線性代數(shù)總結(jié)歸納

1、第一章 行列式1 為何要學(xué)習(xí)線性代數(shù)？學(xué)習(xí)線性代數(shù)的重要性和意義。答：線性代數(shù)是理、工、醫(yī)各專業(yè)的基礎(chǔ)課程，它是初等代數(shù)理論的繼續(xù)和發(fā)展，它的理論和方法在各個學(xué)科中得到了廣泛的應(yīng)用。2 線性代數(shù)的前導(dǎo)課程。答：初等代數(shù)。3 線性代數(shù)的后繼課程。答：高等代數(shù)，線性規(guī)劃，運籌學(xué)，經(jīng)濟學(xué)等。4 如何學(xué)習(xí)線性代數(shù)？答：掌握各章節(jié)的基本概念和解決問題的基本方法，多多體會例子的方法和技巧，多做練習(xí)，在練習(xí)中要緊扣問題涉及的概念，不要隨意擴大概念的范圍，練習(xí)要自己做才能理解所學(xué)的知識。在學(xué)完一章后自己要做一個小結(jié)，理清該章內(nèi)容及前后概念之間的聯(lián)系。在學(xué)完本課程后，將各章的內(nèi)容做一個總結(jié)，想想各章內(nèi)容之間的聯(lián)

2、系，易混淆的概念要著重加深理解及區(qū)分它們之間的差異。第一章 行列式5 什么是一個n階全排列？【知識點】：n階全排列。答：由n個數(shù)1,2, ,n 組成的一個有序數(shù)組。6 什么是標(biāo)準(zhǔn)排列？【知識點】：n階全排列。答：按數(shù)字由小到大的自然順序排列的n階排列123n。7 什么是n階全排列的逆序？【知識點】：n階全排列的逆序。答：在一個n階排列中，若某個較大的數(shù)排在某個較小的數(shù)前面，則稱這兩個數(shù)構(gòu)成一個逆序。例如：排列45312中，數(shù)4與3，數(shù)4與1，數(shù)4與2，數(shù)5與3，數(shù)5與1，數(shù)5與2，數(shù)3與1，數(shù)3與2都構(gòu)成逆序。數(shù)4與5，數(shù)1與2不構(gòu)成逆序。8 什么是n階排列的逆序數(shù)？【知識點】：n階排列的逆序

3、數(shù)。答：在一個n階排列中，所有逆序的總數(shù)就是排列的逆序數(shù)。例如：上問中的排列45312的逆序數(shù)為8。9 什么是奇排列和偶排列？【知識點】：排列的奇偶性。答：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫奇排列；逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫偶排列。例如：排列45312為偶排列。10 對換一個排列中的任意兩個數(shù)，該排列的奇偶性有什么變化？【知識點】：排列的對換對排列的奇偶性的影響。答：對換一個排列中的任意兩個數(shù)，奇排列就變成偶排列，偶排列就變成奇排列。例如：偶排列45312對換4與3，則變成排列35412，它的逆序數(shù)為7，排列35412是奇排列。 11 任一個n階排列與標(biāo)準(zhǔn)排列可以互變嗎？【知識點】：n階排列與標(biāo)準(zhǔn)排列的關(guān)系。答：

4、可經(jīng)過一系列對換互變。且所做對換的次數(shù)與排列具有相同的奇偶性。例如：排列32541的逆序數(shù)是6，因而是偶排列，它經(jīng)過2次對換：3與1對換后變?yōu)?2543，再對換5與3就變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)排列12345。對換的次數(shù)2與逆序數(shù)6都是偶數(shù)，但要注意對換的次數(shù)與逆序數(shù)一般不相等。12 n階行列式中的元素的兩個下標(biāo)表示什么？【知識點】：n階行列式的元素。答：第一個下標(biāo)表示元素所在的行數(shù)，第二個下標(biāo)表示元素所在的列數(shù)。例如：a23表示該元素位于行列式的第2行第3列的位置。13 n階行列式展開式中共有多少項？每一項有什么特點？【知識點】：n階行列式的定義。答：共有n! 項，每一項由不同行不同列的n個元素的乘積構(gòu)成。例

5、如：3階行列式共有3！=6項，每一項由不同行不同列的3個元素的乘積構(gòu)成。14 n階行列式展開式中每一項前的符號如何確定？【知識點】：n階行列式的定義。答：當(dāng)n個元素的乘積的第一個下標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)排列排列時，該項的符號為（-1）的列標(biāo)排列的逆序數(shù)次方。例如：4階行列式中的項a14a23a32a41的符號為(-1)(4321)= +1.15 1階行列式等于多少？【知識點】：1階行列式的特點。答：1階行列式|a|=a。但不要與絕對值混淆。16 2，3階行列式的對角線算法怎樣進行？【知識點】：2，3階行列式的的定義及特殊性。答：從左上角到右下角的元素的乘積的項前取正號，從右上角到左下角的元素的乘積的項前取負(fù)

6、號。17 對角線算法能用于4階以上的行列式嗎？【知識點】：行列式的對角線算法的局限性。答：不能，因為按對角線算法展開階行列式只有2n項，而階行列式的展開式中應(yīng)有n！項，另外各項前的符號也不能用對角線算法的方法來定。例如：4階行列式中的項a14a23a32a41的符號應(yīng)為+，按對角線算法的方法它的符號為“”。18 上（下）三角行列式怎樣計算？三角行列式的算法。答：主對角線上的所有元素的乘積。例如： 19 什么是轉(zhuǎn)置行列式？與原行列式有什么關(guān)系？這說明行列式的什么性質(zhì)？【知識點】：行列式的的對稱性。答：依次將行列式的行寫成列后得到的行列式叫轉(zhuǎn)置行列式。轉(zhuǎn)置行列式與原行列式相等。這說明行列式的行與列

