥ 一S ,所以74,因?yàn)?AP=AB-2BM

9、,所以AP=CP時(shí)，由銳角三角函數(shù)可知AC=6, BC=8,因?yàn)?PQ平分/CPB,所以PQ/AC,可知PB=PC所以點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，所以 PQ是4ABC的中位線，PQ =3;(2)當(dāng)四邊形 PMQN為菱形時(shí)，因?yàn)?/APC=%，所以四邊形PMQN為正方形，可得PB 刷四劌PC=4.8, PB=3.6,因?yàn)镸Q/PC ,所以走 她 眇 家，可得” ：；(3)當(dāng)QM垂直平分PB時(shí)，四邊形PMQN的面積與 BPQ的面積相等，此時(shí) CPQsCBP,對(duì)應(yīng)邊成比例，可得AP=.3.如圖(1),在矩形 DEFG 中，DE=3, EG=6,在 RtAABC 中，/ABC=90°, BC=3, A

10、C=6, 4ABC的一邊BC和矩形的一邊 DG在同一直線上，點(diǎn) C和點(diǎn)D重合，RtABC將從 D以每秒1個(gè)單位的速度向 DG方向勻速平移，當(dāng)點(diǎn) C與點(diǎn)G重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，解答下列問(wèn)題:圖（1）如圖（2）,當(dāng)（2）如圖（3）,當(dāng)DfB) C G 圄AC過(guò)點(diǎn)E時(shí)，求t的值;AB與DE重合日AC與EF、EG分別交于點(diǎn)M、N,求CN的長(zhǎng);（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)RtABC與4EFG重疊部分面積為y,請(qǐng)求出y與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)t的取值范圍.【答案】（1）解：如圖（2）,當(dāng)AC過(guò)點(diǎn)E時(shí),在 RtA ABC 中,BC=3, AC=6, BC所對(duì)銳角/A=30；/ ACB=60 ；

11、依題意可知/ ABC=Z EDC=90 , / ACB=Z EC口 .ABCAEDC,CD 必CB AB ,即，CD=W ,t=CD=.(2)解：如圖(3) , /EDG=90, DE=3, EG=6,DG=IJ胡-源亞=3ED 31= 二 .在 RtA EDG 中，sin / EGD.七 6 二，/ EGD=30 ； / NCB=Z CNG+/ EGD,/ CNG=Z NCB- / EGD=60 - 30 =30 ；/ CNG=Z EGD, . NC=CG=DG- BC=3、'5 - 3;（3）解：由（1）可知，當(dāng)x人后時(shí)，4ABC與4EFG有重疊部分. 分兩種情況：當(dāng)，±

12、vtw時(shí)，如圖（4）,圖 ABC與4EFG有重疊部分為 AEMN,設(shè)AC與ER EG分別交于點(diǎn) M、N,過(guò)點(diǎn)N作直線NPXEF于 P,交 DG 于 Q,貝U / EPN=/ CQN=90 ,NC=CGNC=DG- DC=34-t,g二十1在 RtNQC 中，NQ=sinZ NCQ NC=sin60° x （3、凸t） =2.PN=PQ- NQ=3-二 =2, / PMN=/ NCQ=60 ；MPN 6t - 32.sinZ PMN=力第，MN=式口切"在矩形DEFG中，EF/ DG,/ MEN=Z CGN, / MNE=Z CNG, / CNG=Z CGN,/ EMN=Z

13、MNE,.EM=MN ,EM=MN=t - W ,''' y=S»A EMN=EM?PN= 4 X 當(dāng)3Vt 時(shí)，如圖（5）, ABC與4EFG重疊部分為四邊形 PQNM,設(shè)AB與EF、EG分別交于點(diǎn) P、Q, AC與EF、EG分別交于點(diǎn) M、N,貝U/EPQ=90°, . CG=3 鄧-t,產(chǎn)/HSa emn=EP=DB=t- 3, /PEQ=30,在 RtEPQ中，PQ=tanZ PEQX EP=tan30 （t°3）=a(t 3) x/.Saepq=: EP?P®6y- Y=Sa emn Sa epQ=綜上所述，y與t的函數(shù)

