數(shù)學(xué)“問題解決”研究概覽

1、數(shù)學(xué)問題解決”研究概覽1.多種意義下的數(shù)學(xué)問題解決及其研究數(shù)學(xué)問題解決是多學(xué)科研究的對(duì)象，心理學(xué)和教育學(xué)、數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教 育學(xué)等學(xué)科都從不同的側(cè)面來研究它，但各自研究的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn) 是有差異的.比如，心理學(xué)主要是通過了解個(gè)體解決數(shù)學(xué)問題的過程 來推斷、預(yù)測(cè)、決策人們解決問題的一般思維過程和心理規(guī)律；而數(shù) 學(xué)則是側(cè)重研究創(chuàng)造性地解決數(shù)學(xué)問題 一一數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明一一過 程中的抽象思維和形象思維、直覺思維、想象、美感等諸方面.1.1心理學(xué)中的研究在普通心理學(xué)中，人們?yōu)榱搜芯克季S，著重研究解決問題過程中的思 維.隨著心理學(xué)的發(fā)展，尤其是認(rèn)知心理學(xué)的產(chǎn)生，問題解決成其為 一個(gè)十分熱門的重要課題1.心理

2、學(xué)中研究問題解決，目的在于揭 示問題解決過程中所反映的心理規(guī)律.其內(nèi)容主要包括：?jiǎn)栴}解決的 實(shí)質(zhì)及心理機(jī)制；問題解決的一般心理過程；問題解決的策略；影響 問題解決的各種心理因素；問題解決的理論體系.1.2教育學(xué)中的研究本世紀(jì)初，美國(guó)教育家杜威，把關(guān)于 思維就是問題解決”的結(jié)論應(yīng)用于 教育學(xué)之中，在我們?cè)鯓铀季S（ 1 9 0 5 ） 書中引入了 問題解 決”，提出 通過問題解決進(jìn)行學(xué)習(xí)”、做中學(xué)”的教學(xué)思想.當(dāng)然這只 是問題教學(xué)的雛型，比較完整的要算馬赫穆托夫（前蘇聯(lián)教育科學(xué)院 院土）的問題教學(xué)理論2.這個(gè)理論的產(chǎn)生是基于為了實(shí)現(xiàn)當(dāng)代科 技革命給前蘇聯(lián)學(xué)校提出的培養(yǎng)目標(biāo) 一一培養(yǎng)每個(gè)學(xué)生的獨(dú)立認(rèn)

3、識(shí)能 力和創(chuàng)造能力.馬氏的問題教學(xué)理論內(nèi)容比較豐富，主要包括：?jiǎn)栴} 教學(xué)的理論基礎(chǔ)（認(rèn)識(shí)論，邏輯一一心理學(xué)），基本范疇（問題與問話， 問題與任務(wù)，學(xué)習(xí)性問題與科學(xué)性問題，問題的提出和解決），基本含 意，原則體系，實(shí)施方法、特點(diǎn)、功能、效果等.1.3數(shù)學(xué)中的研究由于 只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題，它就充滿了生命力；而問 題的缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡或中止 ”.（希爾伯特語）所以，可 以說數(shù)學(xué)的發(fā)展（或發(fā)明發(fā)現(xiàn)）過程就是不斷提出問題并不斷解決問題的過程.于是有志于反思發(fā)明發(fā)現(xiàn)過程的數(shù)學(xué)家們就致力于數(shù)學(xué)問 題解決的研究(詳見系列文獻(xiàn)3、4、5、6、7).1.4數(shù)學(xué)教育學(xué)中的研究數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重

4、要目的就是要提高學(xué)生的解題能力，所以解題研究 是解題教學(xué)和提高學(xué)生解題能力的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)教育中的解題研究，最 富有成效、也是最有影響的莫過于波利亞的數(shù)學(xué)解題理論.怎樣解題( 1 9 4 4 )、數(shù)學(xué)與猜想( 1 9 5 4 )、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)(1961) 三本名著的出版和發(fā)行，引起了世界許多國(guó)家數(shù)學(xué)教育工作者的極大 關(guān)注，至今乃至今后仍將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響.不過，目前人們所談及的 數(shù)學(xué)問題解決研究，主要指8 0年代以后的研究，這一研究發(fā)端于19 8 0年美國(guó)數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會(huì)研制的關(guān)于行動(dòng)的課程，并逐步發(fā)展 成為8 0年代以來世界各國(guó)數(shù)學(xué)教育改革和研究的一個(gè)共同關(guān)心的中 心課題.難怪有人把 以問題解決為主導(dǎo)