7、的對稱性。例如：行列式 的轉(zhuǎn)置行列式 。它們是相等的。20 交換行列式的任意兩行（列），行列式有什么變化？【知識點】：行列式的基本性質(zhì)。答：行列式要變號。例如： 21 用一個數(shù)k乘行列式，行列式中的元素有什么變化？【知識點】：行列式的基本性質(zhì)。答：相當(dāng)于在行列式的某行（或列）的每個元素上都乘以數(shù)k。例如： ，則 22 如果行列式中有兩行（列）元素相等，則行列式等于多少？【知識點】：行列式的基本性質(zhì)。答：行列式等于0。例如： 23 行列式中某一行（列）所有元素的公因子是否可以提到行列式符號的外面？【知識點】：行列式的基本性質(zhì)。答：可以。例如： 24 若行列式中有某一行（列）的元素全是零，則行列式

8、等于多少？【知識點】：行列式的基本性質(zhì)。答：應(yīng)用23問的答，得行列式等于0。25 若行列式中有兩行（列）元素對應(yīng)成比例，則行列式等于多少？【知識點】：行列式的基本性質(zhì)。答：應(yīng)用22問與23問的答，得行列式等于0。26 將一個行列式拆成兩個行列式的和時應(yīng)注意什么問題？【知識點】：行列式拆成兩個行列式的和。答：只能將某行（或列）的元素拆開，而其它行（或列）的元素不變。例如： 27 把行列式的某一行（列）元素乘以同一數(shù)k后加到另一行對應(yīng)元素上，行列式有什么變化？【知識點】：行列式的基本性質(zhì)。答：行列式不變。例如： 的第2行乘3加到第1行后的行列式 與原行列式相等。28 行列式的k階子式是什么含義？【

9、知識點】：行列式的k階子式。答：行列式的k階子式由某k行和某k列交叉的k2個元素按原來的順序排成的k階行列式。例如：的由第1、3行與第2、3列得到的一個2階子式為29 式的余子式是什么含義？【知識點】：行列式的子式的余子式。答：把子式所在的行和列去掉后剩下的元素構(gòu)成的行列式。例如： 的由第1、3行與第2、3列得到的子式的余子式為劃去第1、3行與第2、3列剩下的行列式 。30 子式的代數(shù)余子式是什么含義？【知識點】：行列式的子式的代數(shù)余子式。答：子式的代數(shù)余子式是在子式的余子式前添上符號 ，其中 為子式所在的行和列。例如： 的子式 的代數(shù)余子式是31 行列式D的元素aij的余子式和代數(shù)余子式是什

10、么含義？【知識點】：行列式的元素的余子式和代數(shù)余子式的概念。答：元素aij的余子式是去掉元素aij所在的第i行和第j列后剩下的元素所構(gòu)成的行列式。元素aij的代數(shù)余子式是在元素aij的余子式前添上符號 后的式子。例如： 的元素a23=7的余子式是去掉元素所在的第2行和第3列后剩下的元素所構(gòu)成的行列式 ，a23=7的代數(shù)余子式是 。32 n階行列式的任一個k階子式與它的代數(shù)余子式的乘積中的每一項與行列式中的項有什么關(guān)系？【知識點】：子式與它的代數(shù)余子式的乘積與行列式中的項的關(guān)系。答：n階行列式的任一個k階子式與它的代數(shù)余子式的乘積中的每一項都是行列式中的一項，而且符號一致。33 行列式按k行展開

11、如何展開？【知識點】：行列式展開的拉普拉斯定理。答：在行列式中任取k行，由這k行元素組成的所有的k階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式。34 行列式按一行（列）展開如何展開？【知識點】：行列式按一行（列）展開的公式。答：行列式等于它的任意一行（列）的所有元素與它們的代數(shù)余子式的乘積之和。35 行列式的某一行（列）的所有元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于多少？【知識點】：行列式的重要性質(zhì)。答：等于0。36 范德蒙行列式有什么特點？怎么計算？【知識點】：范德蒙行列式。答：范德蒙行列式第一行全為1，第三行以后依次是第二行的元素2，3，n-1次冪. 范德蒙行列式等于第二行的

12、后一列元素與前各列元素的所有差的乘積。即 37 克拉默法則能解決什么樣的線性方程組的問題？【知識點】：克拉默法則。答：方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相等的線性方程組，且方程組的系數(shù)行列式要求不為零。38 克拉默法則中，方程組的解的公式是怎樣計算的？【知識點】：克拉默法則。答：第i個未知量的解等于Di/D，其中Di是系數(shù)行列式D中的第i列換成自由項所得到的行列式。39 行列式的計算有哪些常用的方法？【知識點】：行列式的計算方法。答：利用行列式的性質(zhì)將行列式化為上（或下）三角行列式；利用行列式的性質(zhì)將行列式的某一行（或列）變成只有一個元素非零，再按該行（或列）展開，依照此法做下去，直到2或3階行列式；根

13、據(jù)行列式的形狀找出遞推關(guān)系，由遞推關(guān)系來計算出行列式。第2章 矩陣1 矩陣是否表示一個數(shù)？【知識點】：矩陣的概念。答：矩陣是一個由數(shù)排成的數(shù)表，不是數(shù)。2 有哪些矩陣表示法？【知識點】：矩陣表示法。答：用大寫的英文字母A,B,，或Am×n, (aij) m×n, (aij) 。3 兩個矩陣相等有什么條件？【知識點】：矩陣相等的概念。答：矩陣的型相同，對應(yīng)的元素相等。4 矩陣在什么情況下叫方陣？【知識點】：方陣的概念。答：矩陣的行數(shù)與列數(shù)相等。5 1階方陣是什么？【知識點】：1階方陣。答：1行1列的矩陣。6 上三角矩陣有什么特點？【知識點】：上三角矩陣。答：上三角矩陣是方陣，

