微積分試題集

1、微積分試題集一季一、計(jì)算下列極限：（每題5分，共10分）4若時(shí),是等價(jià)無(wú)窮小,求常數(shù)的值.5. 設(shè)在處連續(xù)，求的值.二、導(dǎo)數(shù)與微分：（每題5分，共25分）1. 設(shè)求 2求由方程所確定的曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程. 3利用微分近似計(jì)算,求 的近似值. 4設(shè) 求 5. 求曲線(xiàn)的拐點(diǎn).三、計(jì)算下列各題：（每小題8分，共16分）1. 設(shè)某商品的價(jià)格與需求量的關(guān)系為,(1) 求時(shí)的需求彈性,并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義.（2）求當(dāng)價(jià)格為何值時(shí),總收益最大？并求出此時(shí)的需求價(jià)格彈性. 2. 設(shè)為的原函數(shù),且,已知求四、證明題：（每小題5分，共10分）1. 當(dāng)時(shí), 證明：.2. 設(shè)連續(xù)且，試證明是的極小值點(diǎn)。二季一、填空題（每

2、小題4分，本題共20分）函數(shù)的定義域是若函數(shù),在處連續(xù)，則 曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是微分方程的階數(shù)為 二、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，本題共20分）設(shè)，則（ ）A B C D若函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則( )是錯(cuò)誤的 A函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處有定義 B，但 C函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處連續(xù) D函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處可微 函數(shù)在區(qū)間是（ ）A單調(diào)增加 B單調(diào)減少C先增后減 D先減后增（ ）A. B. C. D. 下列微分方程中為可分離變量方程的是（）A. ； B. ； C. ； D. 三、計(jì)算題（本題共44分，每小題11分）計(jì)算極限設(shè)，求. 計(jì)算不定積分計(jì)算定積分四、應(yīng)用題（本題16分） 欲做

3、一個(gè)底為正方形，容積為32立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器，怎樣做法用料最??？微積分初步期末試題選（一）1填空題（1）函數(shù)的定義域是 （2）函數(shù)的定義域是（3）函數(shù)，則 （4）若函數(shù)在處連續(xù)，則 （5）函數(shù)，則 （6）函數(shù)的間斷點(diǎn)是 （7）（8）若，則2單項(xiàng)選擇題、（1）設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（）A奇函數(shù) B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D既奇又偶函數(shù)（2）下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（）A B C D（3）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢 B C且 D且（4）設(shè)，則（ ）A B C D（5）當(dāng)（ ）時(shí)，函數(shù)在處連續(xù).A0 B1 C D （6）當(dāng)（ ）時(shí)，函數(shù)，在處連續(xù).A0 B1 C D （7）函數(shù)的間斷點(diǎn)是（ ）A B C D無(wú)間

4、斷點(diǎn)3計(jì)算題 （1） （2） （3）微積分初步期末試題選（二）1填空題（1）曲線(xiàn)在點(diǎn)的切斜率是（2）曲線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)方程是 （3）已知，則=（4）已知，則=（5）若，則 2.單項(xiàng)選擇題（1）若，則=（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2（2）設(shè)，則（ ） A B C D（3）設(shè)是可微函數(shù)，則（ ） A B C D（4）若，其中是常數(shù)，則（ ） A B C D3計(jì)算題 （1）設(shè)，求 （2）設(shè)，求.（3）設(shè)，求. （4）設(shè)，求.微積分初步期末試題選（三）1填空題（1）函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 （2）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，則應(yīng)滿(mǎn)足 2單項(xiàng)選擇題（1）函數(shù)在區(qū)間是（ ）A單調(diào)增加 B單調(diào)減少C先

5、增后減 D先減后增（2）滿(mǎn)足方程的點(diǎn)一定是函數(shù)的（ ）.A極值點(diǎn)B最值點(diǎn) C駐點(diǎn)D 間斷點(diǎn)（3）下列結(jié)論中（ ）不正確 A在處連續(xù)，則一定在處可微. B在處不連續(xù)，則一定在處不可導(dǎo). C可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在其駐點(diǎn)上.D函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在不可導(dǎo)點(diǎn)上.（4）下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增加的是（ ） A B C D3應(yīng)用題（1）欲做一個(gè)底為正方形，容積為108立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器，怎樣做法用料最??？（2）用鋼板焊接一個(gè)容積為4的正方形的開(kāi)口水箱，已知鋼板每平方米10元，焊接費(fèi)40元，問(wèn)水箱的尺寸如何選擇，可使總費(fèi)最低？最低總費(fèi)是多少？ 微積分初步期末試題選（四）1填空題（1）若的一個(gè)原函數(shù)

