微積分08 微分方程ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、引例一、引例二、微分方程的一般概念二、微分方程的一般概念例1 一曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn) (1,2),且該曲線(xiàn)上任意點(diǎn)P(x,y)處的切線(xiàn)斜率等于該點(diǎn)的橫坐標(biāo)平方的3倍,求此曲線(xiàn)的方程. 一、引例(2) ).2) 1 ( 2| )()2 , 1 (1yyxyyx或記作應(yīng)滿(mǎn)足條件：，故又因曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)(1) d3d 2xxy 即(3) ).( d3 ) 1 (32為任意常數(shù)式兩端求不定積分，得把CCxxxy ,3dd2xxy由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得設(shè)所求曲線(xiàn)的方程為. )(xyy 解，即式，有代入把條件112 )3()2(3CC(4) 1 3 xy于是，所求曲線(xiàn)方

2、程為例2 設(shè)有一質(zhì)量為m的物體，從空中某處，不計(jì)空氣阻力而只受重力作用由靜止?fàn)顟B(tài)自由降落.試求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律(即物體在自由降落過(guò)程中，所經(jīng)過(guò)的路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系).速度的乘積，于是得與加應(yīng)等于物體的質(zhì)量重力物體上的外力第二定律可知，作用在根據(jù)牛頓路程為所經(jīng)過(guò)的設(shè)物體在時(shí)刻 )(),( mmgtsst解.(5) dd dd 2222是重力加速度其中，即ggtsmgtsm，將上式改寫(xiě)為gtstdddd ，因此可得tgtsdddd (6) . 0dd 0 :)(00tttsstss，滿(mǎn)足條件還應(yīng)由降落，所以由于物體由靜止?fàn)顟B(tài)自(7) ddd )5(1，式兩端積分一次，得對(duì)Cgttgts，式，可

3、得式和入式中的兩個(gè)條件分別代把00 )7()8()6(21CC. ,(8) 21d)( 212121是兩個(gè)任意常數(shù)其中，再對(duì)上式兩端積分，得CCCtCgttCgts21 . (9)2sgt于 是 ， 所 求 的 自 由 落 體 的 運(yùn) 動(dòng) 規(guī) 律 為 二、微分方程的一般概念1.微分方程及微分方程的階含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程稱(chēng)為微分方程；未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱(chēng)為常微分方程;未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程，稱(chēng)為偏微分方程；(5) dd22gts，(1) d3d2xxy (1)和(5)式均是微分方程. 微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱(chēng)為微分方程的階.微分方程(1)是一階的，微分

4、方程(5)是二階的. 能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱(chēng)為微分方程的解.2.微分方程的解、通解與特解 3Cxy例如 1 3 xy和.d3d2的解都是xxy .dd22的解都是gts 21212CtCgts又如221gts 和不包含任意常數(shù)的解為微分方程特解. 如果微分方程的解中含任意常數(shù),且獨(dú)立的(即不可合并而使個(gè)數(shù)減少的)任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解為微分方程的通解.dd22的通解是gts 21212CtCgts又如 3Cxy例如.d3d2的通解是xxy 13 xy例如.d3d2的特解是xxy 221gts 又如.dd22的特解是gts3.微分方程的初值條件及其提法 用以確定微

5、分方程解中任意常數(shù)的特定條件，稱(chēng)為微分方程的初值條件.初值條件的提法：,00yyxx時(shí)，當(dāng).,)( ,| )( ,| 00000000000都是已知值其中或，或記作yyxyxyyyyxyyyxxxx.)(,)( )()1(00)1(0000nnyxyyxyyxynn，個(gè)初值條件：階微分方程需給出一般地，對(duì)于 微分方程的解的圖形稱(chēng)為微分方程的積分曲線(xiàn).通解的圖形是一族積分曲線(xiàn)，稱(chēng)為微分方程的積分曲線(xiàn)族.微分方程的某個(gè)特解的圖形就是積分曲線(xiàn)族中滿(mǎn)足給定初值條件的某一特定的積分曲線(xiàn).4.微分方程的解的幾何意義.)11( 1 , 0 )10( 04 )(ee 00212221的特解程滿(mǎn)足初值條件：的通

6、解，并求此微分方二階微分方程是為任意常數(shù)，驗(yàn)證函數(shù)xxxxyyyyCCCCy，xxCCy2221e4e4例3，得，分別求一階及二階導(dǎo)數(shù)將函數(shù)xxxxCCyCCy22212221e2e2 ee解0e4e4e4e44 )10(22212221xxxxCCCCyy的左端，得把它們代入微分方程.)10(.)10(ee2221程的通解該方的階數(shù)相同，所以它是的個(gè)數(shù)與微分方程常數(shù)獨(dú)立的任意常數(shù)，任意又因這個(gè)解中含有兩個(gè)的解是所給微分方程所以函數(shù)xxCCy中，得及代入”分別”及“式中的條件把xxxxxxCCyCCyyy2221222100e2e2 ee 10:)11(.41411220 212121CCCC