14、關(guān)系式：y=7 產(chǎn)一二# t 3)r J 二 4(5>3R3. Gr * (y3 - -Jf (3 V f W 為團(tuán)q4,jf【解析】 【分析】(1) ffi AABCAEDC,由相似三角形的性質(zhì)可求出CD的值，即可求t；(2 )利用勾股定理求出DG的值，則由角函數(shù)可/ EGD=30 ,進(jìn)而可證得/CNG=/ EGD,貝U NC=CG=DG- BC,可求出答案；(3)根據(jù)重疊部分可確定 x的取值范圍，再由三角形的面積公式可求出函數(shù)解析式4.如圖，矩形 ABCD中，AB=m, BC=n,將此矩形繞點(diǎn) B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 0 (0°< 0< 90°) 得到矩形A

15、1BOD1 ,點(diǎn)A1在邊CD上.(1)若m=2, n=1,求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn) D到點(diǎn)Di所經(jīng)過(guò)路徑的長(zhǎng)度；(2)將矩形A1BGD1繼續(xù)繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到矩形A2BC2D2 ,點(diǎn)D2在BC的延長(zhǎng)線上，設(shè)邊A2B與CD交于點(diǎn)E,若= N，-1,求團(tuán)的值.(1)解：作 AiHXAB 于 H,連接 BD, BDiZ>.月HB,則四邊形ADA1H是矩形. . AD=HA1=n=14金在 RtAAiHB 中，: BAi=BA=m=2,，BAi=2HAi , / ABAi=30 °,旋轉(zhuǎn)角為30 °, BD=。產(chǎn)二？ = W ,30 .，Vj.D到點(diǎn)Di所經(jīng)過(guò)路徑的長(zhǎng)度= )

16、翔 G(2)解：BC&4BA2D2 ,CE1切？ /切兒W 曲.ZABAi=30 °,即旋轉(zhuǎn)角為30。，根據(jù)勾股定理算出BD的長(zhǎng)，D到點(diǎn)Di所經(jīng)過(guò)路徑的長(zhǎng)度,【解析】【分析】（1）作AiHAB于H,連接BD, BDi ,則四邊形ADAiH是矩形.根據(jù)其實(shí)質(zhì)就是以點(diǎn) B為圓心，BD為半徑,（2）首先判斷出 BC&4BA2D2 ,WAiELAlt-/1故CE=,根據(jù)EC,故匿圓心角為 30。的弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式，計(jì)算即可；CE &力s n根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出 X宓他1l廠司-/AiC =收T進(jìn)而得出加，由BH=AiC歹由矩形的對(duì)邊相等得出AD=HA=n=

17、1,在 RtAAiHB中，根據(jù)三角形邊之間的關(guān)系判斷出程，求解得出足的值。ZT .AiC=巡？此BH=AiC=W/ ? if =加?崔,.m2-n2=6?而, m4-m2n2=6n4 ,M W1- = =6?4，n ys 卜 三前 3 （負(fù)根已經(jīng)舍棄）5.如圖，在四邊形 ABCD中，/B=/ 0=90°, AB>CD, AD=AB+CD(1)利用尺規(guī)作/ADC的平分線DE,交BC于點(diǎn)E,連接AE (保留作圖痕跡，不寫作法)(2)在(1)的條件下， 證明：AE± DE;若CD=2, AB=4,點(diǎn)M, N分別是AE, AB上的動(dòng)點(diǎn)，求 BM+MN的最小值?！敬鸢浮?1)(

18、2)證明：在 AD上取一點(diǎn)F使DF=DC,連接EF,R. DE 平分 / ADC,/ FDE=Z CDE, 在 FED和CDE中，DF=DQ / FDE土 CDE, DE=DE.FEDACDE (SAS ,/ DFE=ZDCE=90,° Z AFE=180-Z DFE=90/ DEF=Z DEC,. AD=AB+CD, DF=DQ.AF=AB, 在 RtAAFE RtA ABE (HL)/ AEB=Z AEF,/ AED=Z AEF+Z DEF=- / CEF+- / BEF=- ( / CEF+Z BEF) =90 ;AEXDE解：過(guò)點(diǎn)D作DP，AB于點(diǎn)巳由 可知，B, F關(guān)于AE

19、對(duì)稱，BM=FM, .BM+MN=FM+MN ,當(dāng)F, M, N三點(diǎn)共線且FN± AB時(shí)，有最小值，. DPI AB, AD=AB+CD=6/ DPB=Z ABC=Z C=90 ；四邊形DPBC是矩形, .BP=DC=2, AP=AB-BP=2在 RtA APD 中，DP= J5- N' = /x/3 , . FNXAB,由可知 AF=AB=4, . FN / DP, .AFNAADPAF . 記一旗4 FN卜 二即8 電, 座解得FN= ,盛BM+MN的最小值為 3【解析】 【分析】（1）根據(jù)角平分的做法即可畫出圖.（2）在AD上取一點(diǎn) F使DF=DC,連接EF;角平分線定