6、為，則 .（2）若，則（3）若（4）（5） （6）若，則（7）若，則（8） （9） .（10）= 2單項(xiàng)選擇題（1）下列等式成立的是（）A BC D（2）以下等式成立的是（ ）A B C D （3）（ ）A. B. C. D. （4）下列定積分中積分值為0的是（ ） A B C D （5）設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分（ ）A0B CD （6）下列無(wú)窮積分收斂的是（）A B C D3計(jì)算題（1） （2）（3） (4)(5) (6) (7)微積分初步期末試題選（五）1填空題(1)已知曲線(xiàn)在任意點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為，且曲線(xiàn)過(guò)，則該曲線(xiàn)的方程是 . (2)由定積分的幾何意義知，= .(3)微分方程的特解為

7、. (4)微分方程的通解為 . (5)微分方程的階數(shù)為 2.單項(xiàng)選擇題(1)在切線(xiàn)斜率為2x的積分曲線(xiàn)族中，通過(guò)點(diǎn)（1, 4）的曲線(xiàn)為（ ）Ay = x2 + 3 By = x2 + 4 C D (2)下列微分方程中，（ ）是線(xiàn)性微分方程 A B C D (3)微分方程的通解為（ ） A B C D (4)下列微分方程中為可分離變量方程的是（）A. ； B. ； C. ； D. 三季一、 選擇題 (選出每小題的正確選項(xiàng)，每小題分，共計(jì)10分)1_。（A ） - （B ） + （C） 0 （D） 不存在2當(dāng)時(shí)，的極限為 _。 （A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D） 不存在 下列極限存在，

8、則成立的是_。 設(shè)f（x）有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 （A ） 極小值 （B ）極大值（C ）拐點(diǎn) （D） 不是極值點(diǎn)也不是拐點(diǎn)5若則下列各式 成立。二、 填空題（每小題3分，共18分）1. 設(shè)，那么曲線(xiàn)在原點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是_。函數(shù)在區(qū)間0，3上滿(mǎn)足羅爾定理，則定理中的x=。3設(shè) 。4設(shè)那么2階導(dǎo)函數(shù) 5設(shè)某商品的需求量是價(jià)格的函數(shù)，那么在的水平上，若價(jià)格下降1，需求量將。6若且 。三、計(jì)算題（每小題6分，共42分）：1、 求 3、設(shè)4、5、6、7、設(shè)函數(shù)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f（0）=0, 又 ，求。四、應(yīng)用題（8分）1，假設(shè)某種商品的需求量Q是單價(jià)P（單位元）的函數(shù)：Q=1200-8P；商品的總

9、成本C是需求量Q的函數(shù)：C=2500+5Q。（1） 求邊際收益函數(shù)和邊際成本函數(shù)；（2） 求使銷(xiāo)售利潤(rùn)最大的商品單價(jià)。五、（12分）作函數(shù)的圖形六、證明題（每題5分，共計(jì)10分） 1、 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且在內(nèi)是常數(shù)，證明在上的表達(dá)式為，2、設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且證明在內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)。四季一、填空題（每小題4分，本題共20分）函數(shù)的定義域是 已知，則=若，則微分方程的階數(shù)是 二、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，本題共20分）設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（）A奇函數(shù) B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D既奇又偶函數(shù)函數(shù)的間斷點(diǎn)是（ ）A B C D無(wú)間斷點(diǎn)下列結(jié)論中（ ）正確 A在處連續(xù)，則一定在處可微. B函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生

10、在其駐點(diǎn)上. C在處不連續(xù)，則一定在處不可導(dǎo). D函數(shù)的極值點(diǎn)一定發(fā)生在不可導(dǎo)點(diǎn)上.如果等式，則（ ）A. B. C. D. 下列微分方程中，（ ）是線(xiàn)性微分方程 A B C D三、計(jì)算題（本題共44分，每小題11分）計(jì)算極限 設(shè)，求. 計(jì)算不定積分 計(jì)算定積分四、應(yīng)用題（本題16分） 用鋼板焊接一個(gè)容積為4的底為正方形的無(wú)蓋水箱，已知鋼板每平方米10元，焊接費(fèi)40元，問(wèn)水箱的尺寸如何選擇，可使總費(fèi)最低？最低總費(fèi)是多少？五季一、填空題（每小題4分，本題共20分）函數(shù)的定義域是若，則已知，則=若微分方程的階數(shù)是 二、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，本題共20分）設(shè)函數(shù)，則該函數(shù)是（）A奇函數(shù) B偶函數(shù)C

