利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線和公切線精編版

1、利用與數(shù)求曲線的切線和公切線 一：求切線方程， 【例1】.已知曲線f(x)=x3-2x2+1. (1)求在點(diǎn)P(1,0)處的切線li的方程； 求過(guò)點(diǎn)Q(2,1)與已知曲線f(x)相切的直線12的方程. 提醒：注意是在某個(gè)點(diǎn)處還是過(guò)某個(gè)點(diǎn)！ 二.有關(guān)切線的條數(shù) 【例2】.(2014?北京)已知函數(shù)f(x)=2x3-3x. (I)求f(x)在區(qū)間-2,1上的最大值； (II)若過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切，求t的取值范圍；(m)問(wèn)過(guò)點(diǎn)A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分別存在幾條直線與曲線y=f(x)相切？(只需寫出結(jié)論) 【例3】,已知函數(shù)f(x)=lnax(a*

2、0,aCRR,. x (I)當(dāng)a=3時(shí)，解關(guān)于x的不等式：1+e(x)+g(x)0； (H)若f(x)g(x)(x1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (田)當(dāng)a=1時(shí)，記h(x)=f(x)-g(x),過(guò)點(diǎn)(1,-1)是否存在函數(shù) /h(x)圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在，說(shuō)明理由. 【作業(yè)1】.(2017?莆田一模)已知函數(shù)f(x)=2x3-3x+1,g(x)=kx+1-Inx. (fMy1 (1)設(shè)函數(shù)hG)二、，當(dāng)k0=(cos-cosft)24 所以COS0-8$因之2,又|co$qCOS2r所以|cosq-85刃=2 所以cosq=Lssg=T此時(shí)方程(*)變?yōu)?0=白=0 則a

3、+72b+73c=V2b+V3c,b2+c2=1,.設(shè)b=sinP,a=cosP, .應(yīng)b+T3c=5/5sin(P+中)， 故a+V2b+V3c-VsV5, 求證：a=0或.ee 【解答】(I)解：二？，0,+8),J二返餐. 令t(x)0得乂1,令t(x)0得乂0)上是增函數(shù)，.-=t(m)= 航 5ID 當(dāng)0m1時(shí)，函數(shù)t(x)在m,1上是減函數(shù)，在1,m+1上是增函數(shù)， t(x)min=t(1)=a (H)設(shè)12的方程為y=k2x,切點(diǎn)為(x2,y2),貝丹士工/巴k2-gy -x2=1,y2=e；k2=e.由題意知，切線11的斜率卜1=二工，切線11的方程為 1k2e 產(chǎn)工氐，設(shè)11

4、與曲線y=f(x)的切點(diǎn)為(x1,yO,k)=fye1 人， V廣-a=-一， 1 e1Xje 又y1=1nx-a(x1-1),消去yba后整理得1口孫-1J-Q,a- 1xjexje 令m(x)=IRKT二，貝Um(K)=- XeK1X? ，-m(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+00)上單調(diào)遞增， 若x1C(0,1),重(工)=-2+巳。，工1E3，1), eee1e 2 Wa=在(工，1)單調(diào)遞減，,巳1. sc1巴已ee 若x1C(1,+oo)，=m(x)在(1,+00)上單調(diào)遞增，且m(e)=0, 11A x1一e,xe 綜上,a=0或.ee 【作業(yè)2】.(2017?黃山二模)已

5、知函數(shù)f(x)=(ax2+x-1)ex+f (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性; (2)若g(x)=exf(x)+lnx,h(x)=ex,過(guò)O(0,0)分別作曲線 y=g(x) 與y=h(x)的切線l1,12,且l1與12關(guān)于x軸對(duì)稱，求證：-S+1)a0. 當(dāng)且xW0時(shí)，f(x)0, rf(x0)=g(Zo) f;(殉)=/(叼) 即, n B中其 4in3_3eXQ-e3=0. 記h(x)=4x-3ex-e, x(0,+oo)貝Jh(x)=3(2x+e) (2xe), 得h(x)在(0,1_)上單調(diào)遞減，在0+8)上單調(diào)遞增， 又h(0)=-e3,h(h)-2e3，h(e)=0, 故方程h(x