20、義得/FDE=Z CDE;根據(jù)全等三角形判定SAS得 FEDACDE再由全等三角形性質(zhì)和補(bǔ)角定義得/DFE=/ DCE=Z AFE=90 ；/DEF=/ DEG再由直角三角形全等的判定HL得RtAF® RtA ABE：,由全等三角形性質(zhì)得ZAEB=Z AEF,再由補(bǔ)角定義可得 AE± DE.過(guò)點(diǎn)D作DP, AB于點(diǎn)P;由可知，B, F關(guān)于AE對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)知 BM=FM,當(dāng)F, M, N三點(diǎn)共線且 FN± AB時(shí)，有最小值，即 BM+MN=FM+MN=FN ;在 RtAPD中，根據(jù)勾股定理得 DP=4.爐-4戶=解;由相似三角形判定得 AFNsADP,再由相似

21、三AF 外角形性質(zhì)得AD 加，從而求得FN,即BM+MN的最小值.6.如圖，已知 4ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A (3, 0) , B (0, 4) , C (-3, 0)。動(dòng)點(diǎn) M, N 同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，M沿 ZC,N沿折線 ZB-C ,均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn) C時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間記為t秒。連接MN。望用圖(1)求直線BC的解析式；(2)移動(dòng)過(guò)程中，將 4AMN沿直線MN翻折，點(diǎn)A恰好落在BC邊上點(diǎn)D處，求此時(shí)t值 及點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)M,N移動(dòng)時(shí)，記 AABC在直線MN右側(cè)部分的面積為 S,求S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式。【答案】(1)解：設(shè)直

22、線BC解析式為：y=kx+b,- B (0, 4) , C (-3, 0),r b = 4'以j J4 =-I d解得：b - 7直線BC解析式為：y= 3 x+4.(2)解：依題可得： AM=AN=t,AMN沿直線MN翻折，點(diǎn)A與點(diǎn)點(diǎn)D重合,四邊形AMDN為菱形,作NFx軸，連接AD交MN于O',- A (3, 0) , B (0, 4),.OA=3,OB=4,.AB=5,.M (3-t, 0),又 ANFsMBO,.AF=t, NF= t,.N (3- 3 t, $ t),(3/ t,彳 t),設(shè) D (x,y)54 .x=3- § t,y= § t,8

23、4，D (3-t, t),又. D在直線BC上，484T- J X(3- 1 t) +4=t,3G.t= I,13 囹.D (-萬(wàn)，".(3)當(dāng)0<tW5時(shí)(如圖2), ABC在直線 MN右側(cè)部分為 AAMN,S=5/.=2aM-DF=j X , t= 5t 二, 當(dāng)5<tw時(shí)，4ABC在直線MN右側(cè)部分為四邊形 ABNM,如圖3. AM=AN=t, AB=BC=5 .BN=t-5, CN=-5- (t-5) =10-t,又 ACNFACBO>,=,10 - t NF=,F.NF=歸(10-t),.S= 5版-隕= ACOB- C CM NF,0Hj=- X6X-4

24、-X(6-t) XI (10-t),g圖=-t +t-12.y=kx+b,將B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得出二元【解析】【分析】(1)設(shè)直線BC解析式為:次方程組，解之即可得出直線BC解析式.（2）依題可得：AM=AN=t,根據(jù)翻折性質(zhì)得四邊形AMDN為菱形，作 NF± x軸，連接AD交MN于O',結(jié)合已知條件得 M （3-t, 0）, AS Al' A?又ANFsabo,根據(jù)相似三角形性質(zhì)得 AB = .亂=應(yīng)I ,343 dR代入數(shù)值即可得AF= ' t,NF=5 t,從而得N （3- 4 t, 5 t）,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得O' （3t,:t）,i 0設(shè)

