第五章 平面電磁波

1、第五章 平面電磁波5.8平面正弦電磁波對理想介質(zhì)分界面的斜入射 5.1平面正弦電磁波在理想介質(zhì)中傳播1. 波動方程及其求解方法 在4.2節(jié)已經(jīng)給出了在均勻、各向同性、無損耗媒質(zhì)的無源區(qū)域的波動方程(5.1.1)(5.1.2)在直角坐標(biāo)系中，電場強(qiáng)度E為(5.1.3)把式（5.1.3）代入到式（5.1.1）中得到三個形式完全相同的標(biāo)量偏微分方程把上述三個標(biāo)量偏微分方程求解后即得出電場強(qiáng)度E。2. 平面電磁波（5.1.4） 對于均勻平面電磁波，設(shè)電場只有Ex一個分量并隨z方向一維變化，則式（5.1.4）簡化為其通解為3. 平面正弦電磁波 如果平面正弦電磁波沿z軸正向傳播，則 Ex（z,t）=Exm

2、cos（t-kz）如果平面電磁波沿z軸正向傳播，則考慮到傳播方向，磁場強(qiáng)度可寫成矢量形式，即例5.1在自由空間中，E（z,t）=ey103sin(t-z)（V/m） 試求H（z,t）。解: 很顯然 下面通過判斷給出H（z,t）的方向，由E（z,t）表達(dá)式可知，電磁波是沿著z軸正向傳播，電磁波的傳播方向即是坡印廷矢量S的方向，由S=EH，可以判斷磁場應(yīng)為-ex方向，所以4. 平面正弦電磁波的特性（1） 行波特性（2） 橫波特性（3） 特性參量 周期T、頻率f、角頻率 速度v、波長、波數(shù)k 例5.1.2 均勻平面正弦波在各向同性的均勻理想介質(zhì)中沿x軸正向傳播，介質(zhì)的特性參數(shù)為r=4、r=1，=0。

3、電磁波的頻率為100MHz，電場強(qiáng)度的幅值為104V/m，電場沿x方向，且當(dāng)t=0，z=1/8m時，電場強(qiáng)度等于其幅值。試求： （1） 波速、波數(shù)和波長； （2） 電場強(qiáng)度矢量E（z,t）； （3） 磁場強(qiáng)度矢量H（z，t）。解（1） （2）E（z,t）=exEx 式（5.1.15）是初相為0的表達(dá)式，如果初值不為0，其表達(dá)式為當(dāng)t=0,z=1/8m時，Ex=Exm，即所以（3） 介質(zhì)的本征阻抗所以 5.2平面正弦電磁波在導(dǎo)電介質(zhì)中的傳播1. 復(fù)介電常數(shù)引入復(fù)介電常數(shù)后，無源導(dǎo)電介質(zhì)的麥克斯韋方程為2. 導(dǎo)電介質(zhì)中的電場強(qiáng)度電場強(qiáng)度的瞬時值表達(dá)式為導(dǎo)電媒質(zhì)電場強(qiáng)度的傳播規(guī)律： （1） 導(dǎo)電介質(zhì)

4、中電場強(qiáng)度是按照e-z衰減的，是表示單位距離衰減程度的系數(shù)，稱為電磁波的衰減系數(shù)。電導(dǎo)率越大，就是越大，衰減就越快。（2） 表示單位距離落后的相位，稱為電磁波的相位系數(shù)。與理想介質(zhì)不同，導(dǎo)電介質(zhì)的相位系數(shù)不再是常數(shù)，而是與、都有關(guān)系的一個系數(shù)。3. 導(dǎo)電介質(zhì)中的磁場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度的瞬時值表達(dá)式為 磁場強(qiáng)度除衰減系數(shù)和相位系數(shù)與電場強(qiáng)度有相同的規(guī)律外，還具有如下規(guī)律： （1） 磁場強(qiáng)度的振幅與1/|c|有關(guān)，它不僅取決于 還取決于導(dǎo)電介質(zhì)電導(dǎo)率的大小。（2） 磁場與電場不再是同相的，而是磁場比電場滯后 角。這一點(diǎn)通過圖5.2.1可以定性地看出。圖5.2.1 導(dǎo)電媒質(zhì)中平面正弦波的電場和磁場4. 關(guān)