6、o)=0在(0,+00)上有唯一實(shí)數(shù)根xo=e,經(jīng)驗(yàn)證也滿足(1)式. 于是，f(xo)=g(x )=3e,f(x0)=g(x0)=3, 曲線y=g(x)與y=g(x)的公切線l的方程為y-3e=3(x-e),即y=3x. 【作業(yè)3】.已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=2-(x0) (1)試判斷當(dāng)f(x)與g(x)的大小關(guān)系； (2)試判斷曲線y=f(x)和y=g(x)是否存在公切線， 若存在， 求出公切線方程， 若不存在，說(shuō)明理由； (3)試比較(1+1X2)(1+2X3)(1+2012X2013)與e4021的大小，并寫出判斷過(guò)程. 五.與公切線有關(guān)的參數(shù)取值范圍問(wèn)題 【例7.已知函數(shù)f

7、(x)=blnx,g(x)=ax2-x(aCR). (I)若曲線f(x)與g(x)在公共點(diǎn)A(1,0)處有相同的切線，求實(shí)數(shù)a、b的值； (H)當(dāng)b=1時(shí)，若曲線f(x)與g(x)在公共點(diǎn)P處有相同的切線，求證：點(diǎn)P唯一； (田)若a0,b=1,且曲線f(x)與g(x)總存在公切線，求正實(shí)數(shù)a的最小值. 【解答】解：(I)f(x)上，g(x)=2ax-1. 曲線f(x)與g(x)在公共點(diǎn)A(1,0)處有相同的切線， rf(l)=blnl=0 g(l)=a-l=0,解得a=b=1. Lb=2a-1 (H)設(shè)P(XO,y ),則由題設(shè)有l(wèi)nx0=ax02-XO， 又在點(diǎn)P有共同的切線，.f(XO)

8、=g(xo),二2ax1, a=亨,代入得lnxO=-XO, 2包22 設(shè)h(x)=lnx-X+Xx,貝Uh(x)=X+JL(x0),貝Uh(x)0,22x2 h(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，所以h(x)=0最多只有1個(gè)實(shí)根， 從而，結(jié)合(1)可知，滿足題設(shè)的點(diǎn)P只能是P(1,0). (田)當(dāng)a0,b=1時(shí)，f(x)=lnx,f(x) f(x)在點(diǎn)(t,Int)處的切線方程為y-lnt=(x-1),即y-x+lnx-1.tt 與丫=2乂2-x,聯(lián)立得ax2-(1工)x-lnt+1=0.t ,曲線f(x)與g(x)總存在公切線， 關(guān)于t(t0)的方程=J)2+4a(lnt1)=0, 即&am

9、p;母短=4a(1-lnt)(*)總有解 若te,則1-lnt0,顯然(*)不成立，所以0te, 2 從而，方程(*)可化為4a=). 12(1-lnt) 令3=；7(05*則H等圖:尸 當(dāng)0Vt1時(shí)，h(t)0;當(dāng)1t0, 即h(t)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,e)上單調(diào)遞增. h(t)在(0,e)上的最小值為h(1)=4, .要使方程(*)有解，只須4a4,即a1. 正實(shí)數(shù)a的最小值為1. 例8.(2017?韶關(guān)模擬).已知函數(shù)f(x)=aex(aw0),g(x)=x2 (I)若曲線c：y=f(x)與曲線C2：y=g(x)存在公切線，求a最大值. (H)當(dāng)a=1時(shí)，F(xiàn)(x)=f(x)b

10、g(x)cx1,且F(2)=0,若F(x)在(0,2)內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍. 【解答】解：(I)設(shè)公切線l與CI切于點(diǎn)(XI,a/1)與C2切于點(diǎn)(x2,X) f(x)=aex,g(x)=2x, 叫 r7,由知X2*0,代入：”=2x2,即X2=2XI-2, 2 2c 小XiXi- -x x 由知a=、k2,設(shè)g(X)=4其4,g(x) 令g(x)=0,得x=2；當(dāng)x0,g(x)遞增. 當(dāng)x2時(shí)，g(x)e0=12b,F(x)0, .F(x)在(0,2)上單調(diào)增，F(xiàn)(x)沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn).2 當(dāng)b-時(shí)，在(0,2)上，exe202b,；F(x)ln2b時(shí)，F(xiàn)(x)0,xln2b時(shí)，F(xiàn)(x)