25、D （x,y）,再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 D （3" t,忸t）,又由D在直線BC上，代入即可得 D點(diǎn) 坐標(biāo).（3）當(dāng)0<tW5時(shí)（如圖2） , AABC在直線 MN右側(cè)部分為AAMN,根據(jù)三角形 面積公式即可得出 S表達(dá)式. 當(dāng)5<tO時(shí)，4ABC在直線 MN右側(cè)部分為四邊形 ABNM,由CNFCBO,根據(jù)相似 0通41三角形性質(zhì)得 品=如，代入數(shù)值得 NF= 1 （10-t）,最后由 S=53展-5"湖=上ACOB- /上CM-NF,代入數(shù)值即可得表達(dá)式.7.已知銳角 4ABC中，邊BC長(zhǎng)為12,高AD長(zhǎng)為8(1)如圖，矩形 EFGH的邊GH在BC邊上，其余兩個(gè)頂

26、點(diǎn) E F分別在AB、AC邊上，EF 交AD于點(diǎn)K求AA的值設(shè)EH=x,矩形EFGH的面積為S,求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求 S的最大值(2)若ABAC,正方形PQMN的兩個(gè)頂點(diǎn)在 4ABC 一邊上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在 4ABC的另兩邊上，直接寫出正方形 PQMN的邊長(zhǎng).【答案】(1)解：、 EF/ BC.AEFAABC - AD± BC /.AKI EFEF BC 12 3.正第=下 二.,AD創(chuàng)的.如+得:EH EF訪* BCy.- EH=x, AD=8, BC=12 . .EF=12x.S=EHEF=-+ 12x=-行 沙+24 .-. S的最大值為24第 246解：7r或石.EF

27、 BC【解析】【分析】根據(jù) EF/ BC得出AEFABC,從而得到 航一五,求出答案；根據(jù)EHBE EFAbEHEF二小 j題意得出的BABC.打，將兩式相加得到仙BC，根據(jù)EH=x，得出EF=123-x,根據(jù)S=EHEF得出函數(shù)關(guān)系式，求出最大值；根據(jù)三角形相似，然后分兩種情況得出答案8.如圖，在 4ABC中，Z C=90,AE平分/BAC交BC于點(diǎn)E,O是AB上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò) A,E兩點(diǎn) 的。交AB于點(diǎn)D,連接DE,作/ DEA的平分線EF交O O于點(diǎn)F,連接AF.B(1)求證：BC是。的切線；*(2)若sin/ EFA= AF=其值，求線段AC的長(zhǎng).【答案】(1)解：如圖1,連接應(yīng)，|以 O

28、h OEA = ZOAh.一平分拉4,./仁I":碗” =勿1.鹿 ± BC他為匕的半徑， 尻是心的切線.(2)解：如圖2,連接的.由題可知區(qū)為 e 4的直徑，1/沖；=公力=”.好平分上門創(chuàng)，.，L . 1V . -". "L -；. AFD為等腰直角三角形，|；等=懦=旗拉 .在居月現(xiàn)中，7聲+門產(chǎn)=，.-.陷;=.因.ZEFA = ZEDA3ixxZEFA -sin上初4 - sin/：4'In a/ERA -在。f d ADE中，也.4AE - AD ' sinEDA = 10 X - = 8 .-. . . 山"山&q

29、uot;AC AA：. “ 加，S S （或 6.4）【解析】【分析】（1）連接OE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線定義可得 /您“二工”，根據(jù)平行線的判定可得OE/ AC,再由平行線的性質(zhì)可得 /BEO=/ C=90 ；即可證得結(jié)論；（ 2）連接PF，根據(jù)已知條件易證 "-月產(chǎn) 后退.在 也山切 中，根據(jù)勾股定理求得 出=".根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等及已知條件可得A ACE A AED根據(jù)相似三sinZ - sxnZEFA - - n /腐$在冊(cè)角班中求得AE的長(zhǎng)，再證明角形的性質(zhì)即可求得線段 AC的長(zhǎng).、圓的綜合9.如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0, 6) , (0,

30、3),點(diǎn)P為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線，過(guò)點(diǎn)B作BP的垂線，兩垂線交于點(diǎn) Q,連接PQ, M為線段PQ的中與八、(1)求證：A、B、P、Q四點(diǎn)在以M為圓心的同一個(gè)圓上;(2)當(dāng)。M與x軸相切時(shí)，求點(diǎn) Q的坐標(biāo)；QM掃過(guò)圖形的面積.(3)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)(2, 0)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(3, 0)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段【答案】 見解析；(2) Q的坐標(biāo)為(3J2，9) ；(3)里.8【解析】(1)解：連接AM、BM,O苦. AQXAP, BQ，BP4APQ和ABPa都是直角三角形， M是斜邊PQ的中點(diǎn),-.AM = BM = PM=QM= 1 PQ,2A、B、P、Q四點(diǎn)在以M為圓心的同一個(gè)圓上。(2)解：