5、”的數(shù)學(xué)教育稱之為本世紀(jì)數(shù)學(xué) 教育改革的第三次浪潮8.本文涉及的主要是80年代以來人們對(duì) 數(shù)學(xué)問題解決的認(rèn)識(shí)及其研究.2 .數(shù)學(xué)教育中的問題解決及其研究2.1背景簡(jiǎn)要回顧繼新數(shù)運(yùn)動(dòng)”和回到基幢之后，1980年美國(guó)數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會(huì)給第 四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)提交了一份綱領(lǐng)性報(bào)告：關(guān)于行動(dòng)的議程一一關(guān)于8 0年代中學(xué)數(shù)學(xué)的建議.這份文件明確地指出，問題解決是8 0年代學(xué)校數(shù)學(xué)的核心”（第一條），數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)圍繞問題解決來 組織”，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)造一種使問題解決得以蓬勃發(fā)展的課堂環(huán)境 ”, 在問題解決方面的成績(jī)?nèi)绾危瑢⑹呛饬繑?shù)學(xué)教育成敗的有效標(biāo)準(zhǔn)”.由 此在世界各國(guó)掀起了以數(shù)學(xué)問題解決為主題的一系列數(shù)學(xué)

6、教育改革和 研究的熱潮.應(yīng)該說，20年來的改革和研究，成果令人鼓舞.人們 經(jīng)常例舉的、把 問題解決”放到重要地位的報(bào)告（或文件、教材、文獻(xiàn)） 主要有：（美）普及科學(xué)一一美國(guó)2 0 6 1計(jì)劃（數(shù)學(xué)報(bào)告）（19 8 9）,（英）Cockcroft 報(bào)告（ 1 9 8 2 ）,（美）Ever yCounts（1989），面向21世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)教育（嚴(yán) 士健主偏，江蘇教育出版社，19 9 4）、21世紀(jì)中國(guó)數(shù)學(xué)教育展 望（I）、（H）（2 1CME課題組，北京師范大學(xué)出版社，19 9 2,1995）;繼1980年第四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)之后的第五、 六、七、八屆，都把問題解決列為一個(gè)專題；美國(guó)中小學(xué)校

7、數(shù)學(xué)課 程與評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)（ 1 9 8 9 ）、英國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（ 1 9 8 9 ）、 日本小學(xué)算術(shù)、中學(xué)數(shù)學(xué)指導(dǎo)要領(lǐng)（ 1 9 8 9 ）等各國(guó)數(shù)學(xué)課程教 學(xué)指導(dǎo)性文件以及 芝加哥大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)”（UCSMP）等中 學(xué)數(shù)學(xué)教材，無一不把培養(yǎng)問題解決能力作為重要的目的.在國(guó)際數(shù)學(xué)問題解決潮流傳入我國(guó)之后，我國(guó)數(shù)學(xué)教育工作者紛紛對(duì) 此積極倡導(dǎo)和探索.張乃達(dá)先生在文9中，從我國(guó)的實(shí)際出發(fā)， 指出 數(shù)學(xué)教育應(yīng)該以解題為中心”，解題教學(xué)正是達(dá)到教學(xué)目的的最 好手段”；張奠宙先生在總結(jié)我國(guó)數(shù)學(xué)教育歷史經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，認(rèn)為 以問題解決為主導(dǎo)”是改革我國(guó)數(shù)學(xué)教育的突破口 10;張國(guó)杰先生 也提出問題解

8、決將對(duì)數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、對(duì)改善數(shù)學(xué)差生、對(duì)中考 高考試題的改革等顯示出它應(yīng)有的威力112.2研究范圍及其主要內(nèi)容綜觀國(guó)際數(shù)學(xué)問題解決與教學(xué)的研究和實(shí)踐，其研究范圍和內(nèi)容概括 起來主要包括四個(gè)方面：（1）問題系統(tǒng)研究；（2）問題解決系統(tǒng)研 究；（3）問題（解決）教學(xué)系統(tǒng)研究；（4）問題教學(xué)的理論基礎(chǔ)和 研究方法研究.（詳見文12）2.3研究中的幾個(gè)誤區(qū)(1) 對(duì) 問題”、數(shù)學(xué)問題”的理解有偏差.顯而易見，問題”與例題”、習(xí)題”是不同的，那么 問題解決(教學(xué))”包不包含 例題教學(xué)”、習(xí)題教學(xué)”？實(shí)際上人們?cè)诖罅垦芯恐袥]有加以區(qū)分，顯得比較混亂.(2) 對(duì) 數(shù)學(xué)問題”的分類比較混亂.為研究方便，對(duì)

