高中數(shù)學(xué)必修3《算法初步》知識點講義

1、第一章 算法初步一算法的概念1. 算法的概念1、算法定義：在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.2. 算法的特點 :(1) 有窮性：一個算法在執(zhí)行有限個步驟之后，必須結(jié)束.(2) 確定性：算法的每一個步驟和次序應(yīng)該是確定的 .(3) 可行性：原則上算法能夠精確地元算，而且人們用筆和紙做有限次即可完成 .(4) 不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.(5) 輸出：一個算法有0 個或多個輸入，以刻畫運算對象的初始條件. 所謂 0 個輸入是指算法本身已經(jīng)給出了

2、初始條件 .(6) 輸出：一個算法有1 個或多個輸出，以反映對輸入數(shù)據(jù)加工后的結(jié)果，沒有輸出的算法是毫無意義的 .3算法的描述：自然語言、程序框圖、程序語言。例1、寫出1 X 2X 3X 4X5X6的一個算法.解 : 按照逐一相乘的程序進行第一步：計算1X2，得到2;第二步 : 將第一步的運算結(jié)果2 與 3 相乘 , 得到 6 ；第三步:將第二步的運算結(jié)果6 與 4 相乘, 得到24；第四步 : 將第三步的運算結(jié)果24 與 5 相乘 , 得到 120 ；第五步:將第四的運算結(jié)果120 與 6 相乘, 得到720 ；第六步 : 輸出結(jié)果 .例2、寫出按從小到大的順序重新排列x, y,z三個數(shù)值的

3、算法解：(1).輸入x,y,z三個數(shù)值；(2) .從三個數(shù)值中挑出最小者并換到x中；(3) .從y,z中挑出最小者并換到 y中；(4) .輸出排序的結(jié)果.二.程序框圖1、程序框圖基本概念：(一)程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示 算法的圖形。一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。(二)構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能 起止框表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖/、可少的?？谳斎?、輸出框表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。處理框賦值、計算，算法中處

4、理數(shù)據(jù)需要的算式、 公式等分別寫在/、同的用以處理數(shù)據(jù)的處 理框內(nèi)。O判斷框判斷某一條件是否成立， 成立時在出口處標(biāo)明“是”或“Y” ；不成立時標(biāo)明“否”或“N”。學(xué)習(xí)這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾 種不同的結(jié)果。5、在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。12 / 9（三）、算法的三種

5、基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。1、順序結(jié)構(gòu):2、條件結(jié)構(gòu):3、循環(huán)結(jié)構(gòu):當(dāng)型注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)”2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個計數(shù)變量和累加變量。計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計數(shù)一次例、設(shè)計一個計算1+2+3+100的值得算法，并畫出程序框圖.一開始1i=0:Sum=0Sum=Sum + i/ 輸出Sum /直到型結(jié)構(gòu) I .當(dāng)型結(jié)構(gòu)1結(jié)束.三.輸入、輸出語句和賦值語句1、輸入語句INPUT "提示內(nèi)容”；變量圖形計算

6、器格式INPUT "提示內(nèi)容”，變量2、輸出語句PRINT "提示內(nèi)容”；表達式圖形計算器格式Disp "提示內(nèi)容”，變量3、賦值語句變量=表達式圖形計算器格式表達式 變量1,對應(yīng)的程序框圖為圖2。四.條件語句1、條件語句的一般格式有兩種：（1） IFTHE%ELSE語句；（2） IFTHENg句。2、IFTHE% ELSE語句 IF THE* ELSE語句的一般格式為圖IF 條件 THEN語句1ELSE語句2END IF3、 IFTHEN句 IF THEN句的IF 條件THEN語句END IF（圖3）五.循環(huán)語句WHILE 型）循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實現(xiàn)的。對應(yīng)

7、于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設(shè)計語言中也有當(dāng)型(和直到型(UNTIL型)兩種語句結(jié)構(gòu)。即 WHILE語句和UNTIL語句。WHILE語句的一般格式是WHILE 條件循環(huán)體WEND對應(yīng)的程序框圖是1、WHILE語句對應(yīng)的程序框圖是DO循環(huán)體LOOP UNTIL 條件UNTIL語句的一般格式是2、UNTIL 語句六.算法案例1、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)(1)、輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下:(1):給定兩個正整數(shù) mq n;(2)：計算m除以n所得的余數(shù)r;(3): m=n, n=r;(4)若r=0 ,則成n的最大公約數(shù)等于 m;否則，返回第二步。(2)、更

8、相減損術(shù)我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。在九章算術(shù)中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟:可半者半之，不可半者，副置分母？子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。翻譯為：(1)：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用 2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。(2):以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直 到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)(等數(shù))就是所求的最大公約數(shù)。例1.用輻轉(zhuǎn)相除法求能與63的最大公約數(shù);解：V9S=63 X 1+35(55=23X 1+T ,98與63的最大公約數(shù)是物2.用更相減損術(shù)求S3與63的最大公約數(shù):

9、V S3-fi3=35，63-35=2835-28=129-7=2121-7=14，14-7=7八9廿與S3的最大公約數(shù)是人2、秦九韶算法與排序1、秦九韶算法概念:f(x)=a nxn+an-ixn-1+- - .+a ix+a0 求值問題 把一個n次多項式f(x)=a nXn+an-ixn-1+.+a ix+a0改寫成如下形式:f(x)=a nXn+an-1Xn-1+.+a 1x+ao=(an-1 nX+an-1Xn-2+.+a1)x+ao=(a nXn-2+an-1Xn-3+.+a2)x+a 1)x+a o=(.(anX+an-1)x+an-2)x+.+a 1)x+a o求多項式的值時，首

10、先計算最內(nèi)層括號內(nèi)依次多項式的值，即V1 = anX+an-1然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即V2=V1X+an-2V 3=V2X+an-3 Vn=Vn-1X+ao這樣，把n次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個一次多項式的值的問題。例1、已知一個 5次多項式為 f(x)5x5 2x4 3.5x3 2.6x2 1.7x 0.8.用秦九韶算法求這個多項式當(dāng)x 5時的值.f(x)=(5x 2)x 3.5)x 2.6)x 1.7)x 0.8.V05；v15 5 227;V227 53.5 138.5;V3138.552.6689.9;v4689.951.73451.2;V5 3451.2 5 0.8

11、17255.2.所以，當(dāng)x=5時，多項式的值等于17255.2.例2、用秦九韶算法求函數(shù)f (*)以日融力當(dāng)富二1的值時，門的結(jié)果是()A. 23C. 4D , 5解：v -2 m 1+1=3 !V2=3 x '拔選C，例3、已知的數(shù)f(牙)二/十2/十Yf上十取-5了用秦九箭!算法計算f5)解：f (sc > =ks-+2s4+k-x2-4-3k-5= ( < C (戈工) y- 1 ) y+3) s-5<5) = ( < t (5+2) 5 + 1 ) 5-1 ) 5+3 ) 5-5=4485.3、進位制概念：進位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值。可使用數(shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n,即可稱n進位制，簡稱n進制。現(xiàn)在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進行記數(shù)。對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數(shù)57,可以用二進制表示為 111001,也可以用八進制表示為 71、用十六進制表示為 39,它們所代表的數(shù)值都是一樣的。一般地，若k是一個大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進制可以表示為：a1al1.a%k)(0 & k,0 -，國氏k),而表示各種進位制數(shù)一般在