維設(shè)計(jì)》2016級(jí)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)講解直線的傾斜角與斜率、直線的方程

1、.三維設(shè)計(jì)2014屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案+復(fù)習(xí)技法直線的傾斜角與斜率、直線的方程知識(shí)能否憶起一、直線的傾斜角與斜率1直線的傾斜角(1)定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做這條直線的傾斜角當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)傾斜角的范圍為0，)_2直線的斜率(1)定義：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即ktan_，傾斜角是90°的直線沒(méi)有斜率(2)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式為k.二、直線方程的形式及適用條件名稱(chēng)幾何條件方程局限性點(diǎn)斜式過(guò)點(diǎn)(x

2、0，y0)，斜率為kyy0k(xx0)不含垂直于x軸的直線斜截式斜率為k，縱截距為bykxb不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式過(guò)兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，(x1x2，y1y2)不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線截距式在x軸、y軸上的截距分別為a，b(a，b0)1不包括垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式AxByC0(A，B不全為0)小題能否全取1(教材習(xí)題改編)直線xym0(mk)的傾斜角為()A30°B60°C150° D120°解析：選C由ktan ，0，)得150°.2(教材習(xí)題改編)已知直線l過(guò)點(diǎn)P(2,5)，且斜率為，則直線l的方程為()A3x4

3、y140 B3x4y140C4x3y140 D4x3y140解析：選A由y5(x2)，得3x4y140.3過(guò)點(diǎn)M(2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為()A1 B4C1或3 D1或4解析：選A由1，得m24m，m1.4(2012·長(zhǎng)春模擬)若點(diǎn)A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三點(diǎn)共線，則a的值為_(kāi)解析：kAC1，kABa3.由于A，B，C三點(diǎn)共線，所以a31，即a4.答案：45若直線l過(guò)點(diǎn)(1,2)且與直線2x3y40垂直，則直線l的方程為_(kāi)解析：由已知得直線l的斜率為k.所以l的方程為y2(x1)，即3x2y10.答案：3x2y101.求直線方程時(shí)要注意判斷

4、直線斜率是否存在，每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存在斜率2由斜率求傾斜角，一是要注意傾斜角的范圍；二是要考慮正切函數(shù)的單調(diào)性3用截距式寫(xiě)方程時(shí)，應(yīng)先判斷截距是否為0，若不確定，則需要分類(lèi)討論直線的傾斜角與斜率典題導(dǎo)入例1(1)(2012·岳陽(yáng)模擬)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(4,2y1)，B(2，3)的直線的傾斜角為，則y()A1B3C0 D2(2)(2012·蘇州模擬)直線xcos y20的傾斜角的范圍是_自主解答(1)tany2，因此y21.y3.(2)由題知kcos ，故k，結(jié)合正切函數(shù)的圖象，當(dāng)k時(shí)，直線傾斜角，當(dāng)k時(shí)，直線傾斜角，故直線的傾斜角的范圍是.答案(1)B(2)

5、由題悟法1求傾斜角的取值范圍的一般步驟：(1)求出斜率ktan 的取值范圍；(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象或單位圓數(shù)形結(jié)合，確定傾斜角的取值范圍2求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在以題試法1(2012·哈爾濱模擬)函數(shù)yasin xbcos x的一條對(duì)稱(chēng)軸為x，則直線l：axbyc0的傾斜角為()A45° B60°C120° D135°解析：選D由函數(shù)yf(x)asin xbcos x的一條對(duì)稱(chēng)軸為x知，f(0)f，即ba，則直線l的斜率為1，故傾斜角為135°.2(2012·金華模擬)已知點(diǎn)A(1,3)，B(2，1)若直線

6、l：yk(x2)1與線段AB相交，則k的取值范圍是()A. B(，2C(，2 D.解析：選D由題意知直線l恒過(guò)定點(diǎn)P(2,1)，如右圖若l與線段AB相交，則kPAkkPB.kPA2，kPB，2k.直 線 方 程典題導(dǎo)入例2(1)過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線x2y20平行的直線方程是_(2)(2012·東城模擬)若點(diǎn)P(1,1)為圓(x3)2y29的弦MN的中點(diǎn)，則弦MN所在直線的方程為_(kāi)自主解答(1)設(shè)所求直線方程為x2ym0，由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1, 0)，得1m0，m1.則所求直線方程為x2y10.(2)由題意得，×kMN1，所以kMN2，故弦MN所在直線的方程為y12(x1)，即