11、非奇非偶函數(shù) D既奇又偶函數(shù)當(dāng)=（ ）時(shí)，函數(shù)，在處連續(xù).A1 B2 CD0 滿(mǎn)足方程的點(diǎn)一定是函數(shù)的（ ）。A極值點(diǎn)B最值點(diǎn) C駐點(diǎn)D 間斷點(diǎn)設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分（ ）AB CD 0微分方程的通解是（）A. ；B. ；C. ； D. 三、計(jì)算題（本題共44分，每小題11分）計(jì)算極限設(shè)，求. 計(jì)算不定積分計(jì)算定積分四、應(yīng)用題（本題16分） 欲用圍墻圍成面積為216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墻將其隔成兩塊，問(wèn)這塊土地的長(zhǎng)和寬選取多大尺寸，才能使所用建筑材料最??？ 微積分習(xí)題集答案一季一、計(jì)算下列極限：（每題5分，共25分）1。2。3. 。4若時(shí),是等價(jià)無(wú)窮小,求常數(shù)的值.解：由

12、于時(shí)有與，故。5. 設(shè)在處連續(xù)，求的值.解：由左連續(xù)與右連續(xù)分別得，所以得及。二、導(dǎo)數(shù)與微分：（每題5分，共25分）1. 設(shè)求 解：兩邊去對(duì)數(shù)得 ，再求導(dǎo)得，整理后得 。當(dāng)時(shí)有 ，所以。2求由方程所確定的曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程. 解：易知時(shí)有。求導(dǎo)得 ，將代入則有，所以切線(xiàn)方程為 。3利用微分近似計(jì)算,求 的近似值. 解：令，則。取，則有，所以 。4設(shè) 求 解：， ，所以，即。5. 求曲線(xiàn)的拐點(diǎn).解：求導(dǎo)得 與 。顯然，當(dāng)時(shí)不存在；當(dāng)時(shí)，所以與是潛在拐點(diǎn)。下面考察函數(shù)凹凸性的變化，不難看出所以，與均為曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。三、計(jì)算不定積分：（每題6分，共24分）1。2。3：令，則。4 。四、計(jì)算下列各題：（

13、每小題8分，共16分）1. 設(shè)某商品的價(jià)格與需求量的關(guān)系為,(1) 求時(shí)的需求彈性,并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義.（2）求當(dāng)價(jià)格為何值時(shí),總收益最大？并求出此時(shí)的需求價(jià)格彈性. 解：（1），故，這說(shuō)明當(dāng)價(jià)格時(shí)，若價(jià)格上漲（下跌），則需求量近似減少（增加）。（2）我們知道時(shí)，總收益最大。由解得，所以當(dāng)價(jià)格時(shí)總收益最大。2. 設(shè)為的原函數(shù),且,已知求解：因?yàn)?，所以給定條件等價(jià)于，兩邊關(guān)于求積分，則，從而（）。將代入可得，所以 ，從而 。五、證明題：（每小題5分，共10分）2. 當(dāng)時(shí), 證明：.證明：令 ，則 ，當(dāng)時(shí)顯然有 ，并且只有在時(shí)才有，所以在時(shí)為增函數(shù)。故當(dāng)時(shí)有，也就是說(shuō)當(dāng)時(shí), 。2. 設(shè)連續(xù)且，試證明

14、是的極小值點(diǎn)。證明：由知。又連續(xù)，所以。根據(jù)定義有，由第二充分條件即可知是的極小值點(diǎn)。二季一、填空題（每小題4分，本題共20分） 1 二、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，本題共20分）CBDAB 三、（本題共44分，每小題11分）解：原式 11分解： 9分 11分 解：= 11分4解： 11分 四、應(yīng)用題（本題16分）解：設(shè)底邊的邊長(zhǎng)為，高為，用材料為，由已知令，解得是惟一駐點(diǎn)，易知是函數(shù)的極小值點(diǎn)，此時(shí)有，所以當(dāng)，時(shí)用料最省 微積分初步期末試題選（一）1填空題（1） 答案：且.（2）答案：（3）答案：（4）答案：（5）答案：（6）答案：（7）答案：1（8）答案：2單項(xiàng)選擇題（1）答案：B （2）答案