14、且主對角線以下的元素都為0的方陣。例如： 是上三角矩陣。7 下三角矩陣有什么特點？【知識點】：下三角矩陣。答：下三角矩陣是方陣，且主對角線以上的元素都為0的方陣。例如： 是下三角矩陣。8 對角矩陣有什么特點？【知識點】：對角矩陣。答：對角矩陣是方陣，且主對角線以外的元素都為0的方陣。例如： 是3階對角矩陣。9 n階單位矩陣的含義是什么？【知識點】：單位矩陣的概念。答：主對角線上的元素都為1的對角矩陣。10 不同階的單位矩陣是否相等？【知識點】：單位矩陣。答：因為兩個矩陣相等首先要求它們是同階的，所以不同階的單位矩陣不相等。11 零矩陣的含義是什么？【知識點】：零矩陣的概念。答：每個元素都為0的

15、矩陣，它不一定是方陣。12 不同型的零矩陣是否相等？【知識點】：零矩陣。答：因為兩個矩陣相等首先要求它們是同階的，所以不同階的零矩陣不相等。13 兩個矩陣相加有什么條件？【知識點】：矩陣的加法。答：兩個矩陣的型要相同。比如要與2×3矩陣相加的矩陣一定是2×3矩陣。14 兩個矩陣如何相加？【知識點】：矩陣的加法。答：對應(yīng)位置上的元素相加。例如： = 。15 負(fù)矩陣是什么含義？【知識點】：負(fù)矩陣。答：矩陣的每個元素都添上負(fù)號后得到的矩陣為原矩陣的負(fù)矩陣。例如： = 。16 兩個矩陣如何相減？【知識點】：矩陣的減法。答：AB為A加上B的負(fù)矩陣。例如： = + = + = 。17

16、矩陣的加法有交換律和結(jié)合律嗎？【知識點】：矩陣的加法的基本規(guī)律。答：有，即有A+B=B+A, (A+B)+C=A+(B+C)。18 數(shù)k與矩陣A=(aij)是如何相乘的？【知識點】：矩陣與數(shù)的乘法。答：kA為A的每個元素aij都乘數(shù)k，即(kaij)。例如： = 。19 兩個矩陣的乘法有什么條件？【知識點】：矩陣的乘法。答：第一個矩陣的列數(shù)=第二個矩陣的行數(shù)，即如果矩陣A的列數(shù)是n，則從右邊與A相乘的矩陣B的行數(shù)必定是n。20 矩陣A=(aij)m×s與矩陣B=(bij)s×n相乘，所得矩陣C=(cij)的元素cij是怎樣得來的？【知識點】：矩陣的乘法。答：元素cij是矩陣

17、A=(aij)m×s的第i行的元素與矩陣B=(bij)s×n的第j列的對應(yīng)元素相乘后相加所得，即cij=ai1b1j+ai2b2j+aisbsj。例如： × 的第1行第2列的元素c12=第1個矩陣的第1行的元素與第2個矩陣的第2列的相應(yīng)元素的乘積的和=3×（-2）+（-2）×4+7×3=7。21 矩陣的乘法運算有交換律嗎？【知識點】：矩陣的乘法的運算規(guī)律。答：沒有。22 如果AB=0，能得出A=0或B=0嗎？【知識點】：矩陣的乘法的運算規(guī)律。答：不能。例如： 但AB=0。23 如果AB=AC，A0, 能得出B=C嗎？【知識點】：矩陣的

18、乘法的運算規(guī)律。答：不能。例如： 有AB=AC，A0,但BC。24 矩陣的乘法有結(jié)合律嗎？【知識點】：矩陣的乘法的運算規(guī)律。答：有，即(AB)C=A(BC)。25 矩陣的乘法有分配律嗎？【知識點】：矩陣的乘法的運算規(guī)律。答：有，即A(B+C)=AB+AC， (B+C) A =BA+CA。26 如果E是單位矩陣，A是m×n矩陣，EA=A，則E是多少階單位矩陣？【知識點】：矩陣的乘法的應(yīng)用。答：m階，根據(jù)矩陣乘法的條件，E的行數(shù)=A的列數(shù)=m，而E是方陣。27 n階方陣有冪運算，即Ak= ，矩陣的冪運算與數(shù)的冪運算有什么不同？【知識點】：矩陣的冪運算。答：對兩個n階方陣A，B，一般來說，

19、 (AB)kAkBk，這與數(shù)的冪運算不同。28 方陣A的m次多項式是怎樣表示的？【知識點】：方陣的多項式。答：a0E+a1A+amAm，其中E是單位矩陣。29 矩陣A的轉(zhuǎn)置是怎樣進行的？【知識點】：矩陣的轉(zhuǎn)置。答：依次將矩陣A的行（列）變成列（行）。例如： 的轉(zhuǎn)置為 。30 矩陣Am×n轉(zhuǎn)置后成為什么型矩陣？【知識點】：矩陣的轉(zhuǎn)置。答：n×m型矩陣，因為轉(zhuǎn)置后的矩陣的行數(shù)=原矩陣的列數(shù)，轉(zhuǎn)置后的矩陣的列數(shù)=原矩陣的行數(shù)。31 矩陣A轉(zhuǎn)置兩次后與A有什么關(guān)系？【知識點】：矩陣的轉(zhuǎn)置的性質(zhì)。答：相等，即（AT）T=A。32 (A+B)T與AT,BT的關(guān)系如何？【知識點】：矩陣的

20、轉(zhuǎn)置的性質(zhì)。答：(A+B)T=AT+BT。33 (kA)T與AT的關(guān)系如何？【知識點】：矩陣的轉(zhuǎn)置的性質(zhì)。答：(kA)T=kAT。34 (AB)T與AT,BT的關(guān)系如何？【知識點】：矩陣的轉(zhuǎn)置的性質(zhì)。答：(AB)T=BTAT。35 矩陣A成為對稱矩陣有什么條件？【知識點】：對稱矩陣。答：矩陣A應(yīng)為方陣且AT=A。36 對稱矩陣的乘積矩陣是否為對稱矩陣？【知識點】：對稱矩陣。答：不一定。例如： 則有 不是對稱矩陣。37 反對稱矩陣有什么特點？【知識點】：反對稱矩陣。答：主對角線上的元素都為0，且aij=aji ，即滿足AT=A。38 什么矩陣可以取行列式？【知識點】：矩陣與行列式的某種聯(lián)系。答：

