微積分多重積分

1、19.4 9.4 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用U=,Df x y dd把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中. .若要計(jì)算的某個(gè)量若要計(jì)算的某個(gè)量U對(duì)于閉區(qū)域?qū)τ陂]區(qū)域D具有可加性具有可加性(即當(dāng)閉區(qū)域即當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時(shí)，所求量分成許多小閉區(qū)域時(shí)，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域相應(yīng)地部分量可近似地表示為相應(yīng)地部分量可近似地表示為 的形式的形式,f x y d2一、曲面的面積一、曲面的面積衛(wèi)星衛(wèi)星hoxz3設(shè)曲面的

2、方程為：設(shè)曲面的方程為：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影區(qū)域?yàn)槊嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)樵谠?Dd 設(shè)小區(qū)域設(shè)小區(qū)域,),( dyx 點(diǎn)點(diǎn).),(,(的切平面的切平面上過上過為為yxfyxMS .dsdAdAdsszd 則則有有，為為；截截切切平平面面為為柱柱面面，截截曲曲面面軸軸的的小小于于邊邊界界為為準(zhǔn)準(zhǔn)線線，母母線線平平行行以以 如圖，如圖， d),(yxMdAxyzs o 4,面上的投影面上的投影在在為為xoydAd ,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S S的面積元素的面積元素曲面面積公式為：曲面面積公式為：dxdyAxyDyz

3、xz 22)()(1 d),(yxMdAxyzs o n A k 5設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(xzhy 曲面面積公式為：曲面面積公式為： .122dzdxAzxDxyzy 設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(zygx 曲面面積公式為：曲面面積公式為： ;122dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得6衛(wèi)星衛(wèi)星hoxz7于于 是是 通通 訊訊 衛(wèi)衛(wèi) 星星 覆覆 蓋蓋 面面 積積 為為 解解222yxRz 2222sin:RyxD 衛(wèi)星衛(wèi)星hoxz如圖建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系通訊衛(wèi)星覆蓋的曲面通訊衛(wèi)星覆蓋的曲面 是上半是上半球面被半頂角為球面被半頂角為 的圓錐面所的圓錐面所截得的部

4、分，其方程為截得的部分，其方程為 dxdyzzADyx 2218 DdxdyyxRR222 sin022201RrdrrRdR).cos1(22 RhRR cos.2)1(222hRhRhRRRA 通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球的表面積的比為通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球的表面積的比為.425. 010)4 . 636(21036)(24662 hRhRA 9由由對(duì)對(duì)稱稱性性知知14AA , 1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx10面面積積dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos0220142

5、ardrrada.4222aa 11解解解方程組解方程組,22222 yxazazyx得兩曲面的交線為圓周得兩曲面的交線為圓周,222 azayx在在 平面上的投影域?yàn)槠矫嫔系耐队坝驗(yàn)閤y,:222ayxDxy 12知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 13),(yx二、二、質(zhì)心質(zhì)心 1. 1.平面薄片的平面薄片的質(zhì)質(zhì)心心xMyM 對(duì)對(duì) x 軸的軸的靜

6、力矩靜力矩 對(duì)對(duì) y 軸的軸的靜力矩靜力矩14當(dāng)當(dāng)薄片是均勻的，薄片是均勻的，質(zhì)質(zhì)心心稱為稱為形心形心. .,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 由元素法由元素法15P407 例9-19均勻薄片的質(zhì)心均勻薄片的質(zhì)心之間的之間的和和求位于兩圓求位于兩圓例例 sin4 sin2 4 rr16解解先求區(qū)域先求區(qū)域 D的面積的面積 A， 20t， ax 20 adxxyA20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a )(xy,),(),( DDdyxdyxxx

7、 17 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所求形心坐標(biāo)為所求形心坐標(biāo)為 ),(65 a.由于區(qū)域關(guān)于直線由于區(qū)域關(guān)于直線ax 對(duì)稱對(duì)稱 ，18設(shè)空間有設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn), ),(kkkzyx其質(zhì)量分別其質(zhì)量分別, ),2, 1(nkmk由力學(xué)知由力學(xué)知, 該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo),11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11設(shè)物體占有空間域設(shè)物體占有空間域 ,),(zyx 有連續(xù)密度函數(shù)有連續(xù)密度函數(shù)則則 公式公式

8、,分別位于分別位于為為為為即即:采用采用 “分割、求和、取極限分割、求和、取極限” 可導(dǎo)出其質(zhì)心可導(dǎo)出其質(zhì)心 2. 2. 空間立體的空間立體的質(zhì)質(zhì)心心 ( (書書p/4p/40808) )19將將 分成分成 n 小塊小塊, ),(kkk 將第將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn)),(kkk例如例如, nkkkkknkkkkkkvvx11),(),( 令各小區(qū)域的最大直徑令各小區(qū)域的最大直徑,0 zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),( 系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo)系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn),即得即得此此質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)在第在第 k 塊上任取一點(diǎn)塊上任取