31、作MGy軸于G, MCx軸于C,. AM = BM.G 是 AB 的中點(diǎn)，由 A (0, 6) , B (0, 3)可得 MC= OG= 4.5，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn) M到x軸的距離始終為4.5則點(diǎn)Q到x軸的距離始終為 9,即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)始終為 9,當(dāng)。M與x軸相切時(shí)則 PQx軸，作QHy軸于H,HB= 9-3=6,設(shè) OP= HQ= x由BO'QHB,彳導(dǎo) x2=3XQ 8, x= 3 貶點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3 J2 , 9)4.5)(3)解：由相似可得：當(dāng)點(diǎn)P在Pi (2, 0)時(shí)，Qi (4, 9)則Mi (3,當(dāng)點(diǎn) P在 P2 (3, 0)時(shí)，Q2 (6, 9),則 M2 (4.5

32、, 4.5).MiM2= 9 -3= - ,QiQ2=6-4= 222其面積為：1x3 + 2) X 4.5 63.【解析】【分析】根據(jù)已知可得出三角形 APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根據(jù)這個(gè)條件結(jié)合題意直接 解答此題.【詳解】(1)解：連接 AM、BM,. AQXAP, BQ，BP4APQ和4BPQ都是直角三角形， M是斜邊PQ的中點(diǎn)1AM = BM = PM=QM=再 PQ, A、B、P、Q四點(diǎn)在以M為圓心的同一個(gè)圓上。(2)解：作 MGy軸于G, MCx軸于C,. AM = BM.G 是 AB 的中點(diǎn)，由 A (0, 6) , B (0, 3)可得 MC= OG= 4.5，在點(diǎn)P

33、運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn) M到x軸的距離始終為4.5則點(diǎn)Q到x軸的距離始終為 9,即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)始終為9,當(dāng)。M與x軸相切時(shí)則 PQx軸，作QHy軸于H,HB= 9-3=6,設(shè) OP= HQ= x由BO'QHB,彳# x2= 3X 8, x= 3.點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3 i/2, 9)(3)解：由相似可得：當(dāng)點(diǎn)P在Pi (2, 0)時(shí)，Qi (4, 9)則Mi (3, 4.5)當(dāng)點(diǎn) P在 P2 (3, 0)時(shí)，Q2 (6, 9),則 M2 (4.5, 4.5)93 . MiM2=下 一3=耳,QiQ2= 64=2線段QM掃過(guò)的圖形為梯形 MiM2Q2Qi其面積為：白+2)X4當(dāng)萼.上 二O【點(diǎn)睛】本

34、題主要考查學(xué)生根據(jù)題意能找到三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，而且考驗(yàn)學(xué)生對(duì)相似三角形性質(zhì)的運(yùn)用，掌握探索題目隱含條件是解決此題的關(guān)鍵10.如圖，。是4ABC的內(nèi)心，BO的延長(zhǎng)線和 ABC的外接圓相交于 D,連結(jié)DC DA、OA、OC,四邊形OADC為平行四邊形.(1)求證：BOeCDA.(2)若AB=2,求陰影部分的面積.【答案】(1)證明見解析；(2) -Z一-22 .【解析】分析：(1)根據(jù)內(nèi)心性質(zhì)得 /1 = /2, /3=/4,則AD=CD,于是可判斷四邊形 OADC為菱 形，則BD垂直平分 AC, /4=/5=/6,易得 OA=OG /2=/3,所以O(shè)B=OC,可判斷點(diǎn) O

35、 為4ABC的外心，則可判斷 4ABC為等邊三角形，所以 / AOB=/ BOC=Z AOC=12 0 ,BC=AC再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得 /ADC=/ AOC=120°, AD=OC, CD=OA=OB，則根據(jù) “SASE明BOXACDA;(2)作OH, AB于H,如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到, 一，一一1/BOH=30,根據(jù)垂徑定理得到 BH=AH=-AB=1,再利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系2得到OH=Y3BH=Y3, OB=2OH=&寫，然后根據(jù)三角形面積公式和扇形面積公式，利用 333S陰影部分=S扇形AOB-SAOB進(jìn)行計(jì)算即可詳解：(1