11、0, F(x)在(0,ln2b)遞減，(ln2b,2)遞增， e21 所以x=ln2b時(shí)，.F(x)最小=F(ln2b)=4b2bln2b-+y, e21 設(shè)G(b)=F(ln2b)=4b-2bln2b-髭垮， 令G(b)=2-2ln2b=0, 得2b=e,即b*,當(dāng)b0;當(dāng)b|時(shí)，G(b)0,12 當(dāng)b=-時(shí)，G(b)最大=6(-1-)=e+-與-0, G(b)=f(ln2b)Q 2 + .F(ln2a)=2b-2bln2b5V0, F,(2)土2-4b-反孚L0 L乙 22 解得：.s_z3_bJ_LL, 44 22 綜上所述，b的取值范圍(豆二且M). 44 【作業(yè)4】,已知函數(shù)f(x)

12、=a(x-)blnx(a,bCR),g(x)=x2.x (1)若a=1,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與y軸垂直，求b的值； (2)若b=2,試探究函數(shù)f(x)與g(x)在其公共點(diǎn)處是否有公切線，若存在, 研究a的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. k.公切線的條數(shù)問(wèn)題 【例9】.已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ex. (1)確定方程f(x)也1實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)； x-1 (2)我們把與兩條曲線都相切的直線叫作這兩條曲線的公切線，試確定曲線y=f (x),y=g(x)公切線的條數(shù)，并證明你的結(jié)論. 【解答】解：(1)由題意得lnx= L=1+-, X-lK-1 即lnx-1=/. K-1

13、 分別作出y=lnx-1和y=?的函數(shù)圖象,由圖x-1 9 象可知：y=lnx-1和y=的函數(shù)圖象有兩個(gè)交 K-1 占 八、 方程f(x)衛(wèi)3有兩個(gè)實(shí)根; x-1 (2)解：曲線y=f(x),y=g(x)公切線的條數(shù)是2,證明如下: 設(shè)公切線與f(x)=lnx,g(x)=ex的切點(diǎn)分別為(mlnm),(n,en),廿n, -f(x),g(x)=ex,x (1n n=e=ein ,化簡(jiǎn)得(m-1)lnm=m+1,Im-eR=l LmFm 當(dāng)m=1時(shí)，(m-1)lnm=m+1不成立； 當(dāng)m1時(shí)，(m1)lnm=m+1化為lnm=-5itL,ir-l 由(1)可知，方程lnmH1有兩個(gè)實(shí)根， m-1

14、 :曲線y=f(x),y=g(x)公切線的條數(shù)是2條. 【作業(yè)5】,已知函數(shù)f(x)=x2+2(1a)x-4a,g(x)-(a+1)2,貝f (x)和g(x)圖象的公切線條數(shù)的可能值是. 【作業(yè)1解答解：(1)f(x)=(2x+1)(x1)2=0,x=工或1,x=2 一二是h(x)的零點(diǎn)； 2 .g(x)=k-,x k0,g(x)0,g(x)在1,+00)上單調(diào)遞減，g(x)的最大值為g(1)=k+1. k-1,g(1)0,g(x)在1,+oo)上無(wú)零點(diǎn)； k=-1,g(1)=0,g(x)在1,S上有1個(gè)零點(diǎn)； -1k0,g(e1k)=ke1k+k0,g(x)在1,+)上有1個(gè)零點(diǎn)； 綜上所述

15、，k-1時(shí)，h(x)有1個(gè)零點(diǎn)；-1&k!時(shí)，在(-8,工)，(a,+00)上H(t)0,函數(shù)單調(diào)遞增，在(, 22 a)上，H(t)0,函數(shù)單調(diào)遞減，H(t)的極大值為H(),極小值為H2 (a); a0,函數(shù)單調(diào)遞增，在(a, 22 上，H0,函數(shù)單調(diào)遞減，H(t)的極大值為H(a),極小值為H 弓)； 要使方程有三個(gè)不同解，則H(工)H(a)0, a工或a0,當(dāng)犬0時(shí)，f(x)0；當(dāng)時(shí)，f(x)0時(shí)，f(x)0；當(dāng)x 0時(shí)，f(x)-2或x0時(shí)，f(x)0;當(dāng)0工-時(shí)，f(x) 0, 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為。-2)；單調(diào)遞減區(qū)間為 y,o),(氣工+8). a 若平白，F(xiàn)(

