天津科技大學(xué)李偉版高等數(shù)學(xué)第四章習(xí)題答案

1、習(xí)題41（A）1判斷下列敘述是否正確，并說明理由：（1）不定積分是的一個(gè)原函數(shù)； （2）在不定積分的運(yùn)算性質(zhì)中，只有加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算法則而沒有乘法法則，因而遇到求乘積的不定積分時(shí)，可考慮是否能將被積函數(shù)“積化和差”，從而用加法法則分別求不定積分；（3）積分運(yùn)算與微分運(yùn)算是互逆運(yùn)算，因此對(duì)一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)一次，積分一次，不論兩種運(yùn)算的先后順序如何，最后的結(jié)果還是原來的函數(shù)；（4）切線的斜率同為的曲線有無數(shù)條，這些曲線的方程可以寫成（為任意常數(shù)）的形式，要想有唯一解，還必須另外有能確定任意常數(shù)的條件答：（1）不正確不定積分的結(jié)果是的一個(gè)原函數(shù)再加一個(gè)任意常數(shù) （2）正確這只是求乘積的不定積分方法之一

2、，以后還會(huì)介紹其它方法 （3）不正確先積分再求導(dǎo)，兩種運(yùn)算結(jié)果相互抵消，最后的結(jié)果還是原來的函數(shù)；但是，先求導(dǎo)再積分，兩種運(yùn)算結(jié)果不能相互抵消，最后的結(jié)果與原來的函數(shù)相差一個(gè)任意常數(shù) （4）正確這就是不定積分的幾何意義2驗(yàn)證函數(shù)、都是同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)，它們相互之間相差一個(gè)常數(shù)嗎？解：因?yàn)椋?， ，所以、都是同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)根據(jù)原函數(shù)的性質(zhì)，它們彼此之間相差一個(gè)常數(shù)，其實(shí)由三角函數(shù)公式也可以得到它們彼此之間相差一個(gè)常數(shù)，事實(shí)上：，3若，求函數(shù)解：等式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得4一曲線過點(diǎn)，且在任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)平方的倒數(shù)，求該曲線方程解：設(shè)所求曲線為，由已知有，則，再由曲線過點(diǎn)，有，得

3、，所求曲線為5求下列不定積分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12） 解：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10） （11） （12）6若函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)為，求解：因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)原函數(shù)，根據(jù)不定積分的定義，則習(xí)題41（B）1一物體由靜止開始以初速度沿直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過 s后其加速度，求9 s后物體離開出發(fā)點(diǎn)的距離是多少？這時(shí)物體運(yùn)行的速度是多少？解：設(shè)時(shí)刻時(shí)物體離開出發(fā)點(diǎn)的距離為，這時(shí)的速度為，由，則，因?yàn)闀r(shí)，得；所以由，則，因?yàn)闀r(shí)，得，所以2求下列不定積分：（1）； （2）； （3）；

4、（4）； （5）； （6）；（7）； （8）； （9）； （10）解：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）3若函數(shù)滿足，求解：由，得，所以 4若函數(shù)滿足，求不定積分解：由，有，所以習(xí)題42（A）1判斷下列敘述是否正確，并說明理由：（1）用湊微分法所求的不定積分，被積函數(shù)必須具備、或能化成的形式；（2）用湊微分法求不定積分時(shí)，其中中可以任意添加常數(shù)項(xiàng)或改變的系數(shù)而成為的形式，需要注意的是，這樣變換后被積函數(shù)需乘一個(gè)常數(shù)因子；（3）形如的積分，積分結(jié)果一般為對(duì)數(shù)函數(shù)與反正切函數(shù)之和答：（1）正確但是必須有原函數(shù)（2）正確因?yàn)椋ǎ┛偸浅闪⒌模?）不正確在很多時(shí)候結(jié)

5、果中只有對(duì)數(shù)函數(shù)或只有反正切函數(shù)，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)有理函數(shù)事實(shí)上： 當(dāng)，時(shí)，； 當(dāng)，時(shí)， ； 特別，當(dāng)，且時(shí)，； 當(dāng)，時(shí)，； 當(dāng)，時(shí)，； 特別，且時(shí)，； 當(dāng)，時(shí)， ； 當(dāng)，時(shí)， ； 當(dāng)，且時(shí)， 2在下列各題中的橫線上填入適當(dāng)數(shù)值，使得等號(hào)成立：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） 解：（1），填 （2），填（3），填 （4），填 （5），填 （6），填3求下列不定積分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）； （17）； （18）； （19）；

6、 （20）；（21）； （22）； （23）； （24） 解：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）（17） （18）（19） （20）（21） 或： （22）（23） （24）習(xí)題42（B）1求下列不定積分： （1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8） 解：（1） （2） （3）， 或： （4）此題還有以下幾種作法： 記， 則 所以， ，（其中） ，則，于是 本題還可以用下一節(jié)的“萬能代換”求解（5）； （6）（7） （8）2已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，求解：由，有，所以習(xí)題43（