5、于導(dǎo)電介質(zhì)的討論（1） 低損耗介質(zhì) 在/1情況下對式（5.2.15）和式（5.2.16）進(jìn)行估算復(fù)本征阻抗為例5.2.1 頻率為550kHz的平面波在有損媒質(zhì)中傳播，已知媒質(zhì)的損耗角正切tan=/=0.02，相對介電常數(shù)r=2.5。求平面波的衰減系數(shù)、相位系數(shù)和相速度。解: 5.3良導(dǎo)體的趨膚效應(yīng)和表面阻抗良導(dǎo)體中電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的瞬時值 由于 很大，電磁波進(jìn)入良導(dǎo)體很短的距離，場的幅值就很小，這種現(xiàn)象稱為趨膚效應(yīng)。 趨膚效應(yīng)可以用趨膚深度來描述，通常也稱為穿透深度，它定義為： 場進(jìn)入有損介質(zhì)后幅值衰減為原來的1/e的深度，即所以對于良導(dǎo)體有由于良導(dǎo)體= ,而=2/，可以得出趨膚深度和波長的

6、關(guān)系為 =/2 對于良導(dǎo)體而言，在直流或低頻下工作，整個導(dǎo)體截面都有電流流過； 但是在高頻下工作時，由于趨膚效應(yīng)，導(dǎo)體中的電流將集中在靠近表面的薄層上，隨著深度的增加，導(dǎo)體內(nèi)部的電流密度迅速減小，如圖5.3.1所示。把J=E代入到式（5.2.13）得 可見，在高頻情況下再沿用原來的電阻或阻抗的概念是不行的，于是定義導(dǎo)電媒質(zhì)的表面阻抗率為 式中Et是導(dǎo)電介質(zhì)表面的切向電場，即當(dāng)z=0時的Ex值，Ex=J0/。 Js是導(dǎo)電介質(zhì)表面上單位寬度，深度為無限大（實(shí)際上良導(dǎo)體只在很小深度有趨膚電流）的截面上流過的電流，即所以式中，rs=/稱為表面電阻率； xs=/稱為表面電抗率。對于良導(dǎo)體例5.3.1 已

7、知銅的電導(dǎo)率為=5.80107S/m，求半徑為2mm的銅導(dǎo)線當(dāng)f=1MHz時單位長度的表面電阻。解: 銅的表面電阻率為 表面電阻與表面電阻率的關(guān)系為 Rs=rsl/w式中，l為導(dǎo)體的長度，本題為1個單位長度； w為寬度，本題w=2r。 所以下面再來計(jì)算一下直流電阻R0的大小可見，高頻時良導(dǎo)體的表面電阻遠(yuǎn)大于直流電阻，為了減小電阻只有增加導(dǎo)體的表面積。例5.3.2 頻率為10MHz的平面波在金屬銅里傳播，已知銅的參量為r1，r1，=5.8107（S/m）。已知金屬表面的磁場強(qiáng)度幅值為Hym0=0.1（A/m）。求:（1） 金屬銅內(nèi)的衰減系數(shù)、相位系數(shù)以及相速度vp和波長； （2） 金屬銅內(nèi)的復(fù)本

8、征阻抗c及金屬表面的電場強(qiáng)度幅值Exmo； （3） 趨膚深度及表面阻抗率zs； （4） 金屬銅的電場強(qiáng)度瞬時值、磁場強(qiáng)度瞬時值及進(jìn)入導(dǎo)體的能流密度Sav。解: (1) 可見，電磁波在良導(dǎo)體中的傳播速度是很慢的，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光速。 =vp/f=1.313104（m）當(dāng)z=0時例5.3.3 平面波從自由空間入射到海水中，海水的參量為=4S/m,r=80，r=1。電磁波的頻率為： f=30Hz； f=30MHz。 試求進(jìn)入海水的深度h等于多少時，電場強(qiáng)度的幅值僅剩海水表面幅值的10%。解：（1） 當(dāng)f=30Hz時顯然是良導(dǎo)體 所以海底廣泛使用低頻無線電通信（頻率通常為40Hz10kHz）或聲吶。（2）

9、當(dāng)f=30MHz時，/30，仍然為良導(dǎo)體 由e-h=10%得h=-ln0.1/=0.1058（m） 可見，f=30MHz的高頻電磁波進(jìn)入海水深度僅0.105m，其幅度只剩下10%，衰減極快。 5.4電磁波的色散和群速度1.電磁波的色散 電磁波的相速度 可見，導(dǎo)電介質(zhì)的相速度隨頻率不同而有所改變。在低損耗介質(zhì)中 所以，由于頻率引而起的相速度差別不大。再來看良導(dǎo)體中的相速 可見，良導(dǎo)體中v與 成正比。因此良導(dǎo)體的色散非常嚴(yán)重。 那么電磁波的色散對信號的傳輸有什么影響呢？ 前面幾節(jié)討論的是單一頻率的均勻平面電磁波。而信號是不同頻率的諧波疊加而成，單一頻率的均勻平面諧波不能攜帶任何信號。這樣信號在有損