9、 數(shù)學(xué)問題”進(jìn)行 適當(dāng)分類十分必要.然而由于分類標(biāo)準(zhǔn)難于確立，致使許多分類并不 符合分類規(guī)則.比如，就有人對(duì) 常規(guī)”與 非常規(guī)”、開放性題”提出質(zhì) 疑13.(3) 正是由于人們對(duì) 數(shù)學(xué)問題”的含義及分類認(rèn)識(shí)不確定，也就必然 導(dǎo)致對(duì) 問題解決”的理解存在偏差14.按照認(rèn)知心理學(xué)的觀點(diǎn)1 5,問題解決既包括創(chuàng)造性問題解決，也包括常規(guī)性問題解決，顯然 這是兩種不同的形式，而人們?cè)谘芯恐幸矝]有加以區(qū)分.(4) 重視解題一直是我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)，僅據(jù)19 9 1年我國(guó)有代表性的三種中學(xué)數(shù)學(xué)雜志的統(tǒng)計(jì)，全年發(fā)表的6 6 5篇文章中，屬于數(shù)學(xué)試題和解題研究的文章有5 4 6篇之多，占文章總數(shù)的82.1%，每

10、年公開發(fā)表的有關(guān)解題研究的文章，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，其 數(shù)量在5 0 0 0篇以上”16.然而，如果我們認(rèn)真審視一下這些 研究，它對(duì)提高學(xué)生的解題能力、對(duì)促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)改革，究竟有多大 的作用和影響，結(jié)果將是十分令人失望的.3 .關(guān)于數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)的研究3.1對(duì)數(shù)學(xué)問題的界定關(guān)于數(shù)學(xué)問題”的界定，文17將其各種定義概括為四種類型：（1） 數(shù)學(xué)問題是一種需要行動(dòng)的情況 （代表人物：波利亞、貝爾等）;（2） 數(shù)學(xué)問題是一種題系統(tǒng)（奧加涅相，戴再平等）；（3 ）數(shù)學(xué)問題是一 種情境（曹才翰等）；（4）數(shù)學(xué)問題是一種集合（斯托利亞爾等）.文17 的作者還提出了自己的觀點(diǎn).通常人們采用的數(shù)學(xué)問題的定 義是：對(duì)人具

11、有智力挑戰(zhàn)特征的，沒有現(xiàn)成方法、程序或算法可以解 決的問題18.另外，人們?yōu)榱巳娴乜坍?數(shù)學(xué)問題”，通常用它的特點(diǎn)（或條件）來 做補(bǔ)充.較為普遍的提法是19:接受性、障礙性和探究性.其他 的提法可參見17、20.3. 2關(guān)于數(shù)學(xué)問題的分類如果從教學(xué)的目標(biāo)和要求這個(gè)角度，任子朝先生把數(shù)學(xué)問題分為五類 21: （ 1 ）識(shí)別練習(xí)問題；（2 ）算法練習(xí)問題；（3 ）應(yīng)用問題； （4 ）開拓一探究問題；（5 ）問題情景.如果從題的構(gòu)成（通常分為三要素：初始狀態(tài)A、解題過程E、最終 狀態(tài)C）來看，可以把數(shù)學(xué)題分為三種類型（七種形式）2 2:標(biāo)準(zhǔn)題（A E C）、封閉型變式題（AEz, A y C, x

12、 B C）以及開放 型變式題（Ayz, x B z , x y C ）.其中x、y、z是對(duì)應(yīng)于A、 E、C的未知成分.通常人們將數(shù)學(xué)問題分為兩大類：數(shù)學(xué)自身的問題和數(shù)學(xué)應(yīng)用題，而 數(shù)學(xué)自身的問題又包括常規(guī)問題和非常規(guī)問題.3.3好問題”的特征在數(shù)學(xué)的任何一個(gè)分支里都有好問題，并且好問題到處可以找到”，沒 有好問題'我們就創(chuàng)造不出數(shù)學(xué)”.但何謂 好問題”，可能確實(shí)難以下一 定義，不過一個(gè)好問題總應(yīng)當(dāng)具有一些特征”，比如，“（1）問題的 解答中包含著明顯的數(shù)學(xué)概念和技能；（2）問題能夠推廣或擴(kuò)充到各 種情形；（3）問題有多種解法”.2 3 另外許多文獻(xiàn)（如19、2 4）中都涉及到 好問題”