7、CC，解得，).ee (41 22xxy初值條件的特解為于是所求微分方程滿(mǎn)足第二節(jié)一階微分方程與可降階的第二節(jié)一階微分方程與可降階的 高階微分方程高階微分方程二、齊次型微分方程二、齊次型微分方程一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程三、一階線(xiàn)性微分方程三、一階線(xiàn)性微分方程四、可降階的高階微分方程四、可降階的高階微分方程(1) 0dd, 0)( xyyxFx,y,yF或如果能解出 ，那么xyydd(2) ).,(dd ),(yxfxyyxfy或如果一階微分方程(2)的右端，)0)( )()( ),(yhyhxgyxf則方程(2)可以表示為)3( d)(d)(xxgyyh一、可分離變量的

8、微分方程一、可分離變量的微分方程.)d()d( )3()3()()(是任意常數(shù)其中，的通解便得微分方程式兩端同時(shí)積分，都是連續(xù)函數(shù)，將，CCxxgyyhyhxg的形式，則稱(chēng)此一階微分方程為變量可分離的微分方程.2dd的通解求微分方程xyxy，兩端同時(shí)積分xxyyd2d ，即，得2112eee| |ln 12xCCxyCxy，或記作21ee xCy.e ,e21xCCyC則有若記例1，原方程分離變量得xxyyd2d 解.0d)1 (d)1 ( 22的通解求微分方程yyxxyx，兩端積分，有122d1d1 Cxxxyyy，得兩端同除以xxxyyyyxd1d1)1)(1 (2222，積分后得122)

9、1ln(21)1ln(21 Cxy，即表示為把任意常數(shù))0( ln21)1ln(21)1ln(21 ,ln21221CCxyCC).1 (1 22xCy化簡(jiǎn)得例2，移項(xiàng)得xyxyyxd)1 (d)1 ( 22解.60dcos) 1(dsin2 12的特解條件滿(mǎn)足初值求微分方程xyyyxxyx12d12dsincos Cxxxyyy兩端積分，有).( sin) 1( 2是任意常數(shù)其中化簡(jiǎn)得所給方程的通解CCyx)ln, 0( ln) 1ln(sinln 12CCCCxy積分后，有例3，由原方程得xxxyyyd12dsincos 2解，即代入通解中，得把初值條件1 ,6sin) 11 ( 621C

10、Cyx. 1sin) 1( 2yx值條件的特解為于是，所求方程滿(mǎn)足初二、齊次型微分方程二、齊次型微分方程形如 d( )dyyfxx (1) 求解這類(lèi)方程的方法是：利用適當(dāng)?shù)淖儞Q，化成可分離變量的微分方程.設(shè)xyu 那么uxy 故有dd(2)ddyuuxxx的一階微分方程 稱(chēng)為齊次微分方程.將2代入1得)(ddufxuxu即uufxux)(dd分離變量，得xxuufud1)(d兩端積分便可求出通解， 再以xyu 代入便可求出原方程的通解.例4 求微分方程的通解.xyxyxytandd解令xyu 代入方程得tanxuuuu或uxuxtandd分離變量，得 xxuud1dcot或Cxu sin再把x

11、yu 回代，即得原方程的通解為Cxxysin兩端積分，得Cxulnlnsinln例5 求下列微分方程的通解)lnln1(ddxyyxyx解原方程可變形為 )ln1(ddxyxyxy令xyu 代入方程得(1ln)xuuuu 分離變量得xxuuudlnd兩端積分得 Cxulnlnlnln即Cxu ln故Cxeu 即得原方程的通解為再把回代xyu Cxxysin形如的方程稱(chēng)為一階線(xiàn)性微分方程，其中P(x)，Q(x)是連續(xù)函數(shù)，且方程關(guān)于y及 是一次的，Q(x)是自由項(xiàng).(1) )()(ddxQyxPxyxydd)()(ddxQyxPxy為一階線(xiàn)性非齊次方程，則稱(chēng)如果0)(xQ三、階線(xiàn)性微分方程三、階