21、因為行列式的行數(shù)與列數(shù)要相同，所以只有方陣可以取行列式。39 數(shù)乘矩陣kA的行列式|kA|等于什么？【知識點】：數(shù)乘矩陣的行列式。答：因為數(shù)乘矩陣的每個元素是原矩陣的相應(yīng)元素的k倍，即數(shù)乘矩陣的每行都有相同的倍數(shù)k，所以|kA|=kn|A|，n為矩陣A的階數(shù)。40 兩個同階方陣A,B的乘積AB的行列式|AB|與A,B的行列式|A|,|B|有什么關(guān)系？【知識點】：矩陣與行列式的聯(lián)系。答：|AB|=|A|B|。41 矩陣可逆的定義是怎樣的？【知識點】：可逆矩陣。答：對于n階方陣A，如果存在n階方陣B，使得AB=BA=E，則方陣A是一個可逆矩陣。42 矩陣的逆矩陣是否唯一？【知識點】：逆矩陣的性質(zhì)。

22、答：是唯一。43 可逆矩陣的逆矩陣是否可逆？逆矩陣的逆矩陣是什么？【知識點】：逆矩陣的性質(zhì)。答：可逆矩陣的逆矩陣是可逆。逆矩陣A-1的逆矩陣是A。44 同階可逆矩陣的乘積是否可逆？【知識點】：逆矩陣的性質(zhì)。答：同階可逆矩陣的乘積是可逆的。45 同階可逆矩陣A,B的乘積AB的逆與A-1,B-1有什么關(guān)系？【知識點】：逆矩陣的性質(zhì)。答：(AB)1= B-1 A-1 。46 可逆矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是否可逆？【知識點】：逆矩陣的性質(zhì)。答：可逆矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣是可逆的。47 可逆矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣AT的逆與A有什么關(guān)系？【知識點】：逆矩陣的性質(zhì)。答：(AT)1= (A1)T。48 非零數(shù)k與可逆矩陣A的乘積kA

23、是否可逆？【知識點】：逆矩陣的性質(zhì)。答：非零數(shù)k與可逆矩陣A的乘積kA是可逆的，且（kA）1= k1A1。49 任何一個方陣是否都有伴隨矩陣？【知識點】：伴隨矩陣。答：任何一個方陣都有伴隨矩陣。50 方陣A=(aij)的伴隨矩陣A*是怎樣描述的？【知識點】：伴隨矩陣。答：方陣A=(aij)的伴隨矩陣A*由方陣A=(aij)的行列式中元素aij的代數(shù)余子式Aij構(gòu)成的方陣，第i行元素的代數(shù)余子式在伴隨矩陣中排成第i列，i=1,2,n.即 。51 方陣A與它的伴隨矩陣A*之間有什么關(guān)系？【知識點】：方陣與它的伴隨矩陣的關(guān)系。答：A A*= A* A=| A |E。52 方陣A可逆的條件用它的行列式

24、|A|怎樣描述？【知識點】：方陣可逆的判別條件。答：方陣A可逆的充要條件是|A|0。53 可逆矩陣A與它的伴隨矩陣A*有什么聯(lián)系？【知識點】：可逆矩陣與它的伴隨矩陣的關(guān)系。答：可逆矩陣A的逆矩陣A1=| A |1A*。54 什么是分塊矩陣？【知識點】：分塊矩陣。答：在矩陣A的行、列之間加上一些橫線或縱線，把A分成若干小塊，以這些小塊為元素構(gòu)成的矩陣叫分塊矩陣。55 如果矩陣的加法要用分塊來計算，那么矩陣該如何分？【知識點】：分塊矩陣的運算。答：相加的矩陣的分法要相同。56 如果矩陣的乘法要用分塊來計算，那么矩陣該如何分？【知識點】：分塊矩陣的運算。答：前一個矩陣的列的分法與后一個矩陣的行的分法

25、要一致。57 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置怎樣進行？【知識點】：分塊矩陣的運算。答：先將分塊矩陣的行（列）變成列（行），然后每個子塊作轉(zhuǎn)置。58 矩陣的初等行（列）變換有哪幾種？【知識點】：矩陣的初等變換。答：矩陣的初等行（列）變換有：（1）對換矩陣的任意兩行（列）；（2）用一個非零數(shù)乘矩陣的某一行（列）；（3）用數(shù)k乘矩陣的某一行（列）后加到另一行（列）上。59 什么是初等矩陣？有幾種？【知識點】：初等矩陣。答：初等矩陣是單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得到的矩陣。初等矩陣有三種。60 在矩陣的左（右）邊乘上一個初等矩陣相當(dāng)于對矩陣作一次什么變換？【知識點】：初等變換與初等矩陣的關(guān)系。答：在矩陣的左（右）邊乘上

26、一個初等矩陣相當(dāng)于對矩陣作一次相應(yīng)的初等行（列）變換。61 兩個矩陣等價是什么含義？【知識點】：等價矩陣。答：兩個矩陣等價是指這兩個矩陣可以通過初等變換互變。62 矩陣的等價有哪些性質(zhì)？【知識點】：等價矩陣的性質(zhì)。答：反身性，對稱性，傳遞性。63 矩陣與它的標(biāo)準(zhǔn)形有什么關(guān)系？【知識點】：矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。答：矩陣與它的標(biāo)準(zhǔn)形等價。64 如何利用矩陣的初等變換求矩陣的逆？【知識點】：求矩陣的逆的初等變換法。答：將矩陣A與同階的單位矩陣E按行排在一起構(gòu)成一個新矩陣(AE)，對新矩陣進行一系列的初等行變換，將矩陣A所在的地方變成單位矩陣后(EB)，那么單位矩陣所在的地方變化來的矩陣B就是矩陣A的逆。65