36、)證明：:。是4ABC的內(nèi)心,，/2=/3, /5=/6, / 1 = 7 2,/ 1 = 73,由 AD/ CO,AD=CO,/ 4=/ 6,.,.BOCACDA (AAS)(2)由(1)得，BC=AG/3=/4=/6, / ABC=/ACB .AB=AC .ABC是等邊三角形 .O是4ABC的內(nèi)心也是外心.OA=OB=OC設(shè)E為BD與AC的交點(diǎn)，BE垂直平分AC在 RtOCE中，CE=-AC=-AB=1 Z OCE=3O°,2 2.OA=OB=OC=233 / AOC=12O ,°. Sfe 影=$扇 AOB SvAOB_120 /213、21 c 3()-2 3603

37、23=43向9點(diǎn)睛：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，： 角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內(nèi)心 就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn).也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和扇形面積的計(jì) 算.11 .閱讀：圓是最完美的圖形，它具有一些特殊的性質(zhì)：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半先構(gòu)造 輔助圓”，再利用圓的性質(zhì)將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，往往能化隱為顯、化難為易。解決問(wèn)題：如圖，點(diǎn) A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(1,0), (5, 0),點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi) 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)使/APB=30的點(diǎn)P有 個(gè)；

38、(2)若點(diǎn)P在y軸正半軸上，且/APB=30,求滿足條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)；(3)設(shè)sin/APB=m,若點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有4個(gè)，求m的取值范 圍.【答案】(1)無(wú)數(shù)；(2) (0, 23 丫7)或(0, 2百一2;(3) 0V m< 3試題分析：(1)已知點(diǎn)A、點(diǎn)B是定點(diǎn)，要使/APB=30°,只需點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B的圓 上，且弧AB所對(duì)的圓心角為 60。即可，顯然符合條件的點(diǎn) P有無(wú)數(shù)個(gè).(2)結(jié)合(1)中的分析可知：當(dāng)點(diǎn) P在y軸的正半軸上時(shí)，點(diǎn) P是(1)中的圓與y軸的 交點(diǎn)，借助于垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)即可求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).(

39、3)由三角形外角的性質(zhì)可證得：在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角大于同弧所對(duì)的圓外角.要/APB最大，只需構(gòu)造過(guò)點(diǎn) A、點(diǎn)B且與y軸相切的圓，切點(diǎn)就是使得 /APB最 大的點(diǎn)P,由此即可求出 m的范圍.試題解析：解：(1)以AB為邊，在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC,以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑作OC,交y軸于點(diǎn)R、P2.在優(yōu)弧 AP1B 上任取一點(diǎn) P,如圖 1,則/APB=1 / ACB=1 X 60=30°, .使 / APB=30 ° 的點(diǎn) P 22有無(wú)數(shù)個(gè).故答案為：無(wú)數(shù).(2)點(diǎn)P在y軸的正半軸上，過(guò)點(diǎn) C作CGJ±AB,垂足為 G,如圖1.點(diǎn) A (1, 0

40、)，點(diǎn) B (5, 0) , . OA=1, OB=5, .AB=4.點(diǎn) C 為圓心，CG± AB, /.AG=BG=-AB=2, . OG=OA+AG=3. 2. ABC 是等邊三角形，.-.AC=BC=AB=4, . CG= JAC2 AG2=42 22=2/3,，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3, 2 4)過(guò)點(diǎn)C作CD，y軸，垂足為D,連接CP2,如圖1 .二點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3, 273), .CD=3, OD=2 73 .Pi、P2 是。C與 y 軸的交點(diǎn)，/ APiB=/AP2B=30°.- CP2=CA=4, CD=3, ：. DP2=亞3r = 77 .點(diǎn) C 為圓心，CD)&

41、#177; P1P2, . PiD=P2D=" , .Pi (0, 2奔+") , P2 (0, 273 - 耳).(3)當(dāng)過(guò)點(diǎn) A、B的。E與y軸相切于點(diǎn) P時(shí)，/APB最大.理由：可證：/APB=/AEH,當(dāng)/APB最大時(shí)，/AEH最大.由sinZAEHk 得.當(dāng)AEAE最小即PE最小時(shí)，/AEH最大.所以當(dāng)圓與 y軸相切時(shí)，/APB最大./APB為銳角，.sin/APB隨/ APB增大而增大，.連接EA,彳EHI±x軸，垂足為 H,如圖2. ,OE與y軸相切于點(diǎn) P,. PE±OP. EHXAB, OPXOH, . / EPO=/POH=/EHO=