12、線(xiàn)性微分方程例如，方程xyxxysin1dd是一階線(xiàn)性微分方程；而右端 ，因此它是一階線(xiàn)性非齊次方程.它對(duì)應(yīng)的齊次方程就是0sin)(xxQ，01ddyxxy(2) 0)(ddyxPxy，即如果0)(xQ為一階線(xiàn)性齊次方程.一階線(xiàn)性非齊次微分方程的求解步驟如下:1.先求(2) 0)(ddyxPxy的通解：分離變量后得xxPyyd)(d，的形式，得任意常數(shù)寫(xiě)成CxxPyClnd)(ln ln而方程xxyyxyyyxxyxln2 ,e)( ,dd222等，都不是線(xiàn)性方程.2.利用“常數(shù)變易法求線(xiàn)性非齊次方程(1)的通解：設(shè)(4) e )()d(，xxPxCy是方程(1)的解，其中C(x)為待定常數(shù)

13、,將(4)式求其對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，得，xxPxxPxCxPxCxy)d()d(e )()(e )(dd (3) ed)(，xxPCy化簡(jiǎn)后，方程(2)的通解為其中C為任意常數(shù).化簡(jiǎn)后，得，xxPxQxCd)(e )()(5) de )()(d)(，CxxQxCxxP將上式積分，得其中C為任意常數(shù).(6) ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP把(5)式代入(4)式中，即得方程(1)的通解為代入方程(1)中，得，)(e )()( e )()(e )()d()d()d(xQxCxPxCxPxCxxPxxPxxP.e22dd2的通解求微分方程xxxyxy這是一階線(xiàn)性非齊次微分方程.，即分方程為

14、原方程所對(duì)應(yīng)的齊次微解法xxyyxyxyd2d , 02dd 1，Cxylnln 2，由常數(shù)變易法得2e )( xxCy.e 2xCy即例1 通過(guò)把對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性齊次方程的通解中的任意常數(shù)變易為待定函數(shù)，然后求出線(xiàn)性非齊次方程的通解，這種方法稱(chēng)為常數(shù)變易法.，代入原方程得及將2222e2e )(2e )(2e )( ddxxxxxxxCxxCxCxyy，化簡(jiǎn)得xxC2)( .d2)( 2為任意常數(shù)其中，積分得CCxxxxC.e )(22xCxy故得原線(xiàn)性非齊次微分方程的通解為，則22e )(2e )( dd xxxxCxCxy解法2 直接用通解公式(6).，2e2)(,2)(xxxQxxP代入公式

15、(6),Cxxyxxxxxdee2ed2d22得所求線(xiàn)性非齊次方程的通解為Cxxxxxdee2e222. )(ed2e222CxCxxxx.edd的通解求微分方程xxyxyxxxQxxPe)(,1)(代入公式(6),得所求線(xiàn)性非齊次方程的通解為Cxyxxxxxdeeed1d1Cxxxxde1Cxxxxdeeeln1ln0 ),ee(1xCxxxx. 0 ,ee xxCxyxx或?qū)懗衫?xyxxyxe1dd 0 時(shí)，把原方程改寫(xiě)為當(dāng)解.0)0(1sincos 的特解滿(mǎn)足初值條件求微分方程yxyxyxxQxxPsec)(tan)(，代入公式(6),得所求線(xiàn)性非齊次方程的通解為Cxxyxxxxdes

16、eced)tan(d)tan(CxxxxCxxxxdcosseccos1desececoslncosln例3，把原方程改寫(xiě)為xxyysectan 解.seccos , 00)0(xxxxyCy故得所求特解為代入通解中，得),(cos1dcos1CxxCxx.dd3的通解求微分方程yxyxy對(duì)于未知函數(shù)x(y為自變量)來(lái)說(shuō)，所給方程就是一階線(xiàn)性非齊次方程，對(duì)未知函數(shù)x的一階線(xiàn)性非齊次方程(8) )()(ddyQxyPyx 1dd23即，yxyyyxyx(7) ,1dd 2yxyyx例4對(duì)于未知函數(shù)y，它不是線(xiàn)性方程，但是方程可改寫(xiě)為解(9) de )(ed)(d)(CyyQxyyPyyP的通解公

17、式為2)(,1)( yyQyyP方程(7)中， 代入(9)式，即得所求上述方程的通解為Cyyxyyyydeed12d1Cyyyydeeln2ln.2d212CyyCyyyy) 1 ( )()(xfyn（一y(n)=f(x)型的微分方程，兩端積分一次，即得1)1(d)( Cxxfyn方程可改寫(xiě)為，或xxfyxfyxnnd)( )(d )()(dd)1()1(再積分一次，得，21)2(d)(CCxxfyn 依次積分n次，得方程(1)的含有n個(gè)任意常數(shù)的通解.四、可降階的高階微分方程四、可降階的高階微分方程.sin2的通解求微分方程xxyxCxxyd)cos(12，3221432132cos121