27、 求矩陣的逆有什么方法？各有什么優(yōu)點？【知識點】：求矩陣的逆的方法。答：（1）利用伴隨矩陣；（2）利用初等變換。當(dāng)矩陣的階為2，3時，用伴隨矩陣較方便，當(dāng)矩陣的階大于3時，用初等變換較方便。66 矩陣A=(aij)的k階子式是什么含義？【知識點】：矩陣的子式。答：在矩陣中任取k行k列，位于這些行列交叉處的元素按原來相對位置所構(gòu)成的k階行列式叫做矩陣的一個k階子式。67 矩陣A的秩是如何定義的？【知識點】：矩陣的秩的定義。答：矩陣A中不為零的子式的最高階數(shù)為矩陣的秩。68 矩陣A=(aij)m×n的秩的范圍是什么？【知識點】：矩陣的秩。答：大于等于0，小于等于min(m,n)。69 矩

28、陣A與轉(zhuǎn)置矩陣AT的秩是否相等？【知識點】：矩陣的秩的性質(zhì)。答：相等。70 n階可逆矩陣A的秩等于多少？【知識點】：可逆矩陣的秩。答：等于n。71 秩為0的矩陣是什么矩陣？【知識點】：矩陣的秩的性質(zhì)。答：秩為0的矩陣是零矩陣。72 初等變換是否改變矩陣的秩？【知識點】：初等變換與矩陣的秩的關(guān)系。答：初等變換不改變矩陣的秩。73 在矩陣A的左右乘上可逆矩陣P,Q是否改變矩陣A的秩？【知識點】：矩陣的秩的性質(zhì)。答：在矩陣A的左右乘上可逆矩陣P,Q不改變矩陣A的秩。74 利用矩陣的初等變換如何求矩陣的秩？【知識點】：求矩陣的秩的初等變換法。答：將矩陣化為階梯形矩陣，階梯形矩陣的非零行的行數(shù)就是矩陣的

29、秩 第三章 向量空間 1 什么是n維向量？【知識點】：n維向量。答：由n個數(shù)組成的一個有序數(shù)組，比如（1，2，3，-2，0）是一個5維向量。2 分量相同的行向量和列向量是否表示同一個向量？【知識點】：n維向量。答：同一個。3 兩個向量相等是什么含義？【知識點】：向量相等。答：維數(shù)相同，對應(yīng)的分量相等，即=(a1,a2,an)=(b1,b2,bn)的充要條件是對所有的i=1，2，n，有ai= bi。4 一個向量的負(fù)向量的意義是什么？【知識點】：負(fù)向量。答：一個向量=(a1,a2,an)的負(fù)向量是=(a1,a2,an)。5 兩個向量是如何相加的？【知識點】：向量的加法.答：對應(yīng)的分量分別相加，即=

30、(a1,a2,an)，=(b1,b2,bn)，+=(a1,a2,an)+（b1,b2,bn)= (a1+ b1,a2+ b2,an+ bn)。6 一個數(shù)k與一個向量=(a1,a2,an)是如何相乘的？【知識點】：向量的數(shù)乘.答：向量=(a1,a2,an)的每個分量都乘數(shù)k，k=(ka1, ka2, kan)。7 向量的線性運算是指哪兩種運算？【知識點】：向量的線性運算.答：加法與數(shù)乘。8 向量的線性運算滿足哪些運算規(guī)律？【知識點】：向量的線性運算規(guī)律.答：共有8條：（1）交換律：+=+ ；（2）結(jié)合律（+）+=+（+）；（3）+0=：（4）+（-）=0；（5）（k+l）=k+l;（6）k（+）

31、=k+k;（7）（kl）=k（l）=l（k）；（8）1·=。9 n維向量空間的含義是什么？【知識點】：向量空間.答：在n維向量組成的集合中定義了加法和數(shù)乘運算，這些運算滿足上面的8條運算規(guī)律，這樣的集合就是n維向量空間。10 一個向量是向量組1,2,s的一個線性組合或可由向量組1,2,s線性表示是什么意思？【知識點】：向量組的線性組合.答：指存在數(shù)k1,k2,ks使得= k11+ k22+kss 成立。11 n維向量空間中的單位向量組指的是什么？【知識點】：單位向量組.答：n維向量空間中的單位向量組指的是：(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)。12 向量組1,2,s線性相

32、關(guān)是什么意思？【知識點】：向量組的線性相關(guān).答：向量組1,2,s線性相關(guān)是指：存在不全為零的數(shù)k1,k2,ks使得k11+ k22+kss=0成立。13 向量組1,2,s線性無關(guān)是什么意思？【知識點】：向量組的線性無關(guān).答：向量組1,2,s線性無關(guān)是指：如果k11+ k22+kss=0，則必有k1=k2=ks=0。14 一個向量組是否要么線性相關(guān)要么線性無關(guān)，二者必居其一？【知識點】：向量組的線性相關(guān)性.答：一個向量組是要么線性相關(guān)要么線性無關(guān)，二者必居其一。15 如何討論向量組1,2,s的線性相關(guān)性？【知識點】：向量組的線性相關(guān)性.答：從k11+ k22+kss=0出發(fā)，根據(jù)條件如果得到有不

33、全為零的數(shù)k1,k2,ks使得k11+ k22+kss=0成立，則判斷1,2,s線性相關(guān)，如果得到k1,k2,ks只能都為0，則判斷1,2,s線性無關(guān)。16 n維向量空間中的單位向量組是否線性無關(guān)？【知識點】：單位向量組的線性相關(guān)性.答：n維向量空間中的單位向量組是線性無關(guān)的。17 當(dāng)向量組只含有一個向量時，何時線性相關(guān)，何時線性無關(guān)？【知識點】：向量組的線性相關(guān)性.答：當(dāng)向量組只含有一個向量時，則向量非零時為線性無關(guān)，向量為零向量時線性相關(guān)。18 若一個向量組的某一部分組線性相關(guān)，那么該向量組是否一定線性相關(guān)？【知識點】：向量組的部分組與整組的關(guān)系.答：一定線性相關(guān)，設(shè)1,2,s的某個部分組