10、介質(zhì)中傳播，就會使某些頻率的諧波相速度增大，另一些頻率的諧波相速度減小。如果信號從z=0出發(fā)，就會使某些頻率的諧波先到達(dá)距離z=L處，另一些頻率的諧波后到達(dá)z=L處。所以信號在有損介質(zhì)中傳輸，會引起色散失真，如圖5.4.1所示。 從圖中可以看出，z=0處波形很窄，波形在傳輸?shù)絲=L處被展寬，這會產(chǎn)生信號的失真。失真較嚴(yán)重時，兩列脈沖交疊在一起，信號也就不能正常傳輸了。圖5.4.1 信號在有損介質(zhì)中傳輸?shù)纳⑹д?. 電磁波的群速度 在有損介質(zhì)中電磁波信號的傳播速度，實(shí)際上就是多種頻率疊加而形成的波包的傳播速度，通常稱為群速度vg。群速度vg與相速度不同，相速度vp是電磁波等相面的傳播速度。 通

11、信信號在有損介質(zhì)中傳播時，相對于載波信號，信號的帶寬都很窄，是窄帶信號，設(shè)攜窄帶信號的平面電磁波，沿z軸正向傳播的載波頻率為0，則可以用泰勒級數(shù)在0附近展開(5.4.4) 現(xiàn)在討論一種最簡單的情況，在信號中，取0-和0+兩個分量，相應(yīng)的相位系數(shù)為0-和0+，因?yàn)槭钦瓗盘枺?,0，則電場強(qiáng)度的表達(dá)式為則合成電磁波的場強(qiáng)表達(dá)式為信號可以看成是以角頻率0向z方向傳播的行波，而振幅按cos（t-z）緩慢變化，如圖5.4.2所示。(5.4.5) 按照相速度和群速度的概念，載波的相速度為 (5.4.6) 而包絡(luò)向前行進(jìn)的速度是群速度vg，由（t-z)為常數(shù)得 vg=dz/dt=/ (5.4.7) 當(dāng)

12、0時vg=d/d (5.4.8) 對窄帶信號，信號包絡(luò)在傳播過程中畸變很小，群速度vg才有意義。圖5.4.2 合成電磁波的波形3. 電磁波群速度和相速度之間的關(guān)系 對于0為載波的窄帶信號，把式（5.4.4）取前兩項(xiàng)代入到式（5.4.8）中得并把=/vp代入上式得(5.4.9)從式（5.4.9）可知： 當(dāng)dvp/d=0時，vg=vp，這是無色散情況； 電磁波通過有損介質(zhì)總是要發(fā)生色散的，這必然導(dǎo)致信號發(fā)生失真，工程技術(shù)人員可以采取一些措施來補(bǔ)修。如光信號在光導(dǎo)纖維中傳播，要產(chǎn)生正常色散，那么工程技術(shù)人員可以設(shè)計(jì)出反常色散光纖進(jìn)行補(bǔ)償，也可以采用對信號均衡補(bǔ)償?shù)姆椒ā?5.5電磁波的極化 前幾節(jié)討

13、論了均勻平面正弦平面波，在自由空間，如果電場的方向固定為x方向，電場強(qiáng)度矢量的瞬時值為 E=excos（t-kz）（5.5.1）這是一種特殊情況，即電場強(qiáng)度矢量E的端點(diǎn)軌跡始終為保持在x方向的直線。 通常場矢量隨時間變化時，端點(diǎn)的軌跡為直線的波稱為線極化波。 如果場矢量端點(diǎn)的軌跡為圓的波稱為圓極化波； 如果場矢量端點(diǎn)的軌跡為橢圓的波則稱為橢圓極化波。 討論電磁波的極化是有實(shí)際意義的，它可以說明怎樣設(shè)置天線才能得到最有效的接收等問題。在現(xiàn)代通信中廣泛采用了圓極化空間電磁波，在鐵氧體器件中也是利用了圓極化的磁場。 在一般情況下，對于沿z軸方向傳播的均勻平面波，電場強(qiáng)度矢量E有兩個分量Ex和Ey，它