18、dsin31CxCxCxxCxCxCxxy.,cos121,23213221411都是任意常數(shù)其中，即得記CCCCxCxCxxyCC，213sin31CxCxx例1，次，得對(duì)所給方程依次積分三12cosd)sin2( Cxxxxxy解(,) yfx y(二 )型 的 微 分 方 程(2) ),( yxfy 這是關(guān)于變量x和p的一階微分方程，若能求出其通解，設(shè)為 ，即有),(1Cxp，或xCxyCxxyd),(d ),(dd 11.dd , pxpypy則通過(guò)變量代換微分方程，),(ddpxfxp代入方程(2)，得.d),( 21CxCxy兩端積分，得方程(2)的通解.e1的通解求微分方程xxy

19、xy1d1d1deeeCxxpxxxxx這是一階線(xiàn)性非齊次方程，利用通解公式，可得例2，代入原方程，得，則設(shè)xxpxxpxpypye1dd dd解，)e(de11CxCxxxx1lnlndeeeCxxxxx，)e(dd 1CxxyxxxCxxCxyxxd)e( d)e(11于是有再積分一次，得原方程的通解為2212e)1(CxCxx).2( e)1(11221CCCxCxx.3 , 1:12002的特解滿(mǎn)足初值條件求微分方程xxyyyxxy，兩端積分得12ln)1ln(ln Cxp這是可分離變量的一階微分方程，分離變量得，xxxppd12d2例3.12dd dd2pxxxpxpypy，代入原方

20、程得，則設(shè)解，代入上式，得以3 3100Cpyxx. 1 120Cyx代入，得再以. )1 ( )1 ( 2121xCyxCp即，化簡(jiǎn)得. )1 (3 2xy,3 d)1 (3232Cxxxxy這是一階微分方程，積分一次，得. 133xxy所求特解為第三節(jié)第三節(jié) 二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程一、二階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)一、二階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)二、二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程的解法二、二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程的解法三、二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程的解法三、二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程的解法的方程，稱(chēng)為二階線(xiàn)性微分方程.當(dāng) 時(shí)，方程(1)成為) 1 ( )()()(xfyxQy

21、xPy0)(xf)2( 0)()(yxQyxPy稱(chēng)為二階線(xiàn)性齊次微分方程，當(dāng) 時(shí)，方程(1)稱(chēng)為二階線(xiàn)性非齊次微分方程.0)(xf/形如 當(dāng)系數(shù)P(x)、Q(x)分別為常數(shù)p、q時(shí)，則稱(chēng)方程(3) 0qypyy為二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程，稱(chēng)方程一、二階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)一、二階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理 設(shè)y1(x)， y2(x)是二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程(3)的兩個(gè)解，那么 也是方程(3)的解，其中C1, C2是任意常數(shù).)()(2211xyCxyCy(一)二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程解的性質(zhì)與通解結(jié)構(gòu)證，的解，所以都是方程因?yàn)?)()()( 0)()()( )3()(),( 222111

22、21xqyxpyxyxqyxpyxyxyxy的左端，得代入方程將)3()()(2211xyCxyCy)4( )0)( )(xfxfqypyy/為二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程.，0 )()()( )()()( )()( )()( )()( 22221111221122112211xqyxpyxyCxqyxpyxyCxyCxyCqxyCxyCpxyCxyC.)3()3()()( 2211的解所以它是方程，滿(mǎn)足方程即xyCxyCy 這個(gè)定理表明，二階線(xiàn)性齊次微分方程任何兩個(gè)解y1(x)， y2(x)的線(xiàn)性組合 ，仍是方程的解.那么， 是不是方程(3)的通解呢？)()(2211xyCxyC)()(22

23、11xyCxyCy例1 對(duì)于二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程, 02yyy容易驗(yàn)證： 都是它的解.由定理11.1 知xxxyxye2)(,e)(21)()(2211xyCxyCy也是它的解.但這個(gè)解中只含有一個(gè)任意常數(shù)C，顯然它不是所給方程的通解.xxxxCCCCCee )2(e2e2121問(wèn)題：方程(3)的兩個(gè)特解y1(x)， y2(x)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，)( )()(212211為任意常數(shù)，CCxyCxyCy才是方程(3)的通解？ 由例1分析可知，如果方程(3)的兩個(gè)特解y1(x)， y2(x)之間不是常數(shù)倍的關(guān)系，那么它們線(xiàn)性組合得到的解就必定是方程(3)的通解.)( )()(212211為任意