34、1,2,r線性相關(guān)，則1,2,s線性相關(guān)。19 若一個向量組線性相關(guān)，那么它的任何一個部分組是否一定線性相關(guān)？【知識點】：向量組的部分組與整組的關(guān)系.答：不一定線性相關(guān)。例如1=(1,0,0), 2=(0,1,0), 3=(0,0,1), 4=(1,1,1)線性相關(guān),但部分組1=(1,0,0), 2=(0,1,0), 3=(0,0,1) 線性無關(guān)。20 若一個向量組線性無關(guān)，那么它的任何一個部分組是否一定線性無關(guān)？【知識點】：向量組的部分組與整組的關(guān)系.答：一定線性無關(guān)，設(shè)1,2,s線性無關(guān)，則它的任何一個部分組一定線性無關(guān)。21 若一個向量組的某一部分組線性無關(guān)，那么該向量組是否一定線性無關(guān)

35、？【知識點】：向量組的部分組與整組的關(guān)系.答：不一定線性無關(guān)，例如1=(1,0,0), 2=(0,1,0), 3=(0,0,1), 4=(1,1,1)的部分組1=(1,0,0), 2=(0,1,0), 3=(0,0,1) 線性無關(guān)，但1=(1,0,0), 2=(0,1,0), 3=(0,0,1), 4=(1,1,1) 線性相關(guān)。22 含有零向量的向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)？【知識點】：含有零向量的向量組的線性相關(guān)性.答：線性相關(guān)。設(shè)1=0,2,s，由于存在不全為0的數(shù)k1=1,k2=0,ks=0使得k11+ k22+kss=0，所以1=0,2,s線性相關(guān)。23 向量組1,2,s中至少有一個向

36、量可由其余s-1個向量線性表示是不是向量組1,2,s線性相關(guān)的充要條件？【知識點】：向量組的線性相關(guān)的條件.答：是。24 如果向量組1,2,s線性無關(guān)，而向量組1,2,s, 線性相關(guān)，那么向量是否可由向量組1,2,s唯一地表示？【知識點】：一個向量由向量組的線性表示.答：是。由于向量組1,2,s, 線性相關(guān)，所以存在不全為0的數(shù)k1,k2,ks，k，使得k11+ k22+kss+ k =0。如果k=0，則k11+ k22+kss=0，由于向量組1,2,s線性無關(guān)，則必有k1=k2=ks=0，因而1,2,s線性相關(guān)，這與1,2,s線性無關(guān)矛盾。所以k0，故 =- （k11+ k22+kss），即

37、可由向量組1,2,s表示，唯一性可由向量組1,2,s線性無關(guān)得到。25 一個p維的向量組線性無關(guān)，每個向量增加r個分量后，該向量組是否仍然線性無關(guān)？【知識點】：向量的維數(shù), 向量組的線性相關(guān)性。答：該向量組仍然線性無關(guān)。26 兩個向量組等價是什么意思？【知識點】：向量組等價的概念.答：它們可以互相線性表示。27 等價的向量組所含的向量個數(shù)是否相同？【知識點】：向量組等價的性質(zhì)。答：如果等價的兩個向量組價的都是線性無關(guān)，則它們所含的向量個數(shù)相同。如果等價的兩個向量組中有線性相關(guān)的向量組，則它們所含的向量個數(shù)不一定相同。28 向量組的極大無關(guān)組有什么含義？【知識點】：向量組的極大無關(guān)組。答：向量組

38、的極大無關(guān)組是向量組的一個線性無關(guān)的部分組，且向量組的任何一個向量都可以由該部分組線性表示。29向量組1,2,s的秩指的是什么？【知識點】：向量組的秩。30 答：向量組1,2,s的秩指的是它的極大無關(guān)組所含的向量的個數(shù)。31 如果向量組1,2,s線性相關(guān)，那么以1,2,s為行構(gòu)成的矩陣的秩與s的關(guān)系如何？【知識點】：向量組與其對應(yīng)矩陣的關(guān)系.32 答：由于向量組1,2,s的秩與以1,2,s為行構(gòu)成的矩陣的秩相等，而向量組1,2,s線性相關(guān)，那么向量組1,2,s的秩小于s，所以以1,2,s為行構(gòu)成的矩陣的秩小于s。33 如果一個向量組所含向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)，那么該向量組是否一定線性相關(guān)？【

39、知識點】：向量的維數(shù),向量組的向量的個數(shù), 向量組的線性相關(guān)性。答：設(shè)向量組是由m個n維（n<m）的向量組成，由于由該向量組組成的m n矩陣的秩不會超過n，m的最小值n，所以該向量組的秩不會超過n，因而小于m，故該向量組一定線性相關(guān)。34 一個向量組1,2,s可由另一個向量組1, 2, t線性表示，那么它們的秩有什么關(guān)系？【知識點】：向量組的秩。答：r1,2,sr1, 2, t。35 向量組與它的極大無關(guān)組是否等價？【知識點】：極大無關(guān)組, 向量組等價。答：向量組與它的極大無關(guān)組等價。36 向量組的極大無關(guān)組是否唯一？【知識點】：極大無關(guān)組。答：一般不唯一。37 同一個向量組的任意兩個極

40、大無關(guān)組是否等價？【知識點】：極大無關(guān)組，向量組等價。答：同一個向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價，因為它們可以互相線性表示。38 向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)否唯一？【知識點】：極大無關(guān)組。答：向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)是唯一的。39 等價的向量組有相同的秩，那么秩相同的向量組是否等價？【知識點】：向量組的秩，向量組等價。答：秩相同的向量組不一定等價。因為秩相同的向量組的向量的維數(shù)可以不同，而向量的維數(shù)不同的向量組是不可能等價的。40 矩陣的行秩和列秩是什么意思？【知識點】：矩陣的行秩和列秩。答：由矩陣的行（列）向量組成的向量組的秩為矩陣的行（列）秩。41 矩陣的行秩、列秩和秩是否相等