7、A）1判斷下列敘述是否正確，并說明理由：（1）在求形如、的不定積分時(shí)都是采取令作變量代換的三角換元法，從而把無理函數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)有理式的積分；（2）當(dāng)被積函數(shù)含有的根式時(shí)，為了變無理式為有理式，通常將看作一個(gè)新的換元答：（1）不正確三個(gè)積分分別用三角代換、 （2）正確但是，有時(shí)也可以采用有理化的方法，如等2求下列不定積分： （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）解：（1）令（），則，于是 ， 或，原式 （2）令（），則，于是（3）令（），則，于是或：當(dāng)時(shí)，原式， 當(dāng)時(shí)，解法類似，結(jié)果相同 （4）當(dāng)時(shí)，令（），

8、則，于是（其中）， 當(dāng)時(shí)，令，（），則，于是 ，所以，對(duì)，都有（5） （6）（7） （8）令，則，,于是（9）令，則，于是 （10）令，則，于是（其中）（11）令，則，于是 （12）令，則，于是習(xí)題43（B）1求下列不定積分： （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）解：（1）令（），則，于是（參見習(xí)題4-2（B）1（2）解法） （2）當(dāng)時(shí)，令（），則，于是，當(dāng)時(shí)，令，則，于是，所以，對(duì)任何，都有或：當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，原式（其中）（3） （4）（5）令，則，于是 （6），則，于是 （7）令，則，于是 （8）令，則，于是2如果函數(shù)在點(diǎn)的增量，求解：由，得，所以對(duì)，令

9、（），則，于是 ，所以， 習(xí)題44（A）1判斷下列敘述是否正確，并說明理由：（1）當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與其他函數(shù)乘積時(shí)，若把冪函數(shù)當(dāng)作采用分部積分，將降低冪函數(shù)的指數(shù)從而使問題變得簡(jiǎn)單，因此當(dāng)對(duì)含有冪函數(shù)作因子的乘積采用分部積分時(shí)，應(yīng)將冪函數(shù)取作；（2）若被積函數(shù)含有對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)作為因子，采用分部積分時(shí)，通常要將它們作為答：（1）不正確在求冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)乘積的分部積分時(shí)，要將冪函數(shù)取為，而將對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)取為 （2）正確如果將這兩類函數(shù)取為，原函數(shù)不好找，但是它們的導(dǎo)數(shù)卻是簡(jiǎn)單的有理函數(shù)或無理函數(shù)2求下列不定積分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；

10、 （7）； （8）；（9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）. 解：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10） （其中）（11） （12）（13）于是，所以 （14）3求不定積分.解：4若的一個(gè)原函數(shù)為，求不定積分.解：由已知，則，于是習(xí)題44（B）1求下列不定積分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）.解：（1） （2）（3） （4）于是，所以（5）（參見習(xí)題4-3（A）2（3） （6）（注：本題主要矛盾是降低分母次數(shù)）（7） （8）取，為求，先求，令，則 ，于是 2記，證明. 證明：. 3若函數(shù)有連

11、續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求.解：由，有，于是 ， 由，有，得， ， 由，有得，所以總習(xí)題四1填空題： （1）若的一個(gè)原函數(shù)為，則 ；（2）若，則 ；（3）不定積分 ；（4）不定積分 ；（5）若的一個(gè)原函數(shù)為，則 解：（1）根據(jù)不定積分定義，填：； （2），填：； （3），填：；（），填：； （5），填：2單項(xiàng)選擇題： （1）若有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列式子中正確的是（ ）；（A）； （B）；（C）； （D）（2）若的一個(gè)原函數(shù)為，則（ ）； （A）（）； （B）（）；（C）（）； （D）（）（3）若，則函數(shù)（ ）； （A）； （B）；（C）； （D）（4）若有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則不定積分（ ）；(A) ； (B

12、) ； (C) ； (D) .（5）若函數(shù)，則（ ） （A） （B）（C） （D）解：（1）選A， B少，而C、D都少加積分常數(shù)C； （2）選D，事實(shí)上：. （3）選D，事實(shí)上：等式兩邊對(duì)求導(dǎo)，有，即，所以. （4）選C，事實(shí)上：. （5）選D事實(shí)上：由得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)可導(dǎo)，因此要連續(xù)，而，得，所以，3求下列不定積分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）； （9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）；（17）； （18） (19) ； （20）； （21）； （22）；（23）； （24）（）； （25） （26

13、）；（27）； （28）； （29）； （30）； （31）； （32）； （33）； （34） 解：（1） 或：令，則 （2）（3） （4）（5）令，則，于是 （6） （7） 或：令，則，于是（參見題（1） （8）令，則， ，于是（9）令（），則 （10）當(dāng)時(shí)，令（），則 當(dāng)時(shí)，令，則所以，當(dāng)時(shí)，都有（11）令（）則或：當(dāng)時(shí)，令，則， 當(dāng)時(shí)，類似可得（12）（13） （14）令，則，于是（15） （16） （17） （18） 或：（19） （20） （21） （22） （積分結(jié)果，參見下面（26）題）（23）（注：本題只對(duì)時(shí)求解，當(dāng)時(shí)，積分結(jié)果應(yīng)為） （24）（25） （26）因?yàn)椋?所以，（27）