無窮網(wǎng)絡(luò)的解題思路與示例

1、RR2R圖2圖11-申09無窮網(wǎng)絡(luò)的解題思路與示例 文/李伯生20世紀(jì)80年代以來，在各種物理競賽(包括奧林匹克物理競賽) 中，常常出現(xiàn)無窮網(wǎng)絡(luò)的 等效電阻的計算問題解決這類問題的的基本思路和技巧，就是理解無限”的意義，分析無限和有限這對矛盾，巧妙地創(chuàng)造條件，使無限向有限轉(zhuǎn)化. 下面我們先來討論幾種不同類型的無窮網(wǎng) 絡(luò)，然后以此為基礎(chǔ)去討論比較復(fù)雜的問題.一、開端形半無窮梯形網(wǎng)絡(luò)如圖1所示電路稱為開端形半無窮梯形網(wǎng)絡(luò)因為是無窮網(wǎng)絡(luò)，所以a、b間等效電阻與去 掉一個格子后的電阻應(yīng)相等，即Rab=R 1 + R+(R 2 R ab /(R 2 + Rab), 即D夙i + & + 盡)(耐

2、 + & +4&)K* 2 二、閉端形半無窮梯形網(wǎng)絡(luò)d間的電阻同樣應(yīng)_ J% +盡）（盡+盡+4&） -鳳_兔3 +R cd ）,如圖2所示電路稱為閉端形半無窮梯形網(wǎng)絡(luò)因為是無窮網(wǎng)絡(luò)，所以c、 與格子數(shù)無關(guān)，故有R cd = R 2 (R 1 + R 3 + R cd )/(R 2 +(R 1 + R 即三、中間缺口形無窮梯形網(wǎng)絡(luò)圖3如圖3所示電路為中間缺口形無窮梯形網(wǎng)絡(luò)它可以看成是在e、f處兩個相同的開端形半 無窮梯形網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)而成，所以有J（E +兔）（用1 +耐 +4&） +盡+耐R ef =（ 1 / 2）Rab=.四、底邊缺口形無窮梯形網(wǎng)絡(luò)如圖4所示電路

3、稱為底邊缺口形無窮梯形網(wǎng)絡(luò).它可以看成是兩個相同的閉端形半無窮梯形網(wǎng)絡(luò)與電阻R 1串聯(lián)而成，則Rgh=R1 + 2 Rc+財（兔 +氏工 +4RJ _ Rg _R五、完整形無窮梯形網(wǎng)絡(luò)圖5“可以有不同的方如圖5所示電路稱為完整形無窮梯形網(wǎng)絡(luò).欲求i、j間的等效電阻R 法.我們可以將完整形無窮梯形網(wǎng)絡(luò)看成是一個開端形半無窮梯形網(wǎng)絡(luò)與一個閉端形半無窮梯形 網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)而成，因此有R ij =R abRcd/（R ab+Rcd）,將式、式代入上式化簡得口 _ R打g +雄"（盡+鳥+4即2并聯(lián)而成，于是有R ij 我們也可以將完整形無窮梯形網(wǎng)絡(luò)看成是中間缺口形無窮梯形網(wǎng)絡(luò)與RRijR2Ref/

4、（R2+Ref）,將式代入，化簡得R ij町+盡"（盡+覽+4爲(wèi)）如果我們欲求完整形無窮梯形網(wǎng)絡(luò)j、 網(wǎng)絡(luò)與R 3并聯(lián)而成，則Rjk=R 3 Rgh /（R 3+R gh ）, 將式代入，化簡得k之間的等效電阻可將其看作是底邊缺口形無窮梯形為1-R jk J（盡+鳥）（耳+鳥+4耳）例題 空間電阻絲無限網(wǎng)絡(luò)如圖 6所示，每一段金屬絲的電阻均為r, 試求A、E間的等效 電阻R ABB故可撤去這根電阻絲， 而把空間網(wǎng)絡(luò)等效簡化 i=r,R 2=（ 2/ 3 ）r,R 3 =r.根據(jù)解法一 設(shè)想電流從A點流入，從B點流出，由對稱性可知, 網(wǎng)絡(luò)中背面那一根無限長電阻絲中各點等電勢，為如圖7所示的平面完整形無窮梯形網(wǎng)絡(luò)，其中R 式有R &丿（盡+瓦方（盡十鳥+彳&）R AB =將R 1 =R 3 =r,R 2 =（ 2 / 3 ）代入可得R ab =（ 2-/21解法二 因網(wǎng)絡(luò)相對A、E連線具有左、右對稱，故可折疊成如圖8所示電路此