41、？【知識點】：矩陣的行秩、列秩和秩。答：矩陣的行秩、列秩和秩相等。42 向量空間的基指的是什么？【知識點】：向量空間的基。答：向量空間中的所有向量組成的向量組的一個有序的極大線性無關(guān)組。43 向量空間的維數(shù)指的是什么？【知識點】：向量空間的維數(shù)。答：向量空間的基所含向量的個數(shù)。44 向量空間中的向量的坐標(biāo)與基有什么關(guān)系？【知識點】：向量空間的基，向量的坐標(biāo)。答：向量的坐標(biāo)是向量表示為基的線性組合時的基向量前的系數(shù)。45 同一個向量在不同基下的坐標(biāo)是否相同？【知識點】：向量空間的基，向量的坐標(biāo)。答：同一個向量在不同基下的坐標(biāo)是不同的。例如：向量（1，1）在基（1，0），（0，1）下的坐標(biāo)為（1，

42、1）而在基（1，0），（0，2）下的坐標(biāo)是（1，1/2）。46 兩個向量之間的內(nèi)積是怎樣定義的？【知識點】：向量的內(nèi)積。答：兩個向量之間的內(nèi)積是對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和，即設(shè)=(a1,a2,an)，=(b1,b2,bn)。則，的內(nèi)積為a1 b1+a2 b2+an bn。47 什么是歐氏空間？【知識點】：歐氏空間的概念。答：定義了向量的內(nèi)積的向量空間。48 兩個向量正交的含義是什么？【知識點】：向量正交的概念。答：兩個向量正交是指內(nèi)積為零的兩個向量。49 什么是正交向量組？【知識點】：正交向量組。答：向量兩兩正交的向量組。50 什么是單位向量？【知識點】：向量的長度。答：長度為1的向量。51 什么是標(biāo)

43、準(zhǔn)正交向量組？【知識點】：標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。答：標(biāo)準(zhǔn)正交向量組是每個向量為單位向量的正交向量組。52 正交向量組是否線性無關(guān)？【知識點】：正交向量組，線性無關(guān)。答：正交向量組線性無關(guān)。53 一個線性無關(guān)的向量組如何變成與它等價的正交向量組？【知識點】：正交向量組，線性無關(guān)。答：用施密特正交化方法可以把一個線性無關(guān)的向量組變成與它等價的正交向量組。54 能否從一個線性相關(guān)的向量組進行施密特正交化？【知識點】：施密特正交化。答：不能從一個線性相關(guān)的向量組進行施密特正交化。55 一個矩陣成為正交矩陣有什么條件？【知識點】：正交矩陣。答：矩陣的行（或列）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。56 正交矩陣的行列式等于

44、多少？【知識點】：正交矩陣。答：正交矩陣的行列式等于±1。57 正交矩陣的乘積是否仍為正交矩陣？【知識點】：正交矩陣的性質(zhì)。答：正交矩陣的乘積是正交矩陣。58 正交矩陣是否可逆？它的逆是否仍為正交矩陣？【知識點】：正交矩陣的性質(zhì)。答：正交矩陣是可逆。它的逆是正交矩陣。 第四章 線性方程組 1 線性方程組AX=b的增廣矩陣指的是什么？【知識點】：線性方程組的增廣矩陣。答：線性方程組的增廣矩陣由系數(shù)矩陣和常數(shù)項組成的矩陣，即B=(A,b)。2 什么是齊次線性方程組？【知識點】：齊次線性方程組。答：常數(shù)項b都為零的線性方程組，即b=0。3 什么是非齊次線性方程組？【知識點】：非齊次線性方程

45、組。答：常數(shù)項b不都為零的線性方程組，即b0。4 非齊次線性方程組AX=b有解的充要條件是什么？【知識點】：非齊次線性方程組有解的充要條件。答：系數(shù)矩陣的秩=增廣矩陣的秩，即r(A)=r(B)。5 方程組的初等變換有哪幾種？【知識點】：方程組的初等變換。答：有3種：（1）互換方程組中某兩個方程的位置；（2）用一個非零數(shù)乘以某個方程；（3）將某一個方程的k倍加到另一個方程上。6 非齊次線性方程組AX=b有唯一解的條件是什么？【知識點】：非齊次線性方程組有唯一解的條件。答：系數(shù)矩陣的秩r(A)=增廣矩陣的秩r(B)=方程的自變量的個數(shù)。7 非齊次線性方程組AX=b有無窮多解的條件是什么？【知識點】

46、：非齊次線性方程組有無窮多解的條件。答：系數(shù)矩陣的秩r(A)=增廣矩陣的秩r(B)<方程的自變量的個數(shù)。8 對方程組AX=b進行初等變換相當(dāng)于對增廣矩陣B=(A,b)作什么變換？【知識點】：方程組的初等變換，矩陣的初等變換。答：對方程組進行初等變換相當(dāng)于對增廣矩陣B=(A,b)作初等行變換。9 如何判斷方程組AX=b有解的條件？【知識點】：方程組有解的條件。答：對增廣矩陣B=(A,b)作初等行變換，將增廣矩陣化為階梯形矩陣，判斷系數(shù)矩陣A的秩是否等于增廣矩陣B的秩。10 齊次線性方程組AX=0是否一定有解？【知識點】：齊次線性方程組的解。答：因為X=0是一個解，所以AX=0一定有解。11