16、6二故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(- 0,+OO). 2占 若當(dāng)工0時(shí)，f(x)0;當(dāng)N2K0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(際，-24)，(0,+8)；單調(diào)遞減區(qū)問(wèn) a 為(-2-L。)- a 當(dāng)a=0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+00)；單調(diào)遞減區(qū)間為(- ,0)., 當(dāng)上a0,所以(0,+oo)上，u(x)是單調(diào)遞增函數(shù)， 令tJ，貝Ult-,a(t)=t2+(e+l)t Ke2 a 氯當(dāng)a)T， e2e22 故(升11a-史2. 2/2 【作業(yè)3解答解：(1)證明：設(shè)F(x)=f(x)-g(x),則F(x)-x 旦， 2， x 由F(x)=0,彳4x=3,當(dāng)0Vx3時(shí)，F(xiàn)(x)3時(shí)F

17、(x)0,可得F(x)在區(qū)間(0,3)單調(diào)遞減，在區(qū)間(3,十單調(diào)遞增， 所以F(x)取得最小值為F(3)=ln3-10, F(x)0,即f(x)g(x); (2)假設(shè)曲線f(x)與g(x)有公切線，切點(diǎn)分別為P3，lnx(0和Q(xi, 因?yàn)閒(x),，g(x)=-y, Inx0)和Q(xi,2-且)為切線的切線方程為y*+lnx0-1, X1Xn ,即2lnx1q-(3+ln3)=0. qTnyXi lnxn-l=21 IX1 令h(x)=2lnx1+-(3+ln3).xi 所以由h，(x)=-=0,彳#x1=3.Xi； 顯然，當(dāng)0 xi3時(shí)，h(x)3時(shí)，h(x)0, 所以u(píng)(l),u(

18、常， 所以分別以P(x0, 1二3 SOxj2 又I. -M )*+lrr-0, 所以方程2lnxi+f-(3+ln3)=0無(wú)解， X1 故二者沒(méi)有公切線. 所以曲線y=f(x)和y=g(x)不存在公切線； ，一、，一、，_,4021 (3) (1+1X2)(1+2X3)?(1+2012X2013)e. 理由：由(1)可得lnx23(x0), 可令x=1+n(n+1),可得ln(1+n(n+1)222-:、 1+n(n+1)n(n+l) =2-3(1-L nn+1 則ln(1+1X2)+ln(1+2X3)+ln(1+2012X2013) 2X2012-3(1-+11+-J)=4024-3402

19、1.223201220132013 即有(1+1X2)(1+2X3)(1+2012X2013)e4021. 【作業(yè)4解答解：(I)f(x)=x-blnx, f(x)=1-2 由于曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線垂直于y軸， 故該切線斜率為0,即f(1)=0,即1+1-b=0, b=2; (2)假設(shè)f(x),g(x)的圖象在其公共點(diǎn)(XQ,y)處存在公切線, 由f(x)=a(x-)2lnx，得f(x)一一子近,g(x)=2x,xv2 由f(x0)=g(XQ),得 -3=2XQ,即2XQ3-axo2+2xo-a=0, 即(x02+1)(2x0-a)=0,則XQ, 2 又函數(shù)的定義域?yàn)?0

20、,+8), 當(dāng)a00時(shí)，XQ=-|-0時(shí)，令f(且)=g(且)，二 222 即a_g=ln且, 82 則h(x)在(0,2)遞減，(2,+8)遞增.且h(2) 且當(dāng)X一0時(shí)，h(x)一+OO；當(dāng)x一+00時(shí)，h(x)一+oo, .h(x)在(0,+oo)有兩個(gè)零點(diǎn)， 2_n ，方程5rln，在9+00)解的個(gè)數(shù)為2. 綜上：當(dāng)a00時(shí)，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線; 當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線，a的值有2個(gè). 在導(dǎo)數(shù)的練習(xí)中，常見(jiàn)這一類題型：已知含有/注)的一個(gè)不等式，以及/(1”)的一些其他性質(zhì)，讓解不等式或 者比較大小。這類題型的常