13、的七個(gè)特征.3.4對(duì)習(xí)題的研究習(xí)題作為教科書的一個(gè)重要組成部分，人們也在研究，國(guó)內(nèi)最有代表 性的成果是文25;而且還在探索習(xí)題的改革，提出要不要在教材 中編入開放題？開放題有哪些類型和特點(diǎn)？怎樣編制開放題？又如何安排習(xí)題才有利于促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展？參見文2 6>27.3.5對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的研究 來自工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中、有實(shí)際背景的數(shù)學(xué)問題，在國(guó)外一直 受到青睞.近年來也成為我國(guó)中學(xué)關(guān)注的熱點(diǎn)之一.由張奠宙先生主 持編寫、華東師大出版社出版的中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用叢書（已出版三本）， 在全國(guó)反響較大.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考等刊物每年也要登載一定數(shù)量 的數(shù)學(xué)應(yīng)用題及其研究成果，比如，文2 8把數(shù)學(xué)應(yīng)用題區(qū)分為

14、 四個(gè)不同的層次；文2 9從數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度提出了數(shù)學(xué)應(yīng)用的兩 個(gè)層次.4 .關(guān)于問題解決系統(tǒng)的研究4.1對(duì)問題解決的理解在數(shù)學(xué)教育中，通常對(duì)問題解決的解釋有五種2 1: （1）是一種教學(xué)目的；（2） 是一 一個(gè)過程；（3） 是一 -種數(shù)學(xué)活動(dòng)； （4）是- 種數(shù) 學(xué)能力；（5）是一種教學(xué)形式.然而心理學(xué)中對(duì)此有這樣三種不同的 觀點(diǎn)：（1）是指向某些目標(biāo)的一系列智力運(yùn)算；（2）是一種特殊類型的學(xué)習(xí)；（3）作為學(xué)習(xí)的反面.還有人從哲學(xué)的角度提出了問題解 決的質(zhì)和本質(zhì)的概念3 0.4.2問題解決的心理模式問題解決的心理模式， 說法頗多較早提出的是美國(guó)杜威的五步模式， 還有英國(guó)華萊士的四階段模式、美國(guó)

15、紐維爾和西蒙的信息加工模式等 心理學(xué)研究成果；在數(shù)學(xué)教育界流行最廣的是波利亞的四階段模式； 在波氏模式的基礎(chǔ)上，人們又提出了許多類似的模式.如美國(guó)印第安 那大學(xué)MPSP構(gòu)造的六步模式；我國(guó)專家提出的模式理論，可參見 文31、 32、 33.4.3問題解決策略舉例問題解決的策略，文24概括為如下七個(gè)方面： （1）目標(biāo)策略；（2）知覺策略；（3）模式識(shí)別策略；（4）問題轉(zhuǎn)化策略；（5）特 殊化策略；（6）逆向策略；（7）整體策略.文19中也提出了 十條策略文34還對(duì)辯證思維策略進(jìn)行了較為深入12下一頁的探討.4 . 4數(shù)學(xué)問題解決能力的構(gòu)成分析從數(shù)學(xué)問題解決的過程出發(fā)，文3 5提出數(shù)學(xué)問題解決能力

16、 主要包括：（1）對(duì)問題情境進(jìn)行分析和綜合，從而提出問題的能力；（2 ）把問題數(shù)學(xué)化的能力；（3 ）對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行變換化歸的能力；（4）靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想方法的能力；（5 ）進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算和數(shù)學(xué) 證明的能力；（6 ）對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)和評(píng)價(jià)的能力.4 . 5影響問題解決的因素分析影響問題解決的因素很多，文36認(rèn)為主要有三個(gè)方面：（1 ） 問題情境因素（如問題的類型、難度、陳述方式等）；（2）學(xué)習(xí)者個(gè) 人的特征（如知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基儲(chǔ)個(gè)性品質(zhì)等）；（3 ）問題解決中的認(rèn)知策 略（如多角度思考問題，抓住問題的要害等）.另可參見文37.5 .關(guān)于問題解決教學(xué)系統(tǒng)的研究5.1對(duì)問題解決教學(xué)的認(rèn)識(shí)對(duì)問題解決教學(xué)主要有三種不同的理解：（1）作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一種形 式，與概念教學(xué)、命題教學(xué)相對(duì)應(yīng)，如文3 8; （2 ）作為數(shù)學(xué)教學(xué)的唯一形式，即所用教學(xué)內(nèi)容都以問題形式出現(xiàn)，通過解決問題實(shí) 現(xiàn)教學(xué)目的；（3）作為一種過渡形式，如文39.5.2對(duì)問題解決教學(xué)功能的認(rèn)識(shí)無論對(duì)問題解決教學(xué)做怎樣的理解，它都應(yīng)該發(fā)揮多種功能.比如：（1） 教學(xué)功能；（2）培養(yǎng)功能；（3）發(fā)展功能；（4）控制功能4 0.5.3數(shù)學(xué)課程中的問題解決作為一種過渡形式，英國(guó)在高中設(shè)立了問題解決課程，其目的在于讓 學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的意義