47、 齊次線性方程組AX=0主要關(guān)心的是什么樣的解？【知識點】：齊次線性方程組的解。答：非零解。12 齊次線性方程組AX=0的任何兩個解X1，X2的和X1+X2是否仍為該齊次線性方程組的解？【知識點】：齊次線性方程組的解的性質(zhì)。答：因為X1，X2是齊次線性方程組AX=0的兩個解，于是AX1=0，AX2=0，由于A（X1+X2）= AX1+ AX2=0+0=0，故X1+X2是AX=0的解。13 齊次線性方程組AX=0的任何一個解X與任何一個數(shù)k的乘積kX是否仍是該齊次線性方程組的解？【知識點】：齊次線性方程組的解的性質(zhì)。答：因為X是齊次線性方程組AX=0的解，而A（kX）= kAX=k0=0，所以k

48、X是齊次線性方程組AX=0的解。14 齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系1，2，r要滿足什么條件？【知識點】：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。答：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系1，2，r是解空間的一組基，即（1）1，2，r都是齊次線性方程組AX=0的解向量；（2）1，2，r是所有解向量構(gòu)成的向量組的一個極大線性無關(guān)組。15 齊次線性方程組AX=0什么時候沒有基礎(chǔ)解系？【知識點】：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。答：當(dāng)系數(shù)矩陣的秩=方程組的自變量的個數(shù)時，齊次線性方程組AX=0沒有基礎(chǔ)解系。16 齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系是否唯一？【知識點】：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。答：因為與一個基礎(chǔ)解系等價的線性無關(guān)的向

49、量組都是同一個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，所以基礎(chǔ)解系不唯一。17 齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)是否唯一？等于多少？【知識點】：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。答：齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)是唯一的， 它等于方程的自變量的個數(shù)n減系數(shù)矩陣的秩r，即n-r。18 如何確定齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系？【知識點】：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的確定。答：將系數(shù)矩陣A進行初等行變換，化為階梯形矩陣，得到與原方程組等價的方程組，確定自由未知量，依次取一個自由未知量為1，其它取為0，代入等價的方程組解方程組，就得nr個解向量，它們就是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。19 齊次線性

50、方程組AX=0的通解怎么表示？【知識點】：齊次線性方程組的通解。答：齊次線性方程組AX=0的通解由齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系1，2，r的線性組合表示。20 非齊次線性方程組AX=b的任意兩個解X1，X2的和X1+X2是否仍為該方程組的解？【知識點】：非齊次線性方程組的解的性質(zhì)。答：不是，因為AX1=，AX2=b，所以A（X1+X2）= AX1+AX2= b+b=2 bb，所以X1+X2不是AX= b的解。21 非齊次線性方程組AX=b的導(dǎo)出組指的是什么？【知識點】：非齊次線性方程組的導(dǎo)出組。答：非齊次線性方程組AX=b的導(dǎo)出組指的是：將常數(shù)項b令為0，系數(shù)不變而得的方程組AX=0。22

51、非齊次線性方程組AX=b的任意兩個解X1，X2的差X1-X2是什么方程組的解？【知識點】：非齊次線性方程組的解的性質(zhì)。答：非齊次線性方程組AX=b的任意兩個解X1，X2的差X1-X2是導(dǎo)出組AX=0的解。23 非齊次線性方程組AX=b的通解怎樣表示？【知識點】：非齊次線性方程組的通解。答：非齊次線性方程組AX=b的通解是非齊次線性方程組的一個特解+導(dǎo)出組的通解。24 非齊次線性方程組AX=b的通解怎樣得到？【知識點】：非齊次線性方程組的通解的求法。答：將增廣矩陣B=(A,b)化為階梯形矩陣，得與原方程組等價的方程組，確定自由未知量，令自由未知量都為0代入等價的方程組中可得非齊次線性方程組的一個

52、特解；在等價的方程組中將常數(shù)項變?yōu)?，求出導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系。由問題23的答可得非齊次線性方程組的通解第五章 矩陣的相似對角形 1 什么型的矩陣才有特征值和特征向量的概念？【知識點】：矩陣的特征值和特征向量。答：方陣才有特征值和特征向量的概念。2 n階方陣A的特征值和特征向量X滿足什么條件？【知識點】：矩陣的特征值和特征向量。答：n階方陣A的特征值和特征向量X滿足AX=X，X0。3 是否滿足方程AX=X的任何一個向量X都是方陣A的特征向量？【知識點】：矩陣的特征向量。答：滿足方程AX=X的任何一個向量X未必是方陣A的特征向量，必須要求X0 。4 方陣A的特征值是如何求得的？【知識點】：矩陣的特征

53、值。答：通過解特征方程|E-A|=0。5 方陣A的特征向量是如何求得的？【知識點】：矩陣的特征向量。答：先求A的特征值，然后將特征值代入齊次方程組（E-A）X=0，它的基礎(chǔ)解系的任何非零線性組合就是屬于A的特征值的所有特征向量。6 屬于同一個特征值的任何兩個特征向量的任何線性組合是否都是屬于該特征值的特征向量？【知識點】：矩陣的特征向量。答：不是，只有非零的線性組合才是屬于該特征值的特征向量。7 方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT的特征值是否相同？【知識點】：轉(zhuǎn)置矩陣的特征值。答：因為|E-A|=|E-AT|，所以方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT的特征值相同。8 方陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT的特征向量是否相同？【知識點】：轉(zhuǎn)置矩陣的特征向量。答：一般不是。9 屬于s個不同特征值的s個特征向量構(gòu)成的向量組是否一定線性無關(guān)？【知識點】：矩陣的特征向量，線性無關(guān)。答：一定線性無關(guān)。10 求方陣A的特征值和特征向量的步驟是怎樣的？【知識點】：特征值和特征向量的求法。答：先求特征方程|E-A|=0的解，然后將特征值代入齊次方程組（E-A）X=0，它的基礎(chǔ)解系的任何非零線性組合就是屬于A的特征值的所有特征向量。11 矩陣A的特征值與矩陣的行列式|A|之間有什么關(guān)系？【知識點】：矩陣的特征值，矩陣的行列式。答：|A|=矩陣A的所有特征值的乘積。12 矩陣A的特征值與矩陣A的主對角線上的元