42、90 ； . .四邊形 OPEH是矩形，. . OP=EH,2 2PE=OH=3,EA=3. sinZ APB=sinZAEH= ,，m 的取值氾圍是 0m一.3 3t個(gè)片一、r 丁小性質(zhì)，切線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng).同時(shí)也考查了創(chuàng)造性思維，有 定的難度.構(gòu)造輔助圓是解決本題關(guān)鍵.12.如圖，4ABC內(nèi)接于OO, /BAC的平分線交O O于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E ( BE> EQ , 且BD=2石.過(guò)點(diǎn)D作DF/ BC,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F.(1)求證：DF為。的切線；(2)若/BAC= 60°, DE=",求圖中陰影部分的面積.【答案】(1)詳見解析；

43、(2) 9 g - 2工【解析】【分析】(1)連結(jié)OD,根據(jù)垂徑定理得到 OD，BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到 ODLDF,根據(jù)切線的 判定定理證明；(2)連結(jié)OB,連結(jié)OD交BC于P,作BHLDF于H,證明OBD為等邊三角形，得到 /ODB=60 ； OB=BD=2j3,根據(jù)勾股定理求出 PE,證明AB&4AFD,根據(jù)相似三角形 的性質(zhì)求出AE,根據(jù)陰影部分的面積 =4BDF的面積-弓形BD的面積計(jì)算.【詳解】證明：(1)連結(jié)OD, AD 平分 / BAC交。于 D,Z BAD=Z CAD,bd = Cd ,ODXBC,1. BC/ DF, ODXDF, .DF為。O的切線；(2)連結(jié)

44、OB,連結(jié) OD交BC于P,作BHXDFT H,F H D / BAC=60 ； AD 平分 / BAC,/ BAD=30 ；/ BOD=2/ BAD=60 ,° .OBD為等邊三角形，/ ODB=60 ； OB=BD=273 ,/ BDF=30 ；1. BC/ DF,/ DBP=30 ；在 RtDBP中，PD=1BD=T3, PB=V3PD=3, 2在 RtDEP 中，PD=,y3 , DE=",.下e= .( .'7)2 ( ；3)2 =2,.OPXBC,BP=CP=3，CE=3 2=1 / DBE=/ CAE, / BED=/ AEC, .,.BDEAACE,

45、1 .AE： BE=CE DE,即 AE： 5=1：百，AE= . BE/ DF,2 .ABEAAFD,5,7-BE 任，即工,DF AD DF 12 57解得DF=12, 在 RtA BDH 中,BH=1 BD=732'，陰影部分的面積二 BDF的面積-弓形 BD的面積=4BDF的面積-（扇形 BOD的面積-BOD的面積）=112出64誓（ （2V3）2 =9V3 -2 兀.4【點(diǎn)睛】考查的是切線的判定，扇形面積計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，等 邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定定理，扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.13.在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A坐標(biāo)為（2,

46、 0）,以O(shè)A為邊在第一象限內(nèi)作 等邊AOAB, C為x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（OC>2）,連接BC,以BC為邊在第一象限內(nèi) 作等邊 BCD,直線DA交y軸于E點(diǎn).（1）求證：OB8 4ABD（2）隨著C點(diǎn)的變化，直線 AE的位置變化嗎？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變,請(qǐng)求出直線AE的解析式.（3）以線段BC為直徑作圓，圓心為點(diǎn) F,當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，直線 EF/直線BO;這時(shí) O F和直線BO的位置關(guān)系如何？請(qǐng)給予說(shuō)明.【答案】（1）見解析；（2）直線AE的位置不變，AE的解析式為：y 泥x 2點(diǎn)；（3） C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到（4,0）處時(shí)，直線EF/直線BO；此時(shí)直線BO與。F相切，理由見解析【解

47、析】 【分析】 (1)由等邊三角形的性質(zhì)可得到 OB=AB, BC=BD, Z OBA=Z DBC,等號(hào)兩邊都加上/ABC,得到/OBC=/ ABD,根據(jù)“SAS到 OBX ABD. (2)先由三角形全等，得到 /BAD=/ BOC=60,°由等邊ABCD,得至U / BAO=60 ,0根據(jù)平角定義及對(duì)頂角相等得到 /OAE=60 ；在直角三角形 OAE中，由OA的長(zhǎng)，根據(jù)tan60的定義求出OE的長(zhǎng)，確定出 點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)出直線 AE的方程，把點(diǎn) A和E的坐標(biāo)代入即可確定出解析式 .(3)由 EA/ OB, EF/ OB,根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線有且只有一條，得到EF與E