14、們的頻率傳播方向均是相同的，電場強(qiáng)度矢量的表達(dá)式為式中所以電場強(qiáng)度矢量的兩個分量的瞬時值為顯然，電磁波的極化形式與這個平面電磁波的兩個分量的振幅和相位有關(guān)，下面分三種情況討論。（1） 線極化波顯然，合成電磁波雖然電場強(qiáng)度的大小是隨時間位置變化的，但其矢量端點(diǎn)始終是一條直線，這條直線與x軸正向夾角是一個常數(shù)見圖5.5.1a） 當(dāng)Ex和Ey反相時，即 時合成波也為線極化波，此時電磁波的電場強(qiáng)度矢量與x軸正向夾角也是一個常數(shù)見圖5.5.1（b）。(a)同相時 (b)反相時 圖5.5.1 線極化波（2） 圓極化波 當(dāng)Exm=Eym=Em， 時，則式（5.5.3）和式（5.5.4）變?yōu)橄得 這是一個

15、圓的方程，即合成波的電場強(qiáng)度矢量E的端點(diǎn)的軌跡是一個圓。E的模和幅角分別為即 為了分析簡便令z=0，如果 ，則矢量E將以角速度在xoy平面上沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖5.5.2（a）所示； 如果 ，則E將以在xoy平面上沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖5.5.2（b）所示。(a)右旋圓極化 (b) 左旋圓極化 圖5.5.2 圓極化波（3） 橢圓極化波 更一般的情況是Ex和Ey及和為任意關(guān)系。對式（5.5.3）和式（5.4.4）消去t得 上式是以Ex和Ey為變量的橢圓方程。即電場強(qiáng)度矢量的端點(diǎn)是橢圓，所以稱為橢圓極化波。 線極化波和圓極化波可以看做橢圓極化波的特例。例5.5.1判斷下列平面電磁波的極化形式。所

16、以電磁波是沿著z軸負(fù)方向傳播，Ex和Ey的相差為，故為線極化波在二、四象限。（2） 可得寫成瞬時值所以電磁波是沿z軸正方向傳播，Ex與Ey的相差為/2，故為右旋圓極化波。 5.6平面正弦電磁波對平面分界面的垂直入射1. 對理想導(dǎo)體平面分界面的垂直入射 平面正弦電磁波垂直入射到理想導(dǎo)體的平面分界面上，如圖5.6.1（a）所示。設(shè)它的傳播方向是z軸方向，電場強(qiáng)度方向?yàn)閤軸方向，則入射波的電場強(qiáng)度可表示為 （5.6.1）相應(yīng)的磁場強(qiáng)度為 (5.6.2) 在理想導(dǎo)體分界面處發(fā)生反射，如圖5.6.1（b）所示，顯然反射波的傳播方向?yàn)閦軸的負(fù)方向,設(shè)反射波 的電場強(qiáng)度方向仍為x軸方向，則反射波的電場強(qiáng)度可

17、表示為 相應(yīng)的磁場強(qiáng)度為 反射波和入射波在理想介質(zhì)里形成合成波，合成的電磁場為圖5.6.1平面正弦波對理想導(dǎo)體分界面的垂直入射2. 對理想介質(zhì)平面分界面的垂直入射 現(xiàn)有兩種理想介質(zhì)，介質(zhì)1的參數(shù)為1、1，介質(zhì)2的參數(shù)為2、2。平面正弦電磁波從介質(zhì)1垂直入射到介質(zhì)2的平面分界面，如圖5.6.3所示。圖5.6.3平面正弦波垂直入射到兩種理想介質(zhì)的平面分界面在理想介質(zhì)1中的合成電場和磁場為在理想介質(zhì)2中合成波的電場和磁場的表達(dá)式為 例5.6.1 頻率為f=300MHz的線極化平面波，其電場強(qiáng)度幅值Em=2V/m，從空氣垂直入射到r=4，r=1的理想介質(zhì)平面上（坐標(biāo)設(shè)定與圖5.6.3相同）。求： （1

18、） 反射系數(shù)和透射系數(shù)； （2） 入射波、反射波和透射波的電場和磁場的瞬時值表達(dá)式（取初相=0）； （3） 入射功率、反射功率和折射功率。解（1） 所以例5.6.2 一右旋極化波垂直入射到位于z=0的理想導(dǎo)體板上，其電場強(qiáng)度的復(fù)數(shù)表達(dá)式為（1） 求出反射波的表達(dá)式并確定其極化方式； （2） 求板上的感應(yīng)面電流； （3） 寫出合成波電場強(qiáng)度的瞬時表達(dá)式。解（1） 設(shè)反射波的電場強(qiáng)度為利用邊界條件得Erx=-E0，Ery=jE0則Er=E0（-ex+jey）ejkz由于 ,所以它是左旋極化波。（2） 先求出入射波和反射波的磁場強(qiáng)度所以合成波的磁場為H1=Hi+Hr導(dǎo)體面上的感應(yīng)面電流為合成波電場為