15、：C （3）答案：D （4）答案：C （5） 答案：D （6） 答案：B （7）答案：A3計(jì)算題 （1） 解：（2） 解： （3）解： 微積分初步期末試題選（二）1填空題（1）答案： （2）答案： （3）答案： ，=27（4）答案：，=（5）答案：，2.單項(xiàng)選擇題（1）答案：C （2）答案：B （3）答案：D （4）答案：C3計(jì)算題 （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 微積分初步期末試題選（三）1填空題（1）答案：（2）答案：2單項(xiàng)選擇題（1）答案：D （2）答案：C （3）答案： B （4）答案：B3應(yīng)用題解：設(shè)底邊的邊長(zhǎng)為，高為，用材料為，由已知令，解得是唯一駐點(diǎn)， 且，說(shuō)明是

16、函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以當(dāng)，用料最省.解：設(shè)水箱的底邊長(zhǎng)為，高為，表面積為，且有所以 令，得， 因?yàn)楸締?wèn)題存在最小值，且函數(shù)的駐點(diǎn)唯一，所以，當(dāng)時(shí)水箱的面積最小. 此時(shí)的費(fèi)用為 （元） 微積分初步期末試題選（四）1填空題（1）答案： （2）答案： （3）答案： （4）答案：（5）答案： （6）答案：（7）答案： （8） 答案：（9）答案：0 （10）答案：2單項(xiàng)選擇題（1）答案：C （2）答案：D （3）答案：A （4）答案：A（5） 答案：A （6）答案：D3計(jì)算題（1）解：（2）解：（3）(4)解：= (5);(6)解：(7) 解： 微積分初步期末試題選（五）1填空題(1)答案： (2)答案：

17、 (3) 答案： (4)答案： (5)答案：42.單項(xiàng)選擇題(1) 答案：A (2) 答案：D (3) 答案：C (4) 答案：B三季一、 選擇題 (選出每小題的正確選項(xiàng)，每小題分，共計(jì)10分)1C； 2 D； 3.B C; 4.A; 5.B C.二、 填空題（每小題3分，共18分）1. 2 3 4X=2,極小值 5上升2% 6三、計(jì)算題（每小題6分，共42分）：1、求 解：令，則解：原式= 3、設(shè) 解：由 3分得a=0，b=-2，c取任意實(shí)數(shù)。 3分4解： 3分 3分5、解 2分 2分 2分6、解： 2分 2分 2分7、設(shè)函數(shù)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f（0）=0, 又 ，求 解：，這時(shí)連

18、續(xù) 2分 3分所以 1分四、（8分）假設(shè)某種商品的需求量Q是單價(jià)P（單位元）的函數(shù)：Q=1200-8P；商品的總成本C是需求量Q的函數(shù)：C=2500+5Q。（3） 求邊際收益函數(shù)MR和邊際成本函數(shù)MC；（4） 求使銷(xiāo)售利潤(rùn)最大的商品單價(jià)。解：（1） 3分 （2）利潤(rùn)函數(shù) 1分 2分P=155/2時(shí)利潤(rùn)最大。 2分五、（12分）作函數(shù)的圖形答案： （1）定義域是是間斷點(diǎn) 1分 （2）漸近線(xiàn)因故y=0為水平漸近線(xiàn)因故x=1為垂直漸近線(xiàn) 2分 (3)單調(diào)性、極值、凹凸及拐點(diǎn) 令得x=0 令得拐點(diǎn)間斷點(diǎn)再列表是極小值；拐點(diǎn)是. 6分(4)選點(diǎn)當(dāng) 時(shí)，y=0;當(dāng)時(shí),y=8;當(dāng)x=2時(shí),y=3；當(dāng)x=3時(shí)， 1分(5)描點(diǎn)作圖 略 2分六、證明題（每題5分，共計(jì)10分） 1、設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且在內(nèi)是常數(shù)，證明在上的表達(dá)式為證明：設(shè)在（a，b）內(nèi)任取一點(diǎn)x，在區(qū)間a，x上由拉格朗日中值定理有： 2分 則 2分 當(dāng)x=a時(shí)，上式也成立。 1分2、設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且證明在內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)。證明：在內(nèi)任取一點(diǎn)x，則 3分令，由f（x）的單調(diào)性和零值定理知原命題成立。 2分四季一、填空題（每小題4分，本題共20分） 1 3二、單項(xiàng)選擇題（每小題4分，本題共20分）BACDD三、計(jì)算題（本題共44分，每小題11分）解：原式 11分解： 9分 11分 解：= 11分解： 1