48、A重合，所以F為BC與AE的交點(diǎn)，又F為BC的中點(diǎn)，得到A為OC中點(diǎn)，由A的坐標(biāo)即可 求出C的坐標(biāo)；相切理由是由 F為等邊三角形 BC邊的中點(diǎn)，根據(jù) 主線合一 ”得到DF與BC 垂直，由EF與OB平行得到BF與OB垂直，得證.【詳解】(1)證明：4OAB和4BCD都為等邊三角形， .OB=AB, BC=BQ /OBA=/ DBC=60 ,° / OBA+/ ABC=Z DBC+Z ABC,即 / OBC=Z ABD,在OBC和ABD中，OB ABOBC ABD,BC BD.-.OBCAABD.(2)隨著C點(diǎn)的變化，直線 AE的位置不變，-/OBCAABD,/ BAD=Z BOC=60

49、 ；又 / BAO=60 ,/ DAC=60 ；/ OAE=60 ,° 又 OA=2,在 RtAOE 中，tan60 °=OE, OA則OE=2君，點(diǎn) E坐標(biāo)為(0, -2 J3),設(shè)直線AE解析式為y=kx+b,把E和A的坐標(biāo)代入得:0 2kb26 b '解得,直線AE的解析式為：y3x 2 3（3） C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到（4,0）處時(shí)，直線EF/直線BO；此時(shí)直線BO與。F相切，理由如下: / BOA=Z DAC=60 ； EA/ OB,又 EF/ OB,則EF與EA所在的直線重合， 點(diǎn)F為DE與BC的交點(diǎn)，又F為BC中點(diǎn)， .A 為 OC 中點(diǎn)，又 AO=2,則 OC=

50、4, 當(dāng)C的坐標(biāo)為（4, 0）時(shí)，EF/ OB, 這時(shí)直線BO與。F相切，理由如下：.BCD為等邊三角形，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，.-.DF± BC,又 EF/ OB, FBI OB, 直線BO與。F相切，【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)；三角形全等的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān) 系.熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵 .14.如圖，已知：AB是。O的直徑，點(diǎn)C在。O上，CD是。的切線，AD± CD于點(diǎn)D, E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE交。O于點(diǎn)F,連接OC、AC.（1）求證：AC平分/DAO.（2）若 / DAO=105 , / E=30°求/OCE的度數(shù)；若。的半

51、徑為2亞，求線段EF的長(zhǎng).【答案】（1）證明見解析；（2）/OCE=45；EF = 273-2.【解析】【試題分析】（1）根據(jù)直線與。相切的性質(zhì)，得 OC,CD.AD/OC.又因?yàn)锳D± CD,根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線也平行，得:/DAC=/ OCA又因?yàn)镺C=OA,根據(jù)等邊對(duì)等角，得 Z OAC=Z OCA.等量代換得： / DAC=Z OAC根據(jù)角平分線的定義得：AC平分/ DAO.(2) 因?yàn)锳D/OC, ZDAO=1O5,根據(jù)兩直線平行，同位角相等得，/EOC=/ DAO=1O5,° 在 OCE 中，/E=30 利用內(nèi)角和定理，得： ZOCE=45

52、.°作OGL CE于點(diǎn)G,根據(jù)垂徑定理可得FG=CG因?yàn)镺C=2j2，/ OCE=45 .等腰直角三 角形的斜邊是腰長(zhǎng)的 72倍，得CG=OG=2. FG=2& RtA OGE中，ZE=30°,彳導(dǎo)GE=2J3 , 則 EF=GE-FG之 3-2.【試題解析】(1) .直線與。O 相切,OCX CD.又 ; AD± CD, .-.AD/OC./ DAC=Z OCA.又 OC=OA/ OAC=Z OCA./ DAC=Z OAC. AC平分 / DAO.(2)解：-. AD/OC, ZDAO=1O5 , . . / EOC4 DAO=1O5 / E=30/ OCE=45. °作OGL CE于點(diǎn)G,可得FG=CG . OC=272 /OCE=45.CG=OG=2.FG=2. .在 RtOGE 中，/E=30； .GE=2V3 .EF=GE-FG=2;3-2.【方法點(diǎn)睛】本題目是一道圓的綜合題目，涉及到圓的切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及判 定，三角形內(nèi)角和，垂徑定理，難度為中等.15.如圖，AB為e O的直徑，C、D為e