9、一點(diǎn)20同理可得同理可得 zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),( zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),( ,),(常數(shù)時(shí)常數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng) zyx 則得則得形心坐標(biāo)形心坐標(biāo)：,dddVzyxxx ,dddVzyxyy Vzyxzz ddd 的體積的體積為為 zyxVddd21三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 1.1.平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量22,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 薄片對(duì)于薄片對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量x薄片對(duì)于薄片對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量y23解解設(shè)三角形的兩直角邊分別在設(shè)三角形的兩直角邊分別在x軸和軸和y軸上，如圖軸上，如

10、圖aboyx對(duì)對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dxdyxIDy 2 babydxxdy0)1(02 .1213 ba dxdyyIDx 2 .1213 ab 24解解先求形心先求形心,1 DxdxdyAx.1 DydxdyAy 建建立立坐坐標(biāo)標(biāo)系系如如圖圖oyx, hbA 區(qū)域面積區(qū)域面積 因因?yàn)闉榫鼐匦涡伟灏寰鶆騽?由由對(duì)對(duì)稱稱性性知知形形心心坐坐標(biāo)標(biāo)2bx ，2hy .hb25將將坐坐標(biāo)標(biāo)系系平平移移如如圖圖oyxhbuvo 對(duì)對(duì)u軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量 DududvvI2 22222hhbbdudvv .123 bh 對(duì)對(duì)v軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 DvdudvuI2 .123 hb

11、 2. 空間立體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量空間立體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù)有連續(xù)分布的密度函數(shù). ),(zyx 該立體繞該立體繞x軸、軸、y軸與軸與z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 26 zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx 對(duì)對(duì) x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)對(duì) y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 zyxzyxyxIzddd),()(22 對(duì)對(duì) z z 軸軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量: :27空間物體對(duì)單位質(zhì)點(diǎn)的引力空間物體對(duì)單位質(zhì)點(diǎn)

12、的引力,zyxFFFF ,)()()()(,(32020200dvzzyyxxxxzyxkFx為引力常數(shù)為引力常數(shù)k四、引力四、引力 1. 1. 空間物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力空間物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力,)()()()(,(32020200dvzzyyxxyyzyxkFy,)()()()(z,(32020200dvzzyyxxzzyxkFz28Rxyzo例例8. 求半徑求半徑 R 的均勻球的均勻球2222Rzyx對(duì)位于對(duì)位于)(), 0 , 0(0RaaM的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解解: 利用對(duì)稱性知引力分量利用對(duì)稱性知引力分量0yxFFzF RRzazkd)( vazyxazkd)(2322

13、2 RRzazkd)( 200232222)(ddzRazrrr點(diǎn)點(diǎn)zDazyxyx23222)(dd0MazD29RRzazd )(zF k2 22211azaRza200232222)(ddzRazrrr RRzazkd)( k2RRaza)(1222daazR2aMk R2343RM 為球的質(zhì)量30薄片對(duì)薄片對(duì)軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力z),(zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxkFDx ,)(),(23222 dayxyyxkFDy .)(),(23222 dayxyxakFDz 為引力常數(shù)為引力常數(shù)k 2. 2. 平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力3

14、1解解由積分區(qū)域的對(duì)稱性知由積分區(qū)域的對(duì)稱性知, 0 yxFF dayxyxafFDz 23)(),(222 dayxafD 23)(1222oyzxFdrrardafR 0222023)(1.11222 aaRfa所求引力為所求引力為.112, 0, 022 aaRfa32五、立體體積五、立體體積1. 曲頂柱體曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面的頂為連續(xù)曲面),(yxfz 則其體積為則其體積為DyxyxfVdd),(,),(Dyx2. 占有空間有界域占有空間有界域 的立體的體積的立體的體積為為zyxVddd33例例10. 求兩個(gè)底圓半徑為求兩個(gè)底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積的直角圓柱面所圍的體積.

15、xyzRRo解解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為,222Ryx利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性, 考慮第一卦限部分考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為其曲頂柱體的頂為則所求體積為則所求體積為yxxRVDdd822 220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022 222Ryx 222Rzx D341:221yxzS任一點(diǎn)的切平面與曲面任一點(diǎn)的切平面與曲面222:yxzS所圍立體的體積所圍立體的體積 V . 解解: 曲面曲面1S的切平面方程為的切平面方程為202000122yxyyxxz它與曲面它與曲面22yxz的交線在的交線在 xoy 面上的投影為面上的投影為1)()(2020 yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxxsin,cos00ryyrxx令2(記記所圍域?yàn)樗鶉驗(yàn)镈 ),(000zyx在點(diǎn)在點(diǎn)Drrrdd2例例11. 求曲面求曲面rr dd1032035xoyza2例例12. 求半徑為求半徑為a 的球面與半頂角為的球面與半頂角為 的的內(nèi)接錐面所圍成