21、用思路是emph構(gòu)造函數(shù),下面舉例說(shuō)明。 1.嘰定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)A至?xí)r(工口+D網(wǎng)”+2工/p且n=Q 則不等式n的解集是() 4(L+x) 4-LOj-U(L+)2 2lnW20, 24 0), 82 Z?.(oc,-1)U(0.1) 分析：觀察條件給的不等式一+1）/（）+2z/（.r）。，它的左邊是 拓展：怎樣構(gòu)造出合適的函數(shù)呢？一般考慮一下三個(gè)模型: 匡1/(上3+工/(工) 特別地，當(dāng)以=1時(shí)，有y=/+/?； ?。?（了？+1）幾對(duì)的導(dǎo)函數(shù)。故構(gòu)造 杰） /(H 的其他性質(zhì)轉(zhuǎn)化成 的性質(zhì)，把要 求解的不等式也轉(zhuǎn)化成關(guān)于 9（h）的不等式。 解答:令，心）=（/+1）人工） ，

22、;當(dāng) w0時(shí)怛 M）=（/+1）r+2工川工）。 由，（山奇函數(shù)得也是奇函數(shù)，由門1.）=。得（-1）=0?？傻?gu-）的“草圖”如下: 而不等式 6)。等價(jià)于“3u 由“草圖”易知解集為 8T5。，1）,選， 時(shí)，有 當(dāng)(7 (*/)丫=*(砧n+r(以 特別地，當(dāng)值=1時(shí)，有（上一（/）+/（上）|； (/丫_尸一/(工)cT)? .一/=上1 1產(chǎn)/U/U）+ +心/+打年） 我們可以對(duì)比這三個(gè)模型求導(dǎo)后的形式與題中給出不等式的形式，確定口或者b 下面再舉幾個(gè)例子： 2,已知函數(shù)/（r）的定義域?yàn)镽%,/Ji）=2,對(duì)任意上“/?,/（12,則不等式 ）紅+4的解集是（） 樂(lè)（-L1）

23、 +oc+oc) ) 分析：觀察條件中給出的不等式，以及要求解的不等式，易知可以構(gòu)造gr）=f3一2一4。再把 工 的其他性質(zhì)也都轉(zhuǎn)化成9（：口的性質(zhì)。 解答：構(gòu)造L=，八-2工二4。則T/=/-2。，在R上遞增。 由/&1）=2知,。（一。=0,而不等式/益+4即為“沙工解集為L(zhǎng)+艾）,選用。 MJ。)j*0)|b(2012)-a,0) 當(dāng)”=1時(shí)，有 3,已知為定義在 籃上的可導(dǎo)函數(shù)，且 /對(duì)于H 恒成立，且t為自然對(duì)數(shù)的底，則 叵H1）。二型）2012）”叫旭 CJ(l)/(2012)e3012V(0) 卬.0)20央2.7 分析：對(duì)比可知，不等式/【.，）g(O)912)u(0

24、)即央2士”，再正確。 4.設(shè)定義在T?上的函數(shù)“門滿足0）=-1,其導(dǎo)函數(shù)尸滿足尸 3,則下列結(jié)論中 一定錯(cuò)誤的是（ 分析：由3n 小1,嘗試構(gòu)造。3=刁- 解答: 構(gòu)造函數(shù) ：g）在丑上遞增。 解答：令=/,/（工）口,依 q 在理上遞增。 (A_)AT,選C 5,已知定義在R上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為/（1），當(dāng)。時(shí)，滿足 2/（工）_+工人工上工/（HI則/在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（） AA B.3I C.5 D1或工 分析：對(duì)比題中給出的不等式可知，只需在模型中令工=2,即=一1。 解答：令7上），則當(dāng)注V0時(shí)， “（上=附-上/3+上/,）o在i-x 上遞增“ 時(shí)，虱6vo無(wú)零點(diǎn)。 由,匚上可知皿的零點(diǎn)與/（F）的零點(diǎn)相同，（）在。時(shí)無(wú)零點(diǎn)。而是奇函數(shù)，/（九金0時(shí)也沒(méi)有零點(diǎn)。 【解答】解：(I)由f(x)=2x33x得f(x)=6x2-3, 令f(x)