19、所以其瞬時值為（E0為電場強(qiáng)度的有效值） 5.7平面正弦電磁波對理想導(dǎo)體平面的斜入射1.波矢量k 在理想介質(zhì)中，如果電磁波向空間某一方向傳播，那么相移常數(shù)就是矢量，稱為波矢量k。電磁波在理想介質(zhì)中傳播的表達(dá)式為 E=E0e-jkr （5.7.1）式中E0為復(fù)振幅。 引入波矢量k,有時會給分析帶來方便，實(shí)際上波矢量k的方向就是波的傳播方向。 在直角坐標(biāo)系中k和r分別表示為 所以有 （5.7.2） 下面講解極化波的問題。因?yàn)闃O化波形式不同，其規(guī)律也不相同。線極化波和分界面的法線與入射波射線構(gòu)成的平面關(guān)系有兩種情況。一種情況是電場強(qiáng)度矢量平行于入射面，稱為平行極化波； 另一種情況是電場強(qiáng)度矢量垂直于

20、入射面，稱為垂直極化波。2. 平行極化波對理想導(dǎo)體平面的斜入射圖5.7.1平行極化波對理想導(dǎo)體平面的斜入射 如圖5.12所示，分析平行極化波對理想導(dǎo)體平面的斜入射問題，建立直角坐標(biāo)系。入射線與分界面法線的夾角稱為入射角，設(shè)入射角為i，則式中得相應(yīng)的磁場為 反射線與分界面法線的夾角稱為反射角，設(shè)反射角為r，則反射波表示為合成波的電場和磁場3. 垂直極化波對理想導(dǎo)體平面的斜入射 利用圖5.7.2來分析垂直極化波對理想導(dǎo)體平面的斜入射問題，分析方法類似于平行極化波?？梢缘玫椒瓷涠扇匀怀闪D5.7.2 垂直極化波對理想導(dǎo)體平面的斜入射合成波的電場和磁場為例5.7.1 有一正弦均勻平面波從空氣斜入射到

21、z=0的理想導(dǎo)體平面上，其電場強(qiáng)度的復(fù)數(shù)表達(dá)式為 Ei=ey10e-j（6x+8z）（V/m）求： （1） 波長和頻率； （2） 電場強(qiáng)度的瞬時值表達(dá)式Ei（t）和磁場 強(qiáng)度的瞬時值表達(dá)式Hi（t）； （3） 入射角i； （4） 反射波的Er和Hr； （5） 合成波的總電場E1和總磁場H1。解：得所以 ， 5.8 平面正弦電磁波對理想介質(zhì)分界面的 斜入射1. 相位匹配條件和斯奈爾折射定律 如圖5.8.1 所示，平面電磁波向理想介質(zhì)分界面z=0處斜入射，將產(chǎn)生反射波和透射波（折射波），則入射波、反射波和透射波的電場強(qiáng)度矢量分別表示為在分界面z=0處兩側(cè)電場強(qiáng)度的切向分量應(yīng)連續(xù), E1t=E2t故

22、有又多加下角標(biāo)t表示切向分量不同的x和y都成立，所以這個結(jié)論稱為相位匹配條件圖 5.8.1斯奈爾折射定律2. 平行極化波對理想介質(zhì)分界面的斜入射平行極化波對理想介質(zhì)分界面的斜入射，如圖5.8.2所示圖5.8.2平行極化波對理想介質(zhì)分界面的斜入射在圖5.8.2所示的直角坐標(biāo)系中，入射波的電場和磁場為反射波的電場和磁場為（已經(jīng)考慮了反射定律）透射波的電場和磁場為平行極化波的菲涅爾公式3. 垂直極化波對理想介質(zhì)分界面的斜入射垂直極化波理想介質(zhì)分界面的斜入射如圖5.8.3所示圖5.8.3垂直極化波對理想介質(zhì)分界面的斜入射 仿照水平極化波的求解方法，對圖5.8.3所示的直角坐標(biāo)系，寫出入射波、反射波和透射波的表達(dá)式，然后在z=0處應(yīng)用邊界條件，并利用反射定律和折射定律可得垂直極化波的反射系數(shù)R和透射系數(shù)T。以上兩式稱為垂直極化波的菲涅爾公式4. 全反射和臨界角 從折射定律式（5.8.10）可知，當(dāng)理想介質(zhì)1的介電常數(shù)1大于理想介質(zhì)2的介電常數(shù)2時，就會有折射角t大于入射角i 當(dāng)i為某個角度c時，t90，此時就不再有折射線了，這個角度稱為臨界角c當(dāng)滿足ic時，入射光線發(fā)生全反射。5.全折射和布儒斯特角 從式（5