24、常數(shù)，CCxyCxyCy定義 設(shè)y1(x) 與y2(x)是定義在某區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)，如果存在不為零的常數(shù)k (或存在不全為零的常數(shù)k1 , k2)，使得對(duì)于該區(qū)間內(nèi)的一切x ，有)0)()( )()(221112xykxykkxyxy或成立，則稱(chēng)函數(shù)y1(x) 與y2(x) 在該區(qū)間內(nèi)線(xiàn)性相關(guān)，否則稱(chēng)y1(x) 與y2(x) 線(xiàn)性無(wú)關(guān).定理 如果函數(shù)y1(x) 與y2(x)是二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程(3)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解，那么),( )()(212211為任意常數(shù)CCxyCxyCy就是方程(3)的通解. 02 e)(e)( 221的解，并寫(xiě)出它的通解都是微分方程與驗(yàn)證yyyxyxyxx，

25、及分別求導(dǎo)，得及對(duì)xxxxxxxyxyxyxyxyxy222211221e4)(,e2)( e)(,e)( e)(e)(，程左端，得把它們分別代入所給方0e2e2e4 , 0e2ee 222xxxxxx.e)(e)(221都是原方程的解與故xxxyxy例2所給方程為二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程解常數(shù)，xxxxyxy3212eee)()( ，是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的兩個(gè)特解與xxxyxy221e)(e)( .,ee 2 .1121221是任意常數(shù)其中，得原方程的通解為由定理CCCCyxx) 1 ( )( )(，為常數(shù)，qpxfqypyy二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程的一般形式二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程的一般形

26、式)2( . 0qypyy它所對(duì)應(yīng)的齊次方程為(二二) 二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分 方程解的性質(zhì)與通解結(jié)構(gòu)方程解的性質(zhì)與通解結(jié)構(gòu)定理 設(shè) 是二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程(1)的一個(gè)特解， 是方程(1)所對(duì)應(yīng)的齊次方程(2)的通解，那么)(* xy)(*)()(*2211xyxyCxyCyYy)()(2211xyCxyCY是方程(1)的通解.)(*xfqypyy，及0 qYpYY所對(duì)應(yīng)的是方程的解，而是方程由于) 1 () 1 (*Yy齊次方程(2)的通解，所以有證*)*()( *)(*)(*)( ) 1 (*qypyyqYpYYyYqyYpyYyYy的左端，得代入方程把，

27、)()(0 xfxf.) 1 (,*)2() 1 ()()(.) 1 () 1 (*2211的通解是方程從而它意常數(shù)中也含有兩個(gè)獨(dú)立的任以個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，所的通解，其中已含有兩所對(duì)應(yīng)的齊次方程是方程為又因的解，從而是方程滿(mǎn)足方程即yYyxyCxyCYyYy.2的通解次微分方程求二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊xyy，的通解為微分方程且所給方程對(duì)應(yīng)的齊次xxCCYyyee 0 21. 2ee * 3 .11 221是所給方程的通解可知由定理xCCyYyxx例1是所給方程的一個(gè)特解容易驗(yàn)證：2*2xy解)(*)(*21xyxy和定理 設(shè))3( )()(21xfxfqypyy)( )( 21xfqypyyxfq

28、ypyy和的特解，那么 是微分方程)(*)(*21xyxyy的特解，其中p，q是常數(shù).分別是二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程)(*)(* )(*)(* )(*)(* )3()(*)(*21212121xyxyqxyxypxyxyxyxyy的左端，得代入方程把.)3()(*)(*21的一個(gè)特解是微分方程xyxyy，和由假設(shè)有)()(*)(*)(* )()(*)(*)(* 22221111xfxqyxpyxyxfxqyxpyxy，)()()(*)(*)(* )(*)(*)( *21222111xfxfxqyxpyxyxqyxpyxy證二、二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程的解法)( e為常數(shù)ryrx把 代入方

29、程(3)，整理后得yyy及， 0)e(2，rxqprr，故得因0erx(5) 02，qprr稱(chēng)一元二次方程(5)為二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程(3)的特征方程.是方程(3)的解，特征方程(5)的根為.24 22, 1qppr，是兩不相等的實(shí)根與24 ,24 , 04 (1)2221212qpprqpprrrq pxrxryy21ee21與于是都是方程(3)的解，且常數(shù)，xrrxrxryy)(121212eee即 線(xiàn)性無(wú)關(guān).因此方程(3)的通解為xrxryy21ee21與(6) ).,( ee212121為任意常數(shù)CCCCyxrxr2 04)2(21212prrrrqp是兩相等實(shí)根與時(shí)，當(dāng)于是得到

30、方程(3)的一個(gè)特解 ，須找出方程(3)的另一個(gè)特解y2，且xry1e1常數(shù)，12yy，設(shè))(e12xuyxr，整理都得代入方程及，將)3(222yyy，0)()2(e12111uqprrupruxr，故得由于0e1xr. 0)()2(1211uqprrupru02 0 )5(2 112121prqprrprr，的重根，是特征方程. 0 u于是前式成為，xrxy1e2取u=x，于是得方程(3)的另一個(gè)特解xrxryy21ee21與線(xiàn)性無(wú)關(guān)，方程(3)的通解為(7) ).,( e )( ee 212121111為任意常數(shù)即，CCxCCyxCCyxrxrxr，其中，是一對(duì)共軛復(fù)根與時(shí)，當(dāng)024 ,

31、2 i ,i 04 )3(221212pqprrrrqp e e i2i1xxyy與 ,sinicosei是方程(3)的復(fù)數(shù)形式特解.利用歐拉公式.sinicoseee,sinicoseeei2i1xxyxxyxxxxxx: 21寫(xiě)為，將yyxyyyxyyyxxsinei 21cose21212211，再由定理11.1可知，函數(shù)也是方程(3)的解，且,tancosesine21常數(shù)xxxyyxx)8( .sincose21xCxCyx即 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故得微分方程(3)的通解為21yy 與求二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程(3)的通解步驟：1.寫(xiě)出特征方程，并求出特征方程的兩個(gè)根；2 .根據(jù)兩個(gè)特征根的

32、不同情況，按照公式(6)、(7)或(8)寫(xiě)出微分方程的通解.可使用下表:0qypyy02qprr兩個(gè)不相等的實(shí)根21rr 特征方程:微分方程:兩個(gè)相等的實(shí)根21rr 一對(duì)共軛復(fù)根)0(,21irxrxrCCy21ee21xrxCCy1e)(21) sin cos(e21xCxCyx的兩個(gè)根r1,r2的通解例3 求微分方程 . 032的通解yyy，有不相等的實(shí)根3 , 1 21rr.ee 321xxCCy通解為，0322 rr 解 其特征方程為即 (r+1)(r3)=0,.2dd 1| 0dd4dd4 0022的特解，滿(mǎn)足初值條件求微分方程tttssststs，有兩個(gè)相同實(shí)根21 21 rr例4

33、，特征方程為，原方程化為041 041 2rrsss解.e )( 221ttCCs故通解為，求導(dǎo)，得將上式對(duì)2222ee )1 (21dd ttCCtst，故，代入通解，得將2210e )1 ( 11tttCsCs.e321 2tts故所求特解為，代入上式得再將232dd20Ctst.032 的通解求微分方程yyy，有一對(duì)共軛復(fù)根i 21 2, 1r).2sin2cos(e 21xCxCyx通解為例5，特征方程為032 2 rr解三、二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程的解法1. ，其中 是常數(shù)， 是x的一個(gè)m次多項(xiàng)式，mmmmmaxaxaxaxP1110 )()(e)(xPxfmx)(xPm. )0

34、(,)sincos(e)(. 2均是常數(shù)及，其中BAxBxAxfx.e )(e )(2e )( e )(e )( 2*xxxxxxQxQxQyxQxQy，則型)(e)(. 1xPxfmx此時(shí)微分方程(1)成為(4) )(e，xPqypyymx， e )(*xxQy可設(shè)方程(4)的特解為),(e*xPqypyyyyymx代入，將 ,e )(e )( e)()(e)()(2)(2xmxxxxPxqQxQxQpxQxQxQ，得約去0ex(5) ).()()( )()2()(2xPxQqpxQpxQm分三種情形討論此式：.) 1()( 1101110個(gè)待定系數(shù)是，其中mbbbbbxbxbxbxQmmm

35、mmmm(1)設(shè) 不是方程(4)所對(duì)應(yīng)的齊次方程(2)的特征方程的 根，即 .設(shè)方程(4)的一個(gè)特解為0 2qpxmxQye )(* 將 代入方程(4)，比較等式兩端x的同次冪系數(shù)，得到含有未知系數(shù) 的(m+1)個(gè)方程，由此定出(m+1)個(gè)未知系數(shù) ，從而得到方程(4)的特解 . yyy*,，mmbbbb，110*ymmbbbb，110.) 1()( 1101110個(gè)待定系數(shù)是，其中mbbbbbxbxbxbxQmmmmmmm(2)設(shè) 是方程(4)所對(duì)應(yīng)的齊次方程(2)的特征方程的 單根，即 .設(shè)方程(4)的一個(gè)特解為02 0 2pqp，xmxxQye )(* 將 代入方程(4)，比較等式兩端x

36、的同次冪系數(shù)，定出(m+1)個(gè)未知系數(shù) 得到方程(4)的特解 . yy*與mmbbbb，110*y.) 1()( 1101110個(gè)待定系數(shù)是，其中mbbbbbxbxbxbxQmmmmmmm(3)設(shè) 是方程(4)所對(duì)應(yīng)的齊次方程(2)的特征方程的重根，即 .設(shè)方程(4)的一個(gè)特解為02 0 2pqp，xmxQxye )(2* 將 代入方程(4)，比較等式兩端x的同次冪系數(shù)，定出(m+1)個(gè)未知系數(shù) ,得到方程(4)的特解 . yy*與mmbbbb，110*y小結(jié)：(4) )(e xPqypyymx對(duì)于二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程(4)，xmkxQxye )( *設(shè)方程(4)的特解為Qm是與Pm同

37、次的多項(xiàng)式，即.) 1(,)( 1210122110個(gè)待定系數(shù)是其中，mbbbbbbxbxbxbxbxQmmmmmmmmk的取法為(1)當(dāng) 不是對(duì)應(yīng)齊次方程的特征根時(shí)，取k=0,(3)當(dāng) 是對(duì)應(yīng)齊次方程的重特征根時(shí)，取k=2.(2)當(dāng) 是對(duì)應(yīng)齊次方程的單特征根時(shí)，取k=1,例2 求微分方程.e )2(322的一個(gè)特解xxyyy，此取不是特征方程的根，因02k. 1, 3 , 032 212rrrr解得特征方程為xbxby210*e )( 設(shè)特解為.e )(4e4 ,e )(2e 21020*21020*xxxxbxbbybxbby032 2, 2)( ,e )(e )2()( 112yyyxx

38、PxPxxfxx對(duì)應(yīng)齊次方程為，其中解，得代入所給方程，約去，將2)32(3 ,e1002*xbbxbyyyx，98 ,31 10bb 23213,100，得同次冪的系數(shù)比較兩端bbbx.e9831 2*xxy特解為.e212的通解求微分方程xyyy. 1,21)( ,e )(e21)(00 xPxPxfxx則而.e )(21xxCCY121 rr，故得對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為0122 rr的特征方程為對(duì)應(yīng)的齊次方程02yyy解而 是特征方程的重根，取k=2.因而，設(shè)1.e2*xbxy 例3，則xxbxbxbybxbxye )42(* e )2(* 22.e41 2*xxy 故求得一個(gè)特解為，即代

39、入所給方程，得，將41 212 *bbyyy.e41e )( * 221xxxxCCyYy為因此，所給方程的通解.1)0(, 0)0(32 2的特解滿(mǎn)足初值條件：求微分方程yyxyy(1)先求所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解Y.，有兩個(gè)不同的實(shí)根，特征方程為1, 0 0 212rrrr(2)再求所給方程的一個(gè)特解y*.，取是特征方程的一個(gè)單根10k.e 21xCCY故得. 0, 32)(32)(222xxPxxf，則解例4，因此，設(shè)xbxbxbbxbxbxyx2213002120e )(* ，即，代入所給方程，得把32)2()26(3 32)23()26( *,*,22110202212010 x

40、bbxbbxbxbxbxbbxbyyy，的同次冪項(xiàng)的系數(shù)，得比較上式兩端. 3202623 21100bbbbbx.26* 23* 102120bxbybxbxby，故得所給方程的特解為xxxy23232* . 142e 22xxCyxx求導(dǎo)，得將上面的通解對(duì)，解得1232 210bbb.232e * 2321xxxCCyYyx為因此得所給方程的通解. 22 110 1)0(, 0)0(21221CCCCCyy，即得，得分別代入通解及上式，把.232e22 23xxxyx于是得所求特解為. 2232e2 23xxxyx或型xBxAxfsincos)(. 2(6) sincosxBxAqypyy

41、; 0 )6(i) i (k取征根時(shí)，所對(duì)應(yīng)的齊次方程的特不是方程當(dāng)此時(shí)，二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程(1)成為., 0,不同時(shí)為零是實(shí)常數(shù)，且其中BABA，)sincos(*xbxaxyk方程(6)有如下形式的特解其中a，b為待定系數(shù)，k的取法如下： . 1 )6(i)ii(k取征根時(shí)，所對(duì)應(yīng)的齊次方程的特是方程當(dāng).cos23的一個(gè)特解求微分方程xyyy023 2 rr方程的特征方程為所給方程所對(duì)應(yīng)的齊次.sincos* cossin* xbxayxbxay，. 1, 2 21rr有兩個(gè)不同的實(shí)根. 0iik不是特征方程的根，取因?yàn)闉榇ㄏ禂?shù)，其中設(shè)原方程的一個(gè)特解為baxbxay,sinc