7、2xy10.答案(1)x2y10(2)2xy10由題悟法求直線方程的方法主要有以下兩種：(1)直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫(xiě)出直線方程；(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件求出待定系數(shù)，最后代入求出直線方程以題試法3(2012·龍巖調(diào)研)已知ABC中，A(1，4)，B(6,6)，C(2,0)求：(1)ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的一般式方程和截距式方程；(2)BC邊的中線所在直線的一般式方程，并化為截距式方程解：(1)平行于BC邊的中位線就是AB，AC中點(diǎn)的連線因?yàn)榫€段AB，AC中點(diǎn)坐標(biāo)分別為，所以這條直線的方程為，整理一般式方程為得6x8y

8、130，截距式方程為1.(2)因?yàn)锽C邊上的中點(diǎn)為(2,3)，所以BC邊上的中線所在直線的方程為，即一般式方程為7xy110，截距式方程為1.直線方程的綜合應(yīng)用典題導(dǎo)入例3(2012·開(kāi)封模擬)過(guò)點(diǎn)P(3,0)作一直線，使它夾在兩直線l1：2xy20與l2：xy30之間的線段AB恰被點(diǎn)P平分，求此直線的方程自主解答法一：設(shè)點(diǎn)A(x，y)在l1上，點(diǎn)B(xB，yB)在l2上由題意知?jiǎng)t點(diǎn)B(6x，y)，解方程組得則k8.故所求的直線方程為y8(x3)，即8xy240.法二：設(shè)所求的直線方程為yk(x3)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(xA，yA)，(xB，yB)，由解得由解得P(3,0)是線段A

9、B的中點(diǎn)，yAyB0，即0，k28k0，解得k0或k8.若k0，則xA1，xB3，此時(shí)3，k0舍去，故所求的直線方程為y8(x3)，即8xy240.由題悟法解決直線方程的綜合問(wèn)題時(shí)，除靈活選擇方程的形式外，還要注意題目中的隱含條件，若與最值或范圍相關(guān)的問(wèn)題可考慮構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求最值以題試法4(2012·東北三校聯(lián)考)已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2,1)，且分別與x軸，y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)(1)當(dāng)AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)|MA|·|MB|取得最小值時(shí)，求直線l的方程解：(1)設(shè)直線l的方程為y1k(x2)(k<0)，A，B(0，12k)，A

10、OB的面積S(12k)(44)4.當(dāng)且僅當(dāng)4k，即k時(shí)，等號(hào)成立故直線l的方程為y1(x2)，即x2y40.(2)|MA| ，|MB|，|MA|·|MB| ·2 2×24，當(dāng)且僅當(dāng)k2，即k1時(shí)取等號(hào)，故直線方程為xy30.1若k，1，b三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則直線ykxb必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)()A(1，2)B(1,2)C(1,2) D(1，2)解析：選A因?yàn)閗，1，b三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，所以kb2，即b2k，于是直線方程化為ykxk2，即y2k(x1)，故直線必過(guò)定點(diǎn)(1，2)2直線2x11y160關(guān)于點(diǎn)P(0,1)對(duì)稱(chēng)的直線方程是()A2x11y380 B2x11y380C2

11、x11y380 D2x11y160解析：選B因?yàn)橹行膶?duì)稱(chēng)的兩直線互相平行，并且對(duì)稱(chēng)中心到兩直線的距離相等，故可設(shè)所求直線的方程為2x11yC0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得C16(舍去)或C38.3(2012·衡水模擬)直線l1的斜率為2，l1l2，直線l2過(guò)點(diǎn)(1,1)且與y軸交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為()A(3,0) B(3,0)C(0，3) D(0,3)解析：選Dl1l2，且l1斜率為2，l2的斜率為2.又l2過(guò)(1,1)，l2的方程為y12(x1)，整理即得y2x3.令x0，得P(0,3)4(2013·佛山模擬)直線axbyc0同時(shí)要經(jīng)過(guò)第一、第二、第四象限，則a，b