42、os* 例5，在所給方程中，1, 0, 1BA解，代入所給方程，得把xxbaxbayyycossin)3(cos)3( *,*,，系數(shù)，得比較上式兩端同類(lèi)項(xiàng)的0313 baba.103,101 ba.sin103cos101*xxy原方程的一個(gè)特解為.2sin42cos24的通解求微分方程xxyy(2)再求所給方程的一個(gè)特解y*.，是特征方程的根，取因1i 2ik.,)2sin2cos(* 為待定系數(shù)其中，設(shè)原方程的特解為baxbxaxy(1)先求所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解Y.，特征方程為04 2r，有一對(duì)共軛復(fù)根i 2 2, 1r.2sin2cos 21xCxCY故得例6. 0, 2, 4

43、, 2BA在所給方程中，解，)2cos22sin2()2sin2cos(*xbxaxxbxay.2sin42cos22sin42cos4 *,*,xxxaxbyyy代入所給方程，得把.211 2444 baba，即得，系數(shù)，得比較上式兩端同類(lèi)項(xiàng)的.2sin)44(2cos)44( )2sin42cos4()2cos22sin2(2*xbxaxaxbxbxaxxbxay.2sin212cos2sin2cos * 21xxxxCxCyYy于是所給方程的通解為，解為故得所給方程的一個(gè)特xxxy2sin212cos* .sine212的一個(gè)特解求微分方程xyyyx.e41* )7(321xxy的一個(gè)特

44、解為知，方程由例例7)8( sin2 )7( e212 ，分別求出下面兩個(gè)方程xyyyyyyx解.*2121解就是所給方程的一個(gè)特，那么和的兩個(gè)特解yyyyy.*)8(2y的一個(gè)特解下面求方程.sincos* 2xbxay設(shè).sincos2sin2 )8(*,*,222xxbxayyy中，得代入方程把，xbxaycossin* 2，xbxaysincos*2. 0,21 ba即得, 02, 12ba系數(shù)，得比較上式兩端同類(lèi)項(xiàng)的，的一個(gè)特解為于是，求得方程xycos21* )8(2.cos21e41* 221xxyyyx特解為因此，所給方程的一個(gè)二、二階微分方程的應(yīng)用二、二階微分方程的應(yīng)用 一、

45、一階微分方程的應(yīng)用一、一階微分方程的應(yīng)用第四節(jié)第四節(jié) 微分方程的應(yīng)用微分方程的應(yīng)用.)2 , 1 ( 求這曲線(xiàn)的方程線(xiàn)段均被切點(diǎn)所平分，意切線(xiàn)，它在兩坐標(biāo)軸間的任一曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)).( ),()(xXyyYyyxPxyy，切線(xiàn)方程為處的切線(xiàn)斜率為點(diǎn)，則過(guò)曲線(xiàn)上任一設(shè)所求曲線(xiàn)的方程為，按題意軸上的截距為，得切線(xiàn)在令xXyyxXxY2 , 000例1. ) i (值條件建立微分方程并確定初解，故得xyyx2 一、一階微分方程的應(yīng)用舉例一、一階微分方程的應(yīng)用舉例) 1 ( dd )(，或應(yīng)滿(mǎn)足的微分方程為即得曲線(xiàn)xyxyxyyxyy,dd ) 1 ( .)ii(xxyy分離變量，得將方程求通解)2( .

46、 2) 1 ( 2 )2 , 1 (1yyx或，故得初值條件為由于曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)).( ) 1 (lnlnln 是任意常數(shù)的通解為即得方程，兩端積分，得CCxyCxy. , 2 , 2 )2( .)iii(程這就是所要求的曲線(xiàn)方條件的特解為故得所求方程滿(mǎn)足初值代入通解中，得把初值條件求特解xyC.)0( 度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系零，求降落傘下落的速速度為降落傘離開(kāi)飛機(jī)時(shí)力與速度成正比，并設(shè)后，所受空氣阻的降落傘從飛機(jī)上落下設(shè)質(zhì)量為tm dd，kvmgtvm例2，為運(yùn)動(dòng)加速度其中，由牛頓第二定律得tvamaFdd ，其所受力為，設(shè)降落傘下落速度為mg-kvFtv )(解，mtmg-kvvdd ，1ln1)ln(1Ckmtkvmgk ,e e 11 kCkmgvCkvmgtmktmk或即).e1 ( 00tmktkmgvkmgCv|所求特解為，代入通解又有，所求通解為記 e1tmkCkmgvkCC例