12、，c應(yīng)滿足()Aab0，bc0 Bab0，bc0Cab0，bc0 Dab0，bc0解析：選A由于直線axbyc0經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，所以直線存在斜率，將方程變形為yx，易知0且0，故ab0，bc0.5將直線y3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移1個(gè)單位，所得到的直線為()Ayx Byx1Cy3x3 Dyx1解析：選A將直線y3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到直線yx，再向右平移1個(gè)單位，所得直線的方程為y(x1)，即yx.6已知點(diǎn)A(1，2)，B(m,2)，且線段AB的垂直平分線的方程是x2y20，則實(shí)數(shù)m的值是()A2 B7C3 D1解析：選C線段AB的中點(diǎn)代入直線x2y

13、20中，得m3.7(2013·貴陽(yáng)模擬)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(3,3)，則其斜率的取值范圍是_解析：設(shè)直線l的斜率為k，則方程為y2k(x1)，在x軸上的截距為1，令313，解得k1或k.答案：(，1)8(2012·常州模擬)過(guò)點(diǎn)P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程為_(kāi)解析：直線l過(guò)原點(diǎn)時(shí)，l的斜率為，直線方程為yx；l不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為1，將點(diǎn)(2,3)代入，得a1，直線方程為xy1.綜上，l的方程為xy10或2y3x0.答案：xy10或3x2y09(2012·天津四校聯(lián)考)不論m取何值，直線(m1)xy2m10恒

14、過(guò)定點(diǎn)_解析：把直線方程(m1)xy2m10整理得(x2)m(xy1)0，則得答案：(2,3)10求經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2)，且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為1的直線l的方程解：設(shè)所求直線方程為1，由已知可得解得或故直線l的方程為2xy20或x2y20.11(2012·莆田月考)已知兩點(diǎn)A(1,2)，B(m,3)(1)求直線AB的方程；(2)已知實(shí)數(shù)m，求直線AB的傾斜角的取值范圍解：(1)當(dāng)m1時(shí)，直線AB的方程為x1；當(dāng)m1時(shí)，直線AB的方程為y2(x1)(2)當(dāng)m1時(shí)，；當(dāng)m1時(shí)，m1(0， ，k(， ，.綜合知，直線AB的傾斜角.12.如圖，射線OA、OB分別與x軸正半軸成45

15、76;和30°角，過(guò)點(diǎn)P(1,0)作直線AB分別交OA、OB于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線yx上時(shí)，求直線AB的方程解：由題意可得kOAtan 45°1，kOBtan(180°30°)，所以直線lOA：yx，lOB：yx.設(shè)A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中點(diǎn)C，由點(diǎn)C在yx上，且A、P、B三點(diǎn)共線得解得m，所以A(， )又P(1,0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直線AB的方程為(3)x2y30.1若直線l：ykx與直線2x3y60的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選B由解得兩

16、直線交點(diǎn)在第一象限，解得k.直線l的傾斜角的范圍是.2(2012·洛陽(yáng)模擬)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)的直線l被圓C：(x2)2(y1)25截得的弦最短時(shí)，直線l的方程為_(kāi)解析：易知圓心C的坐標(biāo)為(2,1)，由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)圓心C與點(diǎn)P的連線與直線l垂直時(shí)，直線l被圓C截得的弦最短由C(2,1)，P(1,2)可知直線PC的斜率為1，設(shè)直線l的斜率為k，則k×(1)1，得k1，又直線l過(guò)點(diǎn)P，所以直線l的方程為xy10.答案：xy103已知直線l：kxy12k0(kR)(1)證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；(2)若直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y

17、軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)AOB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程解：(1)證明：法一：直線l的方程可化為yk(x2)1，故無(wú)論k取何值，直線l總過(guò)定點(diǎn)(2,1)法二：設(shè)直線過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)，則kx0y012k0對(duì)任意kR恒成立，即(x02)ky010恒成立，x020，y010，解得x02，y01，故直線l總過(guò)定點(diǎn)(2,1)(2)直線l的方程為ykx2k1，則直線l在y軸上的截距為2k1，要使直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，則解得k的取值范圍是0，)(3)依題意，直線l在x軸上的截距為，在y軸上的截距為12k，A，B(0,12k)又<0且12k>0，k>0.故S|OA|OB|×(12k)(44)4，當(dāng)且僅當(dāng)4k，即k時(shí)，取等號(hào)故S的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為x2y40.1(2012·鄭州模擬)已知直線l1的方向向量為a(1,3)，直線l2的方向向量為b(1，k)若直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,5)且l1l2，則直線l2的方程為()Ax3y50 Bx3y150Cx3y50 Dx3y150解析：選Bkl13，kl2k，l1l2，k，l2